Nas subseções 3.2 e 3.4 foram mostrados modelos de rotor e coeficientes de mancais; e na seção 3.3 foi mostrado como reduzir o modelo utilizando apenas as matrizes globais do eixo. Com base nestes conhecimentos, nesta subseção é descrita a montagem do sistema linear em espaço de estados; e a maneiras de se modelar a variação paramétrica por conta do efeito giroscópico e dos coeficientes equivalentes de mancais para projeto e aplicações de controle linear.
Adicionando as matrizes dos mancais às matrizes de elementos finitos do eixo, Eq. (3.59), e substituindo na equação de movimento, Eq. (3.42), tem-se
(MFEM)q̈ + (RFEM(Ω) − ΩGFEM)q̇ + KFEM(Ω)q = F . (3.63)
F é o vetor de forças externas, por exemplo, desbalanceamento e forças de controle. Para simplificar a notação, a partir deste ponto, o termo giroscópico será incluso no termo de amortecimento RFEM (formando RFEMG). Dessa forma, pode-se escrever a equação de
movimento na forma de espaço de estados
{q̇ q̈} = [ 0 I −M−1KFEM(Ω) −M−1RFEMG(Ω)] { q q̇} + {M0−1F} . (3.64)
Na notação padrão de espaço de estados,
{ẋ = A(Ω)x + Bw
y = Cx . (3.65)
Em que x representa o estado do sistema, w os sinais de entrada, e y equivale ao sinal de saída, por exemplo os sinais lidos por sensores.
Se os coeficientes equivalentes de mancais forem aproximados por polinômios da rotação Ω, então tem-se
ẋ = (A0+ A1Ω + A2Ω2+ ⋯ + A
nΩ𝑛)x + Bw
Para facilitar a formulação e entendimento, serão apresentadas formulações em grau 𝑛 = 2 para o polinômio. Ainda assim, as considerações feitas neste capítulo são válidas para quaisquer graus sem perda de generalidade.
Conforme citado anteriormente, a forma de espaço de estados é muito conveniente para aplicações em controle, visto que, para um sistema linear e invariante (Ω fixo), basta calcular os autovalores da matriz A para se determinar as frequências naturais e condição de estabilidade do sistema. Isto é, havendo um polo de parte real positiva o sistema é instável. Outra maneira de estudar a estabilidade do sistema é através da teoria de Lyapunov, que garante que, se um sistema autônomo Q(𝑥), que mapeia um determinado domínio ℚ ⊂ ℝn em ℝ𝑛, possuí um
ponto de equilíbrio em 𝑥 = 0, ∈ ℚ (sem perda de generalidade), e existe uma função continuamente diferenciável 𝑓(𝑥): ℚ ⟶ ℝ, tal que
{ 𝑓(0) > 0 𝑓(x) > 0, ∀ 𝑥 ≠ 0 𝑑𝑓(x) 𝑑𝑡 < 0 , (3.67)
então o ponto de equilíbrio 𝑥 = 0 é um ponto assintoticamente estável de Q(𝑥), Khalil (1996). Encontrar a função de Lyapunv 𝑓(𝑥) pode ser uma tarefa desafiadora para sistemas genéricos. Porém, para o caso específico de um sistema linear e invariante, aplica-se o teorema da estabilidade quadrática de Lyapunov, Oliveira e Peres (2007). A teoria pode ser fundamentada na noção de que um sistema com derivada de energia negativa tende a ser estacionário. Neste caso, 𝑓(𝑥) apresenta uma estrutura fixa e garante que o sistema descrito pela Eq. (3.65) é estável se, e somente se, existir uma matriz P, tal que
{
𝑓(x) = x∗Px > 0 𝑑𝑓(x)
𝑑𝑡 = ẋ
∗Px + x∗Pẋ < 0 , ∀x ≠ 0, (3.68)
em que * representa o transposto conjugado. A primeira desigualdade é garantida se P for uma matriz definida positiva, ou seja, todos autovalores de P são positivos (o oposto vale para o caso negativo definido). A segunda linha pode ser substituída pela Eq. (3.65), com Ω fixo. Portanto,
o teorema da estabilidade quadrática de Lyapunov garante que o sistema é estável, se, e somente se,
{ P > 0
A∗P + PA < 0 . (3.69)
Tanto o método de autovalores quanto a teoria quadrática de Lyapunov são extremamente eficazes em determinar a estabilidade de sistemas invariantes. Porém, estudar a estabilidade de A(Ω) para uma faixa de valores [Ω𝑚𝑖𝑛, Ω𝑚𝑎𝑥] é uma tarefa mais desafiadora. Intuitivamente, a primeira solução seria discretizar os valores de Ω e verificar a estabilidade para cada passo. No entanto, esta solução não garante estabilidade nas regiões entre os pontos escolhidos, embora possa ser viável para sistemas que não apresentem descontinuidades ou variações acentuadas entre os pontos de discretização.
Ainda assim, a teoria quadrática de Lyapunov pode ser aplicada para garantir estabilidade para uma dada faixa de variação de um sistema polinomial supondo algumas relaxações. Neste caso, primeiramente, deve-se fazer a normalização dos parâmetros variantes do sistema, por exemplo Ω, em função de 𝛼1∈ [0,1], tal que
𝛼1 = Ω − Ω𝑚𝑖𝑛
Ω𝑚𝑎𝑥 − Ω𝑚𝑖𝑛 . (3.70)
Dessa forma, converte-se o sistema polinomial para a
A(Ω) = ∑ AnΩ𝑛 2 𝑛=0 = A(α) = ∑ An[𝛼1(Ω𝑚𝑎𝑥− Ω𝑚𝑖𝑛) + Ω𝑚𝑖𝑛]𝑛 2 𝑛=0 = ∑ Asn𝛼1𝑛 2 𝑛=0 . (3.71)
Com a garantia de que o valor de α1 pertence a um simplex unitário e é sempre positivo, a
positividade do polinômio que compõe A(𝛼) é garantida se todos os termos do polinômio atendem as condições quadráticas de Lyapunov independentemente. Destaca-se, no entanto, que esta é uma condição apenas suficiente. Isto é, o sistema é estável para todo α1, se existir P,
{ P > 0
A∗nP + PAn < 0 . (3.72)
Mas nem todo sistema estável, atende a condição da Eq. (3.72). Consequentemente, tem-se uma análise conservadora do problema. É interessante observar que para P constante tem-se garantia de estabilidade para qualquer taxa de variação de α. No entanto, essa propriedade não é utilizada neste trabalho, pois busca-se menores níveis de conservadorismo tanto no projeto do controle quanto na análise do sistema. Em contra partida é necessário considerar variações quase- estáticas no parâmetro variante (velocidade de rotação).
Uma maneira de reduzir o conservadorismo do problema é aplicar do teorema de Polya, Loera e Santos (1996). Resumidamente, o teorema de Polya, garante que, ao elevar o grau de um polinômio estritamente positivo (ou estritamente negativo), ao multiplicar a equação por potências de
(𝛼1+ ⋯ + 𝛼𝑛)𝑚= 1𝑚
eventualmente será obtido um polinômio formado por termos exclusivamente positivos (ou negativos). Portanto, ao elevar artificialmente o grau de A(α) reduz-se o grau de conservadorismo da Eq. (3.72). Este processo é feito através da formulação do parâmetro variante α em um simplex unitário, tal que,
𝛼 ∈ 𝛬2 ⟺ ∑ 𝛼𝑛
2
𝑛=1
= 1, 𝛼𝑛 ∈ [0,1] . (3.73)
Seguindo este raciocínio, pode-se aplicar a relação da Eq. (3.73) em (3.71) para igualar a ordem de potência de todos os termos,
A(𝛼) = As0𝛼10(𝛼1+ 𝛼2)2+ As1𝛼11(𝛼1+ 𝛼2) + As2𝛼12
= A20𝛼12+ A11𝛼11𝛼21+ A02𝛼22 . (3.74) Este processo é chamado de homogeneização e garante considerável minimização de conservadorismo. Se necessário, basta seguir multiplicando os termos por potencias de
(𝛼1+ 𝛼2) = 1 para aumentar o grau do problema, reduzindo o conservadorismo em troca de
eficiência computacional.
Por fim, outra importante ferramenta para reduzir o conservadorismo da forma quadrática de Lyapunov é através da aplicação da matriz de Lyapunov P também na forma polinomial. Isto é, propõe-se P(𝛼) na mesma forma de A(𝛼), e busca-se a solução para cada termo resultante das operações polinomiais, tais que
{ P(𝛼) > 0
A(𝛼)∗P(𝛼) + P(𝛼)A(𝛼) < 0 , (3.75)
podendo ser aplicado o teorema de Polya tanto para A(𝛼) quanto para P(𝛼) se necessário. A grande vantagem da aplicação da matriz de Lyapunov na forma polinomial, além da redução de conservadorismo na análise de estabilidade, é a possibilidade da formulação de controladores polinomialmente variantes.