2.4 Simulação de CAE’s e Desenvolvimento Longitudinal
2.4.1 Desenvolvimento Longitudinal de Cascatas Eletromagnéticas
O número total de elétrons com energiaE, calculado em função da espessura de ar atravessado, para chuveiros iniciados por um único fóton de energiaW
Æpode ser representado pela expressão N(W Æ ;t)= 0;31 1=2 Æ exp t 1 3 2 logs (2.51) considerando t=X=X Æ ; Æ =logW Æ =E c e s= 3t t+2 Æ :
O parâmetro s representa a idade do CAE, tendo-se s 1 no início do chuveiro, s < 1 antes do máximo e s > 1 depois do máximo. Esta expressão foi apresentada por Greisen
[60]
e é a forma convencional de parametrizar chuveiros induzidos por fótons.
Os resultados aqui ilustrados são obtidos pela aproximação B na teoria de cascatas eletromagnéti- cas, utilizando-se as expressões para seção de choque de produção de pares e bremsstrahlung, válidas para altas energias. Tais equações são chamadas fórmulas assintóticas.
0 250 500 750 1000 1250 1500 Atmospheric Depth [g/cm2] 101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010 1011 1012 N(W o ,tX o ) Smax (s=1) 1011eV 1012eV 1013eV 1014eV 1015eV 1016eV 1017eV 1018eV 1019eV 1020eV
Figura 2.2: Número total de elétrons em função da profundidade atmosférica para chuveiros induzidos por fótons primários, com energias entre 1011
eV e 1020
eV. A linha diagonal traçada ao longo do perfil longitudinal ilustra o máximo desenvolvimento da cascata (S
max), no qual
s=1.
A figura 2.2 ilustra o número total de elétrons produzidos por fótons de várias energiasW Æ, em função da profundidade atmosférica (X =tX
Æ). O máximo das cascatas, S
max, é observado ao longo da linha diagonal.
O parâmetro idade está relacionado ao desenvolvimento do CAE em uma dada espessura de matéria, tendo o seu comportamento verificado na figura 2.2. Da equação de Greisen (equação 2.51), tem-se que o máximo desenvolvimento do chuveiro é alcançado quandos=1, ou seja, na espessura de matéria: t max = Æ =log W Æ E c (2.52) A figura 2.3 mostra a profundidade do máximo desenvolvimento em função da energia do fóton primário, de acordo com a equação 2.51. A inclinação desta linha é chamada taxa de elongação. Esta taxa de elongação constante é um reflexo da teoria de cascatas eletromagnéticas descrita na seção 2.1 e de sua lei de escala física natural.
A taxa de elongação para uma cascata eletromagnética é definida por
D em 10 = dhX em max (E )i dlog 10 E (2.53)
Qualquer modelo de escala de física que porventura reduza o chuveiro a uma superposição de cascatas induzidas por fótons, será caracterizado pela mesma taxa de elongação. Entretanto, uma variação da
12 13 14 15 16 17 18 19 20 log10 E [eV] 300 500 700 900 1100 Xmax [g/cm 2 ]
Figura 2.3: Profundidade do máximo desenvolvimento em função da energia primária do fóton, descrita pela teoria clássica de cascatas eletromagnéticas.
taxa de elongação pode significar uma mudança da composição química ou uma quebra da lei de escala física. A taxa de elongação é uma quantidade física de chuveiros bastante importante, já que auxilia os experimentos, tais como o Fly’s Eye, na análise da composição da massa do RC primário. Uma discussão da taxa de elongação em chuveiros gerados por prótons é realizada na seção 3.2.3.
A forma básica do perfil de uma cascata eletromagnética é característica de todos os perfis lon- gitudinais, incluindo os gerados por hádrons, os quais serão discutidos em 2.4.2. A figura 2.4 ilus- tra o perfil longitudinal de um chuveiro induzido por um fóton com energia 1020
eV, como resul- tado da fórmula de Greisen. A área sob a curva é fixada pela energia primária, a qual determina o tamanho do chuveiro em seu máximo desenvolvimento, estando a profundidade máxima localizada emln(W
Æ =E
c
). Um fato a ser evidenciado nesta figura é a profundidade que uma cascata eletromag- nética obtém o seu máximo desenvolvimento,1000 g/cm
2 .
Basicamente, o comprimento de radiação caracteriza as interações nos estágios iniciais de um chuveiro iniciado por um fóton, sendo tais interações nestes estágios, responsáveis pelas flutuações significativas no desenvolvimento de um CAE. Sendo o comprimento associado com as flutuações muito menor que a profundidade do máximo, as flutuações no desenvolvimento do perfil longitudinal consistem em pequenos desvios dos valores médios deX
maxe de S
max. A menos que mudanças ex- tremas ocorram nos comprimentos associados às interações nos estágios iniciais de desenvolvimento de um chuveiro, a forma característica ilustrada na figura 2.4 será mantida para todos os chuveiros a altas energias, mesmo com as flutuações sendo consideradas.
0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 Atmospheric Depth [g/cm2] 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 N(W o ,tX o )/ E [GeV] − 1
Figura 2.4: Desenvolvimento longitudinal de uma cascata eletromagnética induzida por um fóton com energia 1020
eV, descrita pela fórmula padrão de Greisen. O número de elétrons está normalizado pela energia primária em GeV.
Uma característica importante de cascatas é a integral do comprimento do traço de luz de fluores- cência registrado pelos detectores de fluorescência (i.e., uma medida calorimétrica da energia eletro- magnética total do CAE), a qual relaciona o perfil longitudinal à energia da partícula primária, po- dendo ser expressa por
E 0 ' Z 1 0 N e (X)dX (2.54) sendoN e
(X)o número de elétrons e pósitrons no chuveiro em uma dada profundidade atmosférica X, medida ao longo do chuveiro. A constante é referente a perda de energia média por partícula, podendo ser descrita pela teoria de cascatas eletromagnéticas como =(E
c =X Æ ), sendoE ce X Ærefe- rentes à energia crítica e ao comprimento de radiação, respectivamente. Isto corresponde a uma perda média de energia por partícula de aproximadamente 2,18 MeV / g cm 2
. Este número foi verificado em cálculos realizados por Hillas[61], realizando a integral da perda de energia por ionização sobre a distribuição de energia dos elétrons em um chuveiro. Tais cálculos resultaram em uma perda média de energia por partícula de 2,24 MeV/g cm 2
. Deve-se salientar que a diferença entre estes valores é muito menor do que os erros sistemáticos experimentais atuais.
Além da descrição padrão de Bethe-Heitler dos processos eletromagnéticos, um efeito bastante importante a ser considerado em simulações a altas energias é o efeito Landau-Pomeranchuk-Migdal (LPM)[62, 63, 64]. Este efeito é devido basicamente ao espalhamento múltiplo a altas energias e implica
na redução das seções de choque de produção de pares para os fótons e de bremsstrahlung para os elétrons, e ainda no prolongamento efetivo do comprimento de radiação, o qual governa o livre caminho médio de elétrons e fótons e determina o desenvolvimento de cascatas eletromagnéticas.
0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 Atmospheric Depth [g/cm2] 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Ne /E [GeV] − 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Ne /E [GeV] − 1 Eγ=1018eV Eγ=1019.5eV
Figura 2.5: Ilustração do efeito LPM para cascatas eletromagnéticas induzidas por fótons com energias primárias de 1018
(painel inferior) e 1019;5
eV (painel superior). As linhas tracejadas representam os even- tos com o efeito LPM sendo considerado e as linhas sólidas referem-se aos eventos com o efeito LPM sendo artificialmente desligado na simulação. O número de elétrons está normalizado pela energia primária em GeV. Os eventos foram simulados com o código CASC1D, utilizando o modelo de interações hadrônicas SIBYLL 2.1.
O efeito LPM torna-se evidente somente para fótons e elétrons com energia superior a 1018 eV. Devido a este efeito, os sub-chuveiros eletromagnéticos tornam-se mais longos e com maiores flu- tuações quando comparados aos sub-chuveiros eletromagnéticos normais. A simulação correta do efeito LPM é fundamental em uma tentativa de se determinar a composição química através do perfil
longitudinal de chuveiros ou caso um fóton seja assumido como o RC primário. Uma demonstração da importância do efeito LPM a altas energias é ilustrada na figura 2.5, a qual mostra o desenvolvi- mento longitudinal de eventos individuais induzidos por fótons, simulados pelo código CASC1D. O painel inferior refere-se a chuveiros iniciados por fótons de energia primária de 1 EeV, na qual o efeito LPM começa a ser efetivo. Para ambos os painéis, as linhas tracejadas representam os eventos com o efeito LPM sendo considerado, enquanto as linhas sólidas demonstram o comportamento lon- gitudinal das cascatas eletromagnéticas com o efeito LPM sendo artificialmente desconsiderado na simulação. O painel superior refere-se a fótons primários com energia de 1019;5
eV, na qual o efeito LPM é bastante efetivo. O impacto do efeito LPM é evidente para a energia mais alta, afetando a posição doX
max, S
max e a magnitude das flutuações. Já para a energia mais baixa, a diferença não é considerável. O efeito LPM também deve ser considerado em chuveiros hadrônicos, contudo seus efeitos só são visíveis a energias muito superiores a 1020
eV. Uma discussão a respeito do efeito LPM em chuveiros protônicos é realizada no capítulo 3.