→ R. Dizemos que:
(i) f atinge valor m´ınimo local (ou valor m´ınimo relativo) no ponto (a, b) ∈ X quando existe uma vizinhan¸ca V de (a, b) em X tal que f (a, b) ≤ f (x, y) para todo (x, y) na vizinhan¸ca V. Tamb´em dizemos que (a, b) ´e ponto de m´ınimo local de f.
(ii) f atinge valor m´aximo local (ou valor m´aximo relativo) no ponto (a, b) ∈ X quando existe uma vizinhan¸ca V de (a, b) em X tal que f (a, b) ≥ f (x, y) para todo (x, y) na vizinhan¸ca V. Tamb´em dizemos que (a, b) ´e ponto de m´aximo local de f.
(iii) f atinge valor m´ınimo global (ou valor m´ınimo absoluto) no ponto (a, b) ∈ X quando f (a, b) ≤ f (x, y) para todo (x, y) no dom´ınio X de f. Tamb´em dizemos que (a, b) ´e ponto de m´ınimo global de f.
(iv) f atinge valor m´aximo global (ou valor m´aximo absoluto) no ponto (a, b) ∈ X quando f (a, b) ≥ f (x, y) para todo (x, y) no dom´ınio X de f. Tamb´em dizemos que (a, b) ´e ponto de m´aximo global de f.
Observa¸c˜ao. De acordo com as defini¸c˜oes acima, todo valor m´ınimo global de f ´e, tamb´em, valor m´ınimo local (neste caso, a vizinhan¸ca V ´e todo o dom´ınio X). Analogamente para valor m´aximo local.
Proposi¸c˜ao 4.3 Seja f : X ⊂ R2
→ R cont´ınua, sendo X dom´ınio constitu´ıdo por uma curva fechada e pontos interiores a esta curva. Ent˜ao, existem pontos em X tais que f atinge valores m´ınimo e m´aximo globais.
Proposi¸c˜ao 4.4 Suponha que f : X ⊂ R2
→ R atinja valor m´aximo local ou m´ınimo local em (a, b) ∈ X e que existam
∂f
∂x(x, y)e ∂f
∂y(a, b). Ent˜ao,
∂f
∂x(a, b) = ∂f
∂y(a, b) = 0.
Observa¸c˜oes.
(i) A rec´ıproca da Proposi¸c˜ao 4.3 acima ´e falsa, ou seja, existem fun¸c˜oes que atingem valores m´aximo e m´ınimo globais sem que o dom´ınio seja da forma descrita no enunciado da proposi¸c˜ao. Por exemplo, f : R2
→ R tal que f (x, y) = sen (x + y) atinge valor m´aximo 1 e valor m´ınimo −1 em diversos pontos sem que o dom´ınio R2 seja da forma enunciada.
(ii) A rec´ıproca da Proposi¸c˜ao 4.4 tamb´em ´e falsa, ou seja, existem fun¸c˜oes que possuem derivadas parciais que se anulam em pontos onde f n˜ao atinge valor m´aximo ou m´ınimo (abaixo veremos um exemplo disso).
(iii) Do ponto de vista geom´etrico, a Proposi¸c˜ao 4.4 diz que o plano tangente ao gr´afico de f no ponto (a, b, f (a, b)) ´e horizontal, ou seja, sua equa¸c˜ao ´e da forma z = f (a, b).
Exemplo 4.5 Consideremos os parabol´oides circulares z = f (x, y) = x2+ y2 (concavidade para cima e v´ertice na origem), z = g (x, y) = −x2− y2 (concavidade para baixo e v´ertice na origem) e o parabol´oide hiperb´olico z = h (x, y) = y2− x2(eixo z e centro na origem). Essas 3 superf´ıcies podem ser vistas como gr´aficos de fun¸c˜oes cont´ınuas e deriv´aveis f, g, h ⊂ R2
Sabemos que (0, 0) ´e ponto no qual f atinge valor m´ınimo global (portanto, valor m´ınimo local tamb´em). De acordo com a Proposi¸c˜ao 4.4, ∂f ∂x(0, 0) = ∂f ∂y(0, 0) = 0. De fato, ∂f ∂x(x, y) = 2xe ∂f
∂y(x, y) = 2ye nossa conclus˜ao se verifica. Sabemos que (0, 0) ´e ponto no qual g atinge valor m´aximo global (portanto, valor m´aximo local tamb´em). De acordo com a Proposi¸c˜ao 4.4, ∂g∂x(0, 0) = ∂g∂y(0, 0) = 0. De fato, ∂g∂x(x, y) = −2x e ∂g∂y(x, y) = −2y e nossa conclus˜ao se verifica.
J´a no caso do parabol´oide hiperb´olico, sabemos que (0, 0) n˜ao ´e ponto no qual f atinge valor m´aximo ou m´ınimo. Entretanto, ∂h ∂x(x, y) = −2x e ∂h ∂y(x, y) = 2y e temos ∂h ∂x(0, 0) = ∂h
∂y(0, 0) = 0, confirmando que a rec´ıproca da Proposi¸c˜ao 4.4 ´e falsa. Al´em disso, esse exemplo confirma que planos tangentes horizontais n˜ao ocorrem exclusivamente em pontos onde f atinge valor m´aximo ou m´ınimo.
Proposi¸c˜ao 4.5 Seja f : X ⊂ R2
→ R cont´ınua, sendo X dom´ınio contitu´ıdo por uma curva fechada e pontos interiores a esta curva. Se f atinge valor m´aximo ou m´ınimo global no ponto (a, b), ent˜ao:
(i) (a, b) ´e um ponto interior do dom´ınio X tal que ∂f
∂x(a, b) = ∂f
∂y(a, b) = 0.
ou
(ii) (a, b) ´e um ponto interior do dom´ınio X tal que n˜ao existe ∂f
∂x(a, b) ou ∂f ∂y(a, b).
ou
(iii) (a, b) ´e um ponto da curva que delimita o dom´ınio X (fronteira de X).
Seja f : X ⊂ R2
→ R deriv´avel. Quando ∂f
∂x(a, b) = ∂f
∂y(a, b) = 0dizemos que (a, b) ´e ponto cr´ıtico de f.
Um ponto cr´ıtico de f no qual a fun¸c˜ao n˜ao atinge valor m´aximo ou m´ınimo local ´e chamado de ponto de sela de f.
Exemplo 4.6 Seja f : X ⊂ R2
→ R, sendo X =(x, y)∈ R2: x2+ y2≤ 1 , e f (x, y) =px2+ y2. Encontremos os pontos (a, b) ∈ X nos quais f atinge valores m´aximo e m´ınimo.
Observemos que o dom´ınio X de f ´e um disco fechado de raio 1 (isto ´e, que cont´em a circunferˆencia de raio 1 que o delimita) com centro na origem (0, 0). Portanto, o dom´ınio de f ´e do tipo enunciado nas Proposi¸c˜oes 4.3 e 4.5 acima. Al´em disso, f ´e cont´ınua.
Pela Proposi¸c˜ao 4.3 sabemos que existem pelo menos dois pontos em X nos quais f atinge valores m´ınimo e m´aximo globais.
Pela Proposi¸c˜ao 4.5 sabemos que esses pontos se enquadram em pelo menos um dos 3 itens apresentados.
Sendo assim, a estrat´egia que devemos adotar ´e encontrar todos os pontos dos itens (i), (ii) e (iii) da Proposi¸c˜ao 4.5 e verificar em quais deles f atinge valores m´ınimo ou m´aximo globais.
• Quanto ao item (i) temos:
∂f ∂x(x, y) = x √ x2+y2 e ∂f ∂y(x, y) = y √ x2+y2
sendo que o dom´ınio de ∂f ∂x e
∂f
∂y ´e X = R2− {(0, 0)}. Assim, n˜ao h´a pontos que anulam simultaneamente as derivadas parciais de f, ou seja, n˜ao h´a pontos do item (i).
• Quanto ao item (ii), o ´unico ponto no qual as derivadas parciais n˜ao existem ´e (0, 0) e este ponto ´e um dos pontos candidatos a m´ınimo ou m´aximo globais.
• Quanto ao item (iii), os pontos da fronteira de X s˜ao os pontos (a, b) da circunferˆencia de centro na origem e raio 1 de equa¸c˜ao a2+ b2= 1. Observemos que em qualquer um desses pontos f atinge valor 1, pois f (a, b) =√a2+ b2= √
1 = 1.
Assim, temos o seguinte quadro:
Item - Proposi¸c˜ao 4.5 Pontos Valores de f Tipo de Ponto
(i) n˜ao tem n˜ao tem n˜ao tem
(ii) (0, 0) f (0, 0) = 0 m´ınimo global
(iii) (a, b) tais que a2+ b2= 1 f (a, b) = 1 m´aximo global Observemos que h´a infinitos pontos nos quais f atinge valor m´aximo global.
gráfico (cone) y z x R3 1 1 1 domínio (disco) ( , )a b Exemplo 4.7 Seja f : X ⊂ R2
→ R sendo X regi˜ao triangular de v´ertices (0, 0), (2, 0) e (0, 4) e f (x, y) = xy−x−y+3. Encontremos os pontos (a, b) ∈ X nos quais f atinge valores m´aximo e m´ınimo.
Observemos que o dom´ınio X de f ´e composto por um triˆangulo e seus pontos interiores, portanto, ´e do tipo enunciado nas Proposi¸c˜oes 4.3 e 4.5. Al´em disso, f ´e cont´ınua.
x y R2 domínio (triângulo) ( , )2 0 ( , )0 4 ( , )0 0
Pela Proposi¸c˜ao 4.3 sabemos que existem pelo menos dois pontos em X nos quais f atinge valores m´ınimo e m´aximo globais.
Pela Proposi¸c˜ao 4.5 sabemos que esses pontos se enquadram em pelo menos um dos 3 itens apresentados.
Sendo assim, a estrat´egia que devemos adotar ´e encontrar todos os pontos dos itens (i), (ii) e (iii) da Proposi¸c˜ao 4.5 e verificar em quais deles f atinge valores m´ınimo ou m´aximo globais.
• Quanto ao item (i) temos: ∂f ∂x(x, y) = y − 1 ∂f ∂y(x, y) = x − 1 ⇒ y − 1 = 0 x − 1 = 0 ⇒ y = 1 x = 1 ou seja, (1, 1) ´e o ´unico candidato ponto cr´ıtico de f.
• Quanto ao item (ii) observemos que o dom´ınio de ∂f ∂x e de
∂f
∂y ´e X (mesmo dom´ınio de f). Logo, n˜ao h´a pontos nos quais as derivadas parciais n˜ao existem.
• Quanto ao item (iii), devemos subdivid´ı-lo em trˆes partes, uma para cada lado do triˆangulo que delimita do dom´ınio de f.
◮(iii − 1) Lado do triˆangulo que liga os pontos (0, 0) e (2, 0). Este segmento possui equa¸c˜ao y = 0 com 0 ≤ x ≤ 2.
Substituindo y = 0 em f (x, y) temos g (x) = f (x, 0) = −x + 3 com 0 ≤ x ≤ 2.
Naturalmente, g atinge valor m´ınimo em x = 2 e valor m´aximo em x = 0, ou seja, (0, 0) e (2, 0) s˜ao candidatos a m´ınimo e m´aximo de f.
◮(iii − 2) Lado do triˆangulo que liga os pontos (0, 0) e (0, 4). Este segmento possui equa¸c˜ao x = 0 com 0 ≤ y ≤ 4.
Substituindo x = 0 em f (x, y) temos h (y) = f (0, y) = −y + 3 com 0 ≤ y ≤ 4.
Naturalmente, h atinge valor m´ınimo em y = 4 e valor m´aximo em y = 0, ou seja, (0, 0) e (0, 4) s˜ao candidatos a m´ınimo e m´aximo de f.
◮(iii − 3) Lado do triˆangulo que liga os pontos (2, 0) e (0, 4). Este segmento possui equa¸c˜ao y = −4
2(x − 2) = −2x + 4com 0 ≤ x ≤ 2 (utilize y − y0 = m (x − x0)para achar a equa¸c˜ao).
Substituindo y = −2x + 4 em f (x, y) temos i (x) = f (x, −2x + 4) = x (−2x + 4) − x − (−2x + 4) + 3 = −2x2+ 5x − 1 com 0 ≤ x ≤ 2.
Para encontrar os pontos que otimizam i utilizamos C´alculo 1. Temos i′(x) = −4x + 5, portanto, x = 5 4 ´e ponto cr´ıtico de i. Logo, 5 4, −2 5 4+ 4 = 5 4, 3
2 ´e candidato a m´ınimo ou m´aximo de f, al´em dos pontos correspondentes aos extremos do segmento, que s˜ao os pontos (2, 0) e (0, 4).
Assim, temos o seguinte quadro:
Item - Proposi¸c˜ao 4.5 Pontos Valores de f Tipo de Ponto
(i) (1, 1) f (1, 1) = 2 –
(ii) n˜ao tem n˜ao tem n˜ao tem
(0, 0) f (0, 0) = 3 m´aximo global
(2, 0) f (2, 0) = 1 –
(iii) (0, 4) f (0, 4) = −1 m´ınimo global 5 4, 3 2 f 54,32 = 17 8 = 2, 125 –
Observemos que neste exemplo os pontos que otimizam f s˜ao ´unicos. Al´em disso, pontos (0, 4, −1) e (0, 0, 3) s˜ao os pontos mais baixo e mais alto no gr´afico de f, respectivamente.