UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Faculdade de Engenharia Mecânica
Matheus Freire Wu
Controle Ativo de Vibrações de Rotores
CAMPINAS 2020
Matheus Freire Wu
Controle Ativo de Vibrações de Rotores
Orientadora: Profª. Drª. Katia Lucchesi Cavalca Dedini
CAMPINAS 2020
Tese de Doutorado apresentada à Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para obtenção do título de Doutor em Engenharia Mecânica, na Área de Mecânica dos Sólidos e Projeto Mecânico
ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA TESE DEFENDIDA PELO ALUNO MATHEUS FREIRE WU, E ORIENTADA PELA Prof.ª. DR.ª KATIA LUCCHESI CAVALCA DEDINI.
___________________________________________ ASSINATURA DA ORIENTADORA
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
TESE DE DOUTORADO ACADÊMICO
Controle Ativo de Vibrações de Rotores
Autor: Matheus Freire WuOrientador: Katia Lucchesi Cavalca Dedini
A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Tese:
Prof. Dr. Katia Lucchesi Cavalca Dedini, Presidente Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP/FEM Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa
Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP/FEM Prof. Dr. André Ricardo Fioravanti
Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP/FEM Prof. Dr. Marcelo Becker
Universidade de São Paulo – USP/ EESC Prof. Dr. Aldemir Aparecido Cavallini Junior
Universidade Federal de Uberlândia – UFU/FEMEC
A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.
Dedico este trabalho a minha família que sempre me apoiou incondicionalmente e sempre se fizeram presentes para me auxiliar e aconselhar. E a todos os que foram meus professores pela nobre e fundamental função que desempenham para a construção de uma sociedade melhor.
A realização deste trabalho, com toda certeza, se deve a presença de pessoas muito importantes para mim, para as quais deixo registrados meus mais sinceros agradecimentos:
Aos meus pais, Célia e Chien, e a minha irmã, Thais, por sempre estarem ao meu lado e por todo amor que me deram.
À minha orientadora Prof.ª Dr.ª Katia, por tudo que me ensinou, pela longa amizade desde o começo de minha graduação e por ser um modelo de dedicação e profissionalismo para mim.
Aos todos os meus colegas do LAMAR, pela grande amizade, trocas de experiência e bolos.
Aos meus grandes amigos Ariane, Gabriel, Ivan, Lais, Luciano, Raphael, Victor e Vitor Hugo com os quais eu tenho a certeza de sempre poder contar.
Ao Prof. Dr.-Ing Richard Markert que não somente tornou possível meu sonho de estudar na Alemanha, mas também sempre foi muito prestativo e companheiro durante minha estadia.
Ao Dr. Bastian Pfau, por toda a ajuda com os experimentos, pela grande amizade e hospitalidade. E ao Rafael pela ajuda, amizade e encontros semanais para tomar uma boa cerveja.
Aos meus colegas do Instituto de Dinâmica Aplicada de Darmstadt que tanto me ajudaram durante meu intercâmbio na Alemanha.
E à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) pelo apoio financeiro através dos processos nº 2016/13059-1 (Doutorado Direto), nº 2017/15494-0 (Programa BEPE) e nº 2015/20363-6 (Projeto de Pesquisa – Temático vinculado).
“There is always a way.” Aqua, Kingdom Hearts BBS
O objetivo desta tese é estudar as possibilidades de aplicação de métodos ativos de controle em feedback e feedforward através de atuadores magnéticos para estabilização e atenuação da vibração lateral de rotores suportados por mancais hidrodinâmicos cilíndricos.
Sabe-se que rotores suportados por mancais hidrodinâmicos cilíndricos comumente tem sua velocidade de operação limitada à aproximadamente duas vezes sua primeira velocidade crítica devido ao fenômeno de auto excitação conhecido como oil whip (ou instabilidade fluido induzida). Tal comportamento pode ser aproximado linearmente por uma queda nos coeficientes equivalentes de amortecimento direto e aumento da rigidez cruzada no mancal de acordo com a velocidade de rotação do eixo. Além da variação em função da velocidade de rotação, considera-se também a possibilidade de incertezas provocadas por desgaste de abrasão no mancal. Dessa forma, são projetados controladores MIMO por realimentação de saída que apresentem robustez a tais variações paramétricas. Especificamente, são demonstradas aplicações de controladores H∞ estáticos linearmente dependentes da velocidade de rotação.
Controladores estáticos são relativamente fáceis de projetar e implementar, porém possuem baixa capacidade de amortecimento, e, consequentemente, atingem faixas de atenuação de amplitude limitadas. Assim, é proposto aplicar forças de compensação em malha aberta para aprimorar o desempenho geral do sistema de controle. O método é baseado em modelo e explora a característica periódica do funcionamento do rotor, cuja resposta é comumente composta apenas por componentes harmônicas da frequência de operação mesmo quando em condições de falha e desgaste. A força de compensação em feedforward é calculada buscando a minimização das componentes modais da resposta através do método dos mínimos quadrados.
Os métodos propostos são testados e validados em duas bancadas de testes distintas. Sendo a primeira composta por um mancal hidrodinâmicos e um mancal magnético, entre outros componentes auxiliares, o que permitiu testar os controladores em situação relativamente mais simples. E a segunda bancada, composta por dois mancais hidrodinâmicos e um atuador magnético, a qual apresenta uma configuração mais desafiadora para o controle.
Palavras Chave: Máquinas rotativas, controle H∞ variante, controle feedforward, mancal
This thesis’ objective is to study the possible applications of feedback and feedforward active control methods through magnetic actuator to stabilize and attenuate the lateral vibration of rotors supported by cylindrical hydrodynamic bearings.
Rotors supported by cylindrical hydrodynamic bearings commonly have their operational speed threshold limited at approximately twice their first critical speed due to the auto excitation phenomenon known as oil whip (or fluid induced instability). Such behavior can be linearly described by a loss in the equivalent direct damping coefficients and the rise of bearing cross-coupled stiffness coefficients depending on the shaft rotational velocity. Besides the speed variation, the possibility of uncertainties due to bearing abrasion wear is also considered. Therefore, output feedback MIMO controllers are designed to be robust to such parametrical variations are designed. Specifically, it is demonstrated the application of static H∞ controllers
linearly dependent on the rotational speed.
Static controllers are relatively easy to design and implement, but they have low damping capability, and, thus, achieving limited attenuation range. Therefore, a feedforward force compensation control is proposed in order to improve the general control system performance. The method is based on model and explores the periodicity, which response is mostly composed of operational frequency harmonics even under fault and wear condition. The feedforward force is calculated to minimize the response modal components by least squared minimization.
The proposed methods are tested and validated in two distinct test rigs. The first one is composed by a single journal bearing and an active magnetic bearing, beside other auxiliary components, which allowed to test the controllers in a simpler condition. The second test rig is composed by two journal bearings and a magnetic actuator, which is a more challenging configuration to control.
Key Word: Rotating machinery, varying H∞ control, feedforward control, journal bearing,
Figura 1. Planta (P) com controle (K) e incertezas (Δ). ... 28
Figura 2. Representação de um rotor de Laval/Jeffcot. Com eixo de rigidez ke, disco de massa md e desbalanceamento com excentricidade ε. ... 37
Figura 3. Representação das componentes em coordenadas direcionais... 42
Figura 4. Representação de um elemento de eixo e suas coordenadas ... 43
Figura 5. Representação da composição da matriz de elementos finitos global. ... 46
Figura 6. Representação de um diagrama de Campbell para um rotor assimétrico suportado por mancais hidrodinâmicos. ... 47
Figura 7. Representação da situação de lubrificação em um mancal hidrodinâmico. (A) condição de camada limite, (B) condição mista e (C) lubrificação hidrodinâmica. ... 50
Figura 8. Representação da vista frontal do mancal hidrodinâmico cilíndrico em operação. .. 51
Figura 9. Representação da variação do locus em relação a folga do mancal hidrodinâmico. 52 Figura 10. Representação das forças sobre o mancal em baixa velocidade (A) e alta velocidade (B). Sendo, W a carga aplica ao mancal, e fr e ft a força radial e tangencial exercidas pelo filme de óleo, respectivamente... 55
Figura 11. Representação da geometria do modelo de falha por desgaste. ... 56
Figura 12. Diagrama de blocos da planta G interligada com o bloco de incertezas Δ. ... 65
Figura 13. Representação da norma H∞ de um sistema com incerteza Δ em um diagrama de Nyquist. ... 67
Figura 14. Diagrama de blocos da planta aumentada. ... 68
Figura 15. Representação da composição em frequência (freq.) e amplitude (amp.) da resposta de um rotor operando com velocidade de rotação Ω. ... 80
Figura 16. Esquema de montagem dos equipamentos para testes experimentais. ... 83
Figura 17. Esquema de controle da bancada experimental. Os sinais em azul são exclusivos do sistema que utilizada AMB. ... 84
Figura 18. Bancada de testes com AMB e mancal hidrodinâmico. TU Darmstadt, Alemanha. (Bancada-A)... 85
Figura 19. Foto da Bancada-A: (a) Mancal hidrodinâmico (b) AMB. ... 85
Figura 20. FRF obtida a partir do procedimento de stepped sine para o rotor a 20 Hz (em azul) e 50 Hz (em vermelho). (Bancada-A) ... 88
Hz (em azul) e 50 Hz (em vermelho). (Bancada-A) ... 89 Figura 22: Órbita do AMB a 28 Hz. ... 90 Figura 23. FRD da Bancada-A. Em azul a resposta no nó do disco, em vermelho a resposta no nó do AMB e em amarelo a resposta no nó do mancal hidrodinâmico. ... 90 Figura 24. Diagrama em cascata da Bancada-A. ... 91 Figura 25. Resposta temporal do AMB ao teste de run-up. Em azul o deslocamento do rotor na direção z, e em vermelho a velocidade do motor. (Bancada-A)... 92 Figura 26. Diagrama em cascata do disco ao teste de runup atingindo o oil-whip. (Bancada-A). ... 92 Figura 27. Desenho da Bancada-A e divisão em elementos finitos. ... 93 Figura 28. Coeficientes de rigidez calculados para mancal hidrodinâmico (azul) e aproximação de segundo grau (vermelho). (Bancada-A)... 94 Figura 29. Coeficientes de amortecimento calculados para mancal hidrodinâmico (azul) e aproximação de segundo grau (vermelho). (Bancada-A), ... 94 Figura 30. FRD comparando a resposta no disco do sistema nominal, com o AMB aplicando força zero (bias) e o modelo simulado... 95 Figura 31. FRD comparando a resposta no AMB do sistema nominal, com o AMB força zero (bias) e o modelo simulado. ... 95 Figura 32. FRD comparando a resposta no mancal hidrodinâmico do sistema nominal, com o AMB aplicando força zero (bias) e o modelo simulado. ... 96 Figura 33. Bancada de testes com atuador magnéticos e mancais hidrodinâmicos. Unicamp, Brasil. (Bancada-B). ... 97 Figura 34. Mancal hidrodinâmico 1 da Bancada-B. ... 99 Figura 35. Atuador magnético da Bancada-B. ... 99 Figura 36. FRF obtida a partir do procedimento de stepped sine para o rotor a 20 Hz (em azul) e 50 Hz (em vermelho). (Bancada-B). ... 101 Figura 37. FRD da Bancada-A. Em azul a resposta no nó do disco, em vermelho a resposta no nó do AMB e em amarelo a resposta no nó do mancal hidrodinâmico. ... 101 Figura 38. Resposta temporal do disco ao teste de runup atingindo o oil-whip. Em azul o deslocamento do rotor na direção z, e em vermelho a velocidade do motor. (Bancada-B). .. 102 Figura 39. Diagrama em cascata do disco ao teste de runup atingindo o oil-whip. (Bancada-B). ... 102 Figura 40. Desenho da Bancada-B e divisão em elementos finitos... 103
aproximação de segundo grau (vermelho). (Bancada-B). ... 103
Figura 42. Coeficientes de amortecimento calculados para mancal hidrodinâmico 1 (azul) e aproximação de segundo grau (vermelho). (Bancada-B). ... 104
Figura 43. Coeficientes de rigidez calculados para mancal hidrodinâmico 2 (azul) e aproximação de segundo grau (vermelho). (Bancada-B). ... 104
Figura 44. Coeficientes de amortecimento calculados para mancal hidrodinâmico 2 (azul) e aproximação de segundo grau (vermelho). (Bancada-B). ... 105
Figura 45. FRD comparando a resposta experimental e simulada no disco. ... 105
Figura 46. FRD comparando a resposta experimental e simulada no mancal 1. ... 106
Figura 47. FRD comparando a resposta experimental e simulada no mancal 2. ... 106
Figura 48. Desvio de circularidade esperado para o mancal. ... 107
Figura 49. Aferição de circularidade dos mancais, MahrForm MMQ 100. ... 107
Figura 50. Desvio de circularidade do mancal 2 sem falha. Escala de 20 μm. ... 108
Figura 51. Desvio de circularidade do mancal 2 com falha. Escala de 20 μm. ... 108
Figura 52. Coeficientes de rigidez calculados para mancal hidrodinâmico 2 para diferentes condições de falha. Valor médio em preto contínuo, e polinômios limitantes superiores e inferiores em preto tracejado. (Bancada-B). ... 109
Figura 53. Coeficientes de amortecimento calculados para mancal hidrodinâmico 2 para diferentes condições de falha. Valor médio em preto contínuo, e polinômios limitantes superiores e inferiores em preto tracejado. (Bancada-B). ... 109
Figura 54. FRD comparando a resposta experimental sem falha, com falha, e simulada com falha no disco. ... 110
Figura 55. FRD comparando a resposta experimental sem falha, com falha, e simulada com falha no mancal 1. ... 110
Figura 56. FRD comparando a resposta experimental sem falha, com falha, e simulada com falha no mancal 2. ... 111
Figura 57. Decomposição espectral em coordenadas direcionais da resposta experimental do mancal 2 na velocidade crítica... 111
Figura 58. FRD simulada para o sistema controlado colocado. OL: open-loop, CL0: malha fechada com controlador constante, CL1: malha fechada com controlador linear e CL2: malha fechada com controlador quadrático... 114
fechada com controlador constante, CL1: malha fechada com controlador linear e CL2: malha fechada com controlador quadrático... 115 Figura 60. Órbita do disco na condição de máxima amplitude. OL: open-loop, CL0: malha fechada com controlador constante, CL1: malha fechada com controlador linear e CL2: malha fechada com controlador quadrático... 116 Figura 61. Diagrama em cascata do disco ao acelerar o rotor de 10 Hz a 90 Hz a 1,5 Hz/s utilizando o controlador linear (X: tempo, Y: frequência, Z: amplitude)... 117 Figura 62. FRD da força de controle. CL0: malha fechada com controlador constante, CL1: malha fechada com controlador linear e CL2: malha fechada com controlador quadrático. . 118 Figura 63. FRD simulada para o sistema controlado não-colocado. OL: open-loop, CL0nc: malha fechada com controlador constante, CL1nc: malha fechada com controlador linear e CL2nc: malha fechada com controlador quadrático. ... 120 Figura 64. FRD experimental para o sistema controlado não-colocado. OL: open-loop, CL0nc: malha fechada com controlador constante, CL1nc: malha fechada com controlador linear e CL2nc: malha fechada com controlador quadrático. ... 120 Figura 65. Órbita do disco na condição de máxima amplitude. OL: open-loop, CL0nc: malha fechada com controlador constante, CL1nc: malha fechada com controlador linear e CL2nc: malha fechada com controlador quadrático. ... 121 Figura 66. FRD da força de controle. CL0nc: malha fechada com controlador constante, CL1nc: malha fechada com controlador linear e CL2nc: malha fechada com controlador quadrático. ... 121 Figura 67. Comparação entre a resposta nominal (azul) e aplicando a compensação de forças (vermelho) no nó do disco em 28 Hz. ... 123 Figura 68. Comparação entre a resposta nominal (azul) e aplicando a compensação de forças (vermelho) no nó do AMB em 28 Hz. ... 123 Figura 69. Comparação entre a resposta nominal (azul) e aplicando a compensação de forças (vermelho) no nó do mancal em 28 Hz. ... 123 Figura 70. Comparação entre a resposta nominal (azul) e aplicando a compensação de forças (vermelho) no nó do disco em 14 Hz. ... 124 Figura 71. Comparação entre a resposta nominal (azul) e aplicando a compensação de forças (vermelho) no nó do AMB em 14 Hz. ... 125 Figura 72. Comparação entre a resposta nominal (azul) e aplicando a compensação de forças (vermelho) no nó do mancal em 14 Hz. ... 125
(vermelho) e objetivo (preto) no nó do disco em 20 Hz. ... 126 Figura 74. Comparação entre a resposta nominal (azul), aplicando a compensação de forças (vermelho) e objetivo (preto) no nó do AMB em 20 Hz. ... 127 Figura 75. Comparação entre a resposta nominal (azul), aplicando a compensação de forças (vermelho) e objetivo (preto) no nó do mancal em 20 Hz... 127 Figura 76. Limitante superior para SSV em para diferentes rotações considerando as possíveis variações de falha no mancal 2. OL: open-loop; CL1: malha fechada com controlador linear; CL1rob: malha fechada com controlador linear robusto. ... 131 Figura 77. FRD simulada para a Bancada-B. OL: open-loop; CL1: malha fechada com controlador linear; CL1rob: malha fechada com controlador linear robusto. ... 131 Figura 78. FRD simulada para a Bancada-B com desgaste de 45 μm no mancal 2. OL falha:
open-loop com falha; CL1 falha: malha fechada com controlador linear com falha; CL1rob
falha: malha fechada com controlador linear robusto com falha... 132 Figura 79. FRD experimental para a Bancada-B. OL: open-loop; CL1: malha fechada com controlador linear; CL1rob: malha fechada com controlador linear robusto. ... 133 Figura 80. Diagrama em cascata do teste experimental CL1. ... 134 Figura 81. FRD experimental para a Bancada-B com desgaste de 45 μm no mancal 2. OL falha:
open-loop com falha; CL1 falha: malha fechada com controlador linear com falha; CL1rob
falha: malha fechada com controlador linear robusto com falha... 135 Figura 82. Comparação da FRD entre as amplitudes das órbitas simuladas e experimentais nos mancais 1 e 2 para o sistema em condição normal. ... 135 Figura 83. FRD dos mancais 1 e 2 com o sistema nominal em malha fechada (CL1 e CL1rob). ... 136 Figura 84. Comparação da FRD entre as forças de controle simuladas e experimentais. CL1 sim.: malha fechada com controlador linear simulada; CL1rob sim.: malha fechada com controlador linear robusto simulada; CL1 exp.: malha fechada com controlador linear experimental; CL1rob exp.: malha fechada com controlador linear robusto experimental. .. 136 Figura 85. Comparação da FRD entre as forças de controle simuladas e experimentais para o mancal 2 com falha de 45 μm. CL1 sim.: malha fechada com controlador linear simulada; CL1rob sim.: malha fechada com controlador linear robusto simulada; CL1 exp.: malha fechada com controlador linear experimental; CL1rob exp.: malha fechada com controlador linear robusto experimental. ... 137
forças (vermelho) no nó do disco em 21 Hz. (Bancada-B). ... 139 Figura 87. Comparação entre a resposta CL1rob (azul) e CL1rob aplicando a compensação de forças (vermelho) no nó do mancal 1 em 21 Hz. (Bancada-B). ... 139 Figura 88. Comparação entre a resposta CL1rob (azul) e CL1rob aplicando a compensação de forças (vermelho) no nó do mancal 2 em 21 Hz. (Bancada-B). ... 140 Figura 89. Comparação entre a resposta CL1rob (azul) e CL1rob aplicando a compensação de forças (vermelho) no nó do disco em 42 Hz. (Bancada-B). ... 141 Figura 90. Comparação entre a resposta CL1rob (azul) e CL1rob aplicando a compensação de forças (vermelho) no nó do mancal 1 em 42 Hz. (Bancada-B). ... 141 Figura 91. Comparação entre a resposta CL1rob (azul) e CL1rob aplicando a compensação de forças (vermelho) no nó do mancal 2 em 42 Hz. (Bancada-B). ... 142 Figura 92. Comparação entre a resposta CL1rob (azul) e CL1rob aplicando a compensação de forças (vermelho) no nó do disco em 55 Hz. (Bancada-B). ... 143 Figura 93. Comparação entre a resposta CL1rob (azul) e CL1rob aplicando a compensação de forças (vermelho) no nó do mancal 1 em 55 Hz. (Bancada-B). ... 143 Figura 94. Comparação entre a resposta CL1rob (azul) e CL1rob aplicando a compensação de forças (vermelho) no nó do mancal 2 em 55 Hz. (Bancada-B). ... 144 Figura 95. Comparação entre a resposta CL1rob (azul) e CL1rob aplicando a compensação de forças (vermelho) no nó do disco em 80 Hz. (Bancada-B). ... 145 Figura 96. Comparação entre a resposta CL1rob (azul) e CL1rob aplicando a compensação de forças (vermelho) no nó do mancal 1 em 80 Hz. (Bancada-B). ... 145 Figura 97. Comparação entre a resposta CL1rob (azul) e CL1rob aplicando a compensação de forças (vermelho) no nó do mancal 2 em 80 Hz. (Bancada-B). ... 146 Figura 98. Malha fechada AMB. ... 163 Figura 99. Malha fechada atuador magnético. ... 164 Figura 100. Campo magnético produzido em um solenoide. l, comprimento da linha de integração; i, corrente elétrica percorrendo o solenoide; B densidade de campo magnético resultante. ... 165 Figura 101. Circuito magnético ... 165 Figura 102. Esquema de montagem diferencial do atuador magnético. N, número de espiras;
i1,2, correntes percorrendo as bobinas; lg espessura nominal do entreferro; x, deslocamento
lateral do eixo; µg, permeabilidade magnética do ar; B1,2, densidade de fluxo magnético nos
a tensão de controle (proporcional a diferença de campo entre as bobinas) e a força resultante. ... 168 Figura 104. Superfície obtida através do processo de calibração de um AMB na direção y mostrando a relação entre a posição do eixo, a diferença de corrente aplicada as bobinas e a força resultante. ... 170
Tabela 1. Propriedades do mancal hidrodinâmico (Bancada-A) ... 86
Tabela 2. Propriedades dos componentes mecânicos da Bancada-A ... 86
Tabela 3. Sensores de deslocamento do disco da Bancada-A. ... 86
Tabela 4. Sensores de deslocamento do mancal hidrodinâmico e do AMB da Bancada-A. .... 87
Tabela 5. Características do motor e encoder da Bancada-A. ... 87
Tabela 6. Drive de aquisição da Bancada-A... 87
Tabela 7. Frequências do teste de stepped sine. (Bancada-A). ... 88
Tabela 8. Relação de frequências para o teste de FRD. Bancada-A. ... 89
Tabela 9. Amplitude da FRD na primeira velocidade crítica. Bancada-A. ... 96
Tabela 10. Propriedades do mancal hidrodinâmico (Bancada-B) ... 98
Tabela 11. Propriedades dos componentes mecânicos da Bancada-B ... 98
Tabela 12. Sensores de deslocamento do disco da Bancada-B. ... 99
Tabela 13. Sensores de deslocamento dos mancais hidrodinâmicos da Bancada-B. ... 100
Tabela 14. Sistema de aquisição de controle da Bancada-B. ... 100
Tabela 15. Relação de sinais de controle para a Bancada-A colocada. ... 113
Tabela 16. Valores candidatos para ξ. ... 113
Tabela 17. Controladores para a Bancada-A em situação colocada. ... 114
Tabela 18. Desempenho dos controladores colocados na atenuação do pico de vibração. Sendo a coluna exp.* calculada pela Eq. (5.3). (Bancada-A) ... 116
Tabela 19. Relação de sinais de controle para a Bancada-A não-colocada. ... 118
Tabela 20. Controladores para a Bancada-A em situação não-colocada. ... 119
Tabela 21. Desempenho dos controladores não-colocados na atenuação do pico de vibração. Sendo a coluna exp.* calculada pela Eq. (5.3). (Bancada-A). ... 119
Tabela 22. Comparação dos valores dos picos de harmônicas nominal e com compensação de forças para o rotor a 28 Hz. ... 124
Tabela 23. Comparação dos valores dos picos de harmônicas nominal e com compensação de forças para o rotor a 14 Hz. ... 125
Tabela 24. Forças aplicadas para simulação de objetivo de compensação. ... 126
Tabela 25. Comparação dos valores dos picos de harmônicas nominal e com compensação de forças buscando o objetivo para o rotor a 20 Hz. ... 128
Tabela 28. Desempenho dos controladores na atenuação do pico de vibração. Sendo a coluna exp.* calculada pela Eq. (5.7). (Bancada-B) ... 133 Tabela 29. Desempenho dos controladores na atenuação do pico de vibração para o caso com falha de 45 μm no mancal 2. Sendo a coluna exp.* calculada pela Eq.(5.8). (Bancada-B) ... 135 Tabela 30. Comparação dos valores dos picos de harmônicas nominal e com compensação de forças para o rotor a 21 Hz (Bancada-B). ... 140 Tabela 31. Comparação dos valores dos picos de harmônicas nominal e com compensação de forças para o rotor a 42 Hz (Bancada-B). ... 142 Tabela 32. Comparação dos valores dos picos de harmônicas nominal e com compensação de forças para o rotor a 55 Hz (Bancada-B). ... 144 Tabela 33. Comparação dos valores dos picos de harmônicas nominal e com compensação de forças para o rotor a 80 Hz (Bancada-B). ... 146
1 INTRODUÇÃO ... 20
2 REVISÃO DA LITERATURA ... 24
2.1 Dinâmica de Rotores ... 24
2.2 Mancais Hidrodinâmicos ... 26
2.3 Controle Moderno ... 27
2.4 Mancais Magnéticos e Aplicações em Controle Ativo de Rotores ... 30
3 DESENVOLVIMENTO TEÓRICO ... 36
3.1 Rotor de Laval/Jeffcot ... 36
3.2 Modelo em elementos finitos ... 42
3.3 Redução de modelo ... 46
3.4 Mancais hidrodinâmicos ... 49
3.5 Modelo com parâmetros variantes e a estabilidade quadrática de Lyapunov ... 57
3.6 Norma H∞ ... 61
3.7 Controle H∞ polinomial ... 67
3.8 Compensação de forças ... 75
4 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ... 82
4.1 Setup experimental ... 82
4.2 Bancada com AMB (Bancada-A) ... 84
4.3 Bancada com atuador magnético (Bancada-B) ... 96
5 RESULTADOS EXPERIMENTAIS ... 112
5.1 Controle em malha fechada colocado (Bancada-A) ... 112
5.2 Controle em malha fechada não-colocado (Bancada-A) ... 118
5.3 Compensação de forças (Bancada-A) ... 122
5.4 Controle com mancal com falha (Bancada-B) ... 128
5.5 Compensação de forças em malha fechada (Bancada-B) ... 137
6 CONCLUSÃO ... 147
6.1 Trabalhos futuros ... 148
APÊNDICE A – MATRIZES DE ELEMENTOS FINITOS ... 158
APÊNDICE B – TEOREMAS E LEMAS ... 162
1 INTRODUÇÃO
O movimento rotativo tem como grande vantagem a capacidade de transmitir grande quantidade de potência mecânica em espaços relativamente compactos. Os componentes básicos que constituem rotores, tais como eixos, mancais, hélices, engrenagens e polias costumam ser simétricos, permitindo um processo de manufatura rápido, preciso e padronizado. Além disso, a superfície de contato para sustentação da estrutura rotativa costuma ser concentrada em regiões pontuais, o que permite minimizar a perda de energia por atrito. Por essa razão, máquinas rotativas estão presentes em aplicações industriais que englobam desde o processo de geração de energia a aplicações em mecânica de precisão.
As grandes vantagens associadas à rotação vêm acompanhadas de problemas de vibrações. O movimento periódico em altas frequências, associado às imprecisões inerentes a quaisquer sistemas físicos reais, produz forças equivalentes a auto excitação em harmônicas múltiplas à frequência de rotação do sistema. O principal exemplo é a força de desbalanceamento que atua de forma síncrona ao movimento de rotação do eixo. Quando a frequência de rotação coincide com a frequência natural do sistema, situação denominada condição de velocidade crítica, a amplitude de resposta ao desbalanceamento tende a aumentar expressivamente. Em sistemas pouco amortecidos, a velocidade crítica pode se tornar um limitante da máxima faixa de operação da máquina.
Um fator determinante no desempenho de máquinas rotativas é a seleção dos mancais que suportam o sistema. Projetados para minimizar o atrito entre as partes móvel e estática da máquina, estes componentes podem inserir amortecimento, enrijecer o sistema em diferentes graus, reduzir efeitos de desalinhamento etc. Particularmente, na indústria de potência, em aplicações em turbinas, compressores e geradores, tem-se a ampla utilização de mancais hidrodinâmicos. Estes componentes são caracterizados por sustentar o eixo através do campo de pressão gerado pela interação entre filme de óleo e eixo girante.
Em particular, neste trabalho, o foco são os mancais hidrodinâmicos cilíndricos. Esta classe de mancais consiste na mais simples geometria possível, o que proporciona baixo custo e facilidade de manufatura aliados a alta capacidade de amortecimento, baixo coeficiente de atrito, ausência de contato entre partes sólidas e constante refrigeração. A desvantagem destes mancais, além da necessidade de constante recirculação de lubrificante, é o fenômeno de
oil-whip. Sendo a velocidade relativa entre o óleo e as superfícies sólidas (eixo e pista de mancal)
aproximadamente nula, a velocidade média do fluxo de óleo no gap é aproximadamente metade da rotação do eixo. Dessa forma, ocorre uma constante excitação nas proximidades da harmônica 0,5×, conhecida por oil-whirl, que, em geral, não é relevante em comparação com à força de desbalanceamento. Porém, quando a frequência de rotação do eixo é aproximadamente o dobro da velocidade crítica do rotor, a excitação de oil-whirl coincide com a primeira ressonância e produz órbitas de precessão de amplitudes elevadas dentro da folga do mancal hidrodinâmico. Essa condição é conhecida por oil-whip ou instabilidade fluído-induzida. Se não controlada, esta vibração pode levar ao rompimento do filme de óleo e provocar impactos potencialmente danosos entre o eixo e a pista interna no mancal.
O oil-whip é um comportamento não-linear previsto pela solução das equações de Reynolds. Ao calcular coeficientes equivalentes, truncando a aproximação por série de Taylor na 3ª ordem, observa-se que o oil-whip é caracterizado pela significativa redução dos coeficientes de amortecimento e aumento dos coeficientes de rigidez cruzada equivalentes do mancal hidrodinâmico. Do ponto de vista de sistemas lineares, tais variações tendem a induzir a condição de instabilidade, representada matematicamente pela presença de polos de parte real positiva.
Com esses conceitos em mente, o objetivo desta tese é estudar a aplicação de métodos de controle ativo por realimentação de saída para estabilizar a instabilidade fluido induzida e atenuar a vibração durante a passagem pela velocidade crítica. O principal desafio envolvido para o projeto de tal controle é a variação do modelo do sistema de acordo com a velocidade de operação, a qual ocorre, principalmente, devido ao efeito giroscópico e a dependência dos coeficientes equivalentes do mancal, rigidez e amortecimento. Por esse motivo, é proposto modelar o rotor como um sistema de espaço de estados cujas matrizes do sistema são polinomialmente dependentes da velocidade de rotação do eixo.
Além disso, se o rotor enfrentar muitos ciclos de partida durante a operação ou condições de vibração excessiva, o constante contato entre eixo e pista pode levar a abrasão do material, resultando na variação da geometria do mancal. Consequentemente, ocorre modificação na distribuição de pressão no filme, e, portanto, modifica-se o comportamento dos coeficientes equivalentes. No ambiente industrial, uma parada súbita dos equipamentos para manutenção de tais falhas pode acarretar grandes prejuízos. Uma solução mais interessante seria, compensar ativamente o efeito de tais falhas até a próxima manutenção programada. Dessa forma, a
variação paramétrica devido a falhas também deve ser levada em conta no projeto de controle. Portanto, demonstra-se a possibilidade de modelagem de falhas como incertezas estruturadas dependentes tanto da profundidade do desgaste (geometria) como da velocidade de rotação do eixo.
Para comportar os requisitos de robustez sujeitos a variação paramétrica, em função da velocidade de rotação, e a incerteza, associada a possibilidades de falha, é necessário aplicar métodos de controle robusto. Diferentes tipos e estruturas de controladores podem ser aplicados para tal finalidade, contudo, esta tese será dedicada especificamente ao projeto de controle H∞
estático com variação de parâmetros. As métricas de H∞ e norma-µ são ferramentas poderosas
para abordar problemas com múltiplas fontes de variação e incerteza. Complementarmente, a minimização da norma H∞ da resposta de rotores é diretamente associada a atenuação do pico
em velocidade crítica. O projeto dos controladores escolhidos foi desenvolvido para comportar sistemas com acoplamento entre múltiplas entradas e saídas, tornando-os ideais para trabalhar com as equações de movimento de rotores.
A aplicação da força de controle é feita através de atuadores magnéticos. Uma classe específica de atuadores magnéticos são os mancais magnéticos ativos (active magnetic bearing - AMB), utilizados na levitação de rotores de alto desempenho. Apesar de mancais magnéticos proporcionarem suspensão com atrito mínimo, e parâmetros (rigidez, amortecimento e offset) ajustáveis, são equipamentos caros, consomem grandes quantidades de energia elétrica, sobreaquecem e requerem espaço excessivo para aplicação em máquinas de grande porte. Aqui, o atuador magnético/AMB é utilizado como componente exclusivamente auxiliar. Sua função não é suportar qualquer carga do rotor, mas sim atuar na redução de vibração do sistema. Desta forma, limita-se a potência necessária a ser aplicada às bobinas do eletroímã.
Além dos problemas mencionados, em rotores reais, tem-se a influência de outros inúmeros fatores não modelados, sendo muitos desses de característica não linear. É interessante destacar que, mesmo sob influências não lineares, as órbitas desenvolvidas por rotores são geralmente estacionárias. Isso sugere que as componentes da resposta estão atreladas à frequência de rotação. A hipótese é confirmada ao analisar a resposta em frequência que costuma ser composta por picos pronunciados nas harmônicas múltiplas a frequência de rotação.
Dentre as possíveis fontes de não linearidades as mais significativas são: desalinhamento, empenamento, falhas nos mancais e trincas no eixo. Além da excitação em múltiplas
harmônicas, a resposta pode apresentar formas modais diferentes daquelas previstas para o projeto do controle por realimentação de saída. Para tentar atenuar este problema, propõe-se aplicar uma força em malha aberta (feedforward) que minimize a diferença modal entre o sistema nominal e o sistema em condição de falha, e atue em múltiplas harmônicas. A vantagem de uma força em malha aberta é a não interferência na estabilidade garantida pela malha de
feedback estabilizante. Dessa forma, é possível trabalhar com controladores estabilizantes com
maior grau de robustez e conservadorismo, enquanto o controle em malha aberta garante alta atenuação de vibração.
Aplicar atuadores magnéticos em rotores suportados por mancais com falha permite, não somente melhorar sua estabilidade e atenuar sub vibração, mas também compensar sintomas de ocorrência de falhas ao longo do período de operação, assim estendendo a vida útil do sistema até a possibilidade de parada para manutenção programada. Ainda, em estudos futuros, pode-se investigar a possibilidade de usar o controle ativo para cruzar a região de instabilidade relacionada ao primeiro modo de vibração lateral e posicionar o rotor em ilhas de estabilidade entre o oil-whip relacionado ao primeiro e segundo modo.
A partir da introdução, a dissertação é composta por outros seis capítulos. No capítulo de revisão bibliográfica busca-se apresentar uma breve origem histórica dos temas fundamentais no desenvolvimento deste trabalho e seus respectivos estados-da-arte. Em seguida, é apresentado o capítulo de desenvolvimento teórico, o qual é dividido em uma série de subseções dedicadas a estabelecer os conceitos fundamentais de dinâmica de rotores e de teoria de controle utilizada para o projeto dos controladores. No capítulo de procedimento experimental, é explicado como foi implementada a programação de controle em tempo real utilizando a placa
dSpace, além dos detalhes de montagens das bancadas de testes utilizadas. Ainda no capítulo
de procedimento experimental são mostrados os ensaios realizados para obter o modelo matemático do rotor, além de demonstrar a existência da instabilidade fluído induzida. O capítulo de resultados experimentais foi reservado para relatar somente os resultados relativos aos métodos de controle. Em suas subseções são mostrados os resultados utilizando separadamente o controle em feedback colocado/não colocado e o controle em feedforward. Em seguida, são comparados controladores em feedback robusto e não robusto a falhas no mancal, e por fim são testados simultaneamente os controladores em malha fechada em conjunto com a compensação de forças em um rotor com falhas.
2 REVISÃO DA LITERATURA
A seção de revisão bibliográfica é dividida em quatro subtópicos que abrangem os principais campos de estudos específicos que fundamentam o desenvolvimento deste trabalho: dinâmica de rotores, mancais hidrodinâmicos, teoria de controle moderno, e o estado da arte em aplicações de controle ativo em rotores combinando os temas anteriores. De forma geral, cada subseção é composta por uma breve introdução histórica seguida pelas contribuições mais relevantes ao tema desta dissertação.
2.1 Dinâmica de Rotores
A literatura e teoria básica a respeito da dinâmica de rotores é bem consolidada e pode ser consultada em diversos livros especializados, tais como Krämer (1993) e Gasch et al. (2002). Os estudos envolvendo a teoria por trás dos fenômenos de máquinas rotativas data do século XIX. Iniciando pela determinação da velocidade crítica do eixo, intuía-se que não seria possível operar em condições acima deste patamar. Porém, segundo Krämer (1993), Laval demonstrou em 1883 que a primeira velocidade crítica não é necessariamente um limitante operacional. Ao superar a primeira velocidade crítica, notou-se que a vibração do eixo se torna consideravelmente mais atenuada, devido ao que seria conhecido posteriormente como autocentragem.
Segundo Krämer (1993), em 1895 dois estudos foram publicados separadamente por Dunkerley e Föppl mostrando que um eixo pode ter múltiplas frequências críticas, e que estas podem ser iguais às frequências do eixo em repouso em casos particulares. Para calcular as velocidades críticas em eixos com diversos discos foi considerado o efeito giroscópico, que provoca a divergência entre a frequência natural e a velocidade crítica.
Mesmo identificada a dependência da velocidade crítica em função da velocidade de rotação do eixo, o comportamento do rotor ainda não era evidente. Atribui-se o esclarecimento da formulação e funcionamento do movimento de precessão do rotor ao trabalho de Jeffcott (1919). Desde então, o estudo de dinâmica de rotores se desenvolveu na direção de incluir os
efeitos de diferentes elementos, por exemplo, discos, mancais, amortecedores, acoplamentos e fundação.
A descrição analítica da equação de movimento do rotor simplificado é muito útil para demonstrar certos fenômenos. Porém, para modelar matematicamente rotores de geometria mais complexa com múltiplos graus de liberdade passou a ser utilizado o método de elementos finitos (FEM do inglês finite elements method), impulsionado pelo avanço da computação digital. Dentre os diversos trabalhos publicados a partir da década de 1970, destaca-se o trabalho de Nelson (1980) que compilou em uma formulação única as matrizes dos elementos finitos de eixo, agregando diferentes contribuições como, por exemplo, inércias rotativas, momentos giroscópicos, amortecimentos internos, dinâmicas torcionais, em adição aos efeitos de cisalhamento da viga de Timoshenko.
Devido à natureza dinâmica das máquinas rotativas, diferentes interpretações e fenômenos podem ser observados através de mudanças de coordenadas e referências. Por exemplo, tem-se a conhecida transformação para coordenadas modais que permite decompor o sistema em equação de segunda ordem desacopladas, Gasch et al. (2002). Ou a mudança do referencial utilizando coordenadas rotativas (fixo ao rotor), que permite facilmente equacionar os efeitos de amortecimento interno, Krämer (1993). Outra transformação que se mostrou muito interessante para avaliar a resposta de sistemas rotativos, destacando anisotropias, é a transformação direcional (previamente denominada transformada modal complexa) introduzida por Lee (1991).
A utilização de coordenadas direcionais explora a natureza bidimensional comumente utilizada para descrever o movimento do rotor no plano. Fazendo uso da formulação de coordenadas complexas, divide-se as contribuições de excitação, resposta e modos em direções a favor (direta) e contra (retrógrada) a rotação do eixo. A resposta direcional na frequência surge naturalmente da aplicação da transformada de Fourier sobre a resposta em coordenadas complexas (que deixa de ser simétrica). Lee (1991) demonstra que a transformação pode ser aplicada facilmente sobre modelos FEM a partir de uma simples matriz de transformação e compara as diferentes respostas de rotores com baixa e alta anisotropias.
2.2 Mancais Hidrodinâmicos
A pesquisa a respeito da teoria de lubrificação hidrodinâmica surge na década de 1880. Segundo o levantamento histórico realizado por Pinkus (1987), o primeiro passo para o entendimento deste mecanismo de lubrificação foi a percepção de que o mesmo depende da dinâmica do fluído entre partes mecânicas, e não da interação entre estas. A partir desta observação, a teoria foi estendida para a noção de força de sustentação presente em mancais lubrificados.
Em 1883, Tower conduziu diversos experimentos que permitiram ilustrar e compreender o funcionamento de mancais hidrodinâmicos. Inicialmente provou-se que o movimento de rotação do eixo no interior do mancal pressuriza o filme de óleo. Posteriormente, foi mapeado o campo de pressão formado na pista do mancal, que ao ser integrado resulta na carga aplicada ao mancal. O modelo matemático que explica a lubrificação hidrodinâmica foi apresentado por Reynolds (1886). Neste trabalho é introduzido o conceito do termo de esmagamento devido a “cunha” formada pela geometria cilíndrica do eixo, a aproximação de mancais infinitamente longos e a sugestão da possibilidade de cavitação. Os trabalhos subsequentes focaram em encontrar soluções analíticas para a equação diferencial introduzida por Reynolds por meio de relaxações tais como condições de contorno específicas.
O importante fenômeno da instabilidade fluido-induzida foi estudado por Newkirk e Taylor (1925). É relatada a excitação do movimento de precessão no eixo em frequência aproximadamente metade da de rotação independentemente do balanceamento do rotor. Neste trabalho, observa-se experimentalmente que a instabilidade pode ser suprimida através do aumento na carga dos mancais, de amortecedores externos, ou mesmo de starvation. Posteriormente, todos estes resultados seriam comprovados numericamente.
No mesmo ano, Stodola (1925) mostra que mancais hidrodinâmicos apresentam fatores de amortecimento e rigidez que influenciam a dinâmica do rotor, tal como sua velocidade crítica. Esse conceito foi estendido por Lund (1964), que propõe resolver as equações de Reynolds numericamente e encontrar fatores de molas e amortecedores resultantes através do gradiente da função em torno da posição de equilíbrio.
Usando a aproximação por coeficientes lineares, Muszynska (1986) e (1988) deduz analiticamente as condições para ocorrência de oil whip em um rotor de Laval através dos polos do sistema. O equacionamento e os experimentos demonstraram que se o rotor atravessar a
região de instabilidade relacionada ao primeiro modo, pode-se atingir uma segunda região estável. Ao acelerar ainda mais, o oil whirl excita o segundo modo e tem-se uma nova região de instabilidade. Analiticamente, Muszynska mostra que, aumentando o amortecimento externo do rotor, pode-se suprimir a primeira região de instabilidade. Mas, para a geometria proposta, a segunda região instável não pode ser evitada apenas com base no amortecimento externo.
Sabe-se que o comportamento do rotor depende dos coeficientes de mancais, porém, identificar estes parâmetros experimentalmente pode ser desafiador. Felscher et al. (2014) demonstram a possibilidade de utilizar AMBs para reproduzir o efeito de pequenas perturbações, proposto por Lund (1964), experimentalmente, e assim, obter uma estimativa direta dos coeficientes de mancais.
Atualmente os estudos de mancais hidrodinâmicos se desenvolvem na direção de otimizar projetos e aumentar a precisão de modelos ao inserir, por exemplo, modelos termohidrodinâmicos, Peixoto e Cavalca (2019), com rugosidade, Ramos et al. (2019), ou com falhas, Mendes et al. (2017).
2.3 Controle Moderno
A origem da aplicação prática de métodos de controle de regulação é observada desde a antiguidade. Mas a maior parte dos autores estabelece o marco do início do estudo de controle como a invenção do controle de velocidade a vapor por Watt durante a revolução industrial. Nas revisões históricas de Dorato (1987) e Safonov (2012) são descritos com maiores detalhes a evolução e os principais trabalhos a partir deste período. Inicialmente, o desenvolvimento de controladores se deu exclusivamente de forma experimental. Somente no início do séc. XIX surgem os primeiros estudos teóricos envolvendo equacionamentos de sistemas em malha fechada. Desde então, até a década de 1950, foi desenvolvida e consolidada a maior parte das técnicas que compõe o “controle clássico”, tais como: o diagrama de Bode, a estabilidade de Nyquist, métodos de projetos PID etc., limitados a sistemas SISO (single input single output).
Entre as décadas de 1950 e 1960 o foco passa a ser em sistemas de controle formulados por espaço de estados, viabilizado pelo avanço da computação. Esse novo equacionamento permitiu trabalhar problemas MIMO (multiple input and multiple output) com maior facilidade, dando início ao conjunto de teorias do chamado “controle moderno”. Segundo Safonov (2012), a partir de 1960 se inicia um processo de divergência entre o estudo teórico e a aplicação prática
de controle. A solução de problemas de controle passa a ser interpretada como uma questão de otimização, e, para tal fim, são assumidas plantas que modelam sistemas idealmente.
Obviamente, sistemas reais apresentam inúmeras linearidades e dinâmicas não-modeladas de maior ou menor influência. Os conceitos de margens de estabilidade clássica, por não serem aplicáveis diretamente em sistemas MIMO (embora possam ser avaliados através de conceitos como discos de margem e fase), deixaram de ser considerados diretamente no projeto de controle. Desta forma, muitos dos controladores ótimos desenvolvidos apresentaram casos de falha crítica ao serem implementados. O problema de incerteza e imprecisão de modelos era evidente. E, a partir da década de 1970, foi dada grande importância a métodos considerados “robustos”. Os avanços no desenvolvimento de controladores robustos são fundamentais para viabilizar aplicações práticas, como será observado ao longo desta tese.
Um dos principais conceitos na análise de robustez de sistemas MIMO, chamado teorema do pequeno ganho foi concebido ainda na década de 1960, Zames (1966), baseado no valor singular do sistema. Mas apenas em 1981 foi obtida uma formulação para aplicação direta no controle tolerante a incertezas, conhecido como controle H∞, Zames (1981). Resumidamente, a
matriz de transferência de sistemas é avaliada através de normas e semi-normas. Em particular, a norma H∞ do sistema representa a maior amplificação possível de um sistema. Ao garantir
que o ganho do loop pela incerteza normalizado (Δ na Figura 1) é sempre inferior a 1, isto é, não insere energia no sistema, assegura-se a robustez do sistema. Portanto, o controlador que busca minimizar a norma H∞ de um sistema confere-lhe robustez. A norma H∞ apresenta como
grande vantagem a possibilidade de generalização para qualquer tipo de incerteza (linear ou não-linear), contanto que esta possua norma H∞ limitada.
Em casos simples (SISO, por exemplo) a solução do problema H∞ pode ser encontrada
algebricamente. Já em casos MIMO, em geral, é praticamente impossível encontrar uma solução fechada. Convenientemente, a determinação da norma H∞ pode ser formulada como
um problema de minimização convexa, e muitos trabalhos, sucedendo o de Zames (1981), foram dedicados à elaboração de métodos para encontrar soluções subótimas. Destaca-se a clássica solução através de duas equações de Riccati elaborada por z, na qual o método consiste em uma busca, por exemplo, por bissecção, pelo valor mínimo que satisfaça ambas equações.
Outra forma conhecida para resolver o problema de controlador H∞ é através da
formulação por LMI (linear matrix inequalities). A aplicação de LMIs para problemas de controle tem sua origem no desenvolvimento da teoria de Lyapunov, e tornou-se uma ferramenta essencial na área de controle moderno a partir de 1980, impulsionada pelo desenvolvimento da computação e de métodos de otimização. No trabalho de Gahinet e Apkarian (1994) é introduzida a formulação para controles H∞ utilizada como base para o
pacote de controle robusto do Matlab® e são citadas vantagens em relação às considerações necessárias para a solução por equações de Riccati.
Apesar do teorema do pequeno ganho ser uma ferramenta muito útil, Doyle et al. (1982) demonstra que a norma H∞ é demasiadamente conservadora em muitos casos. Introduz-se,
então, a chamada norma-µ ou SSV (structured singular value). A análise µ (µ-analysis) considera o conhecimento a priori a respeito da estrutura de incertezas Δ para calcular a mínima amplitude de incerteza que instabiliza o sistema.
A determinação algébrica da norma-µ, assim como a norma H∞, raramente é possível para
sistemas MIMO. Porém, este valor possui limitantes superior e inferior que podem se aproximar do SSV a partir de matrizes de escalamento. Doyle (1985) propõe incluir a análise-µ ao projeto de controle, µ-synthesis, através do método de iteração DK. A técnica consiste em buscar matrizes de escalamento D e de controle K alternadamente. Apesar do método não garantir convergência para um mínimo global, este é amplamente empregado na prática.
O uso de incertezas para modelar sistemas e os métodos de controle robusto invariantes são relativamente limitados. Quando aplicados a modelos com altas variações paramétricas tem-se soluções excessivamente conservadoras, ou mesmo infactíveis. Para compensar grandes variações de sistemas é proposto empregar controladores que se adaptem a essas mudanças.
Segundo Shamma e Athans (1992), e Leith e Leithead (2000) controladores adaptativos começaram a ser empregados por volta de 1960 como soluções de engenharia em diversos setores com pouca ou nenhuma garantia teórica de estabilidade e desempenho. A síntese de controladores variantes era baseada apenas em regras qualitativas. De forma geral, para um sistema linear com parâmetros variantes (linear parameter varying – LPV), buscava-se projetar uma série de controladores ótimos para cada condição de operação e determinar uma regra de permutação entre estes em função do parâmetro variante. Os dois maiores problemas com esta prática são a inexistência de garantia de estabilidade entre os pontos discretos de permutação e a necessidade de considerar uma variação suficientemente lenta do parâmetro.
A partir de 1990 consideráveis avanços foram feitos a respeito da formulação e formalização das aplicações de controles adaptativos, principalmente referentes a garantia de estabilidade e formulação de variação contínua para os controladores, tais como os trabalhos de Apkarian e Gahinet (1995), Geromel et al. (1996) e Agulhari et al. (2010). Métodos considerando a variação temporal do sistema também foram desenvolvidos, mas para garantir uma formulação mais simples e direta, nesta tese, optou-se por considerar a variação paramétrica quase-estática aliada a robustez inerente aos métodos de controle escolhidos.
2.4 Mancais Magnéticos e Aplicações em Controle Ativo de Rotores
Nesta subseção são discutidas as principais contribuições da aplicação de controle ativo de rotores e seu estado da arte. Em maior parte, são descritas utilizações de AMBs como mancais efetivos, visando a levitação magnética do rotor; e como elementos auxiliares, buscando estabilizar e atenuar vibrações. Embora a segunda aplicação seja o principal foco deste estudo, consideráveis contribuições a respeito de modelagem, análise, controle e hardware são encontradas nos estudos considerando o problema de levitação magnética.
O livro escrito por Schweitzer e Maslen (2009) é um excelente ponto de partida para o estudo da aplicação de atuadores magnéticos em rotores. Esta referência oferece uma visão abrangente desde os conceitos básicos de eletromagnetismo, descrevendo a modelagem e as considerações para linearização da força magnética exercida pelos eletroímãs em configuração diferencial; passando pela revisão de dinâmica de rotores, citando eixos rígidos e flexíveis, e forças de desbalanceamento; considerações a respeito de hardware como amplificadores de
corrente e sensores; e exemplos de aplicações de AMB utilizando controladores clássicos e modernos.
Uma ampla e extensa revisão a respeito da literatura envolvendo aplicações de AMB é fornecida por Siva Srinivas et al. (2018). O artigo fornece uma breve descrição a respeito da modelagem de rotores equipados com AMB e então parte para a apresentação de métodos classificados de acordo com sua aplicação: redução de vibração síncrona, aumento da faixa de estabilidade, identificação de sistemas e falhas etc. Também é apresentada uma tabela em ordem cronológica das principais referências relacionando o tipo de rotor, controle, sensoriamento e objetivo.
Originalmente os AMBs foram desenvolvidos com o objetivo de permitir sustentação com ausência de contato mecânico, assim evitando ao máximo perdas por atrito mecânico. No final da década de 1970 surgiram as primeiras aplicações utilizando mancais magnéticos. A formulação inicial é intuitiva: projetar controladores PID para atingir as características desejadas de rigidez e amortecimento visando centralizar o centro do eixo ao centro da folga do AMB.
Logo notou-se o potencial para o uso de AMBs em diferentes estratégias. Por exemplo, utilizando uma estratégia em malha-aberta buscando uma força contrária ao desbalanceamento residual. Burrows e Sahinkaya (1983) demonstram uma das primeiras aplicações de AMB como elementos auxiliares para compensar o efeito de desbalanceamento em um rotor suportado por mancais hidrodinâmicos baseada na função de transferência inversa do rotor. É citado neste trabalho que o método se mostrou eficiente até que atingido o limiar da instabilidade fluido-induzida.
Outros diversos trabalhos testando diferentes formas para obter a compensação de desbalanceamento em malha aberta foram publicados em diferentes períodos. Por exemplo, Burrows et al. (1989) demonstraram a possibilidade da determinação da força de compensação ao desbalanceamento a partir de um método similar ao processo de balanceamento por massas de triagem. Neste caso, o atuador aplica uma excitação conhecida ao rotor, mede-se a resposta, e, com base na matriz de influência, determina-se a força necessária para minimizar a vibração. A grande vantagem deste método é sua aplicabilidade sem necessidade do modelo matemático do rotor.
Knospe et al. (1996) desenvolveu uma metodologia iterativa para otimizar a força aplicada pelo AMB e demonstrou a aplicabilidade da estratégia em malha aberta em conjunto
com uma malha fechada responsável pela levitação do rotor. No trabalho de Markert et al. (2002) o desempenho do método por função de transferência inversa é comparado ao método de teste iterativo (equivalente a massas de triagem) em um rotor levitado por controle PID, mostrando que ambos os métodos atingem resultado similares.
Mais recentemente, Tammi (2009) comparou o desempenho do método em malha aberta proposto por Knospe et al. (1996) com uma técnica baseada em filtros FIR e mínimos quadrados, sendo que a proposta clássica com o método iterativo (denominada convergent
control ou CC) se mostrou mais simples e mais eficaz. Por fim, destaca-se a aplicação utilizando
malhas aberta e fechada para sustentação de um volante de inércia com mínima vibração proposta por Liu e Liu (2016).
Embora a utilização de métodos de malha aberta em rotores seja muito favorecida pela natureza periódica de rotores, é praticamente inviável aplicá-los visando a estabilização do sistema. Conforme já observado em algumas das referências já apresentadas, rotores podem apresentar comportamentos instáveis por diferentes razões, tais como o oil-whip, o amortecimento interno na estrutural do eixo, ou mesmo o problema básico de levitação magnética. Portanto, é fundamental a aplicação de controladores em malha-fechada que proporcionem a estabilização do sistema. E intrínseco ao problema de estabilização tem-se a possibilidade alterar as características do sistema resultante proporcionando melhor rejeição de ruído ou modificações modais vantajosas.
Para solucionar o problema de oil-whip detectado em um trabalho anterior, Sahinkaya e Burrows (1985), primeiramente, projetam controladores proporcionais e derivativos para alterar as frequências naturais e o fator de amortecimento, respectivamente, e, assim, estender a faixa de estabilidade do rotor. Sobre o sistema estabilizado é, então, aplicada compensação de força ao desbalanceamento.
O projeto de controladores clássicos colocados, por exemplo, PID, considerando modelos de rotores rígidos e com coordenadas desacopladas certamente é de grande aplicabilidade. Porém, para geometrias e modelos mais complexos podem ocorrer problemas de estabilidade devido ao acoplamento entre coordenadas e variações paramétricas atreladas aos coeficientes de mancais e ao efeito giroscópico, além de demandar extensa experiência por parte do projetista. Com a popularização dos métodos de controle MIMO robusto, tais estratégias passaram a ser muito atraentes para aplicações em AMB.
Fujita et al. (1993) utilizou o conceito de estabilidade robusta para projetar controladores H∞ que considerassem a variação dinâmica provocada pelo efeito giroscópico para levitar e
reduzir a vibração de um rotor suportado por AMB. Como desdobramento do trabalho anterior, Matsumura et al. (1996) aplicou método de projeto de controle gain-scheduled ao calcular uma série de ganhos de controle H∞ para diversas rotações e conecta-los por uma função de
permutação.
Conforme citado anteriormente, a estratégia de concatenação de controladores para obter um sistema variante raramente tem garantia de estabilidade. Siqueira et al. (2012) utiliza uma formulação por LMI proposta por Apkarian e Adams (1998) para obter ganhos de controle como uma função contínua do parâmetro variante. O controlador se demonstrou eficiente na estabilização do efeito de oil-whip do sistema e atenuação da vibração durante a passagem pela velocidade crítica mesmo sob variações provocadas pelo efeito giroscópico e pelos coeficientes de mancais. O método de controle adotado é altamente flexível, porém o controlador resultante deve seguir a mesma estrutura da função que modela a variação paramétrica, e requer alto esforço computacional devido à necessidade de resolver o problema verificando sua validade em intervalos arbitrariamente pequenos do parâmetro variante. Além disso, a formulação final da matriz de controle é diretamente dependente da matriz de espaço de estados, o que pode ser um problema para sistemas com altos níveis de variações paramétrica não monitoradas.
Outra possível fonte de incerteza são efeitos dinâmicos não modelados ou aproximações assumidas para os demais elementos do sistema, por exemplo, filtros analógicos, amplificadores de sinal e potência, e dinâmica eletromagnética. Fittro e Knospe (2002) supõem um rotor simétrico, desprezando o efeito giroscópico, e comparam o desempenho de diferentes controladores, visando levitação e atenuação de vibração, frente às possíveis incertezas complexas. Para isso são projetados controladores PD e H∞ buscando o melhor ganho possível
e um controlador µ-synthesis considerando a estrutura de incertezas. É demonstrado que o controlador H∞ atinge o melhor desempenho no caso nominal, mas no pior caso de incerteza,
apresenta a pior performance dentre os três controladores. O controlador robusto µ-synthesis garante um bom desempenho, não apresentando grande perda de desempenho na pior condição. Uma aplicação mais prática e genérica para tratar as incertezas é apresentada por Riemann et al. (2013a). Para um rotor suportado por dois mancais hidrodinâmicos, são levantadas as curvas de resposta experimentais do sistema, é estimado uma modelo base, e, então, adicionadas
incertezas complexas para cobrir os desvios entre as curvas obtidas. Conhecendo o modelo incerto, é projetado um controlado µ-synthesis para estabilizar e atenuar a vibração do sistema. A aplicação de métodos de projeto de controle baseados em modelos experimentais é interessante por sua flexibilidade. Porém, é necessário realizar diversos testes em uma máquina real antes de calcular os ganhos de controle, o que nem sempre é viável em situações práticas. Sendo assim por vezes é vantajoso o projeto com base no modelo matemático. Riemann et al. (2013b) demonstram a possibilidade de incluir os efeitos giroscópicos de um rotor como incertezas paramétricas no modelo. Novamente, utilizando o modelo com incerteza estruturada, um controlador µ-synthesis foi projetado para garantir estabilidade e atenuação de vibração devido ao desbalanceamento. Além do método clássico de iteração DK, foi aplicada uma variante, denominada método µ-K, que se demonstrou mais eficiente na estabilização robusta do sistema. Também é observado que ao minimizar a contribuição de métodos retrógrados (pouco excitados por desbalanceamento) tem-se melhor desempenho, visto que a função de controle pode priorizar modos mais comumente excitados.
Ainda na linha de incertezas paramétricas, Wu et al. (2015) modelaram as possíveis variações de coeficientes de mancais hidrodinâmicos e o efeito giroscópico como incertezas polinomiais e compararam, através de simulações, os desempenhos de um controlador H∞
buscando máxima atenuação na velocidade crítica e um controlador µ-synthesis buscando robustez. Por se tratar de uma solução não colocada, o controlador H∞ mostrou bom
desempenho na região próxima à velocidade crítica, mas não garantiu a estabilização do
oil-whip. Por outro lado, o controlador µ-synthesis garantiu a estabilidade em altas faixas de
rotação, em troca de uma performance inferior na passagem pela velocidade crítica. Buscando um resultado menos conservador, Wu et al. (2017) projetaram controladores estáticos com parâmetros polinomialmente variantes e os compararam aos métodos H∞ e µ-synthesis
anteriores. Os controladores variantes atingiram simultaneamente bom desempenho e estabilização do oil-whip. Estes resultados são posteriormente validados experimentalmente em Freire Wu e Lucchesi Cavalca (2019), em que além da condição de controle não colocada, é estudada a condição colocada, que apresenta resultados significativamente distintos.
Na publicação em duas partes, por Schittenhelm e Rinderknecht (2015a) e (2015b) são descritos e comparados quatro controladores distintos (PD com filtro passa-baixa, LQG, H∞ e
FxLMS) para controlar a vibração em um rotor suportado por mancais de esferas montado sobre atuadores piezelétricos. De forma geral é mostrado que os controladores por realimentação
atingiram resultados similares. Porém, destaca-se que pode ser difícil encontrar boas soluções para controles PD caso o projetista não seja experiente ou não sejam aplicados métodos de otimização. Observou-se que o controle em malha aberta foi o método mais eficiente no que se refere à atenuação da resposta ao desbalanceamento devido a sua capacidade de explorar a natureza harmônica e previsível da fonte de excitação sem restrições conservadoras como nos controles em feedback. Contudo, é reforçado, novamente, a incapacidade do método em prover estabilidade ao sistema por si só.
Utilizando um controlador H∞ com parâmetros variantes, Becker et al. (2017) buscam um
objetivo diferente da clássica minimização da deflexão do eixo. Considerando um rotor linearmente dependente da rotação, devido ao efeito giroscópico, o controle é projetado para minimizar a força transmitida pelo desbalanceamento do rotor à estrutura de suporte. O objetivo seria reduzir, por exemplo, a vibração passada pela turbina desbalanceada de um avião para a fuselagem, assim permitindo estruturas mais delgadas. Também é interessante citar o trabalho de Lusty e Keogh (2018) no qual são aplicados com sucesso AMBs para a rejeição de ruído em rotores com eixos tubulares. Neste caso, o controlador é montado em uma haste flexível, a qual está inserida no interior de um eixo vazado. O sinal aferido para feedback é dado pela variação relativa entre o par eixo/atuador (montados sobre uma estrutura flexível). Porém, deseja-se minimizar a variação absoluta do deslocamento do eixo. Para isso, explora-se a capacidade de formulação do vetor de desempenho virtual no problema de controle H∞ (e outros controladores
modernos).
Unindo a possibilidade de variações paramétricas com incertezas paramétricas, Wu et al. (2019b) propõe projetar controladores para AMBs buscando estabilizar rotores suportados por mancais hidrodinâmicos que fossem adaptativos em termos de rotação, mas que também sejam robustos a possíveis variações de coeficientes devido a falhas de desgaste em mancais hidrodinâmicos. Para isso, foram utilizadas as propriedades de estabilidade quadrática de Lyapunov associada ao teorema do pequeno ganho.
3 DESENVOLVIMENTO TEÓRICO
O capítulo de desenvolvimento teórico é separado em nove subseções. Primeiramente, é introduzida a teoria básica de dinâmica de rotores, a fim de definir os sistemas de coordenadas. Em seguida, é descrito o método de elementos finitos utilizado para modelar o eixo e discos do rotor. Na terceira subseção, demonstra-se o método de redução de Guyan, o qual é aplicado para viabilizar o projeto de controle. Na subseção quatro, é descrito o método de modelagem de mancais hidrodinâmicos cilíndricos, a aproximação por coeficientes lineares equivalentes e o modelo de falha considerado. Na quinta subseções, explica-se como montar um modelo de espaço de estados polinomial. Na subseção seis, introduz-se o conceito de norma H∞ e suas
interpretações, para, na parte sete, descrever projeto do controlador H∞ estático polinomial por
realimentação de saída. Por fim, buscando atingir melhores desempenhos e compensar os sintomas de falhas genéricas, na subseção oito, demonstra-se o desenvolvimento do controle em malha aberta, ou compensador de forças.
3.1 Rotor de Laval/Jeffcot
O estudo de rotores parte, tradicionalmente, de um sistema simplificado e simétrico, conforme a Figura 2, também conhecido por rotor de Laval ou Jeffcot. São considerados mancais ideais, eixo de massa e amortecimento desprezíveis e rigidez ke, e um disco de massa
concentrada md com desbalanceamento de excentricidade ε. O acionamento do sistema se dá
através do torque T, e são desprezadas a dinâmica axial e a força peso.
Existem diferentes abordagens para equacionar o rotor de Laval, Aqui, aplica-se o método de Lagrange, Gasch et al. (2002),
𝑑 𝑑𝑡( 𝜕𝐸𝑐 𝜕𝑞̇) − ( 𝜕𝐸𝑐 𝜕𝑞) + 𝜕𝑉 𝜕𝑞 = 𝑄 . (3.1)
