1.3. Complexifica¸ c˜ ao e Formas Reais
1.4.2. Decomposi¸ c˜ oes Lagrangeanas
pl´etico que ser˜ao fundamentais para o estudo do Grassmanniano de Lagran- geanos na Se¸c˜ao 2.5.
Ao longo desta subse¸c˜ao, (V, ω) ser´a sempre um espa¸co simpl´etico com dim(V ) = 2n. Come¸camos com uma defini¸c˜ao.
Definic¸˜ao 1.4.32. Uma decomposi¸c˜ao Lagrangeana de (V, ω) ´e um par (L0, L1) de subespa¸cos Lagrangeanos de V com V = L0⊕ L1.
Exemplo 1.4.33. Se IR2n ´e munido de sua forma simpl´etica canˆonica ent˜ao (IRn⊕ {0}n, {0}n⊕ IRn) ´e uma decomposi¸c˜ao Lagrangeana de IR2n. Mais geralmente, se L ⊂ V ´e um subespa¸co Lagrangeano e J ´e uma es- trutura complexa compat´ıvel com ω ent˜ao (L, J (L)) ´e uma decomposi¸c˜ao Lagrangeana de V (vide Lema 1.4.20 e demonstra¸c˜ao do Corol´ario 1.4.21).
6Na verdade, todo operador normal T relativo a um produto Hermiteano positivo ´e
diagonaliz´avel numa base ortonormal; isso se mostra por um simples argumento indutivo, observando que o complemento ortogonal de um autoespa¸co de T ´e ainda invariante por T . Se T ´e Hermiteano seus autovalores ser˜ao reais e se T ´e anti-Hermiteano seus autovalores ser˜ao puramente imagin´arios.
Se (L0, L1) ´e uma decomposi¸c˜ao Lagrangeana de V , definimos uma apli- ca¸c˜ao
(1.4.11) ρL0,L1: L1 −→ L
∗ 0
fazendo ρL0,L1(v) = ω(v, ·)|L0, para todo v ∈ L1; ´e f´acil ver que ρL0,L1 ´e um
isomorfismo.
Observac¸˜ao 1.4.34. O isomorfismo ρL0,L1 nos permite identificar L1
com o dual de L0, mas alguns cuidados devem ser tomados; o isomorfismo ρL0,L1 de L1 em L
∗
0induz um isomorfismo (ρL0,L1)
∗de L∗∗
0 ∼= L0 em L∗1, mas esse ´ultimo n˜ao coincide com ρL1,L0. Temos:
(1.4.12) ρL1,L0 = − ρL0,L1
∗ .
Se L ⊂ V ´e um subespa¸co Lagrangeano definimos tamb´em um isomor- fismo
(1.4.13) ρL: V /L −→ L∗
que leva, para cada v ∈ V , a classe v + L ∈ V /L no funcional ω(v, ·)|L. Para uma decomposi¸c˜ao Lagrangeana (L0, L1) de V temos o seguinte diagrama comutativo de isomorfismos: (1.4.14) L1 ρL0,L1 ""E E E E E E E E q L∗0 V /L0 ρL0 <<z z z z z z z z
onde q ´e a restri¸c˜ao a L1 da aplica¸c˜ao quociente V → V /L0. Como aplica¸c˜ao do isomorfismo ρL0,L1 temos o seguinte lema.
Lema 1.4.35. Se L0 ⊂ V ´e um subespa¸co Lagrangeano ent˜ao toda base (bi)ni=1 de L0 se estende a uma base simpl´etica (bi)2ni=1 de V ; al´em do mais, escolhido um Lagrangeano complementar L1 de L0, ent˜ao tal extens˜ao pode ser escolhida de modo que (bi)2ni=n+1 ´e uma base de L1.
Demonstrac¸˜ao. Pelo Corol´ario 1.4.21 sabemos que L0 admite um La- grangeano complementar L1; escolhido um tal Lagrangeano L1 definimos:
bn+i= −ρ−1L0,L1(b∗i), i = 1, . . . , n,
onde (b∗i)ni=1´e a base de L∗0 dual de (bi)ni=1. Corol´ario 1.4.36. Dadas duas decomposi¸c˜oes Lagrangeanas (L0, L1) e (L00, L01) de V ent˜ao todo isomorfismo de L0 sobre L00 se estende a um simplectomorfismo T : V → V tal que T (L1) = L01.
Demonstrac¸˜ao. Seja (bi)ni=1 uma base qualquer de L0 e considere a base (b0i)ni=1 de L00 obtida de (bi)ni=1 atrav´es do isomorfismo dado entre L0 e L00; o Lema 1.4.35 nos d´a ent˜ao uma base simpl´etica (bi)2ni=1tal que (bi)2ni=n+1 ´
e uma base de L1 e uma base simpl´etica (b0i)i=12n tal que (b0i)2ni=n+1 ´e uma base de L01. O simplectomorfismo T ´e definido fazendo T (bi) = b0i, i =
1, . . . , 2n.
Corol´ario 1.4.37. Se L0 ⊂ V ´e um subespa¸co Lagrangeano ent˜ao todo isomorfismo de L0 se estende a um simplectomorfismo de V .
Demonstrac¸˜ao. Segue trivialmente do Corol´ario 1.4.36 e do fato que, pelo Corol´ario 1.4.21, todo Lagrangeano L0 admite um Lagrangeano com-
plementar.
Mostramos agora como uma decomposi¸c˜ao Lagrangeana pode ser usada para descrever todos os outros subespa¸cos Lagrangeanos de V .
Proposic¸˜ao 1.4.38. Seja (L0, L1) uma decomposi¸c˜ao Lagrangeana de V ; se P ⊂ L1 ´e um subespa¸co qualquer e S ∈ Bsim(P ) ´e uma forma bilinear sim´etrica em P ent˜ao o subespa¸co
(1.4.15) L =v + w : v ∈ P, w ∈ L0, S(v) − ρL1,L0(w)|P = 0 ⊂ V
´
e Lagrangeano, onde S ´e identificado com um operador linear S : P → P∗. Reciprocamente, se L ⊂ V ´e um subespa¸co Lagrangeano qualquer ent˜ao exis- te um ´unico par (P, S) com P ⊂ L1 um subespa¸co, S ∈ Bsim(P ) e tal que L ´
e dado por (1.4.15); al´em do mais, P ´e dado por: P = π1(L),
onde π1: V → L1 denota a proje¸c˜ao com respeito `a decomposi¸c˜ao V = L0⊕ L1.
Demonstrac¸˜ao. Sejam P ⊂ L1 um subespa¸co e S ∈ Bsim(P ); esco- lhendo um subespa¸co complementar qualquer Q de P em L1 obtemos um isomorfismo
L 3 v + w 7−→ v, ρL1,L0(w)|Q ∈ P ⊕ Q
∗
, v ∈ L1, w ∈ L0,
que mostra que o espa¸co L definido em (1.4.15) tem dimens˜ao n. O seguinte c´alculo direto mostra que L ´e isotr´opico:
ω(v1+ w1, v2+ w2) = ρL1,L0(w1) · v2− ρL1,L0(w2) · v1
= S(v1, v2) − S(v2, v1) = 0, (1.4.16)
para todos v1, v2 ∈ L1, w1, w2 ∈ L0 com v1+ w1, v2+ w2 ∈ L. Mostramos ent˜ao que L ´e Lagrangeano e ´e f´acil ver que P realmente coincide com a proje¸c˜ao π1(L).
Seja agora L ⊂ V um subespa¸co Lagrangeano qualquer e defina P = π1(L). Se v ∈ P e w1, w2 ∈ L0 s˜ao tais que v + w1, v + w2 ∈ L ent˜ao w1− w2 ∈ L ∩ L0; como P ⊂ L + L0 segue que os funcionais ρL1,L0(w1) e
ρL1,L0(w2) coincidem em P . Conclu´ımos ent˜ao que, escolhendo w ∈ L0 com
v + w ∈ L ent˜ao o funcional
S(v) = ρL1,L0(w)|P ∈ P∗
n˜ao depende da escolha de w; obtemos ent˜ao uma aplica¸c˜ao S : P → P∗. ´
E f´acil ver que S ´e linear. Usando que dim(L) = n segue facilmente que L ´e dado por (1.4.15); usando o fato que L ´e isotr´opico, o c´alculo (1.4.16) mostra que S ´e sim´etrica. A unicidade do par (P, S) ´e trivial. A t´ecnica de extens˜ao de base usada na demonstra¸c˜ao do Corol´ario 1.4.36 tamb´em poderia ter sido usada para demonstrar o Corol´ario 1.4.28. O Co- rol´ario 1.4.28 diz em certo sentido que os subespa¸cos Lagrangeanos de um espa¸co simpl´etico s˜ao “indistingu´ıveis” do ponto de vista da estrutura sim- pl´etica e o Corol´ario 1.4.36 implica que tamb´em as decomposi¸c˜oes Lagran- geanas de um espa¸co simpl´etico s˜ao “indistingu´ıveis”; a Proposi¸c˜ao abaixo nos diz que, para pares de Lagrangeanos (L0, L), a dimens˜ao da interse¸c˜ao L0∩ L ´e o ´unico invariante do par (L0, L).
Proposic¸˜ao 1.4.39. Dados subespa¸cos Lagrangeanos L0, L e L0 de V com dim(L0∩ L) = dim(L0∩ L0) ent˜ao existe um simplectomorfismo T ∈ Sp(V, ω) tal que T (L0) = L0 e T (L) = L0.
Demonstrac¸˜ao. Pelo Corol´ario 1.4.37, existe um simplectomorfismo de V que leva L0 sobre si pr´oprio e leva L0∩ L sobre L0∩ L0; podemos ent˜ao supor sem perda de generalidade que L0∩ L = L0∩ L0.
Seja ent˜ao S = L0∩ L = L0∩ L0; da´ı S ´e isotr´opico e L0, L, L0 ⊂ S⊥. Temos uma estrutura simpl´etica ¯ω em S⊥/S obtida de ω por passagem ao quociente (vide Exemplo 1.4.17). Denote por q : S⊥ → S⊥/S a aplica¸c˜ao quociente; ´e f´acil ver que os subespa¸cos q(L0), q(L) e q(L0) s˜ao Lagrangeanos em (S⊥/S, ¯ω). Al´em do mais, temos que q(L0), q(L) e q(L0), q(L0) s˜ao decomposi¸c˜oes Lagrangeanas de S⊥/S, donde existe um simplectomorfismo T de S⊥/S que leva q(L) sobre q(L0) e tal que T q(L0)
= q(L0) (vide Corol´ario 1.4.36); o simplectomorfismo desejado T ∈ Sp(V, ω) ´e obtido ent˜ao
a partir do Lema 1.4.40 a seguir.
Lema 1.4.40. Seja L0 ⊂ V um subespa¸co Lagrangeano e seja S ⊂ L0 um subespa¸co qualquer. Considere a forma simpl´etica ¯ω em S⊥/S definida a partir de ω por passagem ao quociente (vide Exemplo 1.4.17); ent˜ao, dado um simplectomorfismo T de (S⊥/S, ¯ω) tal que T q(L0) = q(L0), existe um simplectomorfismo T de (V, ω) tal que T (S) = S (e logo T (S⊥) = S⊥), T (L0) = L0 e tal que o seguinte diagrama comuta:
S⊥ T |S⊥ // q S⊥ q S⊥/S T //S⊥/S
onde q : S⊥→ S⊥/S denota a aplica¸c˜ao quociente.
Demonstrac¸˜ao. Escreva L0 = S ⊕ R; da´ı L∗0 = So ⊕ Ro, onde So, Ro denotam respectivamente os anuladores dos subespa¸cos S, R em L∗
0. Seja L1 um subespa¸co Lagrangeano complementar de L0 em V (vide Co- rol´ario 1.4.21). Temos:
L1 = ρ−1L0,L1(So) ⊕ ρ−1L0,L1(Ro).
Obtemos uma decomposi¸c˜ao V = V1⊕ V2 de V como soma direta de subes- pa¸cos ω-ortogonais (vide Defini¸c˜ao 1.4.11) dados por:
V1 = S ⊕ ρ−1L0,L1(Ro), V2 = R ⊕ ρ−1L0,L1(So). Segue que V ´e soma direta dos subespa¸cos simpl´eticos V1 e V2.
Note que S⊥= V2⊕ S, donde a aplica¸c˜ao quociente q se restringe a um simplectomorfismo de V2 em S⊥/S; temos ent˜ao um ´unico simplectomorfis- mo T0 de V2 tal que o diagrama:
V2 T0 // q|V2 V2 q|V2 S⊥/S T //S⊥/S
comuta. Como T preserva q(L0) = q(R) temos que T0 preserva R; definimos ent˜ao T fazendo T |V1 = Id e T |V2 = T
0 (vide Exemplo 1.4.12).
Observac¸˜ao 1.4.41. Na verdade ´e poss´ıvel demonstrar que o simplec- tomorfismo T que aparece no enunciado da Proposi¸c˜ao 1.4.39 pode ser esco- lhido de modo que T |L0 seja um isomorfismo positivamente orientado de L0.
De fato, se dim(L0∩ L) = dim(L0∩ L0) = 0 ent˜ao a Proposi¸c˜ao 1.4.39 ´e na verdade uma conseq¨uˆencia trivial do Corol´ario 1.4.36 e podemos at´e mesmo escolher T com T |L0 = Id. No caso geral, observamos que na ´ultima parte da
demonstra¸c˜ao do Lema 1.4.40 podemos definir T de modo que T |V1 seja um
simplectomorfismo arbitr´ario de V1 que preserva S (em vez de T |V1 = Id);
como S ´e um subespa¸co Lagrangeano de V1, o Corol´ario 1.4.37 implica que T pode ser escolhido de modo que T |S = A, onde A ´e um isomorfismo qualquer de S preescrito a priori (e note tamb´em que T |R = T0|R n˜ao depende de A). Se dim(S) > 0 podemos ent˜ao usar a liberdade na escolha de T |S = A para “calibrar” a orienta¸c˜ao de T |L0.
CAP´ITULO 2
Geometria de Grassmannianos
2.1. Variedades e Grupos de Lie: Nota¸c˜oes e Conven¸c˜oes