2.1. Variedades e Grupos de Lie: Nota¸c˜ oes e Conven¸ c˜ oes
2.1.1. Grupos e ´ algebras de Lie cl´ assicos
Lie cl´assicos que ser˜ao usados no nosso texto.
Um grupo de Lie ´e um grupo munido de uma estrutura de variedade tal que a aplica¸c˜ao G × G 3 (x, y) 7→ xy−1 ∈ G ´e diferenci´avel; o elemento neutro de G ´e denotado por 1 ∈ G. Por um homomorfismo de grupos de Lie entendemos sempre um homomorfismo (de grupos abstratos) que ´e tamb´em cont´ınuo; da´ı ele ser´a automaticamente diferenci´avel (vide [57, Teorema 2.11.2] e [58, Teorema 3.39]).
Para g ∈ G, denotamos por lg, rg respectivamente os difeomorfismos de G de transla¸c˜ao `a esquerda lg(x) = gx e de transla¸c˜ao `a direita rg(x) = xg; por Ig = lg◦ rg−1denotamos o automorfismo interno associado a g. Se g ∈ G e v ∈ TxG ´e um vetor tangente a G ent˜ao escrevemos:
gv = dlg(x) · v, vg = drg(x) · v;
para todo X ∈ T1G definimos campos vetoriais XL e XR em G fazendo:
(2.1.2) XL(g) = gX, XR(g) = Xg,
para todo g ∈ G. Dizemos que XL(respectivamente, XR) ´e o campo vetorial invariante `a esquerda (respectivamente, invariante `a direita) associado ao vetor X ∈ T1G. A ´algebra de Lie de G, denotada g, ´e definida por g = T1G; o comutador de g ´e obtido por restri¸c˜ao do colchete de Lie de campos vetoriais em G quando identificamos cada X ∈ g com o campo invariante `a esquerda XL. Denotamos por exp : g → G a aplica¸c˜ao exponencial de G, definida de modo que para cada X ∈ g, a aplica¸c˜ao
(2.1.3) IR 3 t 7−→ exp(tX) ∈ G
´
e um homomorfismo de grupos de Lie cuja derivada em t = 0 ´e o vetor X; da´ı (2.1.3) ´e uma curva integral do campo XLe do campo XR, ou seja:
(2.1.4) d
dtexp(tX) = X
L(exp(tX)) = XR(exp(tX)),
para todo t ∈ IR (vide [58, Teorema 3.31]).
Um subgrupo de Lie de G ´e uma subvariedade imersa H ⊂ G que ´e tamb´em um subgrupo abstrato de G; da´ı H torna-se tamb´em um grupo de Lie com a multiplica¸c˜ao induzida por G (vide Observa¸c˜ao 2.1.2). Um subgrupo de Lie H ⊂ G ser´a uma subvariedade mergulhada se e somente se H for fechado em G (vide [57, Teorema 2.5.4] e [58, Teorema 3.21]); al´em do mais, todo subgrupo (abstrato) fechado H ⊂ G ´e um subgrupo de Lie de G (vide [57, Teorema 2.12.6] e [58, Teorema 3.42]). Se H ⊂ G ´
e um subgrupo de Lie ent˜ao a diferencial da inclus˜ao de H em G permite identificar a ´algebra de Lie h de H com uma sub´algebra de g; explicitamente, temos (vide [58, Proposi¸c˜ao 3.33]):
Observe que todo subgrupo discreto H ⊂ G ´e um subgrupo de Lie mergu- lhado (e fechado) de G, com dim(H) = 0; nesse caso h = {0}.
Se Go denota a componente conexa de G que cont´em o elemento neu- tro (que coincide com a componente conexa por arcos de G que cont´em o elemento neutro) ent˜ao ´e f´acil ver que Go ´e sempre um subgrupo normal aberto e fechado de G. Na verdade, todo subgrupo aberto de G ´e tamb´em fechado em G j´a que seu complementar ´e uma uni˜ao de co-classes laterais desse subgrupo (que tamb´em s˜ao abertas); segue que todo subgrupo aberto de G ´e uma uni˜ao de componentes conexas de G. A ´algebra de Lie de um subgrupo aberto de G identifica-se com a ´algebra de Lie de G.
Observac¸˜ao 2.1.4. Se G ´e um grupo de Lie e h ´e um subespa¸co de g ent˜ao ficam bem definidas uma ´unica distribui¸c˜ao invariante `a esquer- da DL e uma ´unica distribui¸c˜ao invariante `a direita DR em G tais que DL(1) = DR(1) = h. Temos que DL (ou DR) ´e involutiva se e somente se h´e uma sub´algebra de Lie de g. A subvariedade integral maximal conexa de DL (ou de DR) que passa pelo elemento neutro ´e um subgrupo de Lie (conexo) de G que possui h como ´algebra de Lie; al´em do mais, se H ⊂ G ´e qualquer subgrupo de Lie cuja ´algebra de Lie ´e h ent˜ao Ho´e a subvariedade integral maximal conexa de DL (ou de DR) passando por 1 ∈ G. As ou- tras subvariedades integrais maximais conexas de DL (respectivamente, de DR) s˜ao as co-classes `a esquerda gHo (respectivamente, co-classes `a direita, Hog) de Ho (vide (2.1.11) e (2.1.15)). Demonstra¸c˜oes desses fatos podem ser encontradas em [57, Teorema 2.5.2] e [58, Corol´ario (b), Teorema 3.19]; para a terminologia de distribui¸c˜oes involutivas, subvariedades integrais e o Teorema de Frobenius o leitor pode consultar, por exemplo, [57, Se¸c˜ao 1.3] ou [58, pgs. 41–49].
Conclui-se ent˜ao que uma curva t 7→ γ(t) ∈ G de classe C1 tem imagem contida em alguma co-classe `a esquerda de H se e somente se
γ(t)−1γ0(t) ∈ h,
para todo t; similarmente, a imagem de γ est´a contida em alguma co-classe `
a direita de H em G se e somente se
γ0(t)γ(t)−1 ∈ h, para todo t.
Fazemos agora uma pequena lista dos grupos de Lie cl´assicos que ser˜ao utilizados no nosso texto; explicitamos tamb´em suas ´algebras de Lie. Todos esses grupos e ´algebras ser˜ao constitu´ıdos por matrizes reais ou complexas (ou por operadores lineares sobre IR ou C). A multiplica¸c˜ao do grupo ser´a sempre a multiplica¸c˜ao de matrizes (ou composi¸c˜ao de operadores) e o col- chete da ´algebra de Lie ser´a sempre dado por [X, Y ] = XY −Y X; a aplica¸c˜ao exponencial ser´a sempre exp(X) = eX =P+∞
n=0(Xn/n!).
Os espa¸cos vetoriais considerados abaixo ser˜ao sempre de dimens˜ao fi- nita. Tipicamente, usamos letras mai´usculas para denotar o nome de um
grupo de Lie e as correspondentes letras min´usculas para denotar o nome de sua ´algebra de Lie.
• O grupo linear geral ;
Se V ´e um espa¸co vetorial real ou complexo, denotamos por GL(V ) o grupo de todos os automorfismos lineares (sobre IR ou C, respecti- vamente) de V ; sua ´algebra de Lie gl(V ) coincide com o espa¸co L(V ) de endomorfismos lineares de V . Dizemos que GL(V ) ´e o grupo line- ar geral de V . Escrevemos GL(IRn) = GL(n, IR), gl(IRn) = gl(n, IR), GL(Cn) = GL(n, C) e gl(Cn) = gl(n, C). Obviamente, podemos iden- tificar GL(n, IR) (respectivamente GL(n, C)) com o grupo das matrizes reais (respectivamente complexas) invers´ıveis n × n e gl(n, IR) (respec- tivamente gl(n, C)) com a ´algebra de Lie das matrizes reais (respectiva- mente complexas) n × n.
Observe que se V ´e um espa¸co real e J ´e uma estrutura comple- xa em V , de modo que (V, J ) ´e identificado com um espa¸co complexo, ent˜ao GL(V, J ) (respectivamente gl(V, J )) pode ser visto como o sub- grupo (respectivamente sub´algebra) de GL(V ) (respectivamente gl(V )) formado pelos operadores que comutam com J (vide Lema 1.2.3). Obte- mos desse modo uma inclus˜ao de GL(n, C) em GL(2n, IR) e de gl(n, C) em gl(2n, IR) (vide Exemplo 1.2.2 e Observa¸c˜ao 1.2.10).
No caso em que V ´e real, denotamos por GL+(V ) o subgrupo de GL(V ) formado pelos operadores que preservam orienta¸c˜ao, i.e., pelos operadores de determinante positivo; da´ı GL+(V ) ´e aberto em GL(V ) e portanto sua ´algebra de Lie coincide com a ´algebra de Lie gl(V ) de GL(V ). Escrevemos GL+(IRn) = GL+(n, IR) e identificamos GL+(n, IR) com o grupo das matrizes reais n × n com determinante positivo.
Veremos adiante que o grupo GL+(n, IR) ´e conexo (vide Exem- plo 3.2.28 e Observa¸c˜ao 3.2.29); o grupo GL(n, IR) tem duas compo- nentes conexas: GL+(n, IR) e seu complementar. O grupo GL(n, C) ´e conexo (vide Exemplo 3.2.30 e Observa¸c˜ao 3.2.31).
• O grupo especial linear ;
Se V ´e um espa¸co vetorial real ou complexo, denotamos por SL(V ) o subgrupo fechado de GL(V ) formado pelos operadores com determi- nante igual a 1. Dizemos que SL(V ) ´e o grupo especial linear de V ; sua ´algebra de Lie sl(V ) ⊂ gl(V ) ´e formada pelos operadores de tra¸co nulo. Escrevemos tamb´em SL(IRn) = SL(n, IR), sl(IRn) = sl(n, IR), SL(Cn) = SL(n, C) e sl(Cn) = sl(n, C); da´ı SL(n, IR) (respectivamen- te SL(n, C)) ´e o grupo das matrizes reais (respectivamente complexas) n × n com determinante igual a 1 e sl(n, IR) (respectivamente, sl(n, C)) ´e a ´algebra de Lie das matrizes reais (respectivamente complexas) n × n de tra¸co nulo.
Como no caso do grupo linear geral, temos inclus˜oes de SL(n, C) em SL(2n, IR) e de sl(n, C) em sl(2n, IR). Os grupos SL(n, IR) e SL(n, C) s˜ao ambos conexos (vide Exemplo 3.2.32).
• Os grupos ortogonal e especial ortogonal ;
Se V ´e um espa¸co vetorial real munido de um produto interno g (i.e., g ´e uma forma bilinear sim´etrica definida positiva em V ) ent˜ao denotamos por O(V, g) o subgrupo fechado de GL(V ) formado pelos operadores g-ortogonais (vide Defini¸c˜ao 1.1.6). Dizemos que O(V, g) ´e o grupo ortogonal de V relativo a g; o grupo especial ortogonal SO(V, g) de V relativo a g ´e definido por:
SO(V, g) = O(V, g) ∩ SL(V ) = O(V, g) ∩ GL+(V ).
As ´algebras de Lie de O(V, g) e de SO(V, g) coincidem, j´a que SO(V, g) ´e aberto em O(V, g); ambas s˜ao denotadas por so(V, g). Temos que so(V, g) ´e a sub´algebra de gl(V ) formada pelos operadores g-anti-sim´e- tricos.
Se V = IRn e g ´e o produto interno canˆonico (vide (1.3.9)) ent˜ao escrevemos O(IRn, g) = O(n), SO(IRn, g) = SO(n) e so(IRn, g) = so(n); da´ı O(n) ´e o grupo das matrizes reais n × n ortogonais (i.e., tais que a transposta ´e igual `a inversa), SO(n) ´e o subgrupo de O(n) formado pelas matrizes com determinante igual a 1 e so(n) ´e a ´algebra de Lie de matrizes reais n × n anti-sim´etricas.
Os grupos O(n) e SO(n) s˜ao compactos pois s˜ao limitados e fecha- dos no espa¸co Euclideano das matrizes reais n × n; o grupo SO(n) ´e conexo e o grupo O(n) tem duas componentes conexas: SO(n) e seu complementar (vide Exemplo 3.2.27).
• Os grupos unit´ario e especial unit´ario;
Seja V um espa¸co vetorial complexo munido de um produto Hermi- teano positivo gs(vide Defini¸c˜ao 1.3.16). O grupo unit´ario de V relativo a gs, denotado por U(V, gs), ´e o subgrupo fechado de GL(V) formado pelos operadores gs-unit´arios (vide Observa¸c˜ao 1.3.19); o grupo especial unit´ario de V relativo a gs ´e definido por:
SU(V, gs) = U(V, gs) ∩ SL(V).
A ´algebra de Lie u(V, gs) de U(V, gs) ´e a sub´algebra de gl(V) formada pelos operadores gs-anti-Hermiteanos e a ´algebra de Lie su(V, gs) de SU(V, gs) ´e a sub´algebra de u(V, gs) formada pelos operadores de tra¸co nulo.
Se V ´e um espa¸co vetorial e J ´e uma estrutura complexa em V de modo que (V, J ) identifica-se com um espa¸co complexo V ent˜ao, dado um produto Hermiteano gs em (V, J ), escrevemos tamb´em U(V, gs) = U(V, J, gs), SU(V, gs) = SU(V, J, gs), u(V, gs) = u(V, J, gs) e su(V, gs) = su(V, J, gs).
Se V = Cn e gs ´e o produto Hermiteano canˆonico (vide (1.3.10)) ent˜ao escrevemos U(Cn, gs) = U(n), SU(Cn, gs) = SU(n), u(Cn, gs) = u(n) e su(Cn, gs) = su(n); da´ı U(n) ´e o grupo das matrizes complexas n × n unit´arias (i.e., tais que a transposta conjugada ´e igual `a inversa), SU(n) ´e o subgrupo de U(n) formado pelas matrizes de determinante 1, u(n) ´e a ´algebra de Lie das matrizes complexas n × n anti-Hermiteanas (i.e., tais que a transposta conjugada ´e igual `a oposta) e su(n) ´e a sub´algebra de u(n) formada pelas matrizes de tra¸co nulo.
Os grupos U(n) e SU(n) s˜ao compactos pois s˜ao limitados e fechados no espa¸co Euclideano das matrizes complexas n × n; esses grupos s˜ao tamb´em conexos (vide Exemplos 3.2.25 e 3.2.26).
• O grupo simpl´etico;
Seja (V, ω) um espa¸co simpl´etico; na Defini¸c˜ao 1.4.10 introduzimos o grupo simpl´etico Sp(V, ω). Temos que Sp(V, ω) ´e um subgrupo fecha- do de GL(V ); sua ´algebra de Lie sp(V, ω) consiste nos endomorfismos lineares X de V tais que ω(X·, ·) ´e uma forma bilinear sim´etrica, ou seja:
(2.1.6) ω(X(v), w) = ω(X(w), v), v, w ∈ V.
Em termos do operador linear ω : V → V∗a f´ormula (2.1.6) ´e equivalente `
a identidade:
(2.1.7) ω ◦ X = −X∗◦ ω.
Se ω ´e a forma simpl´etica canˆonica de IR2n, escrevemos Sp(IR2n, ω) = Sp(2n, IR) e sp(IR2n, ω) = sp(2n, IR). As representa¸c˜oes matriciais dos elementos de Sp(V, ω) numa base simpl´etica (ou, equivalentemente, os elementos de Sp(2n, IR)) s˜ao descritas em (1.4.6) e (1.4.7). A partir de (2.1.7) ´e f´acil ver que as representa¸c˜oes matriciais dos elementos de sp(V, ω) numa base simpl´etica (ou, equivalentemente, os elementos de sp(2n, IR)) s˜ao da forma:
(2.1.8) A B
C −A∗
, B, C sim´etricas,
onde A∗ denota a matriz transposta de A. Veremos adiante que o grupo simpl´etico ´e conexo (vide Exemplo 3.2.36).
2.1.2. Variedades homogˆeneas e a¸c˜oes de grupos de Lie. Nesta