Rigorosamente, o conceito de sistema colocado é atribuído para sistemas SISO em que o nó de atuação é o mesmo nó de leitura. Aqui, será emprestada essa nomenclatura para descrever sistemas MIMO que apresentem pelo menos uma leitura no mesmo nó de atuação. Estruturas com sistema de controle colocado apresentam interessantes propriedades que podem facilitar o projeto de controle, Preumont (2011). Portanto, a situação utilizando um AMB é escolhida como ponto de partida, e os sinais dos sensores se relacionam com a estrutura de planta aumentada para projeto de controle, Eq. (3.97), de acordo com a Tabela 15. Ou seja, o sinal de realimentação é constituído pelo deslocamento do nó do AMB e do mancal hidrodinâmico. O sinal de deslocamento no disco é utilizado apenas para avaliar o desempenho final do sistema.
Tabela 15. Relação de sinais de controle para a Bancada-A colocada.
sinal planta aumentada aplicação
desl. horizontal do disco z1 desempenho
desl. vertical do disco z2 desempenho
força horizontal de controle z3, u1 desempenho e controle
força vertical de controle z4, u2 desempenho e controle
desl. horizontal do AMB y1 realimentação
desl. vertical do AMB y2 realimentação
desl. horizontal do mancal y3 realimentação
desl. vertical do mancal y4 realimentação
Os filtros de ponderação ligados aos vetores de desempenho do modelo foram escolhidos de forma a reduzir o efeito de controle a partir dos 180 Hz e limitar o ganho de controle a 10 N,
𝑾𝒛𝟏,𝒛𝟐(𝑠) = 1 , (5.1) 𝑾𝒛𝟑,𝒛𝟒(𝑠) = 3 × 10−5( 𝑠 + 180 × 2 × 𝜋 √0,01 4 × 𝑠 + 180 × 2 × 𝜋) 4 , (5.2)
sendo o ajuste do ganho determinado iterativamente através de sucessivas simulações.
Utilizando estas configurações, foram calculados três controladores utilizando método de dois estágios, um controlador constante, um dependente linearmente da velocidade de rotação, e um dependente do quadrado da velocidade de rotação. Para as demais variáveis das LMIs do primeiro e segundo estágio, foi imposta dependência quadrática buscando reduzir o conservadorismo da resposta final.
Conforme explicado na seção 3.7, existe uma variável ξ no primeiro estágio que deve ser alterada para buscar diferentes possibilidades de solução para o controle de realimentação de saída. Neste caso, foram feitos testes, primeiramente nos valores da Tabela 16, e posteriormente refinando a busca ao redor do ponto de melhor desempenho. Resolvendo o problema de LMI em dois estágios, resultou nos controladores da Tabela 17.
Tabela 16. Valores candidatos para ξ.
Tabela 17. Controladores para a Bancada-A em situação colocada.
Controlador Nome ξ função
constante CL0 5,2×10-3 K(𝛼) = 106[−0,0074 −0,001 0,0338 1,3133 0 −0,0073 −1,2422 0,1863] linear CL1 3,2×10-3 K(𝛼) = 105[−0,0234 −0,0039 −0,3433 2,1167 −0,0054 −0,0213 −2,3377 0,0243] 𝛼1 +105[−0,0149 −0,0016 0,5739 1,5963 −0,0045 −0,0151 −1,7081 0,9412] 𝛼2 quadrático CL2 3,2×10-3 K(𝛼) = 105[−0,0229 −0,0035 −0,3241 2,0990 −0,0067 −0,0200 −2,3080 0,0946] 𝛼12 +105[−0,0354 0,012 0,2725 3,5134 −0,0086 −0,0367 −4,1107 0,4889] 𝛼1𝛼2 +105[−0,0151 0,0014 0,6112 1,5948 −0,0054 −0,0150 −1,6841 1,0012] 𝛼22
Os resultados de FRD esperados para os controladores, de acordo com a simulação numérica, são mostrados na Figura 58, e as respostas experimentais, mostradas na Figura 59. Qualitativamente, pode-se afirmar que os controladores foram bem-sucedidos em atenuar a vibração e estender a estabilidade do sistema em até 50% acima do limiar original, e que as formas das curvas simuladas são similares aos resultados experimentais. Conforme explicado anteriormente, quando detectada condição de oil whip, o teste é interrompido.
Figura 58. FRD simulada para o sistema controlado colocado. OL: open-loop, CL0: malha fechada com controlador constante, CL1: malha fechada com controlador linear e CL2: malha
fechada com controlador quadrático.
Figura 59. FRD experimental para o sistema controlado colocado. OL: open-loop, CL0: malha fechada com controlador constante, CL1: malha fechada com controlador linear e CL2:
malha fechada com controlador quadrático.
Os valores numéricos dos picos de amplitude atingidos por cada controlador são descritos na Tabela 18. Na Figura 60 são comparadas as órbitas experimentais do disco em condição de máxima amplitude para cada controlador. Comparativamente, os valores absolutos de amplitude simulados e experimentais apresentam discrepâncias entre si. Porém, deve-se lembrar o modelo matemático não leva em conta diversos efeitos presentes na situação experimental. Ao descontar os valores iniciais (offset) dos diagramas FRD no cálculo dos valores de atenuação,
exp.∗= 𝐶𝐿𝑝𝑖𝑐𝑜− 𝑂𝐿𝑝𝑖𝑐𝑜
𝑂𝐿𝑝𝑖𝑐𝑜− 7,5 × 10−5(× 100%) .
(5.3)
tem-se a coluna experimental* na Tabela 18. Nota-se que o resultado melhor se aproxima do esperado pela simulação. No entanto, deve-se observar que esta consideração é apenas uma aproximação para uma comparação qualitativa, visto que não são considerados os valores de fase nesta operação.
Tabela 18. Desempenho dos controladores colocados na atenuação do pico de vibração. Sendo a coluna exp.* calculada pela Eq. (5.3). (Bancada-A)
freq. do pico do diagrama FRD
amp. do pico do
diagrama FRD atenuação
sim. [Hz] exp. [Hz] sim. [m] exp. [m] sim. (%) exp. (%) exp.*(%)
OL 28,20 28,36 2,07×10-4 1,99×10-4 0.00 0.00 0
CL0 36,05 31,4 9,64×10-4 1,43×10-4 -53,35 -28,34 -44,58
CL1 34,70 32,44 5,19×10-4 1,22×10-4 -74,86 -38,79 -61,03
CL2 33,80 32,44 5,04×10-4 1,20×10-4 -75,60 -39,20 -62,37
Figura 60. Órbita do disco na condição de máxima amplitude. OL: open-loop, CL0: malha fechada com controlador constante, CL1: malha fechada com controlador linear e CL2: malha
fechada com controlador quadrático.
Com base nos resultados obtidos, constata-se que aumentar o grau de dependência do controlador em função da velocidade de rotação aumenta sua capacidade de atenuação da amplitude de vibração. Porém, a diferença entre o desempenho entre o controlador linear e o quadrático é desprezível e praticamente não justifica o custo computacional para solução dos problemas em LMI. Esse fato é reforçado ao analisar os valores obtidos para os ganhos de CL1 e CL2 na Tabela 17. Nota-se que as matrizes dependentes de 𝛼12 e 𝛼
2
2 são muito similares às
matrizes relacionadas a 𝛼1 e 𝛼2.
Também é importante destacar que nenhum indício de instabilidade foi detectado até os 90 Hz, e potencialmente o rotor poderia ter atingido rotações superiores às registradas neste
trabalho. Porém, devido à aproximação com o segundo modo de vibrar (em aproximadamente 105 Hz), a amplitude da resposta ameaça atingir regiões não lineares do AMB e perder a estabilidade em condições de alta energia cinética e longe da faixa estável não controlada.
Para demonstrar a ausência do efeito de oil whip e a capacidade do controle em estabilizar o sistema em condição de aceleração constante, foram feitos testes partindo de 10 Hz e acelerando até 90 Hz a 1,5 Hz/s. O resultado mostrado na Figura 61 indica, praticamente, a ausência da componente 0,5×, o que sugere a eliminação da instabilidade fluido-induzida na região avaliada.
Figura 61. Diagrama em cascata do disco ao acelerar o rotor de 10 Hz a 90 Hz a 1,5 Hz/s utilizando o controlador linear (X: tempo, Y: frequência, Z: amplitude).
Por fim, a Figura 62 mostra o valor da máxima força de controle aplicada para cada rotação. De fato, a força de todos os controladores foi limitada a valores inferiores a 10 N, conforme a restrição de projeto. O constante aumento da força de controle de acordo com a velocidade de rotação ocorre por duas razões, primeiro, a força de desbalanceamento aumenta com o quadrado da velocidade de rotação, e a força de controle acompanha linearmente este aumento. Além disso, tem-se a aproximação do segundo modo de vibrar próximo de 105 Hz.
Figura 62. FRD da força de controle. CL0: malha fechada com controlador constante, CL1: malha fechada com controlador linear e CL2: malha fechada com controlador quadrático.