Esta seção apresenta um exemplo simples para ilustrar a utilização do modelo e do algoritmo de distribuição de vagões vazios na resolução do problema proposto no capítulo 2, seção 2.2, Fig. 2.2. O problema resolvido nesta seção espelha uma situação similar às encontradas em ferrovias que utilizam grade de trens. Para comparamos os resultados obtidos pelo algoritmo de distribuição tam- bém utilizamos o algoritmo de distribuição original de Narisetty et al. (2008).
3.3 Exemplo 23
Fig. 3.3: Interfaces do algoritmo de distribuição de vagões vazios
O problema considerado para este pequeno exemplo representa uma ferrovia com seis pátios. Atividades de anexação e desanexação de vagões podem ser realizadas em todos pátios. Os detalhes do problema como demandas de transporte, ofertas de vagões e grade de trens são os da Fig. 2.2, reproduzidos na Fig. 3.4 incluindo os índices dos nós.
Fig. 3.4: Distribuição e alocação de vagões vazios em uma ferrovia
A Fig. 3.5 mostra o grafo gerado pelo algoritmo de distribuição proposto e pelo algoritmo de Narisetty et al.(2008), respectivamente.
A tabela 3.1 mostra os índices que foram definidos para as ofertas e demandas do exemplo (Fig. 3.4).
Fig. 3.5: Grafo gerado pelo algoritmo de distribuição de vagões vazios proposto e pelo algoritmo de Narisetty et. al (2008) referente ao exemplo (Fig. 3.4)
Índice Pátio Quantidade Tipo de Vagão
1 TOM -30 1 2 TOM -20 2 3 ZPT -30 1 4 ZPT -20 2 5 ZAR 10 2 6 ZAP 7 2 7 ZZX 15 1
Tab. 3.1: Definição dos índices dos nós referente ao exemplo (Fig. 3.4)
Para descrição do modelo matemático foram utilizados para os nós de oferta e demanda os índices mostrados na Fig. 3.4. Definimos as notações:
• X(o,d): número de vagões de o para d, ∀o ∈ O, ∀d ∈ D;
• Y(d) : número de vagões da oferta artificial Oa para a demanda d, ou seja, representa o total
não atendido da demanda, ∀d ∈ D;
• Z(o) : número de vagões da oferta o para a demanda artificial Da, ou seja, representa o total
não alocado da oferta, ∀o ∈ O;
• A(artificial): número de vagões da oferta artificial Oapara a demanda artificial Da. Este arco é
utilizado apenas para balanço de fluxo.
3.3 Exemplo 25
que o custo de todos os outros arcos sejam menores que este valor. A oferta e demanda artificial são denotadas por Oa e Da, respectivamente.
A partir destas definições, o modelo de distribuição de vagões vazios para o caso da Fig. 3.4 é o seguinte:
MODELO MATEMÁTICO DO ALGORITMO DE DISTRIBUIÇÃO PROPOSTO /* Função Objetivo */
min: +5.29 X(2,5) +4.23 X(2,6) +4.42 X(1,7) +3.78 X(3,7) +Infinito Y(5) +Infinito Y(6) +Infinito Y(7)
+Infinito Z(1) +Infinito Z(2) +Infinito Z(3) +Infinito Z(4) /* Restrições */ -X(1,7) -Z(1) = -30 -X(2,5) -X(2,6) -Z(2) = -20 -X(3,7) -Z(3) = -30 -Z(4) = -20 +X(2,5) +Y(5) = 10 +X(2,6) +Y(6) = 7 +X(1,7) +X(3,7) +Y(7) = 15 -Y(5) -Y(6) -Y(7) -A(artificial) = -32 +Z(1) +Z(2) +Z(3) +Z(4) +A(artificial) = 100
O modelo de Narisetty et al. (2008) para o mesmo problema formulado utilizando a mesma representação e notação é:
MODELO MATEMÁTICO DO ALGORITMO DE NARISETTY ET AL.(2008) /* Função Objetivo */
min: +5.29 X(2,5) +4.66 X(4,5) +4.23 X(2,6) +3.60 X(4,6) +4.42 X(1,7) +3.78 X(3,7)
+Infinito Y(5) +Infinito Y(6) +Infinito Y(7)
+Infinito Z(1) +Infinito Z(2) +Infinito Z(3) +Infinito Z(4) /* Restrições */ -X(1,7) -Z(1) = -30 -X(2,5) -X(2,6) -Z(2) = -20 -X(3,7) -Z(3) = -30 -X(4,5) -X(4,6) -Z(4) = -20 +X(2,5) +X(4,5) +Y(5) = 10 +X(2,6) +X(4,6) +Y(6) = 7 +X(1,7) +X(3,7) +Y(7) = 15 -Y(5) -Y(6) -Y(7) -A(artificial) = -32 +Z(1) +Z(2) +Z(3) +Z(4) +A(artificial) = 100
A diferença entre estes dois modelos está na inexistência dos arcos X(4, 5) e X(4, 6) no primeiro modelo. Estes arcos foram excluídos devido a inexistência de rotas entre as estações ZPT-ZAR e ZPT-ZAP.
Para verificar a existência ou não de rotas entre duas estações um grafo auxiliar é criado. Esta grafo é similar ao grafo gerado pela rede tempo-espaço do modelo multicomodidade descrito no capítulo 2, seção 2.4, figura 2.3.
O grafo representa as rotas dos trens da grade de trens. Após a criação do grafo auxiliar utiliza-se um algoritmo para encontrar o caminho mínimo entre dois nós em redes acíclicas - Shortest Path in Acyclic Networks, Ahuja et al. (2008). O modelo de distribuição de vagões utiliza esta informação para decidir se existe ou não uma rota conectando o nó de oferta ao nó de destino.
Os modelos descritos anteriormente foram resolvidos e solução encontrada para o problema em questão pelo modelo de Narisetty et al. (2008) tem um custo de 134.8. A solução obtida foi a seguinte:
• Par O-D: ZPT-ZAR, Vagão do tipo: 2 , Quantidade: 10 • Par O-D: ZPT-ZZX, Vagão do tipo: 1 , Quantidade: 15 • Par O-D: ZPT-ZAP, Vagão do tipo: 2 , Quantidade: 7
Para o mesmo exemplo, o modelo proposto neste trabalho obteve, com custo 139.21, a seguinte solução:
• Par O-D: TOM-ZAR, Vagão do tipo: 2 , Quantidade: 10 • Par O-D: ZPT-ZZX, Vagão do tipo: 1 , Quantidade: 15 • Par O-D: TOM-ZAP, Vagão do tipo: 2 , Quantidade: 7
Apesar solução encontrada por Narisetty ter um custo menor (pois o custo de transporte de vagões entre o par ZPT-ZAR e ZPT-ZAP é menor que o custo de transporte entre o par TOM-ZAR e TOM- ZAP), pode-se notar que esta solução não é viável operacionalmente, visto que não existem rotas para movimentar vagões vazios disponíveis em ZPT e atender a demanda em ZAR e em ZAP.
A solução obtida pelo modelo proposto utiliza um algoritmo de busca que permite somente a movimentação de vagões entre pares oferta-demanda se existirem rotas para a movimentação de vagões vazios de seus pátios de origem aos pátios onde existem demandas correspondentes.
A partir dos resultados obtidos neste pequeno exemplo pode-se notar a relevância de se considerar as rotas no planejamento de distribuição de uma ferrovia que utiliza a grade de trens, um plano que não considera as rotas possíveis de distribuição se torna impraticável operacionalmente.
3.4
Resumo
Neste capítulo foi apresentado um modelo e um algoritmo para distribuição de vagões vazios. O resultado do algoritmo é a determinação da quantidade e tipos de vagões que são movimentados entre os pares origem-destino da ferrovia. O objetivo foi obter uma solução com menor custo de transporte.
3.4 Resumo 27
O modelo considera restrições operacionais. O plano obtido pelo modelo é viável, pois considera as rotas dos trens da grade de trens.
O capítulo 4 propõe um algoritmo de distribuição para o caso onde a quantidade de vagões é imprecisa. A imprecisão é modelada por números nebulosos.
Capítulo 4
Algoritmo de Distribuição de Vagões
Nebuloso
Esse capítulo apresenta o algoritmo de distribuição de vagões nebuloso. Este algoritmo utiliza números nebulosos para modelar a imprecisão da quantidade de vagões requerida por determinada demanda de transporte. Por fim, um exemplo ilustrativo é apresentado.
4.1
Introdução
Ferramentas de planejamento e auxílio à tomada de decisão, como o algoritmo de distribuição apresentado no capítulo anterior, precisam utilizar critérios que expressem de maneira condizente a realidade do processo operacional ferroviário para produzir planejamentos de distribuição que aten- dam da melhor forma possível os objetivos da ferrovia.
O algoritmo de distribuição proposto no capítulo anterior considera várias informações opera- cionais para obter uma solução realista. Dentre estas informações as principais são: prioridade de demandas, lista de vagões preferencias, grade de trens, custos de transporte. Apesar deste algoritmo obter uma solução de grande relevância prática, existem alguns elementos que não foram considera- dos no algoritmo.
Normalmente, a quantidade de vagões pedidas pelas demandas de transporte são estimativas de vendas. Frequentemente, estas estimativas não ocorrem como planejado. Neste caso, a quantidade de vagões das demandas não é um número preciso.
Um outro elemento não considerado no algoritmo de distribuição (Cap. 3) é a imprecisão da demanda ao longo do horizonte de planejamento. O ambiente ferroviário é complexo e dinâmico. No dia-a-dia ferroviário acontecem uma série de fatores imprevistos que podem alterar a circulação dos trens, a disponibilidade dos vagões e as demandas de transporte. Estes fatores influenciam di- retamente no plano de distribuição de vagões. O algoritmo de distribuição nebuloso considera a imprecisão das demandas de transporte ao longo do horizonte de planejamento. Devido a estes fa- tores, demandas que tem um prazo longo tem uma possibilidade maior de sofrer variações do que as demandas que estão com prazo próximo.
Além destes elementos, a confiabilidade das demandas de transporte é considerada durante o plano de distribuição. Cada cliente pede uma determinada quantidade de vagões de acordo com a
política de sua empresa e as obrigações contratuais estabelecidas com a ferrovia. Existem clientes que fazem pedidos de vagões em uma quantidade condizente com sua necessidade real, mas também existem clientes que normalmente pedem mais vagões do que realmente precisam. Isto acontece, pois cada cliente tem um contrato com compromisso diferente com a ferrovia.
Normalmente, clientes pedem mais vagões que precisam para manterem um estoque de vagões disponíveis em seus pátios. Desta forma, os clientes buscam evitar que o escoamento de sua produção comprometido em situações onde existe pouca disponibilidade de vagões.
Por outro lado, a ferrovia tem gastos com a movimentação destes vagões que podem não ser utilizados. Neste caso, a ferrovia pode deixar de transportar alguns vagões para aquele cliente, evi- tando gastos com movimentação de vagões que não serão utilizados. Em situações onde existir pouca disponibilidade de vagões, o plano de distribuição pode ser feito de forma que demandas mais con- fiáveis tenham preferência em relação a demandas menos confiáveis.
O algoritmo de distribuição de vagões nebuloso considera todas as informações operacionais do algoritmo de distribuição além destes elementos que não são considerados pelos trabalhos da lite- ratura. Desta forma, o algoritmo de distribuição nebuloso é mais abrangente que o algoritmo de distribuição de vagões (Cap. 3). O algoritmo de distribuição é um caso particular do algoritmo de distribuição nebuloso.
Apesar do algoritmo de distribuição nebuloso ser mais lento que o algoritmo de distribuição, pelo funcionamento do algoritmo pode-se verificar que o tempo de processamento é proporcional ao tempo de processamento do algoritmo de distribuição.
O algoritmo de distribuição de vagões nebuloso utiliza números nebulosos para modelar e tratar a imprecisão na quantidade de vagões das demandas de transporte. As entradas e saídas do algoritmo de distribuição nebuloso são as mesmas do algoritmo de distribuição proposto no Cap. 3.
Com o algoritmo de distribuição nebuloso é possível obter uma solução mais próxima do real, pois são considerados vários elementos de grande relevância no plano de distribuição. Este algoritmo possibilita obter soluções de grande relevância estratégica.
A próxima seção descreve detalhadamente o modelo e o algoritmo de distribuição de vagões vazios nebuloso.
4.2
Descrição do Algoritmo
O algoritmo de distribuição de vagões nebuloso é similar ao algoritmo de distribuição (Cap. 3). A diferença é que o algoritmo nebuloso considera a imprecisão na demanda de transporte. A teoria dos conjuntos nebulosos é utilizada para modelar esta imprecisão. No algoritmo de distribuição nebuloso uma demanda de transporte é representada por um número nebuloso.
O algoritmo de distribuição de vagões nebuloso foi inspirada no trabalho de Chanas e Kuchta (1998) que propuseram um algoritmo para resolver problemas de transporte de maneira geral.
Neste trabalho, utiliza-se números nebulosos do tipo L-R para modelar a imprecisão da quantidade de vagões. Para isto, caracteriza-se um número nebuloso A, denotado por A = (a, ¯a, α, β)L−R pela
4.2 Descrição do Algoritmo 31 µA(t) = L t−a+αα se t ∈ [a − α, a) 1 se t ∈ [a, ¯a] Ra+β−t¯ β se t ∈ (¯a, ¯a + β) 0 caso contrário (4.1)
onde a, ¯a, α, β são números reais e não negativos e L, R são funções do tipo L - left e R - right. Estas funções são lineares.
As definições acima foram utilizadas como inspiração para modelarmos a função de pertinência que representa a demanda no problema em questão.
No modelo descrito no Cap. 3, ndé o número de vagões necessários para atender a demanda d,
∀d ∈ D. No modelo de distribuição nebuloso, nd é substituído por um número nebuloso ˜ndpara re-
presentar a imprecisão quanto ao número de vagões necessário para atender a demanda d. Neste caso, as variáveis de decisão yd, ∀d ∈ D, não são necessárias, visto que a formulação das demandas como
números nebulosos considera o equilíbrio entre demanda e oferta de vagões na própria modelagem. Neste trabalho, de maneira geral, considera-se que ˜nd é um número nebuloso triangular, pois
não se tem outras informações disponíveis baseadas na percepção da prática operacional, que não a proximidade da demanda. No entanto, nos experimentos computacionais (Sec. 4.4.1) utiliza-se uma função de pertinência trapezoidal para representar a imprecisão inerente as demandas pouco confiáveis.
Neste caso a função de pertinência para uma demanda d, ∀d ∈ D é definida pelo número nebuloso ˜
nd = (nd, nd, 0.5nd, 0.5nd)L−Re é caracterizado pela função de pertinência:
µn˜d(t) = L t−0.5nd 0.5nd se t ∈ [0.5nd, nd] R1.5nd−t 0.5nd se t ∈ (nd, 1.5nd] 0 caso contrário (4.2)
A Fig. 4.1 mostra a representação gráfica da função de pertinência utilizada para modelar a imprecisão em uma demanda d, de acordo com a definição (4.2).
Sendo assim, pode-se reescrever o modelo de distribuição (Cap. 3) e obter o modelo de dis- tribuição nebuloso como se segue:
minX o∈O X d∈D ζodxod (4.3) X o∈ ˆOd xod ∼= ˜nd ∀d ∈ D X d∈ ˆDo xod+ zo = no ∀o ∈ O xod≥ 0 ∀o ∈ O ∀d ∈ D zo ≥ 0 ∀o ∈ O
Fig. 4.1: Função de pertinência da demanda d
Este modelo considera os custos de transporte ζod, ∀o ∈ O, ∀d ∈ D e o número de vagões de
oferta no, ∀o ∈ O, são números reais.
Considere x o vetor solução, os elementos de x correspondem as variáveis de decisão, x = [xod],
∀o ∈ O, ∀d ∈ D.
A formulação nebulosa da demanda de transporte implica que o objetivo também é um conjunto nebuloso. O conjunto nebuloso G que representa a função objetivo é denotado por:
G = (0, ¯aG, 0, βG)L−R
e tem a seguinte função de pertinência
µG(t) = 1 se t ∈ [0, ¯aG] R¯aG+βG−t βG se t ∈ (¯aG, ¯aG+ βG] 0 caso contrário. (4.4) onde c0 = X o∈O X d∈D ζodxod.
Neste trabalho é considerado ¯aG = 0.5 · c0 e βG = c0. A Fig. 4.2 mostra a representação gráfica
da função de pertinência da função objetivo definida em (4.4).
A definição abaixo mostra como satisfazer as restrições e a função objetivo do problema nebuloso proposto.
4.2 Descrição do Algoritmo 33
Fig. 4.2: Função de pertinência da função objetivo
O valor µC(x) = µn˜d X o∈O xod , ∀d ∈ D
é chamado de grau de satisfação das restrições do problema nebuloso parax. O valor µG(x) = µG(c(x)) = µG X o∈O X d∈D ζodxod
é chamado de grau de satisfação da função objetivo do problema nebuloso parax.
De acordo com Bellman and Zadeh (1970) a solução ótima para o problema é aquela que atende simultaneamente, com grau máximo, as restrições e o objetivo do modelo.
Definição 2: A solução ótima x∗é tal que a função de pertinênciaµD(x) = min{µC(x), µG(x)}
atinge seu valor máximo emx : x∗. Se o valor máximo é zero, diz-se que o problema é infactível. De acordo com a Definição 2, resolver o problema nebuloso é equivalente a resolver o seguinte problema:
min{µC(x), µG(x)} → max
Resolver este problema é equivalente a resolver o seguinte:
λ → max (4.5)
µn˜d X o∈O xod ≥ λ ∀d ∈ D X d∈ ˆDo xod+ zo = no ∀o ∈ O xod≥ 0 ∀o ∈ O, ∀d ∈ D zo ≥ 0 ∀o ∈ O λ > 0.
Definição 3: Considere um número nebuloso A. O λ-corte de A, denotado por Aλ, é o conjunto
dos números reais, para os quais os graus de pertinênciaµAnão são menores queλ, isto é:
Aλ = {t ∈ < | µA(t) ≥ λ}.
λ-cortes de números nebulosos são intervalos (Fig. 4.3).
Fig. 4.3: Representação de um λ-corte Logo, o intervalo resultante do λ-corte de ˜ndé
˜
nλd = [L−1(λ), R−1(λ)]
de acordo com a função de pertinência definida na equação 4.1 obtem-se L−1(λ) da seguinte forma:
L = t − a + α
α ⇒ λ =
t − a + α
4.2 Descrição do Algoritmo 35
⇒ t = a − α(1 − λ) ⇒ L−1(λ) = a − α(1 − λ). De maneira similar, obtem-se R−1(λ):
R = ¯a + β − t β ⇒ λ = ¯ a + β − t β ⇒ λ · β = ¯a + β − t ⇒ t = ¯a + β(1 − λ) ⇒ L−1(λ) = ¯a + β(1 − λ), logo o λ-corte de ˜ndé obtido por
˜
nλd = [a − α(1 − λ), ¯a + β(1 − λ)]. (4.6) Similarmente, o λ-corte da função objetivo G é o intervalo:
Gλ = (0, ¯a + β(1 − λ)]. (4.7) Assim podemos reescrever (4.5) da seguinte forma:
λ → max (4.8) c(x) ∈ Gλ X o∈O xod ∈ ˜nλd ∀d ∈ D X d∈ ˆDo xod+ zo = no ∀o ∈ O xod≥ 0 ∀o ∈ O, ∀d ∈ D zo ≥ 0 ∀o ∈ O λ > 0.
O problema (4.8) não é um problema de transporte clássico. No entanto, este problema pode ser convertido em um problema auxiliar possível de ser resolvido por métodos tradicionais. Este problema auxiliar é um problema de transporte intervalar o qual, por sua vez, pode ser facilmente convertido em um problema de transporte clássico que pode ser resolvido utilizando métodos tradi- cionais. A solução do problema auxiliar permite encontrar a solução para o problema de distribuição nebuloso original. Para λ ∈ (0, 1] fixo, o problema auxiliar tem a seguinte forma:
c(x) → min (4.9) X o∈O xod ∈ ˜nλd ∀d ∈ D X d∈ ˆDo xod+ zo = no ∀o ∈ O xod≥ 0 ∀o ∈ O, ∀d ∈ D zo ≥ 0 ∀o ∈ O.
Resolver este problema para um λ fixo em um valor apropriado nos permite encontrar a solução para o problema nebuloso original ou saber se o problema é infactível para este valor de λ. Para verificar se (4.9) é factível é necessário verificar se o valor da função objetivo satisfaz a primeira restrição de (4.8). Portanto, é necessário encontrar o valor máximo de λ para o qual 4.8 é factível e a solução correspondente.
Os limites dos intervalos de ˜nλ
d, ∀d ∈ D, de (4.9) podem não ser números inteiros. Isto significa
que a transição da solução para um problema de transporte clássico com demandas não inteiras não garante a obtenção de uma solução inteira. Entretanto, pode-se substituir (4.9) por um outro problema equivalente, tendo como limites dos intervalos apenas números inteiros, sem alterar a factibilidade e a solução ótima.
Definição 4: Seja A um intervalo arbitrário. O símbolo [λ] denota o maior intervalo possível com limites inteiros e contido emA, [A] = [a, b], onde:
a = min{t | t ∈ A, t inteiro}, b = max{t | t ∈ A, t inteiro}.
O problema (4.10) considera as soluções inteiras de (4.9):
c(x) → min (4.10) X o∈O xod∈ [˜nλd] ∀d ∈ D X d∈ ˆDo xod+ zo = no ∀o ∈ O xod≥ 0 ∀o ∈ O, ∀d ∈ D zo ≥ 0 ∀o ∈ O.
Os conjuntos de soluções factíveis e ótimas para (4.9) e (4.10) são idênticos devido as condições de integralidade impostas a x. Para algum λ fixo pode-se resolver (4.8) convertendo-o em um pro- blema de transporte clássico com valores de ofertas e demandas inteiros.
Resolvendo o problema (4.10) como um problema de transporte paramétrico com o parâmetro λ, resolve-se também o problema original (4.3). Entretanto, os coeficientes do problema dependem do parâmetro λ, tornando-o não-linear, o que aumenta a complexidade do problema.
Chanas and Kuchta (1998), propõe um algoritmo para evitar resolver o problema de transporte paramétrico. A idéia básica do algoritmo é converter o problema de transporte paramétrico em um problema de transporte clássico, esta conversão é feita várias vezes a medida que um novo λ é fixado. A Fig. 4.4 mostra a visão geral do algoritmo de distribuição nebuloso e suas interfaces no ambi- ente ferroviário. A figura também mostra as etapas do algoritmo que foram inspiradas no trabalho de Chanas and Kuchta (1998) e as contribuições deste trabalho.
4.2 Descrição do Algoritmo 37
Fig. 4.4: Algoritmo de Distribuição de Vagões Nebuloso
• Problema de distribuição de vagões nebuloso : este problema é similar ao de distribuição clás- sico, exceto que, nesta etapa são definidos os números nebulosos que representam a imprecisão na quantidade de vagões para cada demanda de transporte;
• Problema de transporte intervalar fixando λ : neste etapa é fixado um λ entre 0 e 1. O λ define o λ-corte. Para toda demanda, que é representada por um número nebuloso, tem-se um intervalo de números reais resultante do cálculo do λ-corte para o λ fixado. O problema de transporte intervalar é criado a partir do maior e menor número inteiro que estiverem contidos neste intervalo.
• Problema de distribuição de vagões : Nesta etapa cria-se um problema de distribuição clássico a partir do problema de transporte intervalar. O problema de distribuição é resolvido e verifica- se se a solução é ótima ou infactível. Se a solução não é ótima nem infactível, o valor de λ é alterado e a um novo problema de transporte intervalar é criado. Estas etapas se repetem até que a solução ótima ou infactível seja encontrada.
A partir da Fig. 4.4 verifica-se que resolver o algoritmo de distribuição nebuloso consiste em resolver várias vezes o algoritmo de distribuição (Cap. 3). O tempo de processamento do algoritmo de distribuição nebuloso é equivalente ao tempo de processamento do algoritmo de distribuição mul- tiplicado pela quantidade de vezes que o λ foi atualizado. O algoritmo de distribuição tem um tempo de processamento muito baixo, devido a estrutura do modelo de distribuição criado. Apesar do algo- ritmo de distribuição nebuloso ser mais lento, este algoritmo ainda obtem resultados num tempo de processamento satisfatório devido a rapidez apresentada na resolução do problema de distribuição.
Na próxima seção mostramos um exemplo da utilização do algoritmo de distribuição de vagões nebuloso.
4.3
Exemplo
Esta seção apresenta um exemplo simples para ilustrar a utilização do modelo e do algoritmo de distribuição de vagões vazios nebuloso. Para tal, utiliza-se o problema do capítulo 2, seção 2.2, Fig. 2.2, o problema é reproduzido na Fig. 4.5 incluindo os índices dos nós.
Fig. 4.5: Distribuição e alocação de vagões vazios em uma ferrovia Para este problema as funções de pertinência para as demandas são:
µ10˜2(t) = L t−55 se t ∈ [5, 10] R 15−t5 se t ∈ (10, 15] 0 caso contrário µ˜72(t) = L t−3.53.5 se t ∈ [3.5, 7] R 10.5−t3.5 se t ∈ (7, 10.5] 0 caso contrário µ15˜1(t) = L t−7.57.5 se t ∈ [7.5, 15] R 22.5−t7.5 se t ∈ (15, 22.5] 0 caso contrário
A função objetivo é representada pelo número G = (0, 0.5 · c0, 0, c0)L−R, como c0 = 139.21
4.3 Exemplo 39 µG(t) = 1 se t ∈ [0, 69.60] R 208.81−t139.21 se t ∈ (69.60, 208.81] 0 caso contrário.
A representação das demandas e da função objetivos são mostradas nas Figs. 4.6 e 4.7, respecti- vamente
Fig. 4.6: Funções de pertinência para as demandas do problema 2.2 O modelo nebuloso para o exemplo é o seguinte:
MODELO MATEMÁTICO DO ALGORITMO DE DISTRIBUIÇÃO NEBULOSO /* Função Objetivo */ min: +5.29 X(2,5) +4.23 X(2,6) +4.42 X(1,7) +3.78 X(3,7) /* Restrições */ -X(1,7) -Z(1) = -30 -X(2,5) -X(2,6) -Z(2) = -20 -X(3,7) -Z(3) = -30 -Z(4) = -20 +X(2,5) = (10, 10, 5, 5)L-R +X(2,6) = ( 7, 7, 3.5, 3.5)L-R +X(1,7) +X(3,7) = (15, 15, 7.5, 7.5)L-R
Fig. 4.7: Função de pertinência para a função objetivo do problema 2.2
Os λ-cortes das demandas nebulosas e da função objetivo utilizados para este exemplo obtidos a partir das equações (4.6) e (4.7) são:
10λ2 = [10 − 5(1 − λ)), 10 + 5(1 − λ))]; 7λ 2 = [7 − 3.5(1 − λ)), 7 + 3.5(1 − λ))]; 15λ 1 = [15 − 7.5(1 − λ)), 15 + 7.5(1 − λ))]; Gλ = (0, 69.60 + 139.21(1 − λ))].
O modelo descrito foi resolvido e a solução encontrada para o problema tem um custo de 113.06. A solução foi a seguinte:
• Par O-D: TOM-ZAR, Vagão do tipo: 2 , Quantidade: 8 • Par O-D: ZPT-ZZX, Vagão do tipo: 1 , Quantidade: 12 • Par O-D: TOM-ZAP, Vagão do tipo: 2 , Quantidade: 6
A solução obtida pelo algoritmo de distribuição (Cap. 3) teve um custo de 139.21, ou seja, o algoritmo de distribuição nebuloso obteve uma solução com custo de movimentação menor. Isto acontece porque o algoritmo nebuloso considera a imprecisão da demanda de transporte. O algoritmo nebuloso obtem uma solução de compromisso considerando a imprecisão da demanda e o custo da movimentação de vagões. Desta forma, considerando que a quantidade de vagões não é precisa, o