Centros de distribuição de vagões planejam a movimentação de vagões vazios nas ferrovias. Neste plano os distribuidores decidem o destino dos vagões que estão disponíveis levando em consideração a prioridade das demandas de transporte, o tipo de vagão preferencial, o custo de movimentação e os trens que estão disponíveis para transportar os vagões.
As decisões do planejamento de distribuição influenciam diretamente a circulação dos trens na ferrovia. Os trens que circulam tem seus horários de partida e chegada em cada estação previamente definidos, isto requer que o planejamento seja definido o mais rápido possível, para evitar atrasos na circulação. Para isto, o planejamento de distribuição deve ser em tempo real e a solução deve ser da ordem de alguns segundos.
A qualidade de um plano de distribuição pode ser medida pelo custo de movimentação de vagões decorrente da execução deste plano. Custo é uma grandeza de grande importância prática e impacta diretamente os lucros. A maior despesa de uma ferrovia é com combustível para locomotivas, o consumo de combustível é proporcional a movimentação de vagões.
Um outro item que mede a qualidade da solução é o total de demanda atendida. O objetivo de toda ferrovia de transporte de carga é atender o máximo de demanda possível, pois é a demanda que gera toda a renda da ferrovia através dos pedidos de transporte.
Na prática, o planejamento envolve objetivos conflitantes como minimizar os custos da movimen- tação de vagões e maximizar o atendimento a demanda. Objetivos conflitantes significam que deve
Fig. 3.1: Instantes de tempo mínimo e máximo para a demanda d.
existir um compromisso entre eles para definir a qualidade do planejamento. O distribuidor de vagões considera estes objetivos para fazer um plano de distribuição que atenda a ambos objetivos.
Algoritmos que auxiliem o planejamento e à tomada de decisão, como os descritos no capítulo anterior, precisam utilizar critérios que expressem a realidade do processo operacional ferroviário para produzir planejamentos de distribuição que atendam da melhor forma possível os objetivos da ferrovia.
O algoritmo proposto neste capítulo utiliza técnicas de otimização para considerar todas as in- formações operacionais descritas anteriormente e obter uma solução que não só atenda o máximo possível de demanda, mas também obtenha um custo mínimo de movimentação. Além disto, o algo- ritmo é rápido para que seja possível sua utilização para resolver o problema em tempo real.
O algoritmo foi inspirado no trabalho Narisetty et al. (2008), no entanto, considera que, para que um vagão seja enviado para atender uma determinada demanda, deva existir uma rota entre o pátio em que o vagão se encontra e o pátio para onde o vagão será destinado. Para isto são consideradas as rotas de todos os trens que constam na grade de trens, ao contrário de Narisetty et al.(2008), que não leva em consideração a programação horária dos trens.
Um plano de distribuição que não considera a grade de trens pode ser inaplicável em um sistema ferroviário real, pois a movimentação de um vagão entre um pátio e outro depende dos trens que irão circular para serem realizadas. A seção 3.3 mostra um exemplo da ineficiência do modelo de Narisetty et al. (2008) para resolver o problema de distribuição em uma ferrovia que utiliza a grade de trens.
O algoritmo considera também os prazos das demandas de transporte. O prazo de uma demanda de transporte pd é o intervalo de tempo em que o vagão deve ser enviado para a demanda d. A utilização deste intervalo é muito útil em situações reais, pois muitas vezes o pátio associado à uma determinada demanda pode estar cheio, o que impossibilita que os vagões sejam entregues muito antes do prazo. Em outras situações, a demanda exige um prazo máximo para chegada do vagão, caso contrário, não precisa mais do mesmo. Este intervalo é definido por instantes de tempo mínimo e máximo em que o vagão pode ser entregue a demanda (Fig. 3.1). Seja
td
min: instante mínimo de tempo para que os vagões possam atender a demanda d,
td
max: instante máximo de tempo para que os vagões possam atender a demanda d.
O prazo para que um vagão possa atender uma demanda d é tal que tdmin ≤ pd ≤ td
max.
3.2 Descrição do Algoritmo 19
atender uma determinada demanda de transporte. Em geral, uma demanda pode ser atendida por diferentes tipos de vagões, mas preferencialmente por um tipo particular. Neste caso, o modelo considera duas possibilidades de acordo com o resultado da proposição
tdmax− iinicial > 1 dia
onde iinicial é o instante do início do planejamento. Caso esta proposição seja verdadeira, a de-
manda d pode ser atendida apenas pelo seu vagão preferencial. Caso contrário, a demanda pode ser atendida por qualquer um dos tipos de vagões compatíveis com o produto a ser transportado. Desta forma, obtem-se uma boa qualidade no atendimento a demanda, visto que o plano de distribuição busca ao máximo atender a demanda com o tipo de vagão preferencial, mas em situações, onde o prazo da demanda está por terminar, é possível o envio de outros tipos de vagões equivalentes. Assim encontra-se uma solução de compromisso que tanto busca atender a demanda com o vagão preferen- cial como busca garantir que esta demanda não fique sem ser atendida em situações em que o prazo está por terminar e não existe o vagão preferencial disponível, mas existe outro tipo apropriado para transportar o produto.
Por exemplo, se existir uma demanda que precisa de vagões para hoje, pode-se atendê-la com qualquer tipo de vagão que seja compatível com o tipo de produto a ser transportado. Caso a demanda seja para amanhã ou uma data posterior, deverá ser atendida apenas pelo tipo de vagão preferencial.
O algoritmo de distribuição considera também a prioridade das demandas de transporte. Neste caso, foi definido que as demandas com menor prazo tem sempre prioridade em relação a demandas com prazos mais distantes.
A partir destas considerações pode-se formular o modelo de distribuição. O modelo é formulado como um problema de transporte clássico. O problema de transporte clássico pode ser representado por uma rede. Para criação da rede consideramos que os nós tem um instante de tempo, tipo de vagão, localização e uma quantidade de vagões. A quantidade de vagão é negativa se o nó for uma oferta de vagão, e positiva, se o nó é uma demanda. Estes atributos dos nós são utilizados para definir a criação dos arcos e seus respectivos custos.
Os principais passos para criação da rede que representa o problema são:
• criação de nós de oferta : para toda oferta de vagão é criado um nó de oferta levando-se em consideração o instante em que o vagão ficou disponível, o tipo do vagão, o local e a quantidade de vagões disponíveis. O conjunto de nós de oferta é denotado por O.
• criação de nós de demanda : para toda demanda de vagão é criado um nó de demanda levando- se em consideração o instante de tempo máximo para que o vagão possa atender a demanda, o tipo de vagão preferencial, o local e a quantidade de vagões pedida pela demanda. O conjunto de nós de demanda é denotado por D.
• criação de nós artificiais: considerando que os recursos (vagões) para atender as demandas de transporte são em geral limitados e que na maioria das vezes não são suficientes para atender toda a demanda, o algoritmo cria nós artificiais. Dois nós artificias são criados, um referente à oferta (nof ertaartif icial- nó de oferta artificial) e outro referente à demanda de vagões (ndemandaartif icial- nó de demanda artificial). Estes nós garantem que para toda demanda existe uma oferta, mesmo que artificial. De maneira equivalente, para toda oferta existe uma demanda. A criação de
nós artificiais garante que o modelo pode ser resolvido, ou seja, sempre fornece uma solução factível.
• criação de arcos: o ponto-chave do modelo está neste passo, na criação dos arcos e definição dos custos que todas as informações operacionais descritas anteriormente são consideradas. A lógica de criação dos arcos e definição do custos é descrita abaixo:
Para todo o ∈ O cria-se um arco conectando-o a um nó d ∈ D, se e apenas se:
– os vagões de o se adequam aos critérios de escolha do tipo preferencial da demanda d. Se td
max − iinicial > 1 dia, então o tipo de vagão da oferta o deve ser do tipo de vagão
preferencial da demanda d. Caso contrário, o tipo de vagão da oferta o deve ser um dos tipos de vagões disponíveis para atender a demanda d.
– existe uma rota que possa levar os vagões entre o pátio de origem o e o pátio de destino d. Neste caso utiliza-se a programação horária dos trens para verificar se existe uma rota entre o e d. Neste passo uma rede auxiliar foi criada para verificar a existência de rota entre o pátio da oferta o ao pátio da demanda d. Esta rede representa as rotas dos trens da grade e é similar a rede descrita no capítulo 2 (Fig. 2.3).
– os vagões em o podem alcançar o destino d dentro do prazo previsto pd, pd∈ [td
min, tdmax].
O custo de cada arco é proporcional à distância da menor rota entre a origem o e o destino d. Para encontrar o custo da menor rota entre a origem o e o destino d foi utilizado um al- goritmo de busca do caminho mínimo para grafos acíclicos proposto por Ahuja et al. (2008) na rede auxiliar criada. Além disto, este custo é definido de forma que as demandas para um horizonte de tempo mais próximo, sejam priorizadas em relação a demandas com prazos mais longos. Para toda oferta (o ∈ O) é criado um arco com custo zero conectando a demanda artificial (ndemandaartif icial). Para toda demanda não artificial (d ∈ D | d 6= ndemandaartif icial)é criado um arco conectando o nó de oferta artificial (nof ertaartif icial) com custo infinito. Como o objetivo do mo- delo é minimizar o custo de movimentação de vagões e os arcos do nó de oferta artificial para as demandas reais tem custo infinito, o modelo mesmo tendo um único objetivo, busca uma solução que simultaneamente atende aos objetivos de ter um custo de movimentação mínimo e um atendimento máximo a demanda.
O modelo matemático para o problema de distribuição pode ser visto como um modelo de fluxo em redes tempo-espaço (Ahuja et al.,1993). O modelo tem a estrutura de um grafo, com vantagens significantes em relação aos modelos de programação linear tradicionais, pois possui algoritmos es- pecializados e rápidos. A figura 3.2 mostra o grafo do modelo.
A Figura 3.2 mostra o grafo resultante. Mais especificamente, o modelo matemático é o seguinte.
Modelo Matemático
Parâmetros
O : conjunto de nós oferta (∀origem, tipo, instante) no : número de vagões disponíveis em o, ∀o ∈ O.
3.2 Descrição do Algoritmo 21
Fig. 3.2: Rede de distribuição de vagões vazios
io : instante em que os vagões do grupo o estão disponíveis, ∀o ∈ O.
D : conjunto de nós demanda (∀destino, tipo, instante)
nd : número de vagões necessários para atender a demanda d, ∀d ∈ D.
pd : prazo para atender a demanda d, ∀d ∈ D
td : tipo de vagão preferencial da demanda d, ∀d ∈ D.
Ad : conjunto de tipos de vagões alternativos para atender a demanda d, ∀d ∈ D.
¯
tod: tempo necessário para movimentar os vagões da origem o para o destino d, ∀o ∈ O, ∀d ∈ D.
iinicial: instante inicial do horizonte de planejamento de distribuição.
if inal : instante final do horizonte de planejamento de distribuição.
tdmin : instante de tempo mínimo para que um vagão possa atender uma demanda d, ∀d ∈ D. tdmax : instante de tempo máximo para que um vagão possa atender uma demanda d, ∀d ∈ D. Custo
ζod : custo de transporte por vagão para movimentar vagões da origem o para o destino d, ∀o ∈ O,
∀d ∈ D.
Variáveis de Decisão
xod : número de vagões de o para d, ∀o ∈ O, ∀d ∈ D
yd : demanda não atendida, ∀d ∈ D
zo : oferta não alocada, ∀o ∈ O
Para definir as restrições do modelo, considere o seguinte. ˆ
Od: {o ∈ O|[io+¯tod≤ tdmax] ∧ [io+¯tod≥ tdmin] ∧ [(tdmax−iinicial> 1(dia) ∧ to = td)
Este é o conjunto de todas as ofertas o ∈ O que podem atender a demanda d. Se existir um arco de o para d, então o ∈ ˆOd. Neste caso, o pode atender a demanda d, consideradas todas as restrições
de tipo preferencial, instante de tempo mínimo e máximo para entrega do vagão e existência de rotas. Duas situações são possíveis: ou a demanda d é atendida pelos vagões em o ∈ ˆOd, ou a demanda d
permanece não atendida. Considere agora
ˆ
Do : {d ∈ D|[io+¯tod≤ tdmax] ∧ [io+¯tod≥ tdmin] ∧ [(tdmax−iinicial > 1(dia) ∧ to = td)
∨ (tdmax− iinicial ≤ 1(dia) ∧ to∈ Ad)]} ∀o ∈ O.
Este é o conjunto de todas as demandas d ∈ D que podem ser atendidas pela oferta de vagões em o. Se existir um arco de o para d, então d ∈ ˆDo. Neste caso, d pode ser atendido por o, consideradas
todas as restrições. Assim, ou a oferta de vagões em o atende a demanda d ∈ ˆDo, ou permanece não
utilizada.
A partir destas considerações as restrições do modelo podem ser escritas como: Restrições X o∈ ˆOd xod+ yd = nd ∀d ∈ D X d∈ ˆDo xod+ zo = no ∀o ∈ O xod≥ 0 ∀o ∈ O, ∀d ∈ D yd ≥ 0 ∀d ∈ D zo ≥ 0 ∀o ∈ O Função Objetivo
O objetivo é minimizar o custo de transporte, isto é: X
o∈O
X
d∈D
ζodxod
A Fig. 3.3 resume as principais entradas e saídas do algoritmo de distribuição de vagões.