Desalinhamento de Variáveis em Dados Espacialmente Referenciados

(1)

Disserta¸c˜

ao de mestrado

Desalinhamento de Vari´

aveis em

Dados Espacialmente

Referenciados

(2)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 5

2 Revis˜ao de Geoestat´ıstica 8

2.1 Dados Espacialmente Referenciados . . . 8

2.1.1 Estacionariedade e Isotropia . . . 9

2.1.2 Fam´ılias de fun¸c˜oes de Correla¸c˜ao . . . 10

2.1.3 Modelagem Usual: krigagem . . . 12

2.2 Inferˆencia Bayesiana . . . 13

2.2.1 Especifica¸c˜ao da distribui¸c˜ao a priori . . . 14

2.2.2 Obten¸c˜ao da distribui¸c˜ao a posteriori . . . 15

2.2.3 T´ecnicas de Monte Carlo via Cadeias de Markov . . . 15

2.2.4 Interpola¸c˜ao Espacial . . . 17

3 M´etodos para o tratamento do desalinhamento entre vari´aveis 19 3.1 Procedimento Usual . . . 20

3.2 Método da Imputa¸cão Múltipla . . . 21

3.2.1 Descri¸c˜ao do M´etodo . . . 21

3.2.2 Regras para combinar os resultados . . . 22

3.3 Modelos de Coregionaliza¸c˜ao Linear . . . 23

3.3.1 Descri¸c˜ao do MCL . . . 24

3.3.2 Modelagem Espacial Condicional . . . 28

(3)

3.3.4 Desalinhamento nos Modelos de Coregionaliza¸c˜ao

Linear . . . 31

3.3.5 Cálculo das condicionais completas para os parâmetros do Modelo de Coregionaliza¸cão Linear . . . 32

4 Análise de dados 36 4.1 Critérios de compara¸cão de modelos . . . 36

4.1.1 Deviance Information Criterion (DIC) . . . 37

4.1.2 Posterior Predictive Loss Criterion (EPD) . . . 37

4.2 Dados Artificiais . . . 38

4.2.1 Ajuste segundo o Modelo Usual e o MCL . . . 39

4.2.2 Ajuste através do Método da Imputa¸cão Múltipla . . . 58

4.2.3 Compara¸cão das preditivas obtidas pelos diferentes métodos . 59 4.3 Part´ıculas em suspensão na atmosfera na região metropolitana do Rio de Janeiro . . . 65

4.3.1 Descri¸c˜ao dos dados . . . 69

4.3.2 Ajuste segundo o Modelo Usual e o MCL . . . 70

4.3.3 Imputa¸c˜ao M´ultipla . . . 88

4.3.4 Compara¸c˜ao dos m´etodos . . . 89

5 Modelo Espacial Gama com desalinhamento de vari´aveis 96 5.1 Modelo proposto . . . 97

5.1.1 Procedimento de Inferˆencia . . . 98

5.2 Modelo com desalinhamento entre vari´aveis . . . 101

5.3 Previsão do processo para localiza¸cões não medidas . . . 104

5.4 Exemplos . . . 105

5.4.1 Dados artificiais . . . 105

5.4.2 Part´ıculas Inal´aveis . . . 115

(4)

A Gr´aficos complementares do cap´ıtulo 4 120

A.1 Dados Artificiais . . . 121

A.1.1 Ajuste com distribui¸c˜oes a priori usuais . . . 121

A.1.2 Ajuste com distribui¸c˜oes a priori Berger . . . 127

A.2 Part´ıculas em suspens˜ao na atmosfera . . . 130

A.2.1 Ajustes utilizando as distribui¸c˜oes a priori usuais . . . 130

A.2.2 Ajuste utilizando as distribui¸c˜oes a priori Berger . . . 135

B Gr´aficos complementares para o Cap´ıtulo 5 138 B.1 Dados Artificiais . . . 139

B.1.1 Ajuste atrav´es do Modelo Gama Usual . . . 139

B.1.2 Ajuste atrav´es do Modelo Normal Usual . . . 141

B.1.3 Ajuste atrav´es do Modelo Gama Conjunto sem desalinhamento . . 143

B.1.4 Ajuste atrav´es do Modelo Gama conjunto com desalinhamento . . 147

(5)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜

ao

Ultimamente tem ocorrido um grande desenvolvimento de modelos para dados espa-cialmente referenciados, dados observados ao longo de uma regi˜ao geogr´afica, como, por exemplo, a modelagem de poluentes do ar num grande centro urbano.

Na Estat´ıstica Espacial, observa¸cões de uma ou mais variáveis são observadas em alguns pontos em uma determinada região geográfica. As localiza¸cões desses pontos são anexadas às respectivas observa¸cões e a análise espacial é feita levando em considera¸cão essas localiza¸cões. Ambas, as observa¸cões e as localiza¸cões espaci-ais, podem ser modeladas como variáveis aleatórias e a inferência é feita sobre os parâmetros envolvidos nestes modelos e sobre eventuais localiza¸cões não observadas. Em estudos de tais dados não é razoável assumir que as observa¸cões são indepen-dentes ao longo da região sob estudo. Acredita-se que observa¸cões próximas são mais correlacionadas do que observa¸cões distantes entre si.

Modelos espaciais são relativamente recentes em Estat´ıstica e podem ser aplica-dos em uma variedade de campos, como Geologia, Epidemiologia, Processamento de imagens, Ciência ambiental, etc. Tais modelos são usados para capturar asso-cia¸cão espacial e para fazer previsões em localiza¸cões sem observa¸cões, tipicamente na presen¸ca de variáveis explicativas. Inferência sobre o processo em localiza¸cões não medidas é vital no contexto de desenvolvimento de mapas, análise de imagens, ciência ambiental, etc.

(6)

referencia-dos é o desalinhamento das variáveis. Esse tipo de problema é muito comum em da-dos ambientais, por exemplo, em uma determinada localiza¸cão observamos a medida de um determinado poluente e não observamos as medidas de poss´ıveis covariáveis que achamos que ajudarão na modelagem, exatamente nos mesmos pontos.

Outro ponto importante é que, no contexto da geoestat´ıstica, dadas as ob-serva¸cões do processo de interesse nas localiza¸cões, em geral, assume-se que a quanti-dade aleatória segue um processo Gaussiano, que descreveremos no cap´ıtulo a seguir, e para isso trabalha-se com uma transforma¸cão dos dados que melhor se aproxi-ma desta distribui¸cão. Só que quando transforaproxi-mamos os dados, estamos fixando o parâmetro da transforma¸cão Box&Cox (Box and Cox 1964) e não necessariamente o modelo gaussiano é o mais apropriado.

Neste trabalho, fazemos uma análise de diferentes métodos para lidar com o pro-blema do desalinhamento, e apresentamos uma compara¸cão entre eles fazendo uma aplica¸cão à dados de polui¸cão coletados em 22 postos de monitoramento localizados na Região Metropolitana do Rio de Janeiro. Além disso, seguindo Diggle, Tawn, and Moyeed 1998, propomos uma modelagem espacial gama para o tratamento de dados positivos em sua escala original.

Este trabalho está dividido da seguinte forma: no Cap´ıtulo seguinte fazemos uma revisão de alguns aspectos da modelagem de dados espacialmente referenci-ados. Apresentaremos também o procedimento de inferência bayesiano, fazendo também uma breve revisão dos métodos computacionais Monte Carlo via Cadeias de Markov(MCMC) usados para obten¸cão de uma amostra da distribui¸cão a pos-teriori dos parâmetros dos modelos. Quando o cálculo anal´ıtico das distribui¸cões a posteriori não é poss´ıvel, usamos esses métodos para amostrar dessas distribui¸cões. No Cap´ıtulo 3 apresentamos alguns dos métodos para o tratamento do desali-nhamento das variáveis, entre eles um procedimento que chamamos de usual, o Método da Imputa¸cão Múltipla(I.M.) e uma abordagem bayesiana. Também será feita uma revisão dos Modelos de Coregionaliza¸cão Linear(MCL), inicialmente pro-postos por Mathéron 1982 e apresentaremos um desenvolvimento de tais modelos para o problema do desalinhamento, seguindo uma abordagem bayesiana.

(7)

No Cap´ıtulo 4 faremos uma aplica¸cão à dados artificiais, assim como à dados de concentra¸cão de part´ıculas inaláveis na Região Metropolitana do Rio de Janeiro, faremos também uma compara¸cão entre as diferentes abordagens e modelos. Es-tamos interessados em observar que, quando traEs-tamos os dados faltantes como parâmetros do modelo, estamos levando em considera¸cão a incerteza associada a sua estima¸cão. Os dados utilizados são referentes à concentra¸cão de part´ıculas inaláveis no dia 10 de outubro de 2002. Verificamos a presen¸ca de valores faltantes devido ao não funcionamento de algumas esta¸cões monitoradoras. Neste mesmo dia, obser-vamos também os registros de temperatura e umidade em algumas localiza¸cões da cidade. Note que as localiza¸cões das observa¸cões de temperatura e umidade não são necessariamente as mesmas localiza¸cões das observa¸cões das part´ıculas inaláveis, da´ı o desalinhamento.

Após o ajuste e compara¸cão dos modelos, apresentamos resultados mais deta-lhados para o melhor modelo de acordo com os critérios de compara¸cão. E fazemos uma previsão para a concentra¸cão de part´ıculas inaláveis para 4 pontos onde não possu´ımos tal informa¸cão.

No Cap´ıtulo 5 apresentaremos uma modelagem alternativa para tratar dos dados em questão em sua escala original, apresentaremos a aplica¸cão para esses mesmos dados, assim como uma compara¸cão com a abordagem anterior. Finalmente, no Cap´ıtulo 6 apresentamos as conclusões, assim como poss´ıveis extensões para traba-lhos futuros.

(8)

Cap´ıtulo 2

Revis˜

ao de Geoestat´ıstica

2.1 Dados Espacialmente Referenciados

Como já mencionado anteriormente, ultimamente temos observado um grande de-senvolvimento de novas técnicas para o estudo de dados observados ao longo de uma região geográfica, como por exemplo, a modelagem de poluentes do ar num centro urbano. Associada a cada observa¸cão temos sua localiza¸cão geográfica, por isso, chamamos tais dados de dados espacialmente referenciados. Na análise deste tipo de dado, agregamos as observa¸cões às suas respectivas localiza¸cões e a análise é feita levando em considera¸cão essas localiza¸cões.

Cressie 1993, divide a estat´ıstica espacial de acordo com os tipos de observa¸cões associadas ao espa¸co em que elas são observadas. De uma forma geral a estat´ıstica espacial contém três grandes áreas: geoestat´ıstica, dados de área e processos pon-tuais. Neste trabalho abordaremos apenas o primeiro tipo.

Seja s ∈Rp _{uma localiza¸cão no espa¸co euclideano p-dimensional e seja Y (s) o} valor da variável aleatória Y na localiza¸cão s. Assim, em geral {y(s) : s ∈ G} é uma realiza¸cão parcial do processo aleatório {Y (s) : s ∈ G}, onde G é um subconjunto fixo do IRp _{com volume p-dimensional positivo (Cressie 1993). Em outras palavras,} s varia continuamente ao longo da região G. Aqui, estamos assumindo G ∈Rp _uma região fixa e obteremos informa¸cão do processo em n localiza¸cões pertencentes à essa determinada região.

(9)

Em estudos envolvendo observa¸cões espacialmente referenciadas, suspeita-se que as observa¸cões apresentem uma estrutura de correla¸cão espacial e a caracteriza¸cão desta é de grande importância. É intuitivo pensar que observa¸cões próximas tendem a ser mais correlacionadas do que observa¸cões distantes entre si. Desta forma, quando modelamos dados deste tipo, desejamos identificar estas estruturas. Para isso, é comum na literatura de geoestat´ıstica, assumir estacionariedade e isotropia do processo sob estudo. A seguir descreveremos essas duas propriedades.

2.1.1 Estacionariedade e Isotropia

Inicialmente, assuma que, a fun¸cão da média, µ(s) = E(Y (s)) existe para todo s ∈ G. Usualmente, diz-se que µ(.) é a tendência do processo espacial Y (.). Suponha também que a variância de Y (s), V (Y (s)), existe para todo s ∈ G. Por defini¸cão, o processo espacial Y (.) é intrinsicamente estacionário se:

E(Y (s + h) − Y (s)) = 0 e V (Y (s + h) − Y (s)) = 2γ(h), ∀s, s + h ∈ G, (2.1)

onde a quantidade γ(.) é uma fun¸cão condicionalmente definida negativa. O processo Y (.) é dito ser estacionário de segunda ordem (ou fracamente estacionário) se µ(s) = µ, ∀s ∈ G, isto é, µ(s) é constante para todo s ∈ G e a covariância entre dois pontos quaisquer em G é fun¸cão apenas da diferen¸ca entre as duas localiza¸cões, isto é,

cov(Y (s), Y (s0_{)) = c(s − s}0_), _{∀s, s}0 _{∈ G.} _(2.2)

A quantidade 2γ(.) em (2.1), é conhecida como variograma e é um dos parâmetros mais importantes na modelagem de geostat´ıstica. A fun¸cão c(.) é chamada de co-variograma. Se em (2.1), 2γ(s − s0_{) depender apenas da distância euclideana entre} s e s0_{, o processo Y (.) é então chamado de isotrópico. Um processo intrinsicamente} estacionário e isotrópico é chamado de homogêneo. Se uma dessas condi¸cões não se aplica, o processo é heterogêneo.

Em geral, assume-se que a variável aleatória Y (.) segue um processo Gaussiano. Mais especificamente, a quantidade aleatória Y (.), que assume valores y(s) para

(10)

s ∈ G, segue um processo Gaussiano (PG) com média µ(.) e fun¸cão de covariância c(., .), denotado por:

Y (.) ∼ P G(µ(.), c(., .)),

se para quaisquer s1, s2, ..., sn ∈ G, e qualquer n = 1, 2, 3, ..., a distribui¸cão conjunta de Y (s1), Y (s2), ..., Y (sn) é uma normal multivariada com parâmetros dados por E(Y (si)) = µ(si) e cov(Y (si), Y (sj)) = c(si− sj).

Quando um processo é homogêneo, sua variância é constante ao longo de G. Portanto, podemos escrever a fun¸cão de covariância de Y (.) como c(si− sj) = σ2_{ρ(||s − s}0_{||; φ}∗_{), onde ρ(.; φ}∗_{) denota uma fun¸cão de correla¸cão válida (positiva} definida) em IRp _{que depende possivelmente de um vetor paramétrico φ}∗_. Descreve-remos essa fun¸cão de correla¸cão na subse¸cão seguinte. Note que, neste caso, o vario-grama pode ser escrito como 2γ(h) = V (Y (s)−Y (s0_{)) = σ}2_+σ2_−2σ2_{ρ(ks − s}0_{k; φ}∗_{) =} 2σ2_{(1 − ρ(ks − s}0_{k; φ}∗_{)). Dessa forma, a conveniência dos processos homogêneos fica} clara, já que a estrutura de covariância do processo Y (.) pode ser modelada apenas através dos parâmetros σ2 _{e φ}∗_{. Além disso, modelando Y (.) através de um processo} Gaussiano, precisamos especificar apenas seu primeiro e segundo momentos.

´

E comum definir o momento de primeira ordem como uma combina¸cão linear de poss´ıveis (q) covariáveis que tenham sido observadas ao longo das n localidades medidas. A especifica¸cão do momento de segunda ordem pode ser feita de maneiras diferentes e, geralmente, é a mais desafiadora. A subse¸cão seguinte descreve algumas fam´ılias de fun¸cão de correla¸cão.

2.1.2 Fam´ılias de fun¸c˜

oes de Correla¸c˜

ao

Existem na literatura algumas fam´ılias de fun¸cões de correla¸cão. Uma fun¸cão de correla¸cão que é válida em IRp1 também é válida em IRp2 para p

2 < p1. Entretanto,

a rec´ıproca não é necessariamente verdadeira (Cressie 1993). Geralmente a fun¸cão de correla¸cão ρ(.) deve traduzir algumas de nossas intui¸cões. Por exemplo, espera-se que a correla¸cão entre duas medidas decres¸ca quando aumentarmos a distância

(11)

entre duas localiza¸cões muito distantes tende a 0. Ribeiro Jr. and Diggle 1999, apresentam alguns dos principais modelos paramétricos de fun¸cões de correla¸cão assim como simula¸cões de processos Gaussianos univariados mostrando o efeito do uso das diferentes fam´ılias. Dois dos principais exemplos de fun¸cão de correla¸cão são:

(a) fam´ılia exponencial potˆencia:

ρ(d; φ) = exp(−(φd)κ_),

onde φ∗ _{= (φ, κ) com φ > 0 e κ ∈ (0, 2]. O parâmetro φ é de escala e d é a} distância euclideana entre dois pontos quaisquer em G. Quando κ = 1 temos o caso particular da fun¸cão de correla¸cão exponencial. E quando κ = 2 temos a fun¸cão de correla¸cão Gaussiana.

(b) fam´ılia Mat´ern ρ(d; φ; λ) = 1 2λ−1_Γ(λ)  2 q (λ)d φ  _κ_λ  2 q (λ)d φ  _,

onde φ∗ _{= (φ, λ),φ > 0 é o parâmetro de escala, λ > 0 é o parâmetro de forma.} A fun¸cão Γ(.) é a fun¸cão Gama usual e κλ é a fun¸cão modificada de Bessel do terceiro tipo de ordem λ.

Um aspecto importante de superf´ıcies espaciais é o seu grau de suavidade. Matematicamente essa propriedade é descrita através do grau de diferenciabilidade do processo. A especifica¸cão da fam´ılia de fun¸cão de correla¸cão é de grande im-portância, pois, em processos Gaussianos a suavidade do processo está diretamente relacionada à diferenciabilidade da sua estrutura de covariância. Por exemplo, a fun¸cão de correla¸cão Gaussiana resulta em processos infinitamente diferenciáveis, em outras palavras, em processos extremamente suaves, o que na prática é dif´ıcil de se observar. Recentemente a fun¸cão de correla¸cão em (b) tem sido a mais usada na literatura pois além das fun¸cões exponencial (quando λ = 0, 5) e Gaussiana (quando λ → ∞) serem seus casos particulares, o parâmetro λ controla a diferenciabilidade do processo (Schmidt, Nobre, and Ferreira 2002).

(12)

Neste trabalho, usaremos a fun¸cão de correla¸cão exponencial ρ(d; φ) = exp(−φd). Nela, o parâmetro φ nos diz quão rapidamente a correla¸cão decai pra zero. O decaimento pode ser, mais ou menos lento, dependendo desse parâmetro. Quando ρ é isotrópica e estritamente decrescente para um dado vetor paramétrico φ, a distância que torna ρ desprez´ıvel, isto é, por exemplo, a correla¸cão igual a 0.05, é referido na literatura de geostat´ıstica como alcance. Portanto, o alcance é a distância a partir da qual não há mais correla¸cão entre as observa¸cões.

2.1.3 Modelagem Usual: krigagem

De uma forma geral, o objetivo da modelagem de processos espaciais é o de prever a variável sob estudo em localidades não medidas, a partir das observa¸cões nos pon-tos medidos. Em outras palavras, baseados na informa¸cão observada de Y (.) em n pontos de uma determinada região, deseja-se prever o processo em k pontos não me-didos dessa mesma região. Na literatura de estat´ıstica espacial o procedimento mais usual é a utiliza¸cão de krigagem. Em geral, a krigagem depende das propriedades do momento de segunda ordem de Y (.).

Usualmente, no contexto de geoestat´ıstica, dadas as observa¸c˜oes do processo de interesse em n localiza¸c˜oes, Y = (Y (s1), Y (s2), ..., Y (sn))0, assume-se que :

Y | µ, Σ ∼ Nn(µ, Σ),

onde Nn representa a distribui¸cão normal multivariada de dimensão n, µ é um vetor de dimensão n representando a média do processo, e Σ é uma matriz, n × n, que representa a estrutura de covariância.

De forma geral, podemos supor que a tendência do processo Y (.) não é constante ao longo de G, mas sim uma combina¸cão linear desconhecida de fun¸cões conhecidas X(s) = {X1(s), ..., Xq(s)}, s ∈ G, isto é, µ(s) = β0X(s), onde β = (β1, ..., βq)0. As quantidades Xj(.), j = 1, ..., q representam covariáveis que possivelmente explicam o n´ıvel de Y (.). Dessa forma esse não é um processo estacionário, já que o n´ıvel de Y (.) varia com as localiza¸cões em G. Na literatura de geoestat´ıstica a interpola¸cão

(13)

µ(.) é assumida constante para todo s ∈ G a interpola¸cão espacial é chamada de krigagem ordinária (Cressie 1993). Na krigagem, a previsão é baseada numa matriz de covariância conhecida, o que na prática não é realista. Geralmente, a matriz é estimada através dos dados de modo que a previsão não considera a incerteza associada à estima¸cão da estrutura de covariância.

A seguir descreveremos o modelo espacial gaussiano. Tal modelo tem uma es-trutura simples que ´e flex´ıvel o suficiente para lidar com uma grande classe de problemas.

Em geral, assuma {Y (s) : s ∈ G ⊂ IR2_{} um campo aleat´orio, tal que Y ⊂ IR}1

(ex.: Y (s) = CO2(s)). Nesse caso, assumimos que as covari´aveis e a vari´avel resposta

foram medidas nos mesmos n pontos de G. Assim, o modelo para Y pode ser descrito por

Y (s) = β0_{X(s) + Z(s) + ²(s),} _(2.3)

onde β ´e um vetor de coeficientes das q covari´aveis em X, sendo X(s) = (X1(s), X2(s), ..., Xq(s))0,

³

Z(s) | σ2_{, φ}´_{∼ P G(0, σ}2_{ρ(|| s − s ||; φ)),} _(2.4)

com σ2_{sendo a variância (comum) de Z(.) e ρ(.; φ) uma fun¸cão de correla¸cão válida.}

Assim temos que cada elemento de c(., .) ´e dado por

Σs,s0 = c(s, s0) = σ2ρ(|| s − s0 ||; φ), e

²(s) ∼ N(0, τ2_).

Chamamos ²(s) de efeito pepita, a fonte de erros que não depende da loca-liza¸cão s, ou seja, uma componente de varia¸cão devido a erros de medida que são independentes ao longo da região G.

2.2 Inferˆ

encia Bayesiana

Um dos principais objetivos da inferência estat´ıstica em dados espaciais é conseguir conclusões sobre quantidades não observadas. Isso é feito a partir de um conjunto

(14)

de informa¸cões que temos dispon´ıveis sobre determinada quantidade de interesse. Na inferência bayesiana, o processo de inferência é baseado na distribui¸cão do vetor de parâmetros θ após a observa¸cão dos dados. Esta distribui¸cão é chamada de distribui¸cão a posteriori, e é obtida seguindo o teorema de Bayes:

p(θ|y) ∝ fn(Y|θ)p(θ),

onde fn(Y|θ) representa a fun¸cão de verossimilhan¸ca, que descreve a informa¸cão proveniente dos dados, e p(θ) representa a distribui¸cão a priori, que descreve a in-forma¸cão que temos sobre θ antes da observa¸cão dos dados. A seguir descreveremos poss´ıveis distribui¸cões a priori para o vetor paramétrico θ = (β, σ2_{, τ}2_{, φ).}

2.2.1 Especifica¸c˜

ao da distribui¸c˜

ao a priori

Sob o enfoque bayesiano, precisamos atribuir distribui¸cões a priori para os parâmetros do modelo. Seguindo o modelo em (2.3), o vetor de parâmetros é dado por θ.

´

E razoável assumir que os parâmetros em θ são independentes a priori. Como os coeficientes em β representam os efeitos das covariáveis X sobre a média de Y (.), geralmente assume-se que βi ∼ N(0, σ2β), onde σβ2 é uma quantidade fixa conhecida. Quanto maior o valor de σ2

β mais vaga a informa¸c˜ao a priori sobre βi, i = 1, 2, ..., q. Para os parˆametros σ2 _{e τ}2_{geralmente associa-se uma priori gama ou gama invertida}

com uma determinada média e variância. Os parâmetros em ρ representam aqueles envolvidos na fun¸cão de correla¸cão espacial especificada para o modelo. Por exemplo, no caso da fun¸cão de correla¸cão exponencial, ρ(d; φ) = exp(−(φd)), uma priori usualmente atribu´ıda a φ é uma distribui¸cão gama invertida com variância infinita. A escolha da média dessa distribui¸cão pode ser dif´ıcil. Uma sugestão é atribuir uma média tal que a correla¸cão é 0.05 quando a distância é igual à metade da distância máxima presente na amostra. Em outras palavras, essa priori reflete o fato de esperarmos que para distâncias maiores que 0.5dmax a correla¸cão espacial é próxima de 0 (Schmidt, Nobre, and Ferreira 2002).

(15)

2.2.2 Obten¸c˜

ao da distribui¸c˜

ao a posteriori

Seguindo o paradigma de Bayes, sabemos que a distribui¸cão a posteriori de θ, p(θ|y), é proporcional ao produto da fun¸cão de verossimilhan¸ca, fn(Y|θ), pela priori, p(θ), isto é,

p(θ|y) ∝ fn(Y|θ)p(θ).

Seguindo o modelo em (2.3) temos que a distribui¸c˜ao a posteriori para θ ser´a dada por: p(θ|y) ∝ |ΣY|−1/2exp ½ −1 2(Y − β 0_X)T Σ−1_Y (Y − β0X) ¾ p(β)p(σ2)p(φ)p(τ2). (2.5)

Quaisquer que sejam as distribui¸cões a priori associadas aos elementos de θ, não é poss´ıvel fazer nenhuma sumariza¸cão da distribui¸cão a posteriori acima de forma anal´ıtica. Portanto, é preciso fazer uso de métodos de simula¸cão estocástica para obter amostras da densidade acima. Nos últimos 15 anos a inferência Bayesiana vem experimentando um grande avan¸co devido a introdu¸cão de Métodos de Monte Carlo via cadeias de Markov (MCMC). Neste contexto, os métodos de simula¸cão estocástica mais utilizados são o amostrador de Gibbs e o Metropolis-Hastings, que descreveremos a seguir. Para maiores detalhes veja Gamerman 1997.

2.2.3 T´

ecnicas de Monte Carlo via Cadeias de Markov

Um algoritmo Monte Carlo via cadeia de Markov (MCMC) para simular p(.) é qual-quer método que produza uma cadeia de Markov homogênea, ergódica e irredut´ıvel cuja distribui¸cão estacionária seja p(.). Para maiores detalhes veja Gamerman 1997.

Particularmente, descreveremos aqui, os algoritmos Amostrador de Gibbs e Metropo-lis Hastings, que ser˜ao utilizados para obter amostras da distribui¸c˜ao a posteriori do vetor θ, descrito em 2.2.1.

• Amostrador de Gibbs ´

E um algoritmo que gera uma sequˆencia

(16)

a partir de uma cadeia de Markov, cuja distribui¸cão limite/equil´ıbrio é p(θ) e cujo núcleo de transi¸cão é formado pelo produto das distribui¸cões condi-cionais completas. {θ(0), θ(1), θ(2), . . .} representam amostras dos parâmetros do modelo. Seja π(θi|.), i = 1, ..., p, a condicional completa da i-ésima compo-nente do vetor θ, o algoritmo é então, descrito da seguinte forma:

Algoritmo:

1. θ(0) = (θ₁(0), θ(0)₂ , . . . , θ(0)

p )

2. Na j-ésima itera¸cão, θ(j)é obtido a partir de θ(j−1); sorteando

θ(j)₁ ∼ π(θ1|θ2(j−1), . . . , θ(j−1)p ) θ(j)₂ ∼ π(θ2|θ1(j), θ3(j−1), . . . , θ(j−1)p ) θ₃(j) ∼ π(θ3|θ1(j), θ2(j), θ4(j−1), . . . , θ(j−1)p ) ... θ(j) p ∼ π(θp|θ1(j), θ2(j), . . . , θ(j)p−1)

(17)

• Metropolis-Hastings

Assim como o amostrador de Gibbs, ´e um algoritmo que gera uma sequˆencia {θ(0), θ(1), θ(2), . . .},

a partir de uma cadeia de Markov, cuja distribui¸c˜ao limite ´e p(θ).

O algoritmo de Metropolis-Hastings será usado para amostrar das distribui¸cões condicionais completas dos parâmetros que não possuem condicionais comple-tas de forma fechada. Este algoritmo consiste nos seguintes passos:

1. na i-ésima itera¸cão do algoritmo, sorteamos um valor proposto para θ, ξ de uma distribui¸cão proposta q(ξ|θ(i−1)_);

2. Aceitamos o valor proposto com probabilidade α, onde α = min     1, p(ξ) q(ξ|θ(i−1)₎ p(θ(i−1)₎ q(θ(i−1)_|ξ)     ,

caso contr´ario, permanecemos com o valor corrente de θ.

2.2.4 Interpola¸c˜

ao Espacial

Como já mencionado anteriormente, em geoestat´ıstica, o maior interesse encontra-se na previsão do processo em pontos não observados, baseada na informa¸cão obtida através das n localiza¸cões observadas. De acordo com o modelo em (2.3) as ob-serva¸cões estão sendo geradas de acordo com um processo gaussiano. Uma vez obtida amostras da distribui¸cão a posteriori de θ podemos descrever a previsão do processo numa região através da distribui¸cão preditiva de um conjunto, por exemplo k, de localiza¸cões não medidas. Mais especificamente, defina o vetor de não observa-dos como Y0

u = (Y(sn+1), . . . , Y(sn+k)). Pela defini¸c˜ao do modelo em (2.3), temos que    Y Yu | θ   ∼ N(n+k)       µg µ_u   ;    Σgg Σgu Σug Σuu      ,

(18)

onde µ_g representa o vetor n × 1 com a tendência polinomial para as localiza¸cões medidas e, analogamente, µ_u é o vetor de dimensão k para as localiza¸cões não medidas; Σgg denota a matriz de covariâncias, n × n, entre as localiza¸cões medidas; Σgu é a matriz de covariâncias, n × k, entre as localiza¸cões medidas e não medidas; e Σuu denota a matriz de covariâncias, k × k, entre as localiza¸cões não medidas.

Para a previsão dos processos nas k localiza¸cões não observadas, precisamos obter a distribui¸cão preditiva p(Yu | Y), que é dada por

p(Yu | Y) =

Z

θp(Yu | Y, θ) p(θ | Y)dθ (2.6)

= E_p(_θ_|Y)[p(Yu | Y, θ)] .

Podemos aproximar o valor esperado acima por integra¸cão via Monte Carlo (Gamer-man 1997) após obter a amostra a posteriori do vetor paramétrico θ . Necessitamos agora obter a distribui¸cão p(Yu | Y, θ), que é facilmente calculada utilizando as propriedades da normal multivariada (Mardia, Kent, and Bibby 1979). Mais especi-ficamente, temos que

Obtidas as amostras da posteriori de θ, obteremos via integra¸c˜ao de Monte Carlo p(Yu | Y), tal que: p(Yu | Y) ' _L1

P_L

l=1p(Yu | Y, θl).

Abordamos neste Cap´ıtulo alguns aspectos importantes da Geoestat´ıstica. A seguir, descreveremos alguns procedimentos para o tratamento do desalinhamento entre vari´aveis espacialmente referenciadas.

(19)

Cap´ıtulo 3

M´

etodos para o tratamento do

desalinhamento entre vari´

aveis

´

E muito comum em problemas multivariados, no contexto de geoestat´ıstica, ter que lidar com banco de dados cujas observa¸cões não são feitas exatamente nos mesmos pontos da região sob estudo G. Geralmente, isso se deve ao fato de como e, em que momento, as esta¸cões foram alocadas às suas posi¸cões.

Banerjee and Gelfand 2002 apresentam procedimentos de inferência quando há desalinhamento das covariáveis com a variável resposta, isto é, a variável resposta e eventuais covariáveis não são medidas no mesmo ponto. Todo o artigo é desenvolvido para respostas univariadas em cada ponto observado da região G.

Le, Sun, and Zidek 1997, baseados na metodologia inicialmente proposta em Le and Zidek 1992, extendem a modelagem para o problema de desalinhamento entre as variáveis resposta (dados faltantes devido ao desenho das esta¸cões). Este método produz a distribui¸cão preditiva conjunta para várias localidades e para diferentes instantes no tempo utilizando todo o conjunto de dados dispon´ıvel.

Neste trabalho, estamos interessados em estudar o desalinhamento entre variável resposta e poss´ıveis covariáveis. Apresentaremos nas se¸cões seguintes algumas abor-dagens para o tratamento desse problema.

Nesse contexto, o conjunto de localiza¸cões onde as poss´ıveis covariáveis são ob-servadas não é igual ao conjunto de localiza¸cões onde a variável resposta é observada.

(20)

Inicialmente, seja Y a variável resposta e seja X o vetor de poss´ıveis variáveis ex-plicativas, temos assim 3 conjuntos disjuntos na região de interesse G, RX, RY e RXY . Para as localiza¸cões s ∈ RXY , nós observamos ambos, Y (s) e X(s), para as localiza¸cões em RY , observamos Y (s), mas não observamos X(s), e para as local-iza¸cões em RX, observamos X(s) mas não Y (s). Nas locallocal-iza¸cões restantes em G não observamos nem X(s) nem Y (s) e chamaremos esta região de RU. A figura 3.1 ilustra essa situa¸cão. Veja Banerjee and Gelfand 2002 para maiores detalhes.

Banerjee and Gelfand 2002 propõem a modelagem conjunta de resposta e co-variáveis, mas assumem o mesmo alcance espacial para todas as variáveis. Aqui permitiremos alcances diferentes para cada uma das variáveis.

Figura 3.1: Representa¸cão gráfica do desalinhamento entre variáveis.

3.1 Procedimento Usual

Uma possibilidade para resolver o problema dos dados faltantes seria a remo¸cão de pontos para os quais não temos informa¸cão conjunta sobre covariáveis e resposta. Outra possibilidade seria utilizar valores plaus´ıveis para imputar as observa¸cões faltantes. Note que, o modelo apresentado em (2.3), pode ser usado considerando essas duas possibilidades.

Porém procedendo desta forma poder´ıamos perder informa¸cão ou não estar´ıamos considerando a incerteza associada à imputa¸cão das observa¸cões. Desta forma, a

(21)

seguir, descreveremos m´etodos que acreditamos serem mais eficazes para o trata-mento desse desalinhatrata-mento.

3.2 M´

etodo da Imputa¸c˜

ao M´

ultipla

Como já mencionado anteriormente, na análise de dados multivariados frequente-mente nos deparamos com o problema de dados faltantes. Até recentefrequente-mente, os únicos métodos dispon´ıveis para análise de conjuntos de dados incompletos concen-travam-se na remo¸cão dos dados faltantes, ou ignorando a informa¸cão incompleta ou substituindo esta informa¸cão por valores plaus´ıveis. Esses métodos, apesar de simples implementa¸cão, são muito ineficientes, pois ignoram a incerteza associada aos dados faltantes e, assim, resultam em estimativas mais conservadoras, já que os intervalos de previsão tenderão a ser menores.

Recentemente, foram feitos grandes progressos no desenvolvimento de procedi-mentos estat´ısticos para a análise de dados faltantes. No fim da década de 70, Demp-ster, Laird, and Rubin 1977 formalizaram o algoritmo EM, um método computa-cional para estima¸cão eficiente no tratamento de conjuntos de dados incompletos. Em qualquer conjunto de dados incompletos, os valores observados nos dão evidência indireta sobre valores plaus´ıveis para os dados faltantes. Essa evidência, quando combinada com certas suposi¸cões, implicam em uma distribui¸cão de probabilidade preditiva para os valores faltantes, que deve ser ponderada na análise estat´ıstica. O algoritmo EM faz essa pondera¸cão de maneira determin´ıstica ou não aleatória. Aqui, estaremos utilizando o método desenvolvido por Rubin 1987, conhecido como o método da imputa¸cão múltipla, que trata a pondera¸cão via simula¸cão.

3.2.1 Descri¸c˜

ao do M´

etodo

O método da Imputa¸cão Múltipla é uma técnica de simula¸cão que substitui cada valor faltante por um conjunto de m > 1 valores plaus´ıveis, vindos de suas dis-tribui¸cões preditivas, de um determinado modelo de imputa¸cão. A varia¸cão entre as m imputa¸cões reflete a incerteza com que cada um dos valores faltantes podem

(22)

ser previstos dos valores observados. Depois de feita a imputa¸cão múltipla existem m conjuntos de dados completos, e cada um desses conjuntos pode ser analisado por métodos usuais. As m versões dos conjuntos de dados completos são analisados separadamente e de maneira igual e os resultados combinados usando regras apresen-tadas por Rubin 1987, para obter estimadores, desvios-padrão, etc; que incorporam a incerteza associada aos dados faltantes.

Para obten¸cão de estimadores para os coeficientes e desvios-padrão é preciso guardar os estimadores e desvios-padrão para cada um dos m conjuntos de dados imputados, e então combinar os resultados usando as regras dadas por Rubin 1987. Tais regras podem ser facilmente programadas em algum pacote estat´ıstico. Aqui implementamos rotinas no software R (R Development Core Team 2003).

3.2.2 Regras para combinar os resultados

Seja ˆQ um estimador de uma quantidade de interesse e U sua variância estimada. Depois de fazer a mesma análise para cada conjunto de dados imputados, temos m estimadores igualmente prováveis ˆQ1, ˆQ2,..., ˆQm e suas correspondentes variâncias estimadas U1, U2, ..., Um. O estimador do método de Imputa¸cão Múltipla será dado por: Q = 1 m m X i=1 ˆ Qi.

A variância total para o estimador possui duas componentes, que levam em conside-ra¸cão a variabilidade entre os conjuntos de dados e aquela dentro de cada conjunto de dados imputado. A variabilidade dentro de cada conjunto de dados é dada por:

U = 1 m m X i=1 ˆ Ui,

e a variˆancia entre os m conjuntos de dados imputados, ´e dada por:

B = 1 m − 1 m X i=1 ( ˆQi− Q)2.

(23)

A variância total, T , é dada pela soma dessas duas componentes com um fator de corre¸cão adicional que considera o erro de simula¸cão em ˆQ,

T = U + µ 1 + 1 m ¶ B.

A raiz quadrada de T é o erro total associado à Q. Se não houver dados faltantes nos dados, os valores de ˆQ1, ˆQ2,..., ˆQm serão idênticos, e assim B terá valor 0 e T será igual a U. O tamanho de B relativo a U reflete quanta informa¸cão está contida nos dados faltantes com rela¸cão aos dados observados. Podemos usar a seguinte aproxima¸cão para calcular intervalos de credibilidade para os parâmetros:

Q ± tν √

T

onde, tν denota o quantil da distribui¸c˜ao t-Student com ν graus de liberdade, onde: ν = (m − 1) Ã 1 + mU (m + 1)B !₂ .

Quando o valor de B domina o valor de U o valor dos graus de liberdade fica próximo do valor m´ınimo de m − 1, porém quando acontece o contrário o valor dos graus de liberdade tende ao infinito. Se o valor computado dos graus de liberdade for muito pequeno, por exemplo, menor que 10, isso sugere que podemos obter maior eficiência aumentando o número de imputa¸cões m. Entretanto, se o valor de ν for grande, isso sugere que teremos pouco ganho aumentando o valor de m.

Para a utiliza¸cão do método de Imputa¸cão múltipla precisamos adotar um mod-elo de imputa¸cão para os dados faltantes. Este modmod-elo assim como o ajuste do método serão apresentados no cap´ıtulo de análise de dados.

3.3 Modelos de Coregionaliza¸c˜

ao Linear

Como já comentado anteriormente, em estudos de dados espaciais não é razoável as-sumir que as observa¸cões são independentes ao longo da região sob estudo. Acredita--se que observa¸cões próximas são mais correlacionadas do que observa¸cões distantes entre si. Desta forma, quando modelamos dados deste tipo, desejamos descrever a

(24)

rela¸cão entre estas observa¸cões através de um modelo de regressão usual, utilizando covariáveis, mais um efeito aleatório que descreva a correla¸cão espacial presente nas observa¸cões e, eventualmente, um efeito independente que descreva o erro de medida.

Além disso, muitas vezes temos mais de uma observa¸cão em cada um dos pon-tos da região sob estudo, por exemplo, assuma que observa-se em cada uma das n localiza¸cões p variáveis. Assim, precisamos descrever de forma válida e flex´ıvel, não só a rela¸cão entre as observa¸cões ao longo do espa¸co mas, também, a rela¸cão entre as variáveis dentro de uma dada localiza¸cão da região. Desta forma, fica evi-dente a necessidade de considerar modelos de regressão com resposta multivariada e estrutura de covariância descrita pela rela¸cão entre e dentre as localiza¸cões da região sob estudo. Isto é, seja Y(s) = (Y1(s), . . . , Yp(s))0 o vetor de observa¸cões na localidade s; assumindo estacionariedade, precisamos definir uma fun¸cão de co-variância C(s − s0_{) onde C(s − s}0₎

ll0 = cov(Y_l(s), Y_l0(s0)), l, l0 = 1, ..., p, de modo que

para quaisquer n e localidades s1, . . . , sn, a matriz de covariˆancia (pn × pn) resul-tante de YT _{= (Y (s}

1), Y (s2), . . . , Y (sn)) seja positiva definida. Uma solu¸cão para esse problema é a utiliza¸cão dos Modelos de Coregionaliza¸cão Linear (MCL), que descreveremos a seguir.

3.3.1 Descri¸c˜

ao do MCL

Come¸camos aqui por descrever detalhadamente o Modelo de Coregionaliza¸cão Linear e suas propriedades. Na subse¸cão 3.3.3 descreveremos o procedimento de inferência baseado naquele proposto em Schmidt and Gelfand 2003 e, da´ı, discutiremos a nossa proposta de usá-los para o problema de observa¸cões faltantes, entre as p variáveis medidas, para alguns pontos dos n observados.

Os Modelos de Coregionaliza¸c˜ao Linear tˆem estrutura do covariograma da forma

P_r

m=1Tmgm(|| s − s0 ||), onde os gm’s são variogramas conhecidos, os Tm’s são matrizes não-negativas e r (r < p) fornece o número de estruturas. Note que a covariância entre as variáveis é capturada num espa¸co de dimensão menor

(25)

crevem uma técnica de m´ınimos quadrados para ajustar tais modelos. Schmidt and Gelfand 2003 e Gelfand, Schmidt, Banerjee, and Sirmans 2004 descrevem detalhada-mente a evolu¸cão dos modelos de coregionaliza¸cão linear e propõem uma abordagem bayesiana baseada em tais modelos, cujo objetivo não é estimar a covariância entre as variáveis num espa¸co de dimensão menor, mas obter uma estrutura de covariância flex´ıvel, permitindo diferentes alcances espaciais para as p variáveis, assim como um modelo em que Tm varia espacialmente. A metodologia adotada aqui é essencial-mente baseada naquela proposta em Gelfand, Schmidt, Banerjee, and Sirmans 2004. Entretanto, assume-se a´ı que os p processos de interesse são observados nas mesmas n localiza¸cões. Já aqui, permitiremos que nem todas as n localiza¸cões possuam as observa¸cões referentes às p variáveis resposta. Portanto, há um desalinhamento das observa¸cões, o que é muito comum acontecer em aplica¸cões ligadas a área ambiental. De uma forma geral, considere wj(s), j = 1, · · · , p, p processos espaciais gaus-sianos univariados independentes e identicamente distribu´ıdos com variância unitária e fun¸cão de correla¸cão paramétrica ρ(s − s0_{; φ). Seja Y}

l(s) =

P_p

j=1aljwj(s). Note que C(Y(s), Y(s0_{)) = ρ(s − s}0_{; φ)T, onde T = AA}T _{com A sendo uma matriz p × p} com elementos Alj = alj. A matriz T representa a matriz de covariância do processo em qualquer ponto s. Essa matriz é denominada de matriz de coregionaliza¸cão e o modelo para Y(s) é conhecido como modelo linear de coregionaliza¸cão, sugerindo que as componentes de Y(s) ”co-variam”sobre a região de estudo. A matriz T é de posto completo se, e somente se, A o é. Diferentemente de Goulard and Voltz 1992, ao modelar Y(s), estamos interessados apenas em processos de dimensão completa, isto é, em processos p−dimensionais. Escrevendo o modelo dessa forma, temos uma estrutura de covariância separável, isto é, esta hipótese de separabilidade implica que, C(Y(s), Y(s0_{)) = R ⊗ T .}

Assumindo, inicialmente, um φ, que é o parâmetro da fun¸cão de correla¸cão, comum para cada um dos p processos espaciais, wj(s), resulta num alcance comum a todas as componentes de Y(s). Uma extensão natural, descrita em Schmidt and Gelfand 2003, é assumir que os wj(s)’s são independentes, com variância unitária mas com fun¸cão de correla¸cão ρ(s − s0_{; φ}

j). Novamente, seja Yl(s) =

P_p

(26)

Agora, temos que cov(Yl(s), Yl0(s0)) = cov(Pp_j=1a_ljw_j(s),Pp_j=1a_l0_jw_j(s0)) =

P_p

j=1aljal0_jρ(s − s0; φ_j). Esta ´ultima igualdade pode ser escrita na forma matricial

como ΣY(s),Y(s0₎ = C(s − s0) = AD_s,s0AT = P_j=1p ρ(s − s0; φ_j)T_j com T_j = a_jaT_j,

onde aj representa o j-´esimo vetor coluna de A, e D ´e uma matriz diagonal, p × p, com elementos ρ(s − s0_{; φ}

j), j = 1, 2, · · · , p. Por constru¸cão, C(s − s0) é uma fun¸cão de covariância cruzada válida, que não é separável para o vetor de dados Y nas n localidades espaciais medidas.

Escrevendo Y(s) = Aw(s), está claro que os wl(s) são processos latentes que geram os Y(s) condicional a A. Dessa forma, os parâmetros do modelo são a1, a2, · · · ,

ap, φ1, φ2, · · · , φp. Existem p × p parˆametros em A quando necessita-se apenas de p(p+1)

2 parâmetros, já que AAT = T. Uma redu¸cão conveniente é considerar que A

seja triangular inferior. Desta forma, o n´umero de parˆametros no modelo reduz-se

a p(p+1)₂ + p. Neste caso, o modelo ´e dado por Yj(s) =

P_p

j=1ajlωl(s), j = 1, . . . , p, isto ´e, considerando o vetor medido na localidade s, temos que

          Y1(s) Y2(s) ... Yp(s)           =           a11w1(s) a21w1(s) + a22w2(s) ... P_p l=1ajlwl(s)           . (3.1)

Resumindo, os wj(s) darão a estrutura espacial e os ajl serão pesos que dirão como cada processo espacial wj(s) contribuirá para cada componente de Y(.). As-sim, Y(s) é estacionário com uma estrutura de covariância cruzada simétrica, per-mitindo variâncias diferentes para cada uma das componentes, e perper-mitindo também, quando a fun¸cão de correla¸cão ρ for isotrópica e monótona, um alcance diferente para cada uma das componentes em Y(.).

Definimos acima a estrutura de coregionaliza¸cão linear, mas podemos pensar num modelo mais geral que considere o poss´ıvel efeito de covariáveis que são medidas nas n localidades, assim como a inclusão de um erro de medida, efeito pepita.

De uma forma geral, vamos assumir que Y(s) tem média β0_{X(s), onde X(s) é} um vetor de dimensão q contendo as covariáveis que, acredita-se, influenciam cada

(27)

correspondentes a cada uma das q variáveis explicativas, referentes a cada um dos p processos. Note que não é necessário assumir que as mesmas q covariáveis explicam as p componentes em Y(s). Entretanto, para simplificar a nota¸cão, e considerando a aplica¸cão que faremos no Cap´ıtulo 4, consideraremos o caso em que as p variáveis resposta são descritas pelas mesmas q variáveis explicativas. Vale ressaltar que esta proposta permite que cada um dos Xj(s), j = 1, . . . , q tenha um diferente efeito sobre cada um dos Yi(s), i = 1, . . . , p.

Assumindo ainda a adi¸cão de um erro de medida que é independente da compo-nente de coregionaliza¸cão; temos que, de uma forma mais geral, o modelo é descrito por:

Y(s) = β0X(s) + v(s) + ²(s), (3.2)

onde v(s) = Aω(s) e ²(s) = (²1(s), . . . , ²p(s))0 com ²(s) ∼ N(0, D²), onde D² ´e uma matriz diagonal, p × p, com τ2

i, na diagonal principal. Desta forma, o vetor paramétrico do modelo é dado por θ = (β, A, φ1, . . . , φp, τ12, . . . , τp2) e, concatenando as observa¸cões das p variáveis ao longo das n localiza¸cões medidas num vetor Y, temos que

Y|θ ∼ Npn(β0X, ΣY+ In⊗ D²) ,

onde ⊗ denota o produto de kronecker e ΣY = P_p

j=1ρ(φj) ⊗ ajaTj.

Como descrito em Schmidt and Gelfand 2003, note que existe uma transforma¸c˜ao 1 a 1 entre os elementos das matrizes T e A. Por exemplo, se p = 3, podemos verificar que        a11 0 0 a21 a22 0 a31 a32 a33        =         T₁₁1/2 0 0 T21 T₁₁1/2 ³ T22−T 2 21 T11 ´1/2 0 T13 T111/2 T11T23−T12T13 √ T11T22−T122 √ T11 r T33− T 2 13 T11 − (T11T23−T11T23)2 T11(T11T22−T122)         .

Essa transforma¸c˜ao ´e recursiva e pode ser obtida para qualquer p. Veja Gelfand, Schmidt, Banerjee, and Sirmans 2004 para maiores detalhes.

(28)

3.3.2 Modelagem Espacial Condicional

Como mostrado em Gelfand, Schmidt, Banerjee, and Sirmans 2004 podemos descre-ver o modelo conjunto na equa¸cão (3.2) através de uma parametriza¸cão condicional. Resumidamente, sabemos da teoria de probabilidade, que a distribui¸cão conjunta de um vetor aleatório pode ser descrita através do produto de distribui¸cões condicionais. Por exemplo, se p = 2, a distribui¸cão conjunta para Y(s), p(Y1(s), Y2(s)), pode ser

escrita, como

p(Y1(s), Y2(s)) = p(Y1(s)) p(Y2(s)|Y1(s)) = p(Y2(s)) p(Y1(s)|Y2(s)). (3.3)

A idéia de descrever um processo espacial multivariado como o produto de dis-tribui¸cões condicionais, e a vantagem computacional envolvida é descrita, por exem-plo, em Royle and Berliner 1999. Vale ressaltar que a ordem do condicionamento na equa¸cão em (3.3) não é relevante. Caso exista alguma rela¸cão de ”causa/efeito”entre as p variáveis em Y(.), esta pode ser usada para construir o condicionamento para a obten¸cão da distribui¸cão conjunta.

Gelfand, Schmidt, Banerjee, and Sirmans 2004 discutem detalhadamente a van-tagem de uma parametriza¸cão com rela¸cão a outra. É claro que computacional-mente a parametriza¸cão condicional apresenta vantagens, pois envolve p cálculos da inversa e do determinante de uma matriz de covariância n × n, enquanto que na parametriza¸cão conjunta, temos que calcular, a inversa e o determinante de uma ma-triz pn × pn. Entretanto, quando um efeito pepita é considerado na paramema-triza¸cão conjunta, eles mostram que na parametriza¸cão condicional não podemos considerar o efeito pepita em todas as equa¸cões, pois isto resultará num modelo conjunto que terá erros de medida que não são indepedentes entre si.

Para exemplificar, escreveremos o modelo conjunto para p = 3 segundo a parametriza¸cão condicional. Seguindo as equa¸cões (3.2) e (3.3) podemos escrever a distribui¸cão

con-junta de Y(s), como, por exemplo,

Y1(s) = β01X(s) + σ1w˜1(s)

Y2(s)|Y1(s) = β02X(s) + αY1(s) + σ2w˜2(s)

(29)

onde ˜wj(s) é um processo gaussiano com média 0, variância unitária, com fun¸cão de correla¸cão ρ(s−s0_{; φ}

j) e σjé um parâmetro de escala. A conexão entre a especifica¸cão condicional na equa¸cão (3.4) e a conjunta é dada por

       Y1(s) Y2(s) Y3(s)        =        β0 1X(s) β0₂X(s) + αβ0₁X(s) β0 3X(s) + (α1+ α2α)β01X(s) + α2β02X(s)        +        σ1 0 0 ασ1 σ2 0 α1σ1 α2(ασ1 + σ2) σ3               ˜ w1(s) ˜ w2(s) ˜ w3(s)        +        0 0 ²3(s)        (3.5)

onde β_j, j = 1, 2, 3, é um vetor de dimensão q representando os coeficientes das q covariáveis em X(.); e ²3(.) ∼ N(0, τ23). Claramente, essa é uma versão do modelo

em (3.2). De fato, a11 = σ1, a21 = ασ1, a22 = σ2, a31 = α1σ1, a32 = α2(ασ1 + σ2),

a33 = σ3. Como T = AAT, a matriz de coregionaliza¸c˜ao pode ser obtida em termos

de α, α1, α2, σ1, σ2 e σ3.

3.3.3 Especifica¸c˜

ao da Priori e Distribui¸c˜

ao a Posteriori

Re-sultante

Sob o enfoque bayesiano, precisamos atribuir distribui¸cões a priori para o vetor de parâmetros do modelo, p(θ); e, seguindo o paradigma de Bayes, combinamos essa informa¸cão com aquela proveniente dos dados, e encontramos a posteriori resultante, p(θ|y), como mencionado anteriormente.

Considerando o modelo definido na Subse¸cão 3.3.1, vimos que existe uma trans-forma¸cão 1 a 1 entre os elementos de T e A, então, ao invés de atribu´ırmos uma priori para A, nós atribu´ımos uma priori para T, que apresenta uma interpreta¸cão direta. Como T é uma matriz de covariância, uma escolha natural é associar uma distribui¸cão Wishart Invertida (veja Box and Tiao 1992) com uma precisão pequena e uma média tal que Dσ2 = diag(σ₁2, · · · , σ2_p), onde σ_l2 é uma variância esperada a

(30)

Já para a escolha da fun¸cão de correla¸cão ρ(.; φj) existem várias op¸cões, como visto no Cap´ıtulo 2. Ilustraremos aqui com a correla¸cão exponencial, exp(−φj||s − s0_{||). Associamos a cada φ}

j uma priori independente gama que possui uma variância grande e uma média baseada na estimativa crua do alcance, de modo que 3/φj seja igual a metade da distância máxima entre as localiza¸cões medidas. Note que outras fun¸cões de correla¸cão, como a exponencial potência ou a Matérn, podem ser utilizadas.

Para os elementos em β_j, j = 1, . . . , p, assumimos que p(β) ∼ Nqp(0, Dβ), onde Dβ é uma matriz diagonal com valores altos em sua diagonal principal, descrevendo nossa pouca informa¸cão a priori sobre os efeitos das covariáveis nas componentes de Y(s).

Para as variˆancias τ2

j, dos efeitos pepita ²j(s), podemos associar uma priori gama invertida com média baseada num ajuste de min´ımos quadrados para um modelo sem estrutura espacial e variância infinita. Dessa forma, a distribui¸cão a posteriori é dada por

p(θ|y) ∝ |ΣY|−1/2exp ½ −1 2(Y − β 0_X)T Σ−1_Y (Y − β0X) ¾ p(β)p(T)p(φ1) · · · p(φp)p(τ12) · · · p(τp2). (3.6)

Já, o procedimento de inferência bayesiano sob o modelo condicional em (3.5) necessita da defini¸cão da fun¸cão de verossimilhan¸ca que pode ser escrita numa forma produto usando (3.4). Sob a reparametriza¸cão precisamos especificar prioris para α, β_j, φj, σj2, j = 1, 2 e τ32. Para os coeficientes α e β0js podemos utilizar prioris normais centradas em 0 e com variância grande. Com uma fun¸cão de correla¸cão exponencial, podemos atribuir uma distribui¸cão a priori Gamma inversa para cada φj e também para os parâmetros σj2 e τ32.

As distribui¸cões a priori descritas acima são as distribui¸cões usualmente assu-midas. O problema de tais distribui¸cões é como fixar seus parâmetros. Quando não sabemos muito a respeito de um parâmetro a priori podemos especificar para ele uma distribui¸cão a priori não informativa. Neste caso, estamos fazendo inferência baseada numa priori com muito pouca informa¸cão, assim a priori não influenciará

(31)

nos resultados. Mais especificamente, no modelo em (2.3), sem efeito pepita, a priori de referência, proposta por Berger, Oliveira, and Sansó 2001, πR_{(β, σ}2_{, φ), é}

da forma πR_{(β, σ}2_{, φ) ∝ π(φ)} 1 (σ2₎a, a ∈R , onde, π(φ) ∝ ( tr(W_φ2) − 1 n − p(tr(Wφ)) 2 )1 2 , Wφ = Ã ∂ ∂φΣφ ! Σ−1 φ PφΣ e, PΣ φ = I − X(XTΣ−1φ X)−1XTΣ−1φ .

Como estamos utilizando a fun¸c˜ao de correla¸c˜ao esponencial, temos que, Σφ= exp(−φd) e Ã ∂ ∂φΣφ ! = −d exp(−φd)

Essa priori será utilizada para cada parcela em (3.4) sem efeito pepita. Aqui fare-mos os ajustes dos modelos considerando as duas especifica¸cões acima, assumindo distribui¸cões a priori usuais e a distribui¸cão a priori de referência.

3.3.4 Desalinhamento nos Modelos de Coregionaliza¸c˜

ao

Linear

Estamos interessados neste trabalho em estudar o caso de covariáveis e resposta desalinhadas. Neste caso, podemos usar os Modelos de Coregionaliza¸cão Linear com parametriza¸cão condicional para modelar todas as variáveis conjuntamente.

Nesta subse¸cão desenvolveremos os Modelos de Coregionaliza¸cão Linear para lidar com a situa¸cão em que nem todos os n pontos têm medida das p variáveis consideradas em Y(.). Inicialmente, suponhamos que entre as n localiza¸cões con-sideradas, por exemplo, ny delas (ny < n), me¸cam apenas um subconjunto das p variáveis em Y(.). Note que podemos ter diferentes situa¸cões, esta¸cões que medem as p componentes de Y(.), outras que medem apenas p − 1 delas e assim sucessiva-mente. A idéia aqui é aproveitar toda informa¸cão obtida dos pontos onde possuimos medidas, para que possamos aprender sobre a informa¸cão faltante com rela¸cão a cada variável nos seus respectivos pontos não medidos.

(32)

No contexto bayesiano, para os pontos onde falta informa¸cão de uma variável(is), assumimos que essas observa¸cões são parâmetros do modelo e, portanto, inclu´ımos essas quantidades no vetor paramétrico θ.

Seguindo Banerjee and Gelfand 2002, sendo Y a variável resposta e X o vetor de poss´ıveis variáveis explicativas, temos assim 3 conjuntos disjuntos na região de interesse G, RX, RY e RXY , já mencionados anteriormente, observe a figura 3.1. Seja ny o número de localiza¸cões pertencentes ao conjunto RY e nx o número de localiza¸cões pertencentes ao conjunto RX. Agora, seja Xny o vetor que denota o

conjunto das observa¸cões onde X(.) não foi medido. Explorando a parametriza¸cão condicional descrita em (3.4) e utilizando as distribui¸cões a priori usuais, as condi-cionais completas são facilmente obtidas seguindo as propriedades da normal mul-tivariada. Portanto, as condicionais completas para Xny, por exemplo, terão uma

estrutura muito semelhante àquela que descrevemos na Subse¸cão 2.2.4, uma normal multivariada de dimensão ny.

A seguir apresentaremos o cálculo das distribui¸cões condicionais completas para o caso particular em que temos duas covariáveis, X1 e X2, que são medidas em nx pontos e estamos interessados em observar a variável resposta Y , que é observada em ny pontos. Precisamos destas condicionais completas para obtermos amostras das ditribui¸cões a posteriori dos parâmetros.

3.3.5 C´

alculo das condicionais completas para os parˆ

ametros

do Modelo de Coregionaliza¸c˜

ao Linear

Seguindo a parametriza¸cão condicional para os modelos de coregionaliza¸cão linear, considerando o caso particular de duas covariáveis e uma variável resposta modeladas conjuntamente, temos o seguinte modelo:

X1(s) = βx1 + σx1ωx1(s) (3.7) X2(s) | X1(s) = βx21+ βx22X1(s) + σx2ωx2(s)

(33)

localiza¸cões só com medidas da variável resposta Y , temos então n − nx− ny locali-za¸cões com medidas das covariáveis e da variável resposta simultaneamente. Sejam sy as localiza¸cões só com observa¸cões da variável resposta Y , sx as só com

ob-serva¸cões das covariáveis X1 e X2 e sxy as localiza¸cões com observa¸cões de ambas

covariáveis e variável resposta. Desta forma temos que o vetor observado será dado por:

y0 _{= (X}

1(sx1), · · · , X1(sxnx), X1(sxy1), · · · , X1(sxyn−nx−ny), X2(sx1), · · · , X2(sxnx),

X2(sxy1), · · · , X2(sxyn−nx−ny), Y (sy1), · · · , Y (syny), Y (sxy1), · · · , Y (sxyn−nx−ny)).

O vetor de parˆametros a ser estimado ser´a dado por: θ = (βx1, βx2, βy, σ 2 x1, σ 2 x2, σ 2 y, φx1, φx2, φy, X1(sy1), · · · , X1(syny), X2(sy1), · · · , X2(syny)) onde, β_x₂ = (βx21, βx22)0 e βy = (βy1, βy2, βy3)0.

Baseado no vetor paramétrico a ser estimado, associando aos parâmetros as distribui¸cões a priori usuais mencionadas na subse¸cão 3.3.3 e seguindo o teorema de Bayes, a distribui¸cão a posteriori de θ, p(θ | y), é proporcional a:

p(θ | y) ∝ f (y | θ) p(X1u | X1, θ) p(X2u | X2, θ) × p(β_x₁) p(β_x₂) p(β_y) p(σ2 x1) p(σ 2 x2) p(σ 2 y) × p(φx1) p(φx2) p(φy)

onde, X1u e X2u representam os vetores contendo os pontos n˜ao medidos das

co-variáveis X1 e X2 respectivamente. Como a distribui¸cão acima não tem forma

anal´ıtica fechada usaremos técnicas de Monte Carlo via Cadeias de Markov (MCMC), já mencionadas anteriormente, para obten¸cão de amostras desta distribui¸cão. Em particular usaremos Amostrador de Gibbs com alguns passos de Metropolis. Para isso precisamos calcular as distribui¸cões condicionais completas dos parâmetros. Considere Xxi(s), o vetor de covariáveis correspondente à variável Xi na localiza¸cão

s, ΣXi = σ

2

iexp(−φxi || s − s0 ||) e ΣXi∗ = exp(−φxi || s − s0 ||), i = 1, 2, 3.

(34)

p(β_x1|y, θ) ∝ exp ½ −1 2(X1− Xx1βx1) 0_Σ−1 X1(X1− Xx1βx1) ¾ × exp ½ −1 2 ³ β_x10D−1_β₁β_x1´¾ ∝ exp ½ −1 2 ³ X10Σ−1_X₁X1− βx10 X0x1Σ−1X1X1− X 0 1Σ−1X1Xx1βx1+ β 0 x1X0x1Σ−1X1Xx1βx1+ βx1 0_D−1 β1βx1 ´¾ ∝ exp              −1 2        −β0_x1X0_x1Σ−1_X₁X1− X01Σ−1X1Xx1βx1+ β 0 x1 ³ Xx10Σ−1_X₁Xx1+ D−1_β₁ ´ | {z } Σ−1 β_x1 β_x1                     ∝ exp          −1 2     −β 0 x1Σ−1_β x1Σβx1 (X0_x1Σ−1_X₁X1) | {z } µ_βx1 −(X0₁Σ−1_X₁Xx1)Σβ x1Σ −1 β_x1βx1+ β0x1Σ−1_β x1 β_x1               ∝ exp ½ −1 2 µ −β0_x1Σ−1_β x1 µ_β_x1− µ0_β_x1Σ−1_β x1 β_x1+ β0_x1Σ−1_β x1 β_x1 ¶¾ . β_x1|y, θ ∼ N(µ_β_x1_{, Σβ} x1).

• Distribui¸c˜ao Condicional Completa para σ2

x1 p(σ2 x1|y, θ) ∝ (σ 2 x1) −nx₂ _exp ( − 1 2σ2 x1 (X1− Xx1βx1)0ΣX−11∗(X1− Xx1βx1) ) × (σ_x12 )−aσ1−1_exp ( −bσ1 σ2 x1 ) ∝ (σ2_x₁)−nx2 −aσ1−1exp ( − 1 σ2 x1 Ã ¡ X1− βx10Xx1 ¢₀ Σ−1_X₁_∗¡X1− βx1 0_X x1 ¢ 2 + bσ1 !) . σ2_x₁|y, θ ∼ GI   aσ1+ nx 2 , ³ X1− βx1 0_X x1 ´₀ Σ−1 X1∗ ³ X1− βx1 0_X x1 ´ 2 + bσ1   .

(35)

p(φx1|y, θ) ∝ |ΣX1∗| −1/2_exp ( − 1 2σ2 x1 (X1− Xx1βx1)0ΣX−11∗(X1− Xx1βx1) ) × (φx1)−cφ1−1exp ( −dφ1 φx1 ) ∝ (φx1)−cφ1−1|ΣX1∗| −1/2_exp ½ − 1 2σ2 x1 ¡ X1− βx10Xx1 ¢₀ Σ−1_X₁_∗¡X1− βx10Xx1 ¢ − dφ1 φ_x1 ¾ .

Note que φx1|y, θ não tem forma anal´ıtica fechada. As condicionais completas dos vetores de pontos não medidos das variáveis X1 e X2, p(X1u | .) ∝ p(X1u | X1, θ)

p(X2u | θ, X1u) p(Y | θ, X1u) e p(X2u | .) ∝ p(X2u | X2, θ) p(Y | θ, X2u)

res-pectivamente, seguindo as propriedades da distribui¸cão normal multivariada, serão normais. Para os parâmetros correspondentes à covariável X2 (βx2, σ

2

x2, φx2) e `a

vari´avel resposta Y (β_y, σ2

y, φy) as contas acima seguem de forma an´aloga. Assim, temos que, p(β_x₂ | .) ∝ f (X2 | θ) p(X2u | X2, θ) p(βx2) e p(βy | .) ∝

f (Y | θ) p(β_y) s˜ao distribui¸c˜oes normais; p(σ2

x2 | .) ∝ f (X2 | θ) p(X2u | X2, θ) p(σ

2

x2)

e p(σ2

y | .) ∝ f (Y | θ) p(σy2) s˜ao distribui¸c˜oes Gama Invertida; p(φx2 | .) ∝

f (X2 | θ) p(X2u | X2, θ) p(φx2) e p(φy | .) ∝ f (Y | θ) p(φy) n˜ao tem forma

co-nhecida, e para amostrar dessa distribui¸c˜ao utilizaremos um passo de Metropolis Hastings com proposta log-normal.

Implementamos esse modelo utilizando um programa em Ox (Doornik and Ooms 2001).

No caso em que especificamos distribui¸cões a priori segundo Berger, Oliveira, and Sansó 2001, para os parâmetros, as condicionais completas também são facilmente encontradas. Os parâmetros terão as mesmas distribui¸cões mencionadas acima só que com parâmetros diferentes.

(36)

Cap´ıtulo 4

An´

alise de dados

Neste Cap´ıtulo apresentaremos duas aplica¸cões utilizando os três métodos descritos no Cap´ıtulo anterior. A fim de comparar os modelos, em cada um dos métodos, faremos uma breve revisão de dois métodos de compara¸cão de bondade de ajuste, o critério DIC (Deviance Information Criterion) e o critério EPD (Posterior Predictive Loss Criterion). Por fim faremos uma compara¸cão através da incerteza associada à estima¸cão dos parâmetros segundo as três diferentes propostas que tratam o desali-nhamento.

Faremos primeiro um estudo com dados simulados e depois uma aplica¸cão à part´ıculas em suspensão na atmosfera numa região do Rio de Janeiro.

4.1 Crit´

erios de compara¸c˜

ao de modelos

Para comparar os modelos propostos, precisamos de algum crit´erio que nos indique qual, ou quais dos modelos ajustados, se aproximou melhor dos dados verdadeiros. Essa proximidade entre os dados observados e os dados ajustados chamamos de bondade de ajuste.

Para fazer a compara¸cão da bondade de ajuste dos diferentes modelos propos-tos, utilizamos aqui, o critério Deviance Information Criterion (DIC) proposto por Spiegelhalter, Best, Carlin, and Linde 2002 e o critério Posterior Predictive Loss Criterion (EPD) introduzido por Gelfand and Ghosh 1998. Faremos uma breve