5.4 Exemplos
5.4.2 Part´ıculas Inal´aveis
O mesmo modelo em (5.8) foi ajustado para as part´ıculas inal´aveis em suspens˜ao na atmosfera. Sendo Y = P M10, X1 = umid e X2 = temp.
De novo, assumimos distribui¸c˜oes normais, centradas em 0 e variˆancia grande, para todos os coeficientes das covari´aveis, β0s, quando pertinentes. Para os parˆametros de escala, σ2
x1, σ
2
x2, σ
2
y foram assumidas priori com distribui¸c˜ao gama invertida, de modo a ter m´edia igual ao valor verdadeiro e com variˆancia infinita. Para os pro- cessos espaciais assumimos uma fun¸c˜ao de correla¸c˜ao exponencial mencionada an- teriormente. J´a para a priori de φx1, φx2 e φy consideramos uma distribui¸c˜ao Gama
com m´edia baseada na id´eia da distˆancia m´axima (0.05 = exp(−φdmax)) e variˆancia infinita. E, para o parˆametro δ tamb´em assumimos uma distribui¸c˜ao a priori gama invertida, tal que δ ∼ GI(2, 2) . Assim :
• β0s ∼ N(0, 1000I p); • σ2 y ∼ GI(2, 37); • σ2 x1 ∼ GI(2, 55); • σ2 x2 ∼ GI(2, 12); • φx1, φx2 e φy ∼ GI(2, 0.3); • δ ∼ GI(2, 2).
Os histogramas e gr´aficos de tra¸cos das amostras das distribui¸c˜oes `a posteriori dos parˆametros s˜ao apresentados nas Figuras B.13, B.14, B.15 e B.16, no apˆendice B. A Tabela 5.7 apresenta o sum´ario da distribui¸c˜ao a posteriori dos parˆametros. Note que, os valores dos parˆametros φx1, φx2 e φy apresentaram-se diferentes, justif-
icando o uso de um modelo que possibilita diferentes valores de φ para os diferentes processos. Note tamb´em, que ambas as covari´aveis, temperatura m´axima e umidade relativa apresentaram efeitos positivos nos n´ıveis na m´edia de P M10. Por´em, note
Parˆametro M´edia Desvio Padr˜ao 2.5% 97.5% βx1 63,130 3,989 55,546 70,662 βx21 58,728 11,094 34,313 79,602 βx22 -0,334 0,164 -0,642 0,025 φx1 1,483 3,455 0,145 6,271 σ2 x1 83,739 53,337 28,716 210,966 φx2 0,812 1,364 0,103 3,091 σ2 x2 14,711 13,706 3,581 53,707 βy1 -0,005 0,372 -0,653 0,718 βy2 0,097 0,291 -0,451 0,719 βy3 0,019 0,165 -0,314 0,332 φy 0,327 0,341 0,027 1,277 σ2 y 16,582 20,532 4,467 58,759 δ 1,429 0,237 0,976 1,892
Tabela 5.7: Sum´ario (m´edia, desvio padr˜ao e quantis de 2.5% e 97.5%) da dis- tribui¸c˜ao a posteriori dos parˆametros para o modelo gama conjunto com desalin- hamento.
Cap´ıtulo 6
Conclus˜oes e Projetos Futuros
Esta disserta¸c˜ao teve como objetivo desenvolver m´etodos para o tratamento de da- dos espacialmente referenciados que possuem desalinhamento, isto ´e, conjuntos de observa¸c˜oes que possuem vari´avel de interesse que n˜ao s˜ao, necessariamente, medidas nas mesmas localidades que as poss´ıveis vari´aveis explicativas. Num procedimento de modelagem usual, os pontos que n˜ao apresentam as medidas de todas as vari´aveis envolvidas s˜ao descartados da an´alise, ou imputados e tratados como observa¸c˜oes conhecidas, n˜ao levando em considera¸c˜ao a incerteza associada `a essa imputa¸c˜ao. O que mostramos aqui ´e uma maneira de usar toda a informa¸c˜ao de que dispomos, fazendo uso da informa¸c˜ao que as vari´aveis medidas podem dar sobre aquelas n˜ao observadas.
O Cap´ıtulo 3 apresentou trˆes procedimentos para o tratamento do desalin- hamento entre a vari´avel resposta e as covari´aveis. Foram descritos um procedi- mento usual, mencionado acima, e o m´etodo de imputa¸c˜ao m´ultipla, na tentativa de considerar a incerteza associada `as imputa¸c˜oes. A Subse¸c˜ao 3.3.1 descreveu os MLC e, mais especificamente, a Subse¸c˜ao 3.3.4, apresentou um procedimento para prever a(s) vari´avel(is) faltante(s) para aqueles pontos que tˆem medida apenas da vari´avel resposta Y(.). Deve ser ressaltado aqui que a complexidade computacional do pro- cedimento vai aumentar com o tamanho do n´umero de localiza¸c˜oes com vari´aveis n˜ao medidas. Isso deve-se ao fato de que o aumento do n´umero de pontos implica no aumento da dimens˜ao da matriz de covariˆancia, cujo determinante e inversa tem
que ser calculados a cada itera¸c˜ao do MCMC.
Para exemplificar nossos procedimentos, analisamos um conjunto de dados sim- ulados com desalinhamento entre covari´aveis e vari´avel resposta. Al´em disso, para cada procedimento analisamos dois conjuntos de distribui¸c˜oes a priori, um conjunto de distribui¸c˜oes a priori usuais e um conjunto de distribui¸c˜oes a priori de referˆencia segundo Berger, Oliveira, and Sans´o 2001. Analisamos tamb´em observa¸c˜oes de part´ıculas em suspens˜ao na atmosfera em uma regi˜ao da cidade do Rio de Janeiro. Particularmente, investigamos se h´a um efeito dos n´ıveis de temperatura e umidade nos n´ıveis de P M10. No exemplo, a vari´avel P M10 n˜ao foi medida em 4 pontos
dos 22 considerados na an´alise. Neste conjunto de dados h´a um desalinhamento das medidas das covari´aveis em rela¸c˜ao `as medidas da vari´avel resposta. Obtivemos informa¸c˜ao sobre as covari´aveis em apenas 9 pontos espalhados pela cidade do Rio de Janeiro, e no Cap´ıtulo 4 tentamos modelar temperatura e umidade conjunta- mente com o poluente. Notamos, segundo o DIC, que, considerando as distribui¸c˜oes a priori usuais, o melhor modelo foi aquele que considerou as duas covari´aveis no modelo. Al´em disso, aqui, estamos utilizando uma transforma¸c˜ao dos dados, o que acarreta perda de informa¸c˜ao. Portanto no Cap´ıtulo 5 propomos uma nova possibil- idade para a modelagem de dados positivos espacialmente referenciados, para que pud´essemos modelar os dados na escala original.
Desta forma, no Cap´ıtulo 5 consideramos um modelo n˜ao Gaussiano, propomos ent˜ao uma modelagem espacial Gama. Descrevemos mais uma vez, o problema do desalinhamento e apresentamos o procedimento usual e o desenvolvimento de tal modelo para tratar os pontos com observa¸c˜oes faltantes como parˆametros do modelo. Para exemplificar o modelo proposto, e os dois diferentes procedimentos, tamb´em analisamos um conjunto de dados simulados com desalinhamento entre covari´aveis e vari´avel resposta. E por fim, analisamos as observa¸c˜oes de part´ıculas em suspens˜ao na atmosfera em uma regi˜ao da cidade do Rio de Janeiro. Investigamos apenas o modelo que considera que existe um efeito dos n´ıveis de temperatura e umidade nos n´ıveis de P M10.
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espa¸co mas, tamb´em, no tempo. Portanto, uma extens˜ao natural da modelagem abordada aqui ´e considerar a varia¸c˜ao temporal das observa¸c˜oes. Nesse caso, ´e preciso propor estruturas de covariˆancia que descrevam de forma realista n˜ao s´o a rela¸c˜ao entre as componentes de Y(.) e sobre uma regi˜ao mas, tamb´em, a estrutura de covariˆancia temporal. Esse ´e um problema desafiador e ´e um dos nossos t´opicos de pesquisa futura.