Curiosidade Hist´orica: Um Modelo Matem´ atico para Detectar Falsifica¸c˜ oes em Obras de Arte

7.8 Problemas Envolvendo a “Lei de Decaimento Radioativo”

7.8.1 Curiosidade Hist´orica: Um Modelo Matem´ atico para Detectar Falsifica¸c˜ oes em Obras de Arte

Esta se¸cão é um suplemento às notas de aulas e sua leitura não é obrigatória no estudo das EDO’s. O conteúdo foi baseado principalmente na referência:

Braun, M.Differential Equations and Their Applications. Short version. New York: Springer Verlag. 1978.

Após o término da Segunda Guerra Mundial, em 1945, os governos dos pa´ıses europeus, dentre eles o governo holandês, empenharam esfor¸cos em investiga¸cões para localizar, prender e julgar criminosos de guerra e colaboradores dos nazistas. Nesse per´ıodo, foram encontradas pelo exército aliado, em uma mina de sal na Áustria, uma enorme quantidade de obras de arte pilhadas dos pa´ıses ocupados pelos alemães e escondidas lá pelos nazistas. Imediatamente, foram convocados especialistas em arte, para a identifica¸cão e o repatriamento das obras. Entretanto, havia uma pintura antiga adquirida pelo alto comandante nazista Hermann Wilhelm Goering, intitulada “Woman taken in adultery”, do famoso pintor holandês do século XVII Johannes Vermeer (1632 - 1675), que os especialistas desconheciam. Na busca efetuada pelo governo holandês, pela origem da obra, foram descobertos registros de uma empresa que atuou durante a guerra vendendo inúmeras obras de arte holandesas para os nazistas. Dentre as vendas, havia a da referida obra. Essa venda foi feita a Goering intermediada por um banqueiro que afirmou agir em nome de um pintor holandês chamado Henricus Antonius Van Meegeren de quem a obra procedia.

Hermann Goering “Woman taken in adultery”. Johannes Vermeer Van Meegeren Em 29 de maio de 1945, Van Meegeren foi localizado e preso sob a acusa¸cão de colaborar com o inimigo por meio de venda clandestina de patrimônio cultural holandês, uma vez que ele não revelou a procedência da obra. A senten¸ca para crimes de colaboracionismo com inimigos de guerra era a pena de morte.

Neste ponto, cabe ressaltar que não era raro surgirem “obras perdidas” de grandes pintores depois de muito tempo de sua morte, na posse de fam´ılias, geralmente, abastadas. Em particular, Vermeer não era muito conhecido no mundo da arte até o in´ıcio do século XX, quando seu talento fora, então, reconhecido. É sabido que Vermeer morreu muito pobre e que, antes de morrer, trocava quadros por comida. Sua viúva, para sobreviver, vendeu todos os seus quadros remanescentes a pre¸cos irrisórios e, provavelmente, muitas de suas obras se perderam. Hoje, certamente, não restam mais do que cerca de 40 de suas pinturas. Sendo assim, os peritos em arte acreditaram, em um primeiro momento, que a obra “Woman taken in adultery” era um “Vermeer perdido”.

Entretanto, no dia 12 de julho de 1945, para tentar escapar da pena de morte, Van Meegeren surpreendeu o mundo ao revelar que a referida obra não era original. Ele mesmo a havia pintado entre 1941 e 1942, utilizando as técnicas e o estilo de Vermeer, do qual ele era profundo conhecedor. Além disso, ele também revelou que a obra “The disciples at Emmaus”, confeccionada entre 1936 e 1937, e outros quatro “Vermeer’s”, além de dois “De Hoogh’s” (outro pintor holandês do século XVII) eram falsifica¸cões de sua autoria.

Essas revela¸cões, embora chocantes, não foram em um primeiro momento levadas muito a sério. As autoridades holandesas desconfiavam que Van Meegeren queria escapar a todo custo da morte e que, por isso, estava inventando essa história. Além disso, a obra “The disciples at Emmaus” foi atestada como original, um “Vermeer perdido”, após uma análise detalhada de dois dias por um famoso historiador de arte chamado Abraham Bredius. No entanto, para comprovar a veracidade de sua história, Van Meegeren predispôs-se a pintar, em sua cela, uma obra chamada “Jesus amongst the doctors” para demonstrar o quanto era habilidoso na imita¸cão do estilo de Vermeer. Durante a execu¸cão dessa obra, Van Meegeren colaborou com as autoridades, revelando suas técnicas e procedimentos de falsifica¸cão e envelhecimento de obras de arte.

“The disciples at Emmaus” Pintando na cadeia “Jesus amongst the doctors” Não demorou muito para as autoridades levarem a sério a história de Van Meegeren. Ele, de fato, era muito habilidoso. Uma equipe de qu´ımicos, f´ısicos, técnicos e peritos em arte foi montada para examinar as obras citadas por Van Meegeren (e outras de origem duvidosa) para comprovarem se as obras eram, de fato, falsas.

Naturalmente, as falsifica¸cões não foram desvendadas tão facilmente, uma vez que Van Meegeren conhecia muito bem as técnicas empregadas pelos peritos. De fato, as telas utilizadas eram do século XVII e ele procurava utilizar os mesmos pigmentos de tinta que Vermeer utilizava, além de “cozer” as pinturas em forno para que assumissem o aspecto de envelhecidas pelo tempo. Van Meegeren comprava pinturas do século XVII de pouco valor e raspava a velha tinta endurecida para aproveitar a tela. Para o processo de envelhecimento da tinta, ele às vezes utilizava fenoformalde´ıdo que após o “cozimento” endurecia enormemente a tinta. Resqu´ıcios desse produto qu´ımico (que só foi descoberto no século XIX) foram encontrados pelos peritos em várias das obras de Van Meegeren. Além disso, pigmentos do moderno “azul cobalto” (que não existia na época de Vermeer) também foram encontrados em algumas das referidas obras. Radiografias foram empregadas para tentar descobrir se a tela era originalmente de uma outra pintura. Em particular, a obra “Woman taken in adultery”, comprada por Goering, era uma pintura de uma batalha com cavalos.

Radiografia de “Woman taken in adultery”

Após essas evidências, em 2 de outubro de 1947, a acusa¸cão de colabora¸cão com o inimigo contra Van Meegeren foi comutada pela de falsário e ele foi condenado a mais um ano de prisão. Como ele esperava ser liberto sem condena¸cão, Van Meegeren recusou-se a terminar a obra “Jesus amongst the doctors” que estava pintando na cela, não mostrando, na prática, como seria o processo de envelhecimento da obra. Entretanto, Van Meegeren já havia colaborado enormemente com as autoridades, revelando suas técnicas e, de certo modo, ajudando na arte de desvendar detalhes sutis em pinturas falsas. Talvez por esse motivo, sua pena tenha sido pequena; afinal, ele acabou ganhando a fama de ser o holandês que enganou os nazistas.

Infelizmente, Van Meegeren jamais saiu da pris˜ao. Em 30 de dezembro de 1947, ele sofreu um ataque card´ıaco em sua cela e morreu.

Mas a história não acabou com sua morte. Mesmo com as provas apresentadas pelos peritos, muitas pessoas, algumas delas altamente qualificadas no ramo da arte, recusavam-se a acreditar que a obra “The disciples at Emmaus”, que fora inclusive comprada pela prestigiada Sociedade Rembrandt por cerca de 170.000 dólares (atuais), era uma falsifica¸cão, pois se tratava de um quadro extremamente bem feito com qualidade impecável, ao contrário das demais obras listadas por Van Meegeren. Os peritos justificaram que essa obra fora a primeira falsifica¸cão de Van Meegeren, que, por não ter sido reconhecido como um grande pintor pela sociedade holandesa, queria provar o contrário pintando algo excepcional. Entretanto, essa justificativa não satisfez os céticos, que queriam uma prova eficaz e definitiva para essa suposta obra de Van Meegeren.

E curioso como a história desenrola-se de modo diferente para certos personagens. É conhec´ıvel que inúmeros grandes gênios da humanidade, não só da pintura mas também da escultura, da literatura e da música, não tiveram grande reconhecimento durante a vida e muitos morreram muito pobres. Isso ocorreu com o próprio Vermeer citado acima, mas também com Vincent van Gogh, Rembrandt, Aleijadinho, Edgar Allan Poe, Oscar Wilde, Franz Schubert, Wolfgang Amadeus Mozart e muitos outros. É inegável que alguém que produziu obras que enganaram tanta gente capacitada no mundo da arte tenha talento. É verdade também que Van Meegeren era muito rico para a época, pois ganhou muito dinheiro com suas falsifica¸cões durante a Segunda Guerra Mundial (estimativas atuais calculam que sua fortuna girava em torno de 25 milhões de dólares!), mas hoje ele é apenas lembrado como um falsário aproveitador. Sua imagem na história, certamente, seria outra se ele tivesse se conformado em levar uma vida honesta.

Vale a pena lembrar que Goering foi o fundador da terr´ıvel Gestapo, a pol´ıcia secreta nazista, e que esteve à frente de terr´ıveis atrocidades durante o holocausto, sendo inclusive indicado, durante a primeira metade da guerra, como um poss´ıvel sucessor do próprio Adolf Hitler. Ele foi capturado em 6 de maio de 1945 e, após julgamento no Tribunal de Nurenberg, foi condenado à forca em 15 de outubro de 1946. Ele cometeu suic´ıdio um dia antes da execu¸cão, ingerindo cianeto de potássio.

A desejada prova definitiva de que a obra “The disciples at Emmaus” era falsa veio somente em 1967, quando uma equipe de cientistas da Canergie Mellon University dos Estados Unidos aplicaram o método de data¸cão por decaimento radioativo. Embora a radia¸cão tenha sido descoberta em 1896 por Henri Becquerel e algumas de suas propriedades tenham sido descobertas por Marie Curie em 1898, foi por volta de 1906 que Ernest Rutherford descobriu o decaimento radioativo. A partir de então, a ciência não parou de progredir no campo da data¸cão de fósseis (que algum dia foram seres orgânicos), rochas e objetos manufaturados a partir dos minérios que são extra´ıdos das rochas.

Vimos na se¸c˜ao acima a EDO (que alguns autores chamam de modelo matem´atico) y′ _{= ky} _{para data¸c˜}_{ao, por} decaimento radioativo, de determinado elemento qu´ımico. Como k < 0, adotemos k = −λ, com λ > 0. Vamos adotar, portanto, a EDO

y′ = −λy,

sendo λ a constante de decaimento radioativo do elemento qu´ımico e y = y (t) a quantidade de ´atomos radioativos do elemento na amostra no instante t.

Primeiro passo: Como calcular λ?

Lembremos que o tempo de meia-vida de um elemento qu´ımico é o tempo necessário para que a metade dos átomos do elemento qu´ımico na amostra deixe de ser radioativa.

Suponhamos que y (t0) = y0seja a quantidade de ´atomos radioativos no instante t0. Logo, temos que resolver o problema de valor inicial

y′ _{= −λy} y (t0) = y0 (1) Resolvendo: y′= −λy ⇒ 1 y dy dt = −λ ⇒ Z 1 y dy dtdt = Z (−λ) dt ⇒ Z 1 ydy = Z (−λ) dt ⇒ ln (|y|) = −λt + k1⇒ y (t) = k2e−λt. Assim, y0= k2e−λt0⇒ k2= _e−λt0y0 . Logo, y (t) = y0 e−λt0e−λt= y0e−λ(t−t0). (2)

Se fizermos t = t1tal que y(t1)

y0 =

2, temos que t1− t0´e o tempo de meia-vida do elemento qu´ımico. Assim, 1 2= e −λ(t1−t0) ⇒ t1− t0= ln(2)_λ , ou seja, t1− t0=∼ 0,6931_λ .

Desta forma, sabendo-se o tempo de meia-vida do elemento qu´ımico, podemos determinar λ. Observa¸c˜ao: a unidade de medida de λ ´e (unidade de tempo)−1_.

Exemplos: Tempo de meia-vida de: Is´otopo Chumbo-210: 22 anos. Is´otopo Carbono-14: 5.730 anos.

Isótopo Urânio-238: 4.500.000.000 anos. (urânio é o elemento de maior número atômico que encontramos na natureza)

Segundo passo: Como calcular t − t0? (“idade” da amostra a partir de t0)

Temos por (2) que

t − t0= ln(y0y)

λ .

Assim, se soubermos λ, y (t) (quantidade de ´atomos radioativos de um determinado elemento qu´ımico em uma amostra no instante t) e y0(o mesmo no instante t0), saberemos t − t0.

Terceiro passo: N˜ao ´e t˜ao simples assim...

Rochas e minérios contêm uma pequena quantidade de Urânio-238, que é um isótopo de urânio instável e que se desintegra segundo a cadeia abaixo:

238 92 U −Urˆanio-238 4 2α −→ 4,5bilh˜oes de anos

234 90 Th −Tório-234 0 −1β −→ 24dias 234 91 Pa −Protact´ınio-234 0 −1β −→ 1,2minutos 234 92 U −Urânio-234 4 2α −→ 200.000anos 230 90 Th −Tório-230 4 2α −→ 80.000anos 226 88 Ra −Rádio-226 4 2α −→ 1600anos 222 86 Rn −Radônio-222 4 2α −→ 3,8dias 218 84 Po −Polônio-218 4 2α −→ 3minutos 214 82 Pb −Chumbo-214 0 −1β −→ 27minutos 214 83 Bi −Bismuto-214 0 −1β −→ 20minutos 214 84 Po −Polônio-214 4 2α −→ menos de 1 segundo 210 82 Pb −Chumbo-210 0 −1β −→ 22anos 210 83 Bi −Bismuto-210 0 −1β −→ 5dias 210 84 Po −Polônio-210 42α −→ 138dias 206 82 Pb −Chumbo-206 (não-radioativo) Observa¸cão. A nomenclatura utilizada acima é

n´umero de massa

n´umero atˆomico Elemento, sendo:

→ número atômico = número de prótons = número de elétrons. → número de massa = número de prótons + número de neutrons.

→ 42αé part´ıcula a chamada part´ıcula alfa (ou núcleo de hélio42He), composta por dois prótons e dois neutrons que são emitidos do núcleo.

→ 0−1βé part´ıcula beta, (ou elétron 0−1e), composta, naturalmente, por um elétron. Nesse processo, um neutron se transforma em um próton e um elétron. O elétron é emitido do núcleo.

Um determinado pigmento (corante) branco chamado de alvaiade (ou óxido de chumbo, ou ainda chumbo branco) é usado pelo menos por mais de 2.000 anos em tintas usadas para pinturas de obras de arte. O alvaiade é feito a partir do chumbo (metal) que, por sua vez, é obtido do minério de chumbo por um método chamado redu¸cão ou fundi¸cão que visa separar o metal do res´ıduo (chamado de lava).

Esse processo elimina de 90 a 95 por cento do R´adio-226 e seus descendentes radioativos presentes no min´erio, exceto o Chumbo-210 que se agrega ao Chumbo-206 (metal).

Desta forma, pinturas contêm Chumbo-210 e uma pequena quantia de Rádio-226. Logo, é natural tomar o Chumbo-210 como elemento qu´ımico usado na data¸cão das obras de arte.

Quarto passo: em obras de arte, nossa equa¸c˜ao não é homogênea...

Se o alvaiade não contivesse Rádio-226, poder´ıamos usar a equa¸cão (1) para a data¸cão.

No processo de fabrica¸cão do alvaiade, o Chumbo-210 original ficou, mas o que mantinha o suprimento de Chumbo-210 não, exceto por uma pequena quantia proveniente do Rádio-226.

(Na natureza, as taxas de desintegra¸cão de todos os elementos radioativos do minério de chumbo em um per´ıodo de tempo “pequeno” eram mantidas constantes devido ao suprimento de Urânio-238, cuja taxa de desintegra¸cão é muito pequena)

Assim, se y (t) é a quantidade de Chumbo-210 em um grama de alvaiade na obra de arte no instante t e r (t) é a taxa de desintegra¸cão do que restou do Rádio-226 no instante t, temos:

y′(t) = −λy (t) + r (t). (3)

( r (t) é medida em número de átomos de Rádio-226 desintegrados em Chumbo-210 por grama por minuto - note que o tempo de desintegra¸cão do Radônio-222 até o Chumbo-210 é muito pequeno comparado ao tempo considerado na data¸cão)

Ainda: λ é a constante de desintegra¸cão radioativa do Chumbo-210 e y (t0) = y0 é a quantidade de átomos de Chumbo-210 no instante de fabrica¸cão do alvaiade.

A equa¸c˜ao (3) acima justifica-se do seguinte modo:

Seja y = y + x, sendo y (t) quantidade de Chumbo-210 proveniente da fabrica¸c˜ao do alvaiade no instante t e x (t) a quantidade de Chumbo-210 proveniente do pouco que restou do R´adio-226 no instante t. Logo,

y′= y′+ x′ = y′+ r (t) ⇒ y′= −λy + r (t).

Mas a quantidade de Chumbo-210 que vem do Rádio-226 é muito pequena (pois, além da quantidade deste último ser pequena, o tempo de meia-vida do Rádio-226 é de 1.600 anos). Logo, y ∼= y e temos a equa¸cão (3).

Como o interesse é analisar obras de arte que possuam por volta de 300 anos, consideremos que r (t) = r (constante) nesse per´ıodo (isso é razoável devido ao longo per´ıodo de meia-vida do Rádio-226).

Logo, a equa¸c˜ao fica

y′_{(t) = −λy (t) + r ⇒ y}′+ λy = r. (4)

Quinto passo: resolvendo a equa¸c˜ao:

Usando o fator de integra¸c˜ao v (t) = eRλdt_{= e}λt+k_{, temos que a equa¸c˜}_{ao (4) possui solu¸c˜}_ao y (t) =_eλt+k1 Z eλt+krdt = e−λtrÄeλt_λ + cä= r λ+ cre −λt_. De y0= y (t0)temos y0= r λ+ cre −λt0 ⇒ c = y0eλt0 r − eλt0 λ . Assim, y (t) = _λr+Äy0eλt0 r − eλt0 λ ä re−λt= _λr+ y0e−λ(t−t0)₋re−λ(t−t0) λ ⇒ y (t) = r_λ 1 − e−λ(t−t0) + y0e−λ(t−t0) (5)

que será o modelo matemático para data¸cão de quadros de Vermeer e de Van Meegeren.

Sexto passo: e agora?

Note que se soubermos y (t), r, λ e y0, saberemos t − t0em (5), que ´e a idade do quadro.

Temos que y (t), r são fáceis de determinar experimentalmente a partir do alvaiade do quadro. Temos também que λ pode ser obtido do primeiro passo, uma vez que a meia-vida do Chumbo-210 é conhecida (22 anos).

Já y0 irá depender da concentra¸cão original de Urânio-238 - que pode variar de 0, 00027% até 3%. Portanto, y0irá depender da concentra¸cão de Rádio-226 no minério de chumbo que foi utilizado para fabricar o alvaiade.

Medindo a taxa de desintegra¸cão de Rádio-226 em diversas amostras de alvaiade feitos de minério de chumbo de jazidas do vários locais no mundo, temos que esta pode variar de 0, 18 até 140 desintegra¸cões por grama por minuto. Conclusão: a menos que saibamos de onde provém o alvaiade dos quadros, é imposs´ıvel, por esse modelo, datar com relativa precisão os quadros.

S´etimo passo: Ser´a que perdemos tempo?

No entanto, para quadros que foram confeccionados a mais de trezentos anos, podemos brincar mais um pouco com a equa¸c˜ao (5).

Suponhamos que a idade do quadro que queremos datar seja de 300 anos. Será que a equa¸cão (5) conduzirá a um absurdo se o quadro tiver 20 anos? (lembre-se que no caso das obras de arte de Van Meegeren, a data¸cão ocorreu vinte anos (1967) depois de sua morte em 1947).

Assim, trabalhando com o tempo em minutos, temos

λy0= λy (t) e300(525.600)λ− rÄe300(525.600)λ− 1ä. (6) A taxa de desintegra¸cão do Chumbo-210, depois de 22 anos, é aproximadamente igual à taxa de desintegra¸cão do Polônio-210 (que é suprimido justamente pelo Chumbo-210, pois sua meia-vida é muito curta). Logo, podemos obter y (t) a partir da taxa de desintegra¸cão do Polônio-210.

Observa¸cão: O que é mensurável na prática não é quantidade de átomos de um determinado elemento, mas sim a quantidade de radia¸cão α4

2 que o núcleo do elemento emite, ou seja, o que é mensurável é a taxa de desintegra¸cão com radia¸cão alfa. Por esse motivo, precisamos analisar o Polônio no lugar do Chumbo, que só emite radia¸cão beta e, portanto, não é mensurável na prática. Já no caso de r não há problema, pois o Rádio-226 emite radia¸cão alfa. No caso do quadro “The disciples at Emmaus”, a taxa de desintegra¸cão do Polônio-210 é 8, 5 átomos por grama por minuto de alvaiade e a taxa de desintegra¸cão do Rádio-226 é de 0, 8 átomos por grama por minuto de alvaiade. Mas, λy (t) = −y′(t) = 8, 5(a taxa do Chumbo-210 é igual a taxa do Polônio-210).

Temos r = 0, 8. Temos λ = _tln(2)

1−t0 =

ln(2) 22×525.600 min. Logo, a equa¸c˜ao (6) fica:

λy0= 8, 5e300(525.600) ln(2)22(525.600) _{− 0, 8}

e300(525.600) ln(2)22(525.600) _{− 1}

= 98.050;

ou seja, a taxa de desintegra¸cão do Chumbo-210 no momento da fabrica¸cão do alvaiade seria de 98.050 átomos por grama de alvaiade por minuto.

Oitavo passo: o que significa y′_(t

0) = −98.050?

A taxa de desintegra¸cão do Chumbo-210 original é a mesma taxa de desintegra¸cão do Urânio-238 original do minério, pois é esse último que mantém a taxa do Chumbo-210 na natureza, devido à sua enorme meia-vida. Logo,

y′(t0) = z′(t0) = −λU238z0,

sendo z0a quantidade de Urˆanio-238 por grama do min´erio de chumbo. Temos

z0= 98.050ln(2)

(4,5×109)×525.600

= 3, 346× 1020 ´atomos por grama de min´erio de chumbo.

Nono passo: e da´ı que em cada grama do min´erio de chumbo pode haver 3, 346 × 1020 _´_{atomos de Urˆ}_anio-238?

Sabemos dos conceitos de qu´ımica básica que 6, 02 × 1023_{átomos de Urˆ}_{anio-238 têm massa 238 gramas. Assim, temos} que 3, 346 × 1020 _{átomos tem massa} 238(3.346×1020)

6.02×1023 = 0, 132gramas.

Logo, um grama do minério de chumbo utilizado para fabricar o alvaiade do quadro “The disciples at Emmaus” possuiria 0, 132 gramas de Urânio-238, ou seja, uma concentra¸cão de 13, 2% de Urânio-238.

Acontece que não existe minério de chumbo com uma concentra¸cão tão elevada de Urânio na natureza (no máximo temos 3%).

D´ecimo passo: finalmente as conclus˜oes...

Concluimos que o quadro “The disciples at Emmaus” não pode ser um quadro de 300 anos. Por outro lado, se fizermos t − t0= 20anos, chegaremos a concentra¸cões de Urânio-238 aceitáveis.

Tabela de desintegra¸cões dos quadros suspeitos de falsifica¸cão: Quadro Taxa desintegra¸cão 210

84 Po Taxa desintegra¸cão22688 Ra The disciples at Emmaus 8, 5átomos/grama/min 0, 8átomos/grama/min

The washing of the feet 12, 6átomos/grama/min 0, 26átomos/grama/min Woman reading music 10, 3átomos/grama/min 0, 3átomos/grama/min Woman playing music 8, 2átomos/grama/min 0, 17átomos/grama/min

Lacemaker 1, 5átomos/grama/min 1, 4átomos/grama/min Officer 5, 2átomos/grama/min 6, 0átomos/grama/min

Procedimento análogo mostra que “The Washing of the Feet” (Lavando os Pés), “Woman Reading Music” (Mulher Lendo Música) e “Woman Playing Music” (Mulher Tocando Bandolin) são falsos também (pois as taxas de desintegra¸cão do 210

84 Po e 22688 Ra são muito discrepantes), enquanto “Lacemaker” (Rendeira) e “Officer” (Garota Sorrindo) são verdadeiros, ou pelo menos não podem ser falsifica¸cões modernas (pois as taxas são muito próximas).

“The washing of the feet” “Woman reading music” “Woman playing music”

“Lacemaker ” “Officer ”

Obras reconhecidamente falsificadas por Van Meegeren: The Woman Taken in Adultery - “falso Vermeer”;

Jesus Amongst the Doctors - “falso Vermeer”; The Disciples at Emmaus - “falso Vermeer”; The Washing of the Feet - “falso Vermeer”; Woman Reading Music - “falso Vermeer”; Woman Playing Music - “falso Vermeer”; The Head of Christ - “falso Vermeer”;

The Last Supper, 1st_{. version - “falso Vermeer”;} The Last Supper, 2nd_{. version - “falso Vermeer”;} The Blessing of Jacob - “falso Vermeer”;

Man and Woman at a Spinet - “falso Vermeer”; Interior with Cardplayers - “falso Pieter de Hoogh”;

Interior with Drinkers - “falso Pieter de Hoogh”; Portrait of a Man - “falso Terborgh”;

Woman Drinking - “falso Frans Hals”.

No documento Clique aqui para acessar o arquivo da 1a., 2a. e 3a. Partes das Notas para o Acompanhamento das Aulas (páginas 108-115)