3.1. O Grup´ oide e o Grupo Fundamental
3.1.1. Estabilidade da classe de homotopia de uma curva
[γ] = [µ] sempre que γ for uma curva “pr´oxima” a µ; come¸camos com a de- fini¸c˜ao de “proximidade”.
Definic¸˜ao 3.1.18. Sejam Y , Z espa¸cos topol´ogicos; para cada K ⊂ Y compacto e cada U ⊂ Z aberto definimos:
V(K; U ) =f ∈ C(Y, Z) : f (K) ⊂ U .
A topologia compacto-aberta em C(Y, Z) ´e a topologia gerada pelos conjuntos V(K; U ) com K ⊂ Y compacto e U ⊂ Y aberto; mais explicitamente, um aberto da topologia compacto-aberta ´e uma uni˜ao arbitr´aria de interse¸c˜oes da forma:
V(K1; U1) ∩ . . . ∩ V(Kn; Un)
com cada Ki⊂ Y compacto e cada Ui⊂ Z aberto, i = 1, . . . , n.
Observac¸˜ao 3.1.19. Quando a topologia de Z ´e proveniente de uma m´etrica d, a topologia compacto-aberta em C(Y, Z) ´e tamb´em chamada a topologia da convergˆencia uniforme sobre compactos; nesse caso, n˜ao ´e dif´ıcil mostrar que obtˆem-se um sistema fundamental de vizinhan¸cas (abertas) para uma fun¸c˜ao f ∈ C(Y, Z) considerando:
V(f ; K, ε) = ng ∈ C(Y, Z) : sup y∈K
d(f (y), g(y)) < εo,
onde K ⊂ Y ´e um compacto qualquer e ε > 0. Nessa topologia, a con- vergˆencia de uma seq¨uˆencia fn → f (ou de uma rede) ´e equivalente `a convergˆencia uniforme sobre cada compacto (vide [35, Proposi¸c˜ao 19, §8, Cap´ıtulo 9]).
No contexto da topologia diferencial, se Y e Z s˜ao variedades (possi- velmente com bordo), a topologia compacto-aberta em C(Y, Z) ´e tamb´em
conhecida como a topologia C0 ou como a topologia C0-fraca de Whitney (vide [26]).
Observac¸˜ao 3.1.20. A toda aplica¸c˜ao f : X × Y → Z, cont´ınua na segunda vari´avel, corresponde uma aplica¸c˜ao:
˜
f : X −→ C(Y, Z);
uma propriedade interessante (e f´acil de mostrar) da topologia compacto- aberta em C(Y, Z) ´e que, se Y ´e Hausdorff, a continuidade de ˜f ´e equivalente `
a continuidade de f |X×K para todo compacto K ⊂ Y (vide [35, Proposi¸c˜ao 21, §8, Cap´ıtulo 9]). Em particular, se Y ´e localmente compacto Hausdorff, a continuidade de f e a continuidade de ˜f s˜ao equivalentes.
Definimos agora as condi¸c˜oes de “plausibilidade” sobre o espa¸co X que nos permitir˜ao mostrar a estabilidade da classe de homotopia.
Definic¸˜ao 3.1.21. Dizemos que o espa¸co X ´e localmente conexo por arcos se todo ponto possui um sistema fundamental de vizinhan¸cas abertas e conexas por arcos, i.e., se dado x ∈ X e uma vizinhan¸ca V de x em X, existe um aberto conexo por arcos U ⊂ X com x ∈ U ⊂ V .
Dizemos que X ´e semi-localmente simplesmente conexo quando todo ponto x ∈ X possui uma vizinhan¸ca V tal que todo la¸co em V ´e contr´atil em X, i.e., dada γ ∈ Ω(X) com γ(0) = γ(1) e Im(γ) ⊂ V ent˜ao γ ´e homot´opica (em X) com extremos fixos a uma curva constante.
Exemplo 3.1.22. Se todo ponto de X tem uma vizinhan¸ca simplesmente conexa ent˜ao X ´e semi-localmente simplesmente conexo; em particular, toda variedade diferenci´avel (ou mesmo topol´ogica) ´e localmente conexa por arcos e semi-localmente simplesmente conexa.
Mostramos agora o teorema principal da subse¸c˜ao.
Teorema 3.1.23. Seja X um espa¸co topol´ogico localmente conexo por arcos e semi-localmente simplesmente conexo; dada uma curva γ : I → X, existe uma vizinhan¸ca U de γ no espa¸co C(I, X) munido da topologia compacto-aberta, de modo que para toda µ ∈ U , se µ(0) = γ(0) e µ(1) = γ(1) ent˜ao [γ] = [µ].
Demonstrac¸˜ao. Escreva X =Sα∈AUα, onde cada Uα ⊂ X ´e aberto e de modo que todo la¸co em Uα ´e contr´atil em X; da´ı as imagens inversas γ−1(Uα), α ∈ A, formam uma cobertura aberta do compacto I, a qual possui um n´umero de Lebesgue δ > 0, i.e., todo subconjunto de I com diˆametro menor que δ est´a contido em algum γ−1(Uα) (vide [34, Cap´ıtulo 8, §7]).
Seja 0 = t0 < t1 < · · · < tk = 1 uma parti¸c˜ao de I com tr+1 − tr < δ para todo r = 0, . . . , k − 1 e seja αr ∈ A tal que γ([tr, tr+1]) ⊂ Uαr. Para
cada r = 1, . . . , k − 1, o ponto γ(tr) ∈ Uαr−1∩ Uαr possui uma vizinhan¸ca
vizinhan¸ca U de γ em C(I, X) por: U = k−1 \ r=0 V([tr, tr+1]; Uαr) ∩ k−1 \ r=1 V({tr}; Vr).
Da´ı γ ∈ U . Seja µ ∈ U tal que µ(0) = γ(0) e µ(1) = γ(1); devemos mostrar que [γ] = [µ].
Para cada r = 1, . . . , k − 1 escolha uma curva λr ∈ Ω(Vr) com λr(0) = γ(tr) e λr(1) = µ(tr); fa¸ca λ0 = oγ(0) e λk = oγ(1). Para r = 0, . . . , k − 1, temos (vide Observa¸c˜ao 3.1.4):
(3.1.6) µ|[tr,tr+1] = [λr]−1·γ|[tr,tr+1] · [λr+1],
pois o lado direito de (3.1.6) concatenado com o inverso do lado esquerdo de (3.1.6) ´e a classe de homotopia de um la¸co em Uαr; al´em do mais:
[µ] =µ|[t0,t1] · · · µ|[tk−1,tk], [γ] =γ|[t0,t1] · · · γ|[tk−1,tk]. (3.1.7)
A conclus˜ao segue agora de (3.1.7) juntando por concatena¸c˜ao de curvas em ambos os lados as identidades em (3.1.6) para r = 0, . . . , k − 1. Exemplo 3.1.24. Seja Sn ⊂ IRn+1 a esfera unit´aria n-dimensional. Se- gue do Teorema 3.1.23 (ou de sua demonstra¸c˜ao) que toda curva γ : I → Sn ´
e homot´opica com extremos fixos a uma curva de classe C1 por partes; se n ≥ 2, uma tal curva n˜ao pode ser sobrejetora, j´a que sua imagem tem medida nula em Sn. Da´ı se n ≥ 2 e γ : I → Sn ´e um la¸co de classe C1 por partes, existe x ∈ Sn tal que Im(γ) ⊂ Sn\ {x}; mas por proje¸c˜ao estereo- gr´afica vemos que Sn\ {x} ´e homeomorfo a IRn e portanto ´e simplesmente conexo (vide Exemplo 3.1.15). Dessas considera¸c˜oes segue que a esfera Sn´e simplesmente conexa para n ≥ 2. O c´ırculo S1 n˜ao ´e simplesmente conexo (vide Exemplo 3.2.24).
Precisaremos tamb´em de uma vers˜ao do Teorema 3.1.23 para o caso de homotopias com extremos livres num conjunto dado.
Definic¸˜ao 3.1.25. Seja A ⊂ X um subconjunto e sejam dadas curvas γ, µ : [a, b] → X; dizemos que γ e µ s˜ao homot´opicas com extremos livres em A se existe uma homotopia H : γ ∼= µ tal que Hs(a), Hs(b) ∈ A para todo s ∈ I; nesse caso dizemos que H ´e uma homotopia com extremos livres em A entre γ e µ.
Obviamente, γ e µ s´o podem ser homot´opicas com extremos livres em A se γ e µ tiverem extremos em A, i.e., se γ({a, b}), µ({a, b}) ⊂ A. A rela¸c˜ao de “homotopia com extremos livres em A” ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia no conjunto das curvas γ ∈ C([a, b], X) tais que γ({a, b}) ⊂ A; obviamente se duas curvas com extremos em A forem homot´opicas com extremos fixos ent˜ao elas ser˜ao homot´opicas com extremos livres em A.
Observac¸˜ao 3.1.26. Se γ ∈ Ω(X) ´e uma curva com extremos em A e se λ ∈ Ω(A) ´e tal que γ(1) = λ(0) ent˜ao a concatena¸c˜ao γ · λ ´e homot´opica a γ
com extremos livres em A. De fato, para cada s ∈ I, denote por λs∈ Ω(A) a curva λs(t) = λ((1 − s)t). Da´ı Hs = γ · λs define uma homotopia com extremos livres em A entre γ · λ e γ · oλ(0); a conclus˜ao segue do fato que γ · oλ(0) ´e homot´opica a γ com extremos fixos. De modo an´alogo mostra-se que se λ ∈ Ω(A) ´e tal que λ(1) = γ(0) ent˜ao λ · γ ´e homot´opica a γ com extremos livres em A.
Temos a seguinte vers˜ao do Teorema 3.1.23 para homotopia com extre- mos livres em A:
Teorema 3.1.27. Seja X um espa¸co topol´ogico localmente conexo por arcos e semi-localmente simplesmente conexo; seja A ⊂ X um subespa¸co localmente conexo por arcos. Dada uma curva γ : I → X com extremos em A ent˜ao existe uma vizinhan¸ca U de γ no espa¸co C(I, X) munido da topologia compacto-aberta, de modo que para toda µ ∈ U com extremos em A temos que γ e µ s˜ao homot´opicas com extremos livres em A.
Demonstrac¸˜ao. Mencionamos apenas as adapta¸c˜oes a serem feitas na demonstra¸c˜ao do Teorema 3.1.23. Uma vez constru´ıdos os abertos Uαr e Vr,
escolhemos tamb´em vizinhan¸cas abertas V0 e Vk de γ(t0) e γ(tk) respecti- vamente de modo que V0∩ A e Vk∩ A sejam conexos por arcos e estejam contidos respectivamente em Uα0 e em Uαk−1. Da´ı definimos U fazendo:
U = k−1 \ r=0 V([tr, tr+1]; Uαr) ∩ k \ r=0 V({tr}; Vr).
Seja µ ∈ U uma curva com extremos em A; devemos mostrar que γ e µ s˜ao homot´opicas com extremos livres em A. As curvas λ0 e λk s˜ao agora escolhidas de modo que λr(0) = γ(tr), λr(1) = µ(tr) e Im(λr) ⊂ Vr ∩ A, r = 0, k. A identidade (3.1.6) ainda ´e v´alida para r = 0, . . . , k − 1. Usando o mesmo argumento de antes obtemos agora que:
[µ] = [λ0]−1· [γ] · [λk];
a conclus˜ao segue da Observa¸c˜ao 3.1.26.
3.2. A Seq¨uˆencia Exata de Homotopia de uma Fibra¸c˜ao