Dada uma fun¸c˜ao vetorial f : X ⊂ R → Rn, n ≥ 2, uma primitiva (ou antiderivada) de f em X ´e uma fun¸c˜ao vetorial
deriv´avel F : X ⊂ R → Rn, n ≥ 2, tal que
F′(t) =f (t)
para qualquer t ∈ X.
Observemos que a defini¸c˜ao acima n˜ao estabelece unicidade de primitiva para f .
Neste ponto ´e natural questionar a respeito da rela¸c˜ao entre as primitivas de uma dada fun¸c˜ao. A proposi¸c˜ao abaixo esclarece a esse respeito.
Proposi¸c˜ao 6.4 Se F1,F2: X ⊂ R → Rn, n ≥ 2, s˜ao primitivas de f : X ⊂ R → Rn, n ≥ 2, ent˜ao existe ~c ∈ Rn tal
que F1(t) =F2(t) +~c para qualquer x∈ X, ou seja, as primitivas de uma fun¸c˜ao vetorial diferem apenas por um vetor
constante.
O conjunto de todas as primitivas de f : X⊂ R → Rn, n ≥ 2, ´e chamado de integral indefinida de f e indicado por
R
f (t) dt. Al´em disso, dizemos que f ´e integr´avel e, tamb´em, que f ´e o integrando da integral indefinida.
Inspirados pela proposi¸c˜ao acima, ´e comum escrever Rf (t) dt = F (t) + ~c, sendo F uma primitiva de f e ~c vetor constante, chamado de vetor constante de integra¸c˜ao.
Exemplo 6.13 Seja f : R → R2dada por f (t) = t2,sen (t). Ent˜ao, Z f (t) dt = Z t2,sen (t) dt =Ät3 3, −cos (t) ä + (a, b),
ou seja, F (t) =Ät33, −cos (t)ä´e uma primitiva de f e o vetor constante de integra¸c˜ao ´e ~c = (a, b).
Exemplo 6.14 Um aeromodelo (pequeno avi˜ao motorizado) parte do ponto (3, 0, 0) com vetor velocidade inicial (0, 3, 0). Suponha que o vetor acelera¸c˜ao do aeromodelo no instante t seja dado por a (t) = (−3 cos (t) , −3 sen (t) , 2). Encontremos a curva no espa¸co descrita pelo aeromodelo.
Neste caso, sabemos que a derivada do vetor velocidade v = v (t) do aeromodelo no instante t ´e o vetor acelera¸c˜ao. Assim, se integrarmos o vetor acelera¸c˜ao, achamos o vetor velocidade:
v (t) = Z
a (t) dt = Z
(−3cos (t) , −3 sen (t) , 2) dt = (−3 sen (t) , 3 cos (t) , 2t) + (a, b, c) .
Como v (0) = (0, 3, 0), temos (−3 sen (0) , 3 cos (0) , 2.0) + (a, b, c) = (0, 3, 0), ou seja, (a, b, c) = (0, 0, 0). Portanto, v (t) = (−3 sen (t) , 3 cos (t) , 2t) .
sabemos que a derivada do vetor posi¸c˜ao f = f (t) do aeromodelo no instante t ´e o vetor velocidade. Assim, se integrarmos o vetor velocidade, achamos o vetor posi¸c˜ao:
f (t) = Z
v (t) dt = Z
(−3sen (t) , 3 cos (t) , 2t) dt = 3 cos (t) , 3 sen (t) , t2 + (α, β, γ) .
Como f (0) = (3, 0, 0), temos 3 cos (0) , 3 sen (0) , 02 + (α, β, γ) = (3, 0, 0), ou seja, (α, β, γ) = (0, 0, 0). Portanto, f (t) = 3 cos (t) , 3 sen (t) , t2 ,
Integral Definida
Dada f : [a, b] ⊂ R → Rn, n ≥ 2, fun¸c˜ao vetorial. Suponhamos que f (t) = (x1(t) , . . . , xn(t)), com fun¸c˜oes componentes xi: [a, b]⊂ R → R, sejam integr´aveis em [a, b]. A integral definida da fun¸c˜ao vetorial f em [a, b] ´e dada por Zb a f (t) dt = ÇZb a x1(t) dt, . . . , Zb a xn(t) dt å .
Proposi¸c˜ao 6.5 Teorema Fundamental do C´alculo (TFC) para fun¸c˜oes vetoriais. Seja f : [a, b] ⊂ R → Rn, n ≥ 2,
fun¸c˜ao vetorial integr´avel e F : [a, b] ⊂ R → Rn, n ≥ 2, uma primitiva de f. Ent˜ao,
Zb a
f (t) dt = F (b) − F (a) .
´
E comum escrever F (b) − F (a) = F (t)|t=bt=aou, simplificadamente, F (b) − F (a) = F (t)|ba. Desta forma, Zb
a
f (t) dt = F (t)|ba.
Exemplo 6.15 Seja f : R → R2dada por f (t) = t2,sen (t). Ent˜ao, Zπ 2 0 f (t) dt = Zπ 2 0 t2,sen (t) dt = Ät3 3, −cos (t) ä t=π 2 t=0 = Äπ3 24, 0 ä −Ä033, −1ä=Äπ243, 1ä.
Exemplo 6.16 Suponha que uma part´ıcula descreva uma curva no espa¸co, parametrizada por f = f (t). ´E poss´ıvel provar que o comprimento da curva descrita pela part´ıcula do ponto f (a) at´e o ponto f (b) ´e a integral da velocidade escalar da part´ıcula entre os instantes t = a e t = b, ou seja,
c = Zb
akf
′(t)k dt.
Considerando esta integral, calculemos o comprimento da h´elice parametrizada por f (t) = (cos (t) , sen (t) , t) entre os pontos f (0) e f (2π). Temos: c = Z2π 0 kf′(t)k dt = Z2π 0 k(− sen (t) , cos (t) , 1)k dt = Z2π 0 » (−sen (t))2+cos2(t) + 12dt = Z2π 0 √ 2dt = √2t t=2π t=0 = 2 √ 2π.
Cap´ıtulo 7
Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias (EDO’s)
de 1
a
. Ordem
Neste cap´ıtulo abordaremos algumas classes das chamadas equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias (EDO’s) de 1a
. ordem e t´ecnicas de resolu¸c˜ao que fazem uso direto das integrais de fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real que foram estudadas previamente.
7.1
Nomenclatura Relativa `as Equa¸c˜oes Diferenciais
Nesta se¸c˜ao apresentamos uma pequena introdu¸c˜ao e a nomenclatura relativa `as chamadas equa¸c˜oes diferenciais. Trata-se de uma introdu¸c˜ao de cunho geral, para que possamos dimensionar o universo dessas equa¸c˜oes. Mais adiante vamos nos restringir `as equa¸c˜oes de 1a. ordem.
Comecemos com a defini¸c˜ao de equa¸c˜ao diferencial.
Uma equa¸c˜ao diferencial ´e uma equa¸c˜ao envolvendo uma fun¸c˜ao, suas derivadas e suas vari´aveis independentes. Pelo menos uma das derivadas deve estar presente na equa¸c˜ao.
Quando em uma equa¸c˜ao diferencial temos uma fun¸c˜ao, por exemplo, y = f (x) e suas derivadas (todas dependentes da vari´avel x), ´e comum escrever y = y (x) no lugar de y = f (x) e y′ = y′(x) no lugar de y′ = f′(x). Mais ainda: ´e comum simplificar a nota¸c˜ao, omitindo a vari´avel independente x e escrevendo apenas a variavel dependente y no lugar de y (x). De forma an´aloga com mais do que uma vari´avel independente: escrevemos y = y (u, v) no lugar de y = f (u, v), yu = yu(u, v) no lugar de yu = fu(u, v) (ou no lugar de ∂y∂u = ∂f
∂u(u, v)), e assim por diante. Mas aten¸c˜ao: sempre deve ficar muito claro quais s˜ao as vari´aveis dependentes e quais s˜ao as vari´aveis independentes na equa¸c˜ao diferencial. Vejamos alguns exemplos para fixar a nota¸c˜ao e entender melhor essas considera¸c˜oes.
Exemplo 7.1 y′= 3y2sen (t + y), sendo y = y (t), ´e uma equa¸c˜ao diferencial.
Observa¸c˜ao: y = y (t) significa que y ´e uma fun¸c˜ao de t, ou seja, y depende de t. Assim, t ´e vari´avel independente e y´e vari´avel dependente.
Exemplo 7.2 y′′′= e−y+ t + y′′, sendo y = y (t), ´e uma equa¸c˜ao diferencial.
Exemplo 7.3 y′′= ax + bx + c, sendo a, b e c constantes reais e y = y (x), ´e uma equa¸c˜ao diferencial.
Exemplo 7.4 y′′= a, sendo a constante real e y = y (x), ´e uma equa¸c˜ao diferencial.
Exemplo 7.5 1 γ(γT′)
′= 0, sendo T = T (γ), ´e uma equa¸c˜ao diferencial.
Exemplo 7.6 yuu+ yv+ ey= uv, sendo y = y (u, v), ´e uma equa¸c˜ao diferencial.
Observa¸c˜ao: Note que aqui y depende de duas vari´aveis, que s˜ao u e v. A nota¸c˜ao yv significa que estamos derivando a fun¸c˜ao y em rela¸c˜ao `a vari´avel v, enquanto que yuu significa que estamos derivando y em rela¸c˜ao `a vari´avel u duas vezes. As fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis, suas derivadas (chamadas de derivadas parciais) e suas integrais (chamadas de integrais m´ultiplas) s˜ao estudadas `a parte.
Observa¸c˜oes.
(i) Em muitas situa¸c˜oes ´e ´util utilizar a nota¸c˜ao fracional para derivadas em equa¸c˜oes diferenciais, ou seja, y′ = dy dx (nota¸c˜ao de Leibniz), sendo y = y (x). Analogamente, y′′ = d2y
dx2, yv =
∂y
∂v, yuu = ∂2y
∂u2, etc (essas duas ´ultimas
s˜ao nota¸c˜oes de Leibniz para derivadas parciais). Por exemplo, a equa¸c˜ao diferencial do Exemplo 7.1 ficaria dydt = 3y2sen (t + y), enquanto que a do Exemplo 7.6 ficaria ∂2y
∂u2 +
∂y ∂v+ e
y= uv.
(ii) Resolver (ou integrar ) uma equa¸c˜ao diferencial significa encontrar uma fun¸c˜ao que a satisfa¸ca. A fun¸c˜ao solu¸c˜ao pode n˜ao ser ´unica. Por exemplo, y = y (x) = k sen (x), sendo k constante real, ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial y′′+ y = 0. Observemos que para cada k, uma solu¸c˜ao!
(iii) Lembremos que “encontrar” uma solu¸c˜ao para uma equa¸c˜ao diferencial pode ser de forma impl´ıcita, por meio de uma equa¸c˜ao envolvendo a fun¸c˜ao e suas vari´aveis. Por exemplo, uma solu¸c˜ao y = y (x) para y′ = y
yey−2x ´e
dada implicitamente por xy2− y2− 2y + 2 ey= 0(verifique). Observemos que n˜ao d´a para isolar a fun¸c˜ao y nesta equa¸c˜ao.
Uma equa¸c˜ao diferencial cuja fun¸c˜ao depende apenas de uma vari´avel ´e chamada de Equa¸c˜ao Diferencial Or- din´aria (EDO).
Uma equa¸c˜ao diferencial cuja fun¸c˜ao depende de mais do que uma vari´avel ´e chamada de Equa¸c˜ao Diferencial Parcial (EDP).
A ordem de uma equa¸c˜ao diferencial ´e a maior ordem de derivada que aparece na equa¸c˜ao.
Dos exemplos acima: o Exemplo 7.1 ´e EDO de ordem 1; o Exemplo 7.2 ´e EDO de ordem 3; os Exemplos 7.3, 7.4 e 7.5 s˜ao EDO’s de ordem 2; e o Exemplo 7.6 ´e EDP de ordem 2.
Uma EDO de ordem n pode ser escrita genericamente como E x, y, y′, . . . , y(n) = 0, sendo y = y (x). No Exemplo 7.1 acima, E (t, y, y′) = y′− 3y2sen (t + y).
H´a uma classe de EDO’s que ´e de interesse especial: Uma EDO de ordem n ´e linear quando for da forma
Pn(x) y(n)+ Pn−1(x) y(n−1)+· · · + P1(x) y′+ P0(x) y = Q (x)
sendo P0= P0(x) , . . . , Pn = Pn(x)fun¸c˜oes dadas chamadas de coeficientes da EDO linear e Pn6= 0.
Quando Q = 0 temos uma EDO linear homogˆenea.
Exemplo 7.7 y′′+ ty = 0, com y = y (t), ´e EDO de 2a. ordem linear homogˆenea, sendo P2(t) = 1, P1(t) = 0, P0(t) = te Q (t) = 0.
Exemplo 7.8 y′= 5x + 2, com y = y (x), ´e EDO de 1a. ordem linear n˜ao homogˆenea, sendo P1(x) = 1, P0(x) = 0e Q (x) = 5x + 2.
Exemplo 7.9 eyy′′+ 2y′= 2, com y = y (x), ´e EDO de 2a. ordem n˜ao linear, pois ey n˜ao ´e fun¸c˜ao conhecida de x.
Exemplo 7.10 4y′′′+sen (x) y′′+ 5xy = 0, com y = y (x), ´e EDO de 3a. ordem linear homogˆenea, sendo P3(x) = 4, P2(x) =sen (x), P1(x) = 0, P0(x) = 5x e Q (x) = 0.
Exemplo 7.11 ty′′′+ t2(y′)6
−sen t√y = t2− t + 1, com y = y (t), ´e EDO de 3a. ordem n˜ao linear, pois y′possui potˆencia 6 e − sen t√y n˜ao ´e da forma Pk(x) y(k) com k inteiro n˜ao negativo.
Exemplo 7.12 (y′)0
= x, com y = y (x), n˜ao ´e equa¸c˜ao diferencial. ´E equa¸c˜ao alg´ebrica (x = 1). Observa¸c˜ao: se fosse (y′)(0)
= xter´ıamos y′= x e, portanto, EDO de 1a. ordem linear. A solu¸c˜ao de uma EDO pode n˜ao ser ´unica. Elas s˜ao classificadas do seguinte modo: - Solu¸c˜ao geral: ´e um conjunto de solu¸c˜oes padr˜ao para a EDO considerada.
- Solu¸c˜ao particular: ´e uma ´unica solu¸c˜ao, obtida da solu¸c˜ao geral, satisfazendo algumas condi¸c˜oes pr´e-fixadas, chamadas de condi¸c˜oes iniciais.