O código a ser discutido neste capítulo é chamado CASC1D e foi baseado em um código de simulação elaborado por Paolo Lipari, Thomas Gaisser e Todor Stanev[70, 72]
. O código CASC1D está escrito na linguagem de programação FORTRAN77 e utiliza um método híbrido de simulação de chuveiros atmosféricos.
O método híbrido consiste da simulação direta da parte inicial do chuveiro, seguindo explicita- mente todas as partículas com energia>fE, sendoE a energia da partícula primária ef uma fração apropriada desta energia primária. O valor def utilizado nos cálculos que serão apresentados a seguir, éf =0;01. A justificativa para a escolha deste valor será dada no final desta subseção, discutindo-se ainda um outro possível valor paraf. O apêndice B contém diagramas que, possivelmente, facilitam o entendimento do funcionamento do método híbrido, juntamente com as informações abaixo.
Portanto, píons e káons com energias abaixo do sub-limiar fE são substituídas por chuveiros pré-simulados. As substituições são realizadas após a simulação das correspondentes subseqüentes interações. Os sub-chuveiros são descritos com parametrizações que fornecem um comportamento médio correto e ao mesmo tempo descrevem adequadamente as flutuações no desenvolvimento do chuveiro. O método é estendido recursivamente a altas energias e desta forma os resultados obtidos a qualquer energia podem ser utilizados para a simulação de chuveiros a altas energias.
Embora as propriedades de flutuações de chuveiros, como é sabido, sejam dominadas pelas flu- tuações na parte inicial e mais energética da cascata, o comportamento médio e as flutuações são parametrizadas a partir de 10 GeV. Tal valor possibilita a utilização do método híbrido a partir de energias relativamente baixas, de 100 a 1000 TeV, podendo-se realizar comparações entre os resulta- dos obtidos pelos cálculos direto e híbrido.
A biblioteca de chuveiros pré-simulados é gerada por píons primários, os quais são injetados com energia (E
), ângulo zenital (
) e profundidade (X) fixas, sendo a profundidade medida ao longo do eixo do chuveiro. A densidade atmosférica adotada no código CASC1D corresponde ao ajuste de Shibata da Atmosfera Padrão US[73, 74]
, a qual é muito similar a parametrização de Linsley, utilizada em vários códigos de simulação de chuveiros. Uma discussão a respeito da atmosfera utilizada no código CASC1D está apresentada no apêndice A. Os ângulos de injeção utilizados para a construção das bibliotecas foram limitados a 45
Æ
, uma vez que os estudos do espectro de raios cósmicos a altas energias têm sido realizados principalmente neste intervalo angular, embora estudos recentes de chuveiros horizontais ( > 60
Æ
) tenham sido feitos[75, 76, 77] com o objetivo de detectar neutrinos com altíssimas energias.
mente no esquema de Monte Carlo até alcançarem o limiar de energia para produção de partículas. Assume-se que um sub-chuveiro iniciado por um káon seja similar a um chuveiro iniciado por um píon de mesma energia, mas com um ponto diferente de interação, o qual é calculado por uma amostragem da correspondente distribuição de comprimento de interação. Esta aproximação não afeta significativamente os resultados finais. A principal razão para se realizar esta aproximação deve-se a similaridade entre chuveiros induzidos por píons e káons a altas energias, combinando-se ainda ao fato de que a principal contribuição ao desenvolvimento do chuveiro, através deste método, vem das partículas com altas energias que vão para as parametrizações.
Partículas instáveis, como 0
, , , e são consideradas nos processos de decaimento e in- teração do código. A interação destas partículas torna-se importante na medida em que aumenta a energia, podendo seus respectivos processos influenciar nos valores médios de alguns observáveis.
As cascatas induzidas por elétrons/pósitrons e fótons são tratadas com uma blindagem eletro- magnética total do núcleo (veja 2.1.1) em combinação com uma parametrização de Greisen[45]. A fotoprodução de hádrons está incluída no código.
Para energias acima de 1 EeV, o efeito Landau-Pomeranchuk-Migdal (LPM)[63, 64, 62, 78]é considerado nos processos de criação de pares e bremsstrahlung[79], porém a influência do campo geomagnético no desenvolvimento das cascatas é desprezado[80]
.
Para a criação da biblioteca simulam-se píons primários de energias entre 10 GeV e 3,16 EeV, com duas energias para cada década, interagindo a profundidades atmosféricas fixas X
0
= 5, 50, 100, 200, 500 e 800g =cm
2
(ver apêndice B). A definição dessas profundidades está relacionada aos diferentes estágios de desenvolvimento de um chuveiro atmosférico, representando basicamente os sub-chuveiros criados por píons e káons secundários.
A biblioteca de chuveiros pré-simulados, gerados por píons primários, contém 10.000 (5.000) chuveiros simulados diretamente, para cada profundidade de interação no intervalo de energia de 10 GeV a 316 GeV (1 TeV a 316 EeV). Para cada um destes pontos (i.e., energia, injeção, ângulo zenital e profundidade), registram-seX
max, S
max, o perfil longitudinal e o número de múons acima dos limiares de energia 0,3, 1, 3, 10 e 30 GeV. O número de múons é registrado ao nível do mar e a uma profundidade de400g =cm
2
acima do nível do mar, medida ao longo do eixo do chuveiro. Com os números de múons para estas duas profundidades, é possível traçar uma linha reta inclinada para o perfil longitudinal muônico, possibilitando a obtenção do número de múons entre estas profundi- dades. A obtenção de uma parametrização do perfil longitudinal de múons para um chuveiro piônico é bastante complicada, já que o perfil é dependente da profundidade em que o píon é produzido e da energia e do ângulo do múon. Tal procedimento funciona como uma parametrização do número de
múons, sendo bastante satisfatório.
Desta forma, os valores descritos acima são utilizados para produzir distribuições das quantidades X
max e S
max, a correlação entre elas, a distribuição do número de múons ao nível do mar, para os diferentes limiares de energia, e a inclinação do perfil longitudinal de múons entre o nível do mar e uma profundidade de400g =cm
2
acima do nível do mar.
Todo o procedimento de geração de uma biblioteca deve ser realizado para cada modelo de inte- rações hadrônicas adotado. Neste trabalho, foram criadas bibliotecas para os modelos QGSjet98[55], SIBYLL 1.7[56]e SIBYLL 2.1[57, 58]. Tais modelos de interações hadrônicas são acionados no código no regime de altas energias (E
lab> 200 GeV). Para o regime de baixas energias ( E
lab < 200 GeV), é utilizado o algoritmo de divisão de Hillas (ver apêndice C). Uma discussão a respeito destes modelos de interações hadrônicas e das diferenças relacionadas à simulação de produção de multi-partículas a altas energias, são apresentadas na seção 3.2.1.
−0.28 −0.24 −0.20 −0.16 −0.12 −0.08
log10 (Smax/E) [GeV]−1
2.80 2.84 2.88 2.92 2.96 log 10 Xmax [g/cm 2 ] −0.28 −0.24 −0.20 −0.16 −0.12 −0.08 2.8 2.84 2.88 2.92 2.96 3 log 10 Xmax [g/cm 2 ] Primary Pion − θ=0o Primary Pion − θ=45o
Figura 3.1: Correlação entre log 10 X max e log 10 S
max para 5.000 chuveiros induzidos por píons de energia 3;1610 18 eV, interagindo emX 0 = 5g/cm 2
. O painel superior ilustra a correlação obtida para chuveiros verticais enquanto o painel inferior refere-se ao ângulo de incidência=45
Æ
Todos os cálculos foram realizados em um cluster Beowulf, com o sistema operacional Linux. A figura 3.1 ilustra dois exemplos da correlação entre as quantidades X
max e S
max. O painel superior (inferior) contém 5.000 chuveiros iniciados por píons de energia 3;16 10
18
eV, com a profundidade da primeira interação fixada emX
0=5 g/cm 2 e ângulo de incidência = 0 Æ ( =45 Æ ). Correlações similares a esta são produzidas para cada ponto da biblioteca. É interessante verificar que não existem diferenças grandes entre ambos os painéis e que mesmo a altíssimas energias, como a ilustrada aqui, existem flutuações significativas em torno de um valor médio esperado (região mais povoada) para a correlação e desta forma, não devem ser desprezadas.
Embora seja pouco provável a produção de um píon com alta energia a profundidades avançadas, são calculadas interações de píons nas profundidades de 500 e 800 g =cm
2
. Tais interações são necessárias para se obter uma descrição precisa do número de múons ao nível do mar e uma melhor descrição da componente eletromagnética dos chuveiros que se desenvolvem tardiamente na atmos- fera. Para chuveiros iniciados após500g =cm
2
, a atmosfera é estendida artificialmente além do nível do mar. Isto é realizado para se obter uma descrição correta da distribuição deX
max. Desta forma, as flutuações de sub-chuveiros gerados por partículas que interagem a profundidadesX
0
>500g =cm 2
, são representadas adequadamente. As distribuições de múons são estendidas facilmente a outras profundidades, correspondentes aos níveis de observação dos diferentes experimentos de chuveiros atmosféricos extensos, através de extrapolações, as quais são realizadas utilizando-se a inclinação do perfil longitudinal de múons entre o nível do mar e a uma profundidade inclinada de400g =cm
2 acima do nível do mar.
O desenvolvimento longitudinal de chuveiros induzidos por mésons, com energias abaixo do sub- limiar, é parametrizado utilizando-se uma versão levemente modificada da equação Gaisser-Hillas discutida no capítulo 2 (equação 2.58). Esta função fornece o número de partículas carregadas para distintas profundidades atmosféricasX de desenvolvimento do chuveiro. Assim, a função utilizada no código, apresenta-se como:
S GH (X)=S max X X 0 X max X 0 (Xmax X0)=(X) exp " (X X max ) (X) # : (3.1)
Nesta função, o(X)é definido como um polinômio da forma(X) = 0 +bX +cX 2 , sendo os parâmetros 0,
b e ctratados como parâmetros livres. X
max é a posição do máximo do chuveiro, S
maxé o tamanho do chuveiro no máximo e X
0 refere-se à profundidade na qual ocorre a primeira interação. Os parâmetrosbecsão assumidos como idênticos para todos os chuveiros iniciados a uma dada profundidade, energia e ângulo de incidência, os quais são determinados ajustando-se o perfil
longitudinal médio de chuveiros parametrizados aos perfis obtidos dos chuveiros simulados. Verifica-se facilmente na equação 3.1 que a forma da função Gaisser-Hillas é dependente deX
max. Em outras palavras, existe uma correlação entre os parâmetros
0,
b e c, os quais definem a forma da função Gaisser-Hillas, e X
max. Conseqüentemente, chuveiros individuais possuindo diferentes valores deX
max não são modelados corretamente, utilizando-se um conjunto único de valores para os parâmetros. Caso a função acima seja utilizada para gerar chuveiros individuais com diferentes valores X
max, fazendo uso do conjunto de valores que resulta do ajuste ao comportamento longitu- dinal médio dos chuveiros pré-simulados (i.e., dos chuveiros obtidos pela simulação), ocorrerá uma superestimativa da cauda de cada um dos chuveiros gerados individualmente pelo ajuste com relação ao conjunto de chuveiros pré-simulados individualmente. Para garantir que não sejam introduzidos erros sistemáticos no método híbrido de simulação, em virtude dos ajustes da função Gaisser-Hillas, realiza-se o seguinte procedimento:
1. Um conjunto inicial de valores dos parâmetros 0,
becé escolhido.
2. Utilizando os valores escolhidos em (1), gera-se um conjunto de chuveiros com a função Gaisser-Hillas, tendo os mesmos pares de X
max e S
max dos chuveiros pré-simulados indivi- dualmente.
3. É calculado o comportamento médio do conjunto de valores gerados em (2).
4. Encontra-se os valores numéricos dos parâmetros que minimizam a diferença relativa entre a média pré-simulada (média real) e a média gerada pelo ajuste.
Assim, os valores finais dos parâmetros são usados para modelar o perfil longitudinal dos chu- veiros calculados pela simulação híbrida. Portanto, a representação correta da correlaçãoX
max- S
max (figura 3.1) é crucial para o êxito do modelamento.
Uma maneira inovadora e muito eficaz deste método híbrido é que ao invés de serem utiliza- dos valores médios de X
max e S
max para gerar chuveiros iniciados por píons abaixo do sub-limiar fE, são realizadas amostragens dos seus valores, a partir das correspondentes distribuições pré- simuladas, levando em consideração a correlação entre ambas (figura 3.1). O mesmo procedimento de amostragem é realizado para o número de múons para os diferentes limiares de energia. Basica- mente, este procedimento trata adequadamente as flutuações no desenvolvimento dos sub-chuveiros, uma vez que as amostragens dos diferentes observáveis são realizadas diretamente, a partir de seus histogramas (i.e., não se assume qualquer forma funcional para a distribuição). Desta forma, o código é bastante flexível e permite o estudo de distribuições de várias grandezas físicas, previstas por dife- rentes modelos hadrônicos, as quais nao são ajustadas facilmente por funções analíticas.
8 9 10 11 12 13 14 15 log10 Eπ [eV] 0.01 0.10 1.00 10.00 100.00 dN/d(log 10 Eπ ) Direct Simulation Hybrid Simulation
Figura 3.2: Distribuição de energia dos píons em chuveiros gerados por prótons de energiaE 0
=10 15
eV. A curva tracejada representa a distribuição dos píons que são atualmente tratados pelo procedimento de simulação híbrida, com um sub-limiar de energia10
13
eV (E = E 0
=100 eV). A curva sólida ilustra a distribuição de
energia dos píons que são explicitamente seguidos em uma simulação direta. O decaimento de píons não está sendo mostrado.
Chuveiros com ângulo, profundidade e/ou energia primária diferentes dos chuveiros pré-simulados que compõem a biblioteca, são descritos através de interpolações entre os observáveis (X
max, S max, X 0, b, c, N
) obtidos para os pontos na biblioteca, os quais são adjacentes em ângulo, energia e profundidade, aos chuveiros a serem descritos. A figura 3.2 ilustra a distribuição de energia dos píons carregados tratados no procedimento de simulação híbrida (linha tracejada). Para uma simples comparação, a distribuição de energia dos píons que são seguidos explicitamente na simulação direta (linha sólida) é colocada junto à distribuição calculada pelo metódo híbrido. Ambas distribuições são obtidas para chuveiros iniciados por prótons com energia primária 1 PeV e um sub-limiar de energia primária E
0
=100 eV. No método híbrido, somente as interações dos píons com energia superior a E
0
=100eV são diretamente simuladas enquanto todos os demais píons (E < E 0
=100eV) são subs- tituídos por parametrizações. Para uma energia primária 1015
eV, um para cada 10 píons é tratado, como pode ser verificado na figura 3.2, a uma energia310
10
eV. Isto explica o tempo de proces- samento economizado com o método híbrido quando comparado a simulação direta - um fator 7 para esta energia primária específica, aqui mencionada. Para energias maiores o ganho no tempo de pro- cessamento é ainda superior, devida a altíssima multiplicidade de partículas carregadas. Por exemplo, para uma energia primáriaE =10
16
Tabela 3.1: Valores médios dos diferentes observáveis, e suas flutuações, obtidos das distribuições calculadas pelas simulações direta e híbrida. Os resultados são obtidos simulando-se 5.000 chuveiros iniciados por píons verticais de energia E
0 = 10
16
eV e com o ponto da primeira interação fixada em X 0
= 5 g =cm 2
, para os modelos SIBYLL 1.7, SIBYLL 2.1 e QGSjet98. O sub-limiar de energia utilizado no método híbrido é
10 14
eV (i.e.,E thr
=0;01E).
Modelo SIBYLL 1.7 SIBYLL 2.1 QGSjet98 Direta Híbrida Direta Híbrida Direta Híbrida
hX max i[g =cm 2 ] 603 602 587 586 574 576 (X max )[g =cm 2 ] 49 50 51 49 55 56 hS max i=E 0 [GeV 1 ] 0,75 0,76 0,75 0,75 0,75 0,75 (S max =E 0 )[GeV 1 ] 6;810 2 6;810 2 6;310 2 6;210 2 6;510 2 6;510 2 hN i(>0;3GeV) 5;3910 4 5;4110 4 6;1010 4 6;1310 4 6;8710 4 6;9110 4 (N ) 1;7910 4 1;8110 4 1;8610 4 1;8710 4 2;2510 4 2;2810 4 Tempo [min.] 935 33 1091 41 1398 79
Os tempos de processamento ilustrados aqui referem-se a processadores AMD Athlon de 1 GHz.
que a simulação direta (tabela [3.1]). Para aplicações que não necessitam informações a respeito do número de múons, este fator aumenta ainda mais. Em um chuveiro de energiaE =10
15
eV, aproxi- madamente 25% do tempo total de processamento é gasto com o acompanhamento correto de múons energéticos, produzidos nos primeiros estágios de desenvolvimento do chuveiro. Estes múons são produtos dos decaimentos de píons carregados e káons, os quais não iniciam sub-chuveiros hadrôni- cos e desta forma não entram nas parametrizações. Basicamente, o código dispensa muito tempo de processamento com o acompanhamento de tais múons, já que eles atravessam geralmente toda a atmosfera sem interagir e na maioria das vezes decaem, não contribuindo em nada para o número de múons ao nível do mar. A contribuição destes múons no número médio final de múons é da ordem de 16% a 1015
eV e< 1:5% a energias superiores a 10 18
eV. O decréscimo da porcentagem na con- tribuição final com o aumento da energia é devida a diminuição do número de mésons que decaem com energias acima do sub-limiar do método híbrido.
Para assegurar a consistência do método, simulações diretas de CAE’s iniciados por píons foram comparadas às simulações híbridas, com mesma energia, profundidade e ângulo, utilizando-se diver- sos sub-limiares de energiaf. Os valores médios obtidos dos diferentes observáveis e suas flutuações, através de simulações diretas e híbridas, apresentam uma excelente concordância. A tabela [3.1] ilus- tra comparações entre os observáveis obtidos através das simulações diretas e parametrizadas, para 5.000 chuveiros verticais iniciados por prótons, para os diferentes modelos de interações hadrônicas e
com a energia e o ponto da primeira interação fixadas em 1016 eV eX 0 =5g/cm 2 , respectivamente. É importante ressaltar que as diferenças encontradas entre os dois modos de simulação são muito menores que as introduzidas pelos diferentes modelos hadrônicos, i.e., não se perde sensibilidade na dependência dos resultados com os modelos de interações hadrônicas.
0 26000 52000 78000 1.04e+05 1.3e+05 NµEthr=0.3GeV 0 100 200 300 400 500 dN/d Nµ Ethr=0.3GeV 0 100 200 300 400 500 dN/d Nµ Ethr=0.3GeV 0 26000 52000 78000 1.04e+05 1.3e+05 0 100 200 300 400 500 dN/d Nµ Ethr=0.3GeV SIBYLL 1.7 SIBYLL 2.1 QGSjet98 (c) (b) (a)
Figura 3.3: Distribuição do número de múons ao nível do mar. Cada histograma representa 5.000 chuveiros verticais iniciados por prótons de energiaE
0 =10 16 eV, interagindo emX 0 =5g/cm 2
e com limiar de energia muônicaE
thr
=0;3GeV, gerados pelo CASC1D com diferentes modelos hadrônicos. A linha sólida ilustra os
chuveiros simulados completamente enquanto a linha pontilhada mostra os chuveiros simulados hibridamente, com um sub-limiar de energiaE
0 =100.
A figura 3.3 ilustra a distribuição do número de múons com energias superiores a 0,3 GeV, ao nível do mar, obtidas por chuveiros induzidos por píons com energia primária 1016
eV. São compara- das as distribuições obtidas pelas simulações diretas e híbridas. O painel (a) mostra os resultados para o modelo QGSjet98 enquanto os painéis (b) e (c) ilustram os respectivos resultados obtidos com os modelos SIBYLL 1.7 e SIBYLL 2.1. As diferenças relativas encontradas entre os valores médios, referente a figura 3.3, são inferiores a 0.5% para todos os modelos de interações hadrônicas. A mesma
Tabela 3.2: Valores médios dos diferentes observáveis, e suas flutuações, obtidos das distribuições calculadas pelas simulações direta e híbrida. Os resultados são obtidos simulando-se 5.000 chuveiros iniciados por píons verticais de energia E
0 = 10
16
eV e com o ponto da primeira interação fixada em X 0
= 5 g =cm 2
, para os modelos SIBYLL 1.7, SIBYLL 2.1 e QGSjet98. O sub-limiar de energia utilizado no método híbrido é
10 15
eV (i.e.,E thr
=0;1E).
Modelo SIBYLL 1.7 SIBYLL 2.1 QGSjet98 Direta Híbrida Direta Híbrida Direta Híbrida
hX max i[g =cm 2 ] 603 600 587 586 574 576 (X max )[g =cm 2 ] 49 47 51 49 55 60 hS max i=E 0 [GeV 1 ] 0,75 0,76 0,75 0,75 0,75 0,75 (S max =E 0 )[GeV 1 ] 6;810 2 6;510 2 6;310 2 6;010 2 6;510 2 6;410 2 hN i(>0;3GeV) 5;3910 4 5;3810 4 6;1010 4 6;0810 4 6;8710 4 6;7610 4 (N ) 1;7910 4 1;8110 4 1;8610 4 1:8810 4 2;2510 4 2;3010 4 Tempo [min.] 935 12 1091 15 1398 34
Os tempos de processamento ilustrados aqui referem-se a processadores AMD Athlon de 1 GHz.
comparação para chuveiros induzidos por píons primários, com ângulo de incidência de 45Æ
, mostra diferenças maiores entre as simulações direta e híbrida, mas inferiores a 2%. Tais diferenças surgem principalmente da representação das flutuações intrínsecas ao desenvolvimento de cada chuveiro e das interpolações em energia e profundidade, executadas no código. Devido ao cálculo recursivo da parte mais energética da biblioteca, estas diferenças crescem suavemente com a energia. Comparações com simulações diretas a 1 EeV mostram que a diferença é tipicamente 4%, em relação ao número médio de múons obtido pela simulação híbrida. Mesmo para o modelo QGSjet98, o qual prevê flutuações maiores a esta energia, é obtida uma descrição boa das distribuições. A largura destas distribuições () é reproduzida com um erro menor que 3%. O método híbrido apresenta geralmente valores subes- timados dos números de múons e suas flutuações para ângulos superiores a 0Æ
e chuveiros induzidos por prótons.
A definição da fração da energia primária utilizada como sub-limiar está relacionada direta- mente às flutuações nos estágios iniciais de um chuveiro atmosférico. Alguns testes foram rea- lizados com um sub-limiar de energia para mésons e para a componente eletromagnética igual a E em thr = E mes thr = E 0
=10. Tais testes mostraram que ainda se obtem valores médios com uma con- cordância satisfatória, como pode ser visualizado na tabela [3.2]. Com o sub-limiar de energiaE
0 =10, o tempo de processamento economizado com o método híbrido é aproximadamente 63 vezes menor quando comparado à simulação direta. Os resultados mostram uma notável estabilidade do méthodo
híbrido sob mudanças de sub-limiares de energia, contudo existe a possibilidade de que algumas flutuações extremas não sejam descritas corretamente, já que tais flutuações ocorrem nos estágios iniciais e em processos mais energéticos do desenvolvimento dos CAE’s. Desta forma, concluiu-se que o sub-limiar de energia primária utilizado nos cálculos realizados aqui (E
thr
= E
0
=100) é sufi- ciente para alcançar uma descrição muito boa dos valores médios e das flutuações dos observáveis em chuveiros iniciados por nucleons e píons.