3. METODOLOGIA
3.2. Definição do problema
O problema tratado nesta pesquisa consiste na utilização de modelos baseados nas operações com números fuzzy, para a avaliação da estabilidade de taludes de terra, a partir do emprego de dois métodos que consideram o equilíbrio limite de uma massa de solo, a saber: Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955).
As principais hipóteses assumidas no desenvolvimento dos métodos de análise de estabilidade de taludes que consideram a condição de equilíbrio limite de uma massa de solo são:
(a) É necessária a definição prévia de uma superfície potencial de ruptura;
(b) Os materiais constituintes do talude se comportam segundo um modelo rígido perfeitamente plástico do tipo Mohr-Coulomb;
(c) A massa de solo encontra-se em condições limite de equilíbrio estático; (d) O fator de segurança à ruptura é único ao longo de toda a superfície de
ruptura; e
(e) Para todos os solos envolvidos, o fator de segurança é igual para as componentes coesiva e de atrito, que são as responsáveis pela resistência ao cisalhamento dos solos.
A avaliação da estabilidade de um talude através dos métodos de equilíbrio limite é feita, então, considerando-se o equilíbrio estático da massa de solo submetida a um conjunto de forças externas, conforme mostrado na Figura 3.3 (caso mais geral).
Figura 3.3 – Condições de contorno para o desenvolvimento dos métodos de análise da estabilidade de taludes baseados na condição de equilíbrio limite da massa de solo.
Fonte: Modificado de Krahn (2004).
Por definição, o fator de segurança (FS) em cada ponto, e em cada plano, considerado ao longo da superfície de ruptura, é igual à razão entre a resistência ao cisalhamento oferecida pelo solo e a tensão de cisalhamento mobilizada (atuante) neste mesmo plano, conforme representado na Figura 3.4.
A Figura 3.4 apresenta o estado de tensões atuantes em um ponto qualquer, e a envoltória de ruptura de Mohr-Coulomb, considerada como representativa da resistência ao cisalhamento do solo no presente caso.
Quando esta relação entre a resistência ao cisalhamento oferecida pelo solo e a tensão de cisalhamento mobilizada é maior que 1,0, o solo apresenta resistência suficiente para suportar os esforços aos quais está submetido, e a massa de solo se mantém estável, não entrando em ruptura. Em contrapartida, se a relação resulta menor que 1,0, as tensões atuantes são maiores que as tensões resistentes, fazendo com que haja ruptura no ponto ao longo do plano considerado.
Figura 3.4 – Critério de ruptura de Mohr-Coulomb.
Fonte: Elaborado pela Autora.
Neste trabalho, serão utilizados os métodos de Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955) para a avaliação da estabilidade dos taludes da Barragem Olho d'Água, descrita anteriormente.
O método de Fellenius (1936) foi considerado em razão de sua referência histórica, e porque o portfólio de projetos mais antigos desenvolvidos com base nele ainda é relativamente numeroso (USACE, 2003), não sendo tão raras as ocasiões em que o geotécnico se depara com algum deles. Ademais, por sua simplicidade, o método permite que seus cálculos sejam feitos manualmente, utilizando apenas uma calculadora eletrônica, e fornece um resultado que pode ser utilizado como estimativa inicial para as iterações do método de Bishop Simplificado (1955).
O método de Bishop Simplificado (1955) foi adotado por ser, ainda hoje, um dos métodos de análise de estabilidade de taludes mais utilizados em todo o mundo (USACE, 2003), muito bem conceituado, e amplamente recomendado, por diversos autores, para a
prática geotécnica rotineira, a exemplo de Lambe e Whitman (1969), USACE (2003), Krahn (2004), Cornforth (2005) e Das (2007).
As principais hipóteses assumidas no desenvolvimento da formulação do método de Fellenius (1936) são:
(a) As forças interfatias cisalhantes (XL e XR, mostradas na Figura 3.3) são
desconsideradas;
(b) O método satisfaz apenas à condição de equilíbrio de momentos para toda a massa de solo; e
(c) O valor da força normal é obtido fazendo-se o equilíbrio de forças na direção normal à base de cada fatia.
Já para o método de Bishop Simplificado (1955), as principais hipóteses são: (a) As forças interfatias cisalhantes (XL e XR) são consideradas como sendo de
mesma magnitude (portanto, anulando-se mutuamente nos cálculos, e culminando em uma resultante igual a zero);
(b) O método satisfaz apenas à condição de equilíbrio de momentos para toda a massa de solo; e
(c) O valor da força normal é obtido fazendo-se o equilíbrio de forças na direção vertical.
Ambos os métodos de análise de estabilidade de taludes assumem superfícies potenciais de ruptura circulares em suas hipóteses de desenvolvimento. Esta condição pode ser assumida com muito pouca inacurácia para a grande maioria dos casos, a menos que existam particularidades geológicas que constranjam a superfície potencial de ruptura de assumir um formato circular (DODAGOUDAR e VENKATACHALAM, 2000).
Considerando as condições de contorno e carregamentos mostrados na Figura 3.3, e fazendo-se o equilíbrio de momentos em relação ao ponto C, obtém-se a expressão mostrada na Equação 3.1 para o fator de segurança (FS):
FS ∑ c'.L.R N - u.L .R.tanϕ'
∑ W.x - ∑ N.f ∑ kW.e D.d A.a (3.1)
FS = Fator de segurança em relação ao equilíbrio de momentos [adimensional];
c′, φ′= Coesão e ângulo de atrito efetivos (parâmetros da resistência ao cisalhamento) do
solo da base de cada fatia [kPa];
φ′= Ângulo de atrito efetivo (parâmetro de resistência ao cisalhamento) do solo da base de cada fatia [radianos];
L = Comprimento da base de cada fatia [m];
R = Raio da superfície potencial de ruptura circular adotada [m]; N = Força normal atuante na base de cada fatia [kN];
u = Poropressão atuante na base de cada fatia [kPa]; W = Peso de cada fatia [kN];
k = Coeficiente de conversão de ação sísmica para a ação estática equivalente [adimensional];
D, A = Ações externas atuantes na massa de solo deslizante [kPa]; e
x, f, e, d, a = Braços de alavanca das forças W, N, kW, D e A, respectivamente [m].
Pelo método de Fellenius (1936), a força normal N, atuante na base de cada fatia, é obtida fazendo-se o equilíbrio de forças na direção normal à base da fatia, obtendo-se a Equação 3.2:
N = W. cosα + D. sinα (3.2)
em que:
= Ângulo que a base de cada fatia faz com a direção horizontal [radianos].
Já pelo método de Bishop Simplificado (1955), a força normal atuante na base de cada fatia é obtida fazendo-se o equilíbrio de forças na direção vertical, culminando na Equação 3.3: N = W - c'.L.sinα – u.L.sinα.tanϕ' FS cosα + sinα.tanϕ'FS (3.3)
Nas Equações 3.1 e 3.3, os termos L, R, a, x, f, e, d e α referem-se à geometria da superfície de ruptura adotada, e podem, portanto, ser considerados como grandezas
determinísticas na avaliação da estabilidade do talude. Entretanto, as grandezas relacionadas ao comportamento do solo, especificamente no que se refere à sua resistência ao cisalhamento (c′ e φ′), carregam consigo incertezas que dependem basicamente do tipo, quantidade e
qualidade da investigação geotécnica realizada.
Desta forma, assumindo-se estas grandezas com incertezas envolvidas como sendo números fuzzy, denominados como c' e ϕ', o fator de segurança FS e a força normal N considerados no método de Bishop Simplificado (1955) serão também números fuzzy, conforme mostrado nas Equações 3.4 e 3.5, abaixo.
No caso da aplicação do método de Fellenius (1936), apenas o fator de segurança FS é um número fuzzy. A força normal N permanece sendo considerada apenas como uma grandeza escalar, uma vez que não é calculada em função de variáveis fuzzy, como pode ser confirmado na Equação 3.2. FS = ∑ c'.L.R + N- u.L .R.tanϕ' ∑ W.x - ∑ N.f + ∑ kW.e $ D.d $ A.a (3.4) em que: N = W - c'.L.sinα – u.L.sinα.tanϕ'FS + D.sinα cos α + sinα.tanϕ' FS (3.5)
Destarte, sendo o FS pelos métodos de Fellenius (1936) e de Bishop Simplificado (1955) números fuzzy (FS), definidos conforme a Equação 3.4, seu cálculo pode ser feito considerando os intervalos definidos para cada nível de pertinência h ( FS((((h+ = ,FSi(h+, FSf(h+. ), por meio da utilização do princípio da extensão de Zadeh (1965)
e das regras de operação para soma, subtração, multiplicação e divisão entre intervalos, anteriormente apresentadas.
Considerando os números fuzzy c' e ϕ', representados pelos respectivos intervalos para um dado grau de pertinência h como c'/(h) = [c'i(h), c'f(h)] e ϕ'/(h) = [φ'i(h), φ'f(h)], e
assumindo como circular a superfície potencial de ruptura analisada (f = 0), os valores extremos do intervalo do fator de segurança, para cada nível de pertinência (h-level) são obtidos de acordo com as Equações 3.6 e 3.7.
FSi(h ∑ c'i(h .L.R Ni(h .R.tanϕi(h - u.L.R.tanϕ'f(h ∑ W.x – ∑ kW.e D.d A.a (3.6) FSf(h ∑ c'f(h .L.R Nf(h .R.tanϕf(h - u.L.R.tanϕ'#(h ∑ W.x – ∑ kW.e D.d A.a (3.7) em que: Ni(h
W.FSi(h - L.sinα.c'f(h u.L.sinα.tanϕ'i(h D.sinα
cos α.FSf(h sinα.tanϕ'f(h (3.8)
Nf(h
W.FSf(h - L.sinα.c'i(h u.L.sinα.tanϕ'f(h D.sinα
cos α.FSi(h sinα.tanϕ'i(h (3.9)
No caso em que a força normal na base da fatia não é um número fuzzy, como no método de Fellenius (1936), as Equações 3.8 e 3.9 não são utilizadas para o cálculo das Equações 3.6 e 3.7. Neste caso, a normal é calculada conforme mostra a Equação 3.2.
A menos do método de Fellenius (1936), a obtenção do valor do fator de segurança FS em todos os métodos de análise de estabilidade de taludes requer um processo iterativo, já que este fator de segurança é necessário ao cálculo da força normal N, e esta, por sua vez, faz parte da expressão de determinação do próprio fator de segurança.
Isto foi levado em consideração no processo de fuzzificação da expressão para o fator de segurança do método de Bishop Simplificado (1955), como pode ser verificado nas Equações 3.8 e 3.9.
Na forma como estão apresentadas as Equações 3.8 e 3.9, observa-se que a convergência do processo iterativo para a obtenção de um fator de segurança para cada extremo do intervalo (FSi(h e FSf(h ) de um dado nível de pertinência h não ocorre. Isto se dá porque os valores extremos do intervalo obtido para o fator de segurança para cada nível de pertinência h são interdependentes, ou seja: para toda iteração realizada, a convergência do limite inferior do intervalo automaticamente afeta o limite superior, alterando, por sua vez, o limite inferior, e assim sucessivamente.
Deste modo, como forma de possibilitar a convergência dos valores extremos do intervalo considerado para o fator de segurança, foi realizada uma modificação nas Equações 3.8 e 3.9, que consistiu em substituir os valores de FSi(h) e FSf(h) pelo valor médio do
FSave FSi(h FSf(h
2 (3.10)
Este procedimento faz com que ocorra a convergência dos limites do intervalo, a partir da adoção de uma grandeza única (o FSave), representativa do referido intervalo para
cada grau de pertinência h adotado. Partindo-se desta hipótese, os valores de Ni(H) e Nf(h),
utilizados no cálculo das Equações 3.8 e 3.9, passam a ser (Equações 3.11 e 3.12):
Ni(h
W.FSave - L.sinα.c'f(h u.L.sinα.tanϕ'i(h D.sinα
cos α.FSave sinα.tan ϕ'f(h
(3.11)
Nf(h
W.FSave - L.sinα.c'i(h u.L.sinα.tanϕ'f(h D.sinα
cos α.FSave sinα.tan ϕ'i(h
(3.12)
3.2.1. Modelos determinísticos de Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955)
No cálculo do FS via modelos determinísticos, os valores de coesão e ângulo de atrito utilizados, para os solos do maciço compactado e de fundação, serão a média dos valores obtidos com os dois ensaios de laboratório realizados, conforme consta da Tabela 3.1. A Tabela 3.2, a seguir, exibe os valores médios que serão utilizados como dados de entrada dos métodos determinísticos de Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955).
Tabela 3.2 – Propriedades geotécnicas dos materiais do maciço compactado e do solo de fundação utilizadas nos modelos determinísticos.
Propriedade Propriedade Propriedade
Propriedade Maciço CompactadoMaciço Compactado Maciço CompactadoMaciço Compactado Solo de FundaçãoSolo de FundaçãoSolo de FundaçãoSolo de Fundação
(′′′′ (kPa) 35,0 8,5 φ φ φ φ′′′′(graus) 29,4 36,2 Fonte: Araújo (2013).
A fim de permitir a avaliação dos resultados dos modelos fuzzy propostos por esta pesquisa, os valores dos FS resultantes da aplicação da metodologia determinística serão tomados como “controle” em relação aos resultados obtidos com os modelos fuzzy para os métodos de Fellenius (1936) e Bishop Simplificado (1955), descritos a seguir.