CONTROLE DE VELOCIDADE DE UM MOTOR DE CORRENTE CON-

Nesta seção é apresentada a aplicação da arquitetura adaptativa proposta em um

processo real de controle de velocidade de um motor de corrente contínua (CC). Uma visão

esquemática do sistema é ilustrada na Ągura 13.

Figura 13 Ű Esquema geral do sistema proposto para controle de velocidade de um motor de

corrente contínua.

Microcontrolador

u

y

D

V

M

T

C

R

Q

R

Fonte Ű O autor.

O sistema considerado para o presente estudo de caso consiste em um motor CC, 𝑀,

mecanicamente acoplado a um tacogerador, 𝑇

. O motor CC é acionado por um circuito

eletrônico, composto pelos resistores 𝑅

e 𝑅

, pelo transistor de junção bipolar 𝑄 e pelo diodo

𝐷. Uma fonte externa, 𝑉 , é empregada para alimentar o circuito de potência do sistema. O

sinal de realimentação que provém de 𝑇

é Ąltrado pelo capacitor 𝐶 e um divisor de tensão

(resistores 𝑅

e 𝑅

) é utilizado para ajustar a magnitude do sinal de saída para a faixa

suportada pelo microcontrolador. Os valores dos componentes usados para este estudo de caso

experimental são mostrados na tabela 4.

O problema de controle consiste em manter a velocidade do motor CC em diferentes

patamares de referência. A variável de saída, 𝑦, é manipulada por um sinal de tensão na

entrada do sistema, 𝑢, modulado por PWM. Devido à natureza desse processo, não seria uma

tarefa complexa a elaboração de um modelo analítico completo que compreenda todos os

fenômenos elétricos e mecânicos relativos ao sistema para inicialização de seus respectivos

valores no algoritmo proposto. Entretanto, para sistemas em que a compreensão dos fenômenos

que o regem é mais complexa ou a determinação de seus parâmetros reais para compor um

modelo analítico se torna uma tarefa difícil, este estudo de caso tem por objetivo mostrar

que a inicialização dos parâmetros do modelo empregado no controlador proposto pode ser

feita de forma simples e prática, sem a necessidade de uma modelagem completa. Isso é

Tabela 4 Ű Valores dos componentes do sistema proposto para controle de velocidade de um

motor de corrente contínua.

Componente EspeciĄcação

𝑅

220 Ω

𝑅

2, 2 × 10

Ω

𝑅

6, 8 × 10

Ω

𝑅

10 × 10

Ω

𝑄

TIP41C

𝐷

1N4007

𝐶

_{2200 × 10}

−6

F (16 V)

𝑀

12 W (@ 12 V)

𝑇

9 V

𝑉

12 V

válido porque, diferentemente do estudo de caso apresentado na seção 4.1, nesse experimento

os parâmetros variam de acordo com o ponto de operação. Logo, apenas a escolha de uma

estrutura do modelo de predição condizente com a resposta dinâmica do sistema e inicializá-la

de forma adequada já é suĄciente para, ao longo do tempo, a arquitetura adaptativa rastrear

as dinâmicas não modeladas.

Por motivos de segurança e desempenho operacional, não é recomendada a inicialização

dos coeĄcientes do modelo do sistema com valores nulos ao mesmo tempo que a malha de

controle é estabelecida. Logo, propõe-se a realização de um ensaio de resposta ao degrau

em malha aberta para obtenção de um modelo linear prévio sobre uma determinada região

de operação do processo. O ensaio foi realizado por meio da aplicação do sinal de controle,

𝑢, com amplitude de 10% sobre a região compreendida entre 30% a 40% da capacidade

máxima do atuador empregado. A ação de controle deslocou a saída do sistema, 𝑦, em uma

região compreendida entre 20% a 30% da velocidade total do motor CC. O resultado desse

procedimento aplicado ao sistema da Ągura 13 com os dados deslocados para o eixo zero é

mostrado na Ągura 14.

A partir do resultado apresentado, propõe-se aproximar o comportamento de velocidade

do motor CC na região escolhida por um modelo linear que descreve uma dinâmica de primeira

ordem sem atraso de transporte. A função de transferência identiĄcada no domínio da frequência

e discretizada com segurador de ordem zero na entrada é descrita por:

𝐺(𝑠) =

𝐾

á 𝑠 + 1

=

0, 9

0, 4𝑠 + 1

Ts=100 ms

⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊃ 𝐺(𝑧) =

0, 1991𝑧

−₁

1 ⊗ 0, 7788𝑧

−1

.

(69)

Busca-se em malha fechada uma resposta transitória similar com a de malha aberta, em

que 𝑇

= 100 ms foi deĄnido como vinte vezes menor que o tempo de acomodação (em torno

Capítulo 4. Estudos de Caso 73

Figura 14 Ű Ensaio de resposta ao degrau em malha aberta do sistema proposto para o estudo

de caso experimental.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0 2 4 6 8 10

y

(%)

real modelo 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Tempo (s)

0 5 10

u

(%)

Fonte Ű O autor.

obtido em (69) foi avaliada pela magnitude do coeĄciente de determinação 𝑅

_{. Geralmente,}

essa métrica apresenta valores entre 0 e 1, indicando quão bem o modelo obtido se aproxima

dos valores reais. O modelo se ajusta perfeitamente aos dados considerados quando 𝑅

_{= 1.}

O coeĄciente é calculado por meio da equação:

𝑅

_{= 1 ⊗}

n√︁max i=1

[𝑦

real

(𝑖) ⊗ 𝑦

modelo

(𝑖)]

2 n√︁max i=1

[𝑦

real

(𝑖) ⊗ ¯𝑦

real

]

,

(70)

sendo obtido 𝑅

_{= 0, 9876, indicando que o modelo linearizado com dinâmica de primeira}

ordem se ajusta bem ao representar o sistema real para o sinal de entrada considerado.

A sintonia do estimador é feita a partir da determinação do grau de cada polinômio a

ser estimado na estrutura de modelo escolhida, sendo 𝑛

= 1 e 𝑛

= 1, uma vez que o modelo

do sistema foi aproximado para primeira ordem. Dez termos de resíduos foram acrescentados

como parcela de média móvel, a Ąm de reduzir o efeito de polarização. A veriĄcação dos

parâmetros estimados do modelo resultante foi realizada da mesma forma que no estudo de

caso anterior presente na seção 4.1. Para este experimento, um adequado nível de aprendizado

do estimador foi alcançado com 𝜌 = 0, 2. Esse valor foi obtido a partir de testes experimentais

no sistema iniciando com 𝜌 = 0, 1. Assim como no experimento anterior, neste estudo de

caso é feita uma avaliação do desempenho da abordagem proposta frente à inserção de erros

de modelagem no modelo linear determinado a partir do ensaio de resposta ao degrau em

malha aberta. Com isto é possível mostrar que, apesar de o controlador proposto ter sido

iniciado com valores do modelo discrepantes do ponto de operação no qual foi linearizado e

dependendo da grandeza do erro cometido no modelo, a abordagem proposta consegue se

adaptar e estimar os parâmetros reais do sistema ao longo do tempo, considerando a estrutura

de modelo e cenário de controle escolhidos para o presente estudo de caso experimental. O

erro cometido no modelo foi selecionado arbitrariamente de forma extrema, levando em conta

possíveis ocorrências em situações práticas, sendo de 60% tanto para o ganho como para a

constante de tempo do modelo linearizado. A função de transferência discreta com erro de

modelagem é dada por:

𝐺

erro

(𝑠) =

0, 9 × 0, 4

0, 4 × 0, 4𝑠 + 1

Ts=100 ms

⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊃ 𝐺

erro

(𝑧) =

0, 1673𝑧

−1

1 ⊗ 0, 5353𝑧

−1

.

(71)

Logo, o vetor de parâmetros estimados e a matriz de covariância são inicializados, respectiva-

mente, como

_θ

̂︀_∗

_{(1) = [0, 5353 0, 1673 0}

_1×10

_]

_{e P (1) = 1 × 10}

−3

I. Diferentemente da seção

4.1, nesse estudo de caso foi utilizado um modelo do ruído com dez termos de resíduos passados.

Essa quantidade de termos pode ser escolhida por meio de alguns testes experimentais, em

que veriĄca-se as funções de autocorrelação do resíduo e correlação cruzada entre o sinal de

entrada e o resíduo para garantir que os parâmetros estimados não polarizem. Contudo, nesse

trabalho foi apenas escolhida uma quantidade relativamente alta para reduzir ao máximo os

efeitos de polarização, uma vez que a ordem do vetor estendido de parâmetros estimados não

altera signiĄcativamente o tempo de execução do algoritmo. Assim como na seção 4.1, foi

escolhido um baixo valor do traço inicial de P para evitar, principalmente, um transitório com

elevadas amplitudes dos parâmetros estimados nos instantes iniciais de operação do controlador

em malha fechada.

A sintonia das variáveis de controle foi determinada com a escolha de 𝑁 = 25 de forma

a garantir que toda a dinâmica requerida em malha fechada seja considerada na predição

feita pelo controlador. Por simplicidade, 𝑁

= 3 foi mantido. O Ąltro de predição do GPC

foi selecionado como 𝑇 (𝑧) = 1 ⊗ 0, 5𝑧

−1

. Levando em conta os horizontes escolhidos e como

o sistema é SISO, foi Ąxado Ó = 1 constante e estabelecido Ú = 10, a Ąm de manter um

compromisso entre a minimização de um baixo esforço do sinal de controle e rápida resposta

transitória para seguimento de referência. Ambas as ponderações permaneceram constantes

para todo o horizonte escolhido. Neste experimento, foi estabelecido que o sinal de controle

deve estar compreendido na região de operação mínima e máxima do atuador. Além disso, foi

determinado que os incrementos de controle devem ocorrer em torno de ∘12% da conversão

DA de 12 bits do microcontrolador. Vale ressaltar que essa taxa de variação foi imposta sobre o

Capítulo 4. Estudos de Caso 75

transistor apenas para avaliar na arquitetura proposta o funcionamento desse tipo de restrição

no cálculo da ação de controle pelo ADMM.

Considerando a sintonia escolhida, o cenário geral de controle proposto consiste em

aplicar uma série de mudanças de referência em degrau que levam a planta para distintos pontos

de operação. A arquitetura de controle adaptativo proposta foi comparada com os resultados

obtidos por um controlador GPC regular. Nos casos considerados, todos os controladores

utilizados para comparação foram sintonizados com os mesmos parâmetros descritos. Os

resultados obtidos para o controle em malha fechada são apresentados na Ągura 15.

Os resultados mostram que todos os controladores foram capazes de seguir a referência

para o cenário de controle estabelecido. A abordagem proposta iniciando com o modelo linear

descrito pela equação (69), FAGPC-ML, apresentou comportamento transitório adequado em

todos os pontos de operação considerados. Já o FAGPC iniciando com erro sobre o modelo

linearizado dado em (71), FAGPC-EML, nas amostras iniciais não apresentou um transitório

satisfatório em comparação com as respostas obtidas pelos controladores FAGPC-ML e GPC

regular com erro de modelagem Ąxo, FGPC-EML. Isso acontece principalmente porque os

valores iniciais assumidos para o modelo não eram uma boa representação da planta no ponto

de operação inicial, e o número de amostras usadas para estimar os coeĄcientes do modelo

da planta era muito pequeno, então houve uma grande mudança no modelo utilizado para

predição. Após o primeiro transitório, é possível observar que ambos os controladores propostos,

FAGPC-EML e FAGPC-ML, possuem uma resposta dinâmica melhor que o GPC tradicional.

Além disso, a abordagem proposta é capaz de manter quase a mesma forma da resposta durante

todas as mudanças de referência em degrau, enquanto que a resposta obtida pelo FGPC-EML

depende signiĄcativamente da região de operação, apresentando maiores sobressinais.

No segundo e terceiro gráĄcos da Ągura 15 são mostradas as ações de controle aplicadas

por cada controlador e os limites da taxa de variação (linha traço-ponto) que foram formulados

como restrições no problema de otimização. É observado que a restrição de incremento do

sinal de controle não foi violada pelo otimizador ADMM em todos os controladores. Além de

apresentar melhor comportamento dinâmico da saída do processo, as ações de controle de

ambos os controladores propostos, FAGPC-EML e FAGPC-ML, tiveram poucas diferenças entre

si, salvo os primeiros instantes. Em contrapartida, o FGPC-EML resultou em ações de controle

menos suaves e amortecidas. Para reforçar a análise da comparação entre os controladores, na

tabela 5 são mostrados os valores de IAE e TVCS calculados para os dados obtidos na Ągura

15. Os valores do índice IAE indicam que todos os controladores tiveram desempenhos em

malha fechada muito próximos, mas a implementação regular do GPC com erro no modelo

linearizado teve desempenho superior aos controladores propostos. Isso pode ser justiĄcado

não só por causa do inferior desempenho nos primeiros instantes da abordagem proposta,

mas também do tempo de subida menor alcançado pelo FGPC-EML considerando a mesma

sintonia. Logo, o valor absoluto do erro de seguimento de referência é reduzido quando

Estudos

Caso

com arquitetura adaptativa proposta iniciando com erro no modelo linearizado (FAGPC-EML) e com arquitetura adaptativa proposta

iniciando com o modelo linearizado (FAGPC-ML).

0 5 10 15 20 25 30 20 30 40 50 60 70 80 y (%) FGPC-EML FAGPC-EML FAGPC-ML 0 5 10 15 20 25 30 0 50 100 u (%) 0 5 10 15 20 25 30 Tempo (s) -20 0 20 " u (%) Fonte Ű O autor.

Capítulo 4. Estudos de Caso 77

comparado com os outros controladores, mesmo com os sobressinais observados na resposta

transitória. Entretanto, é notável que não houve sobressinais, ou foram mínimos, nos transientes

obtidos pelos controladores propostos, indicando que o modelo atualizado a cada período de

amostragem apresentou maior Ądelidade na predição do comportamento da saída da planta.

Os valores de TVCS sustentam esta análise, evidenciando que menores esforços de controle

foram mais penalizados na função custo pelos controladores FAGPC-EML e FAGPC-ML. Desta

forma, caso o tempo de acomodação seja um fator crítico no controle deste sistema, a solução

mais viável seria diminuir a ponderação do esforço de controle na função custo minimizada

pelo otimizador ADMM, aumentando então a velocidade de convergência da saída para a

referência.

Tabela 5 Ű Valores de IAE e TVCS para comparação de desempenho entre controladores da

Ągura 15.

Controlador

IAE

TVCS

FGPC-EML

1,45% 0,63%

FAGPC-EML 1,55% 0,57%

FAGPC-ML

1,49% 0,48%

Na Ągura 16 é mostrada a evolução do fator de esquecimento direcional e dos parâmetros

do modelo estimado para todos os pontos de operação considerados na Ągura 15. Nota-se

por inspeção visual que, após um curto período de transiente inicial, os parâmetros estimados

convergem para os correspondentes ao ponto de operação do processo. O fator de esquecimento,

Ð, apresentou valores iniciais baixos caracterizado por dar mais importância às primeiras

medições na estimação e atualização dos coeĄcientes da estrutura de modelo empregada. É

observado que o controlador FAGPC-EML iniciou com os valores de ganho e polo iguais aos

obtidos para o modelo linearizado com erro, enquanto o FAGPC-ML foi inicializado com o

vetor de parâmetros estimados correspondente ao modelo linearizado.

Um segundo experimento foi realizado para avaliar os controladores propostos quando

são submetidos a variações nos parâmetros do processo. Para isso, foi realizada uma alteração

na montagem da Ągura 13. Como os motores são diferentes em sua fabricação, o motor

utilizado como tacogerador, 𝑇

, foi invertido com o motor principal, 𝑀. Desta forma, 𝑇

passa

a funcionar como fonte motriz e 𝑀 fornece o sinal de realimentação para o microcontrolador.

Isso permite provocar modiĄcações tanto no comportamento estático como dinâmico do

sistema original.

Foram implementadas as mesmas versões de controladores, considerando a mesma

sintonia e cenário de controle selecionados anteriormente. Todos os parâmetros que compõem

a arquitetura adaptativa foram inicializados de igual modo que no primeiro experimento para

todos os controladores testados. O GPC regular com erro no modelo linearizado foi novamente

utilizado para Ąns de comparação. Os resultados são mostrados na Ągura 18.

Figura 16 Ű Evolução dos parâmetros do estimador para os controladores FAGPC-EML e

FAGPC-ML.

0 5 10 15 20 25 30 0 0.5 1 , FAGPC-EML FAGPC-ML 0 5 10 15 20 25 30 0.4 0.6 0.8 1 ^ Kss FAGPC-EML FAGPC-ML 0 5 10 15 20 25 30 Tempo (s) 0.4 0.6 0.8 1 jp1 j FAGPC-EML FAGPC-ML Fonte Ű O autor.

Novamente é observado que cada controlador empregado foi capaz de rastrear as

referências em degrau e garantir erro nulo em regime permanente. Mesmo o FAGPC-ML

iniciando com o modelo linearizado correspondente ao sistema original, não produziu oscilações

e apresentou comportamento dinâmico adequado durante todas as mudanças de referências

ocorridas. O erro cometido no modelo linearizado pelo FAGPC-EML ocasionou novamente um

transiente indesejado nas amostras inicias. Contudo, ao longo do tempo a resposta transitória

Ącou muito próxima do FAGPC-ML dada a capacidade de adaptação da abordagem proposta.

Os valores de IAE mostrados na tabela 6 indicam que um melhor desempenho foi novamente

alcançado pelo FGPC-EML. Porém, apesar dos erros de seguimento de referência atingirem

valores nulos mais rapidamente, é possível analisar que o mesmo apresentou resposta menos

amortecida e com oscilações. As ações de controle calculadas pelo ADMM são ilustradas no

segundo e terceiro gráĄcos da Ągura 18. Assim como no experimento anterior, as restrições

formuladas no problema de otimização foram respeitadas para todos os controladores. Já os

sinais de controle de ambas as abordagens propostas foram menos oscilatórias e mais suaves.

Apesar de menores tempos de subida da variável de saída nas abordagens adaptativas, devido

Capítulo 4. Estudos de Caso 79

ao grande erro de modelagem, o FGPC-EML impôs sobre o atuador ações de controle com

maior esforço, análise sustentada pelos valores de TVCS sumarizados na tabela 6.

A evolução dos novos parâmetros estimados para os controladores propostos é mostrada

na Ągura 17. É possível analisar que mesmo as abordagens propostas iniciando com valores do

modelo da planta discrepantes entre si, conforme ocorrem excitações ricas em informação por

meio de mudanças de referências, os valores estimados de ganho estático e valor absoluto do

polo de ambos os controladores propostos tendem a se tornar muito próximos. Isso mostra mais

uma vez a vantagem da utilização da arquitetura proposta, pois mesmo que os valores iniciais

assumidos para o modelo não expliquem muito bem o comportamento da saída do sistema no

FAGPC-EML, os parâmetros estimados convergiram para os mesmos valores do caso em que

uma melhor parametrização inicial do modelo foi feita, exempliĄcado no controlador FAGPC-

ML. Entretanto, a qualidade inicial de predição da saída usada pelo controlador FAGPC-EML

para deĄnir a ação de controle não é boa, o que se traduziu em oscilações adicionais no início

da resposta em malha fechada do cenário de controle mostrado na Ągura 18.

Tabela 6 Ű Valores de IAE e TVCS para comparação de desempenho entre controladores da

Ągura 18.

Controlador

IAE

TVCS

FGPC-EML

1,15% 0,49%

FAGPC-EML 1,31% 0,37%

FAGPC-ML

1,2%

0,31%

4.3 CONTROLE DA PRESSÃO DE DESCARGA DE UM COMPRESSOR HERMÉTICO

No documento UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CAMPUS TRINDADE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE AUTOMAÇÃO E SISTEMAS. (páginas 72-80)