Descri¸c˜ao dos dados - Dados Artificiais

4.2 Dados Artificiais

4.3.1 Descri¸c˜ao dos dados

Nesta se¸cão apresentamos a análise para a média diária de P M10, temperatura

máxima e umidade relativa observadas no dia 10 de outubro de 2002, nas 22 esta¸cões apresentadas na Figura 4.10. Como apenas 5 esta¸cões monitoram as três variáveis, resolvemos incluir mais 13 esta¸cões que monitoram apenas P M10 e 4 pontos que

monitoram apenas temperatura e umidade. Portanto, no nosso exemplo, seguindo a nota¸c˜ao da Subse¸c˜ao 3.3.4, temos n = 22 , nx = 4, ny = 13 e, consequentemente, nxy = 5.

Inicialmente, investigamos uma transforma¸cão adequada para os dados, já que o modelo em (3.5) assume normalidade do vetor de observa¸cões. Observou-se que as transforma¸cões √. e ln(.) foram as que mais se aproximaram à distribui¸cão normal. Pode-se observar essa aproxima¸cão na Figura 4.12. Escolhemos, então, analisar a transforma¸cão q(P M10).

Figura 4.12: Gráficos da aproxima¸cão normal e quantis da normal padrão para a transforma¸cão q(P M10).

Quantiles of Standard Normal

-2 -1 0 1 2

4.3.2 Ajuste segundo o Modelo Usual e o MCL

Ajuste atrav´es do Modelo Usual

O procedimento usual descrito no Cap´ıtulo 2 assume que as covariáveis e variável resposta são observadas nas mesmas localiza¸cões. Para isso, utilizamos o método da krigagem ordinária descrito na Subse¸cão 2.1.3 para prever a temperatura e umidade nas esta¸cões em que estas não foram medidas. Modelamos temperatura e umidade separadamente, cada uma sendo um processo Gaussiano com média igual à um n´ıvel mais um efeito espacial. Para os n´ıveis de temperatura e umidade, assumimos prioris normais, com média 0 e variância grande. Para as variâncias assumimos prioris gama inversa com média igual ao erro médio quadrático estimado a partir de um modelo independente. Para o parâmetro φ do efeito espacial, associamos uma priori GI(2, 0.3). Feita a krigagem, assumimos, então, conhecidas as medidas de temper- atura máxima e umidade relativa em cada uma das 22 esta¸cões monitoradoras em questão. Ajustamos então, os modelos mencionados em (4.4), sendo Y =q(P M10),

X1 = umid e X2 = temp.

Consideramos mais uma vez, dois conjuntos de distribui¸cões a priori, as distribui¸cões a priori usuais e as distribui¸cões a priori Berger.

• Ajuste com distribui¸c˜oes a priori usuais

Mais uma vez, assumimos distribui¸cões normais, centradas em 0 e variância grande, para todos os coeficientes das covariáveis, β0_{s, quando pertinentes.} Para o parâmetro de escala, σ2

y, foi assumida priori com distribui¸cão gama invertida, de modo a ter média baseada num ajuste de min´ımos quadrados para um modelo sem estrutura espacial e variância infinita (σ2

y ∼ GI(2, 5)). Para o processo espacial assumimos uma fun¸cão de correla¸cão exponencial como mencionada anteriormente. Já para a priori de φy consideramos uma distribui¸cão gama invertida com média baseada na idéia da distância máxima (0.05 = exp(−φdmax)) e variância infinita. Assim :

– β0_{s ∼ N(0, 1000I}

– σ2

y ∼ GI(2, 5); – φy ∼ GI(2, 0.3).

• Ajuste com distribui¸c˜oes a priori Berger

Novamente, para os mesmos modelos ajustados com as distribui¸c˜oes a priori usuais, consideramos o ajuste com distribui¸c˜oes a priori Berger.

Ajuste atrav´es do MCL

Para a modelagem das covari´aveis e vari´avel resposta conjuntamente seguimos nova- mente o modelo apresentado em (3.4). Sendo Y (s) =q(P M10(s)), X1(s) = umid(s)

e X2(s) = temp(s), ajustamos os mesmos modelos apresentados em (4.5).

• Ajuste com distribui¸c˜oes a priori usuais

Com rela¸cão as distribui¸cões a priori utilizadas, assumimos distribui¸cões nor- mais, centradas em 0 e variância grande, para todos os coeficientes β0_{s quando} pertinentes. Para os parâmetros de escala, σ2

x1, σ

x2 e σ

y foram assumidas prioris com distribui¸cão gama invertida, de modo a ter média igual ao erro médio quadrático estimado a partir de um modelo independente e com variância infinita. Para os processos espaciais Sx1, Sx2, Sy assumimos uma fun¸cão de

correla¸cão exponencial, exp(−φd), onde d denota a distância euclideana entre os pontos. Já que a priori não temos nenhuma informa¸cão se o alcance das variáveis, Y (.), X1(.) e X2(.), são diferentes, assumimos para cada φ a mesma

distribui¸cão a priori, uma gama inversa tal que a média é baseada na idéia da distância máxima, φi ∼ GI(2, 0.3), i = 1, 2, 3.

Para a obten¸cão das amostras a posteriori dos parâmetros envolvidos nos modelos propostos de (a) a (c), desenvolvemos um programa na linguagem Ox. Rodamos uma cadeia com 50.000 itera¸cões, descartando as 20.000 primeiras e armazenando amostras a cada 30 itera¸cões, o que resultou em amostras de tamanho 1.000.

• Ajuste com distribui¸c˜oes a priori Berger

Novamente, para mesmos modelos ajustados com as distribui¸c˜oes a priori usuais, em (4.5), consideramos o ajuste com distribui¸c˜oes a priori Berger. Resultados

• Resultados dos ajustes utilizando distribui¸c˜oes a priori usuais Pela Tabela 4.16, vemos que o melhor modelo segundo o DIC, segundo o ajuste através do modelo usual, é o modelo (d), que não considera covariáveis. Indicando que é poss´ıvel que a temperatura máxima e a umidade relativa não influenciem nos n´ıveis de q(P M10). Mas é importante observar também, que o valor da parcela pD é negativa para este modelo.

Já segundo o ajuste através do MCL, o melhor modelo foi aquele que considera as duas covariáveis, temperatura e umidade, modelo (a). Note também, que os modelos seguindo o ajuste através do MCL, apresentaram valores do DIC mais baixos do que aqueles ajustados através do modelo usual, indicando que a modelagem conjunta das covariáveis e variável resposta, pode ser um procedimento mais eficaz.

Seguindo o critério do EPD, podemos ver na Tabela 4.17 que o melhor modelo, seguindo o ajuste através do procedimento usual, também foi o modelo (d). E, seguindo o ajuste através do MCL, o melhor modelo também foi aquele que considera as duas covariáveis, modelo (a). Observe, mais uma vez, que os valores do EPD segundo o ajuste do MCL, são bem menores que os valores segundo o ajuste do modelo usual.

E importante observar também os valores das parcelas P e G, que compõem o EPD. Note que, os valores de G para os modelos ajustados segundo o MCL, são baixos, indicando um bom ajuste. Assim, observe que, apesar do modelo (a) ser mais complexo (possui maior valor da parcela P ), ele foi o modelo escolhido.

Tabela 4.16: Compara¸c˜ao de Modelos segundo o procedimento usual e o MCL, utilizando o crit´erio DIC.

Modelo Usual Componente (a) (b) (c) (d) D 74,526 77,935 74,268 75,817 pD 4,351 0,978 3,685 -3,815 DIC 78,877 78,913 77,953 72,002 MCL D 70,914 72,768 73,716 √ pD -0,114 -1,336 -1,265 √ DIC 70,8 71,431 72,451 √

Tabela 4.17: Compara¸c˜ao de Modelos segundo o procedimento usual e o MCL, utilizando o crit´erio EPD.

Modelo Usual Componente (a) (b) (c) (d) P 129,372 141,581 127,217 93,197 G 141,995 111,811 141,657 77,918 EPD 200,369 197,487 198,046 132,756 MCL P 108,987 107,405 103,857 √ G 26,145 35,539 41,572 √ EPD 122,058 125,175 124,643 √

Aqui, apresentaremos os resultados pra o melhor modelo segundo o crit´erio do DIC.

Na Tabela 4.18 apresentamos o sumário da distribui¸cão a posteriori dos parâmetros para o melhor modelo, (d), segundo o DIC, segundo o ajuste do modelo usual. O valor de βy1 representa o n´ıvel de

√

P M10 ao longo da região. O valor φy mostra quão rapidamente a correla¸cão decai pra zero, podemos fazer uma estimativa da seguinte forma: como exp(−φyd) = 0, 05, temos que φyd ∼= 3, e assim, d ∼= 3/φy, utilizando a média a posteriori de φy, temos que d ∼= 0, 74km, isto é, a partir de 740m já não observamos correla¸cão entre as observa¸cões.

A Tabela 4.19 apresenta o sumário da distribui¸cão a posteriori dos parâmetros para o melhor modelo, segundo o ajuste através do MCL. Podemos observar que, ambas covariáveis, temperatura e umidade, apresentaram efeitos positivos nos n´ıveis de q(P M10). Podemos observar também que os parâmetros que controlam o de-

caimento da correla¸cão, φ0_{s, apresentaram-se diferentes entre si, justificando o uso} de um modelo que permite diferentes valores de φ para os diferentes processos. Os valores destes parâmetros indicam que a correla¸cão espacial decai mais rápido para a √P M10, depois para umidade e por fim, para a temperatura.

Tabela 4.18: Sumário (média, desvio padrão e quantis de 2.5% e 97.5%) da dis- tribui¸cão a posteriori dos parâmetros para o melhor modelo, (d), segundo o DIC, segundo o ajuste do modelo usual.

Parâmetro Média Desvio Padrão 2.5% 97.5%

βy1 10,18 0,615 9,031 11,47

φy 4,033 5,988 0,609 16,7

σ2

Parâmetro Média Desvio Padrão 2.5% 97.5% βx1 66,04 3,96 58,39 74,71 βx21 56,23 7,24 41,71 70,42 βx22 -0,29 0,11 -0,49 -0,08 βy1 -7,19 18,57 -40,38 32,79 βy2 0,27 0,31 -0,44 0,81 βy3 0,11 0,14 -0,19 0,36 φx1 1,14 3,97 0,11 6,69 φx2 0,66 3,23 0,08 2,69 φy 4,21 7,02 0,19 18,28 σ2 x1 74,03 47,29 26,48 188,72 σ2 x2 8,66 5,19 3,14 22,23 σ2 y 4,25 3,06 1,49 10,69

Tabela 4.19: Sumário (média, desvio padrão e quantis de 2.5% e 97.5%) da dis- tribui¸cão a posteriori dos parâmetros, para o modelo (a), segundo o ajuste através do MCL.

A Figura A.10 mostra os histogramas e gráficos de tra¸co das amostras das distribui¸cões a posteriori dos parâmetros para o melhor modelo, segundo o ajuste do modelo usual. Já as Figuras A.11, A.12, A.13 e A.14 mostram os histogramas e gráficos de tra¸co das amostras das distribui¸cões a posteriori dos parâmetros para o modelo selecionado, segundo o ajuste do MCL.

A Figura 4.13 mostra os boxplots das distribui¸c˜oes preditivas de q(P M10), se-

gundo o ajuste do modelo usual, para as localiza¸cões sem observa¸cões, (1), (2), (3) e (4). Já a Figura 4.14 mostra os boxplots das distribui¸cões preditivas de q(P M10)

para as localiza¸c˜oes sem observa¸c˜oes, segundo o ajuste do MCL.

Para o ajuste segundo o MCL, temos observa¸cões faltantes das covariáveis, tais observa¸cões tornaram-se parâmetros do modelo. Dessa forma, as Figuras 4.15 e 4.16 apresentam as distribui¸cões a posteriori de X2u e X1u nas localiza¸cões com

observa¸cões faltantes. Note que, as previsões de temperatura e umidade mudam para os diferentes pontos. O boxplot (1) das Figuras 4.15 e 4.16, corresponde à esta¸cão (1) da Figura 4.10, observe que a incerteza associada à previsão nesta esta¸cão é muito pequena, isto, possivelmente, se deve ao fato da esta¸cão (1) estar localizada onde temos mais informa¸cão.

5 10 15 (1) 5 10 15 20 (2) 0 5 10 15 (3) 5 10 15 (4)

Figura 4.13: Boxplot da distribui¸c˜ao preditiva para as localiza¸c˜oes (1), (2), (3), (4), segundo modelo (d), segundo o ajuste do modelo usual.

Figura 4.14: Boxplot da distribui¸c˜ao preditiva para as localiza¸c˜oes (1), (2), (3), (4), segundo modelo (a), segundo o ajuste do MCL.

5 10 15 20 (1) 5 10 15 (2) 5 10 15 20 (3) 0 5 10 15 (4)

Figura 4.15: Previs˜oes para os pontos n˜ao medidos de temperatura, segundo o modelo (a). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 20 25 30 35 40 45 50 55

Figura 4.16: Previs˜oes para os pontos n˜ao medidos de umidade, segundo o modelo (a). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 30 40 50 60 70 80 90 100

• Resultados dos ajustes utilizando distribui¸c˜oes a priori Berger A Tabela 4.20 apresenta os valores do DIC para cada um dos modelos ajutados. Segundo o ajuste do modelo usual, o melhor modelo foi aquele que não considera covariáveis, modelo (d). Já seguindo o ajuste do MCL, o melhor modelo foi aquele que considera apenas a covariável umidade, X1, modelo (b). Note que, os mode-

los ajustados seguindo o MCL apresentaram valores mais baixos do crit´erio DIC. Observe tamb´em, que, segundo o ajuste do MCL, o modelo (b), apesar de ter sido escolhido, apresentou valor da parcela pD negativo.

Já na Tabela 4.21 podemos observar os valores do EPD para os diferentes modelos. Seguindo o ajuste do modelo usual, o melhor modelo foi aquele que não considera covariáveis, o modelo (d). Mas é importante observar as parcelas G e P , note que, o modelo (a) foi o que apresentou melhor ajuste (menor valor de G), porém foi o que apresentou penaliza¸cão alta (maior valor de P ).

Já seguindo o ajuste do MCL, podemos ver na Tabela 4.21, que o critério do EPD apontou para melhor modelo, aquele que considera as duas covariáveis, X1 e X2, o

modelo (a). Note que, novamente, os modelos segundo os ajustes do MCL apresentaram valores menores do crit´erio EPD. E, o modelo (a) foi aquele que apresentou melhor ajuste (menor valor da parcela G), entre todos os modelos ajustados.

Tabela 4.20: Compara¸c˜ao de Modelos utilizando o crit´erio DIC, segundo o ajuste do modelo usual e MCL. Modelo Usual Componente (a) (b) (c) (d) D 73,540 73,388 72,726 72,898 pD 3,195 2,636 2,423 2,077 DIC 76,735 76,025 75,150 74,976 MCL D 65,282 67,689 67,681 √ pD 2,827 -2,166 3,184 √ DIC 68,150 65,523 70,86 √

Tabela 4.21: Compara¸c˜ao de Modelos utilizando o crit´erio EPD, segundo o ajuste do modelo usual e MCL. Modelo Usual Componente (a) (b) (c) (d) P 125,32 154,812 81,259 72,274 G 50,457 51,135 57,996 54,157 EPD 150,549 180,379 110,258 99,353 MCL Componente (a) (b) (c) (d) P 72,625 73,253 71,050 √ G 23,146 31,916 32,627 √ EPD 84,198 89,212 87,364 √

A Tabela 4.22 apresenta o sumário da distribui¸cão a posteriori dos parâmetros para o modelo selecionado, modelo (d), segundo o ajuste do modelo usual. Observe que utilizando a priori Berger, obtivemos valores para o parâmetro φ bem maiores que os valores quando utilizamos as prioris usuais, isto, provavelmente, se deve ao fato de estarmos utilizando uma priori de referência. Este fato também foi observado para o caso dos dados simulados.

A tabela 4.23 apresenta o sumário da distribui¸cão a posteriori dos parâmetros para o modelo selecionado segundo o critério do DIC, modelo (a), segundo o ajuste do MCL. Também observamos que obtivemos valores para os parâmetros φy e φx1

bem maiores que os valores quando utilizamos as prioris usuais.

Tabela 4.22: Sumário (média, desvio padrão e quantis de 2.5% e 97.5%) da dis- tribui¸cão a posteriori dos parâmetros para o melhor modelo, modelo (d), segundo o DIC, segundo o ajuste do modelo usual.

Parâmetro Média Desvio Padrão 2.5% 97.5%

βy1 10,05 0,487 9,104 11,004

φy 28,949 30,641 2,451 110,775

σ2

Parâmetro Média Desvio Padrão 2.5% 97.5% βx1 64,87 3,05 58,68 70,88 βy1 8,73 7,45 -3,64 21,82 βy3 0,023 0,12 -0,178 0,22 φx1 23,66 32,38 0,88 116,91 φy 24,79 32,78 0,84 120,01 σ2 x1 79,71 60,68 26,05 237,25 σ2 y 3,06 1,60 0,75 7,00

Tabela 4.23: Sumário (média, desvio padrão e quantis de 2.5% e 97.5%) da dis- tribui¸cão a posteriori dos parâmetros para o modelo (a), segundo o ajuste do MCL.

A Figura A.15 mostra os histogramas e gráficos de tra¸cos das amostras das distribui¸cões a posteriori dos parâmetros para o modelo selecionado, segundo o ajuste do modelo usual. As Figuras A.16 e A.17, mostram os histogramas e gráficos de tra¸cos das amostras das distribui¸cões a posteriori dos parâmetros para o modelo selecionado segundo o ajuste do MCL. Observe que utilizando a priori Berger, não observamos convergência para alguns dos parâmetros. Por este fato, esta priori ainda está sob investiga¸cão.

A Figura 4.17 mostra os boxplots das distribui¸c˜oes preditivas deq(P M10) para

as localiza¸cões sem observa¸cões, segundo o ajuste do modelo usual. A Figura 4.18 mostra os boxplots das distribui¸cões preditivas deq(P M10) para as localiza¸cões sem

observa¸c˜oes, para o modelo (a), segundo o ajuste do MCL.

Seguindo o ajuste do MCL, temos que a Figura 4.19, apresenta as distribui¸cões a posteriori de X1u para as localiza¸cões com observa¸cões faltantes, para o modelo

5 10 15 (1) 5 10 15 (2) 5 10 15 (3) 2 4 6 8 10 12 14 16 (4)

Figura 4.17: Boxplot da distribui¸c˜ao preditiva para as localiza¸c˜oes (1), (2), (3), (4), para o modelo (d), segundo o ajuste do modelo usual.

Figura 4.18: Boxplot da distribui¸c˜ao preditiva para as localiza¸c˜oes (1), (2), (3), (4), para o modelo (a), segundo o ajuste do MCL.

5 10 15 20 (1) 5 10 15 (2) 5 10 15 (3) 5 10 15 (4)

Figura 4.19: Previs˜oes para os pontos n˜ao medidos de umidade, para o modelo (a). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 20 40 60 80 100

No documento Desalinhamento de Variáveis em Dados Espacialmente Referenciados (páginas 69-88)