Contexto da análise insumo-produto

A região econômica é subdividida em n+1 setores, com n indústrias ou setores de produção e um n+1-ésimo setor chamado de demanda final ou demanda exógena dos n

setores industriais. A demanda final está composta pelo consumo de famílias (ci), consumo de

governo (gi), compras com o propósito de investimento privado (ii), exportação (ei); a

demanda final é representada por (fi), para i=1:n setores da economia. O valor monetário das

transações entre pares de setores é representado por (zij), isto é, o setor j compra insumos

fornecidos pelo setor i. A soma das vendas do setor i aos outros setores j mais a demanda

final do setor i é representada por (xi), conhecida também como produção total do setor i. A

equação 3 representa o equilíbrio entre a produção total do setor i e a distribuição de seus produtos aos outros setores e ao setor exógeno.

(3)

Como descrito anteriormente, a região econômica é subdivida em n setores. Como resultado, existe um sistema linear de n equações do tipo eq. 3, como representado em equação 4.

(4)

Esse sistema de equações pode ser representado em forma matricial, sendo (x) o vetor de produção total; (f) o vetor de demanda final e; (Z) a matriz de transações monetárias entre os n setores. A equação 5 representa a notação matricial do sistema.

(5)

Onde inx1é um vetor coluna unitário, cuja multiplicação matricial Zi gera o vetor

coluna da soma de cada linha da matriz Z.

Além das transações intersetoriais e a produção total de cada setor, existe também o pagamento de outros itens e o uso de outros insumos. A contabilização desses insumos

primários é feita no chamado valor agregado do setor j, representado por (ѵj), por exemplo,

salários (lj), e capital, pagamentos de impostos, aluguel, lucro (nj). Entenda-se como valor

agregado aos pagamentos feitos aos setores exógenos. Ao valor agregado podem ser somadas

às transações da compra de produtos importados em cada setor j (mj).

Como resultado, representa-se no quadro 2 uma tabela de insumo-produto monetária para uma economia de dois setores. A economia está composta pelo setor 1 e 2; a demanda final desagregada em consumo das famílias, consumo do governo, investimentos, e as exportações; o valor agregado dividido em salários e valor agregado, bem como as

importações dos setores econômicos e dos setores da demanda final, isto é, mE representa os

itens importados que são exportados; ao final, na última linha e coluna, apresenta-se o equilíbrio geral do sistema econômico, em que o valor monetário total da soma da produção total de cada setor se iguala ao valor monetário total da soma dos gastos para a produção de cada setor.

Quadro 2 - Tabela de insumo-produto econômico para uma economia de dois setores

Setores produtores

Demanda final (f) Produção

total (x) 1 2 Setores produtores 1 z11 z12 c1 i1 g1 e1 x1 2 z21 z22 c2 i2 g2 e2 x2 Setores de pagamentos Valor agregado (ѵj) l1 l2 lC lI lG LE L n1 n2 nC nI nG nE N Importações m1 m2 mC mI mG mE M Total despesa (x`) x1 x2 C I G E X

Fonte: Elaboração própria baseada em Miller e Blair (2009).

Leontief (1965) apresenta o conceito de coeficiente do insumo aij, comumente

conhecido como coeficiente técnico. Esse coeficiente representa a transação monetária do produto do setor i absorvido pelo setor j em dado período de tempo dividido pelo valor monetário da produção total do setor j para o mesmo período de tempo. O conjunto completo dos coeficientes técnicos de uma economia é chamado de matriz de coeficientes técnicos A (MILLER e BLAIR, 2009; LEONTIEF, 1965). A equação 6 apresenta o cálculo do coeficiente técnico.

(6)

Por exemplo, no quadro 2, o coeficiente técnico a12 representa a transação monetária

relação à produção total do setor gropecuário no mesmo período. Cada aij é visto como a

relação fixa da medida entre o produção de um setor e seus insumos, e cuja proporção pij,

definida como a relação entre os coeficientes técnicos, é fixa:

Como resultado, Miller e Blair (2009) destacam que a produção num sistema Leontief opera com retornos constantes de escala (RCE), assumindo que a mesma relação de insumos será usada pelos setores para a produção total do setor, sem considerar a quantidade produzida (MILLER e BLAIR, 2009; ARDENT et al, 2009). Mediante a eq. 6 observa-se

que, quando algum aij=0, o produção total do setor j seria infinitamente grande.

Consequentemente, a especificação mais usual da classe de função de produção incorporada no modelo de insumo-produto é a função de produção de proporções fixas, apresentada na equação 7. (7)

Miller e Blair (2009) ressaltam que no modelo de insumo-produto, cujos coeficientes

técnicos são diferentes de zero, as razões dentro da eq. 7 serão as mesmas e iguais a xj, isto

porque aij = zij/xj. Já para os coeficientes técnicos iguais a zero, as relações dentro da eq. 7

seriam infinitamente grandes e consequentemente, estariam fora da razão mínima da função de produção. Como resultados, todas as especificações anteriormente descritas refletem a suposição de RCE no modelo de insumo-produto (MILLER e BLAIR, 2009; ARDENT et al; 2009).

Substituindo a relação exposta na eq. 6 e na eq. 4, representa-se o sistema de equações do modelo econômico com coeficientes técnicos, como mostrado na equação 8.

(8)

Nessa perspectiva, a matriz de coeficientes técnicos pode ser representada pela equação 9:

Onde o vetor da produção total é expresso como uma matriz diagonal (nxn), cujos elementos da diagonal são a produção total de cada setor.

Cabe destacar que os coeficientes de cada uma das colunas da matriz A refletem os insumos diretos requeridos para a produção de um R$1 (um real) do produto final do setor representado pela respectiva coluna, isto é, requerimentos de primeira ordem. Não obstante, a matriz A não reflete os insumos requeridos para a produção dos insumos diretos; isto é, para a produção dos insumos diretos, os setores que os fornecem requerem também insumos, e os novos insumos demandam também insumos e assim paulatinamente, criando um conjunto de conexões entre os diferentes setores econômicos. Wilting (1996) denota que os requerimentos de primeira ordem dos setores econômicos são expressos em A, os de segunda ordem são

expressos em A2, os de terceira ordem em A3.

Wilting (1996) destaca ainda que uns dos objetivos da análise insumo-produto é a determinação da produção total devido a determinada demanda final. Dessa maneira, cada setor tem que satisfazer não só a própria demanda final, se não também, os requerimentos diretos e indiretos necessários para satisfazer as outras demandas finais. A matriz L expressa os requerimentos totais necessários para que cada setor produza R$1 de demanda final.

Onde os dos primeiros termos, (I+A) representam os requerimentos diretos e os sucessivos termos os requerimentos indiretos. Note-se que todos os termos no lado direito da

expressão L são positivos, ainda se algum coeficiente técnico aij for zero, isto porque por

definição A é uma matriz não-negativa, com aij≥0 ∀ i e j, e o número crescente de produtos de

A virtualmente garante a não existência de zeros no final da somatória. Miller e Blair (2009) e Waugh (1950) demonstram matematicamente que a matriz de Leontief é análoga ao

resultado de séries da álgebra ordinária onde 1/(1-a)=1+a+a2+a3+..., ∀ |a|<1.

De acordo com Waugh (1950), assume-se que cada setor tem um valor adicionado

positivo vj>0 ∀j (salários, lucros, impostos), onde

(10)

Sabendo-se que zij=aijxj, como resultados obtém-se a seguinte desigualdade:

Lembremos que a norma de A, N(A) está definida como a maior soma dos valores absolutos dos elementos de qualquer coluna da matrix,

(12)

Assim, mediante eq. 11, eq. 12 e pela propriedades da norma da não existência de um

elemento de A maior do que N(A), como resultado N(A)<1 e aij≤N(A). Considerando esse

resultado, e pela propriedade da norma onde [N(A)]k≥N(Ak), [N(A)]k sempre tenderá a zero

quando k tende ao infinito positivo, consequentemente, N(Ak) tende a zero. De acordo com

Waugh (1950), como N(Ak+1)≤N(Ak) quando N(A) ≤1, a norma de cada termo sucessivo na

série de potência é menor do que a norma do termo precedente. Como resultado, todo

element de Ak tende a zero quando k tende ao infinito positivo (MILLER e BLAIR, 2009;

WAUGH, 1950). Como resultado,

(13)

Assim,

( - ) (14)

Para demonstrar a veracidade matemática da expressao na eq. 14, multiplicamos ambos os lados pela matriz (I-A),

Pela eq. 13, sabe-se que Ak+1→0 quando k→∞, assim,

I=I

Pelos resultados anteriores e a condição de Hawkins-Simon, todos os elementos da matriz de Leontief L são não negativos. A condição de Hawkins-Simon diz que uma condição necessária e suficiente para um sistema de Leontief A ter uma inversa positiva é que todos os menores principais de (I-A) sejam positivos.

Numa perspectiva matricial, combinando os resultados das eqs. 5 e 9 se obtém o vetor de produção total de cada setor:

Como resultado,

- - ₍₁₆₎

Como mencionado anteriormente, na perspectiva da análise insumo-produto, a determinação da produção total necessária para determinada demanda final pode ser dividida em contribuições diretas e contribuições indiretas,

Como resultado, a solução geral do sistema de equações de equilíbrio para as incógnitas x em termos da demanda final f pode ser representada da seguinte maneira:

(17)

Leontief (1965) explica que a constante lij indica quanto a produção total xi do i-ésimo

setor aumentaria, se fj aumentasse em uma unidade. Isto demonstra a dependência de cada

produto bruto sobre os valores de cada uma das demandas finais.

Consequentemente, para nova demanda final dos setores da economia, isto é, devido a mudanças nos gastos do governo, no gosto do consumidor, etc., quanto seria necessário de produção total de cada setor para poder satisfazer à nova demanda final? Assumindo que a tecnologia não muda, tal questão poderia ser respondida mediante a equação 18:

₍₁₈₎

E como essa nova demanda final não só influencia diretamente a produção total de cada setor, como também provoca mudanças nos fluxos interindustriais da economia, a nova dinâmica interindustrial é representada por:

Cabe destacar que, na análise de insumo-produto, existem limitações que aumentam as incertezas dos resultados devido a suposições metodológicas impossíveis de evitar. Como mencionado anteriormente, os setores produtivos têm uma função de produção linear Leontief e as tecnologias são caracterizadas por coeficientes técnicos fixos (ARDENT et al; 2009; e VALADKANI, 2003); não há restrições de recursos onde se assume a oferta ser perfeitamente elástica; os recursos locais são perfeitamente usados, e existem problemas relacionados à atualização dos dados. Apesar dessas restrições metodológicas do modelo, ele tem diversas vantagens devido principalmente à simplicidade do método (ARDENT et al; 2009).