Nesta sec¸˜ao, seremos menos rigorosos em nossos argumentos. Muitos dos resultados ser˜ao enunciados sem demonstrac¸˜ao. Recomendamos, ao lei-tor interessado em maiores detalhes, a leitura de [7, Sec¸ ˜oes 2.1 e 2.2] ou [1, Cap´ıtulo 2]. Para um tratamento rigoroso da teoria de determinantes, recomendamos [5, Cap´ıtulo 7].
O determinante de uma matriz quadradaA´e um n ´umero real associado a ela que cont´em informac¸˜ao relevante a respeito de sua invertibilidade.
Antes de defini-lo, por´em, vamos introduzir um conceito que ser´a utilizado no que segue.
Uma matriz quadradaA= (aij)∈ Mn(R)´e chamadatriangular superior seaij =0 sempre quei> j, ou seja, se a matriz tiver o formato
A=
a11 a12 a13 . . . a1n
0 a22 a23 . . . a2n 0 0 a33 . . . a3n ... ... ... . .. ... 0 0 0 . . . ann
Tamb´em faremos uso da seguinte definic¸˜ao.
Defini¸c˜ao. Dada uma matrizB = (bij) ∈ Mm×n(R)(n˜ao necessariamente quadrada), define-se a matriz transposta de B como sendo a matriz Bt = (cij)∈ Mn×m(R), em quecji =bij, para todosi=1, . . . ,m,j=1, . . . ,n.
Ou seja, para cadaj= 1, . . . ,n, aj-´esima linha deBt ´e a j-´esima coluna deB. Por exemplo,
1 2 3 4 5 6
t
=
1 4 2 5 3 6
.
A respeito da operac¸˜ao de transposic¸˜ao de matrizes, n˜ao ´e dif´ıcil de-monstrar que
(i) Int= In, para todon≥1;
(ii) se Ae B s˜ao matrizes tais que o produto AB esteja definido, ent˜ao o produtoBtAtest´a definido e vale(AB)t= BtAt;
(iii) se D ´e uma matriz invers´ıvel, ent˜ao Dt tamb´em ´e invers´ıvel e vale (Dt)−1 = (D−1)t.
Dada uma matriz quadradaA, vamos assumir, sem demonstrac¸˜ao, que sempre existe um n ´umero real, chamadodeterminantedeAe denotado por det(A), que goza das seguintes propriedades:
(1) Para qualquer inteiro positivon, vale det(In) =1.
(2) Os efeitos das operac¸ ˜oes elementares sobre linhas de uma matriz qua-dradaAem seu determinante s˜ao os seguintes:
I. SeB ´e obtida de Apor meio da permutac¸˜ao de duas linhas de A, ent˜ao
det(B) =−det(A).
II. SeB ´e obtida a partir deApor meio da multiplicac¸˜ao de uma das linhas deApelo n ´umeroλ6=0, ent˜ao
det(B) =λdet(A).
III. SeB ´e obtida a partir deApor meio da adic¸˜ao de uma linha mul-tiplicada por um n ´umero a uma outra linha, ent˜ao
det(B) =det(A). (3) Para qualquer matriz quadradaA, vale
det(A) =det(At).
Segue, imediatamente, das propriedades (1) e (2-II), que se A = [a] ´e uma matriz 1×1, com a 6= 0, ent˜ao det(A) = a. Seguir´a da parte (i) da Proposic¸˜ao 1.3.1, que veremos a seguir, que isso tamb´em vale sea=0.
Algumas consequˆencias imediatas dessas propriedades s˜ao enunciadas a seguir.
Proposi¸c˜ao 1.3.1. Seja A uma matriz quadrada.
(i) Se A tem uma linha (ou coluna) nula, ent˜aodet(A) =0.
(ii) Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, ent˜aodet(A) =0.
(iii) Se A tem tamanho n×n eλ∈R, ent˜aodet(λA) =λndet(A).
Demonstra¸c˜ao. Para (i), suponha que A tenha uma linha nula. Ent˜ao, A pode ser obtida a partir de si mesma pela multiplicac¸˜ao de sua linha nula por 2. Logo, da propriedade (2-II), obtemos det(A) =2 det(A). Da´ı, obt´em-se det(A) =0.
Para (ii), suponha que A tenha duas linhas iguais. Utilizamos essas linhas para produzir, por meio de uma operac¸˜ao elementar do tipo III, uma nova matrizBque tem uma linha nula. Segue de (i) que det(B) = 0. Mas, como, pela propriedade (2-III), det(A) =det(B), obtemos det(A) =0.
Para as vers ˜oes de (i) e (ii) em termos de colunas, basta, agora, utilizar a propriedade (3), uma vez que as colunas deAs˜ao as linhas deAt.
Finalmente, (iii) ´e obviamente verdadeiro se λ = 0. Se λ 6= 0, o re-sultado segue da propriedade (2-II), uma vez queλAnada mais ´e do que a matriz obtida a partir deApela multiplicac¸˜ao de cada uma de suasnlinhas porλ.
Uma outra consequˆencia das propriedades (1)–(3), e da proposic¸˜ao que acabamos de ver, permitir´a que utilizemos o processo de escalonamento para calcular determinantes:
Proposi¸c˜ao 1.3.2. Se A ∈ Mn(R)´e uma matriz triangular superior, digamos
A=
a11 a12 a13 . . . a1n 0 a22 a23 . . . a2n
0 0 a33 . . . a3n ... ... ... . .. ... 0 0 0 . . . ann
,
ent˜aodet(A) =a11a22. . .ann.
Demonstra¸c˜ao. Se todas as entradas aii da diagonal principal de Aforem n˜ao nulas, ent˜ao pode-se obter, a partir de A, por meio de uma sequˆencia de operac¸ ˜oes elementares do tipo III, a matriz diagonal
D=
a11 0 0 . . . 0 0 a22 0 . . . 0 0 0 a33 . . . 0 ... ... ... . .. ... 0 0 0 . . . ann
.
Para tanto, basta proceder de baixo para cima, utilizando, primeiramente, a entradaannpara zerar todas as entradas acima dela nan-´esima coluna; em seguida, utilizaran−1,n−1para zerar as entradas acima dela nan−1-´esima coluna; e assim por diante. (Dito de outra forma, basta realizar “retroesca-lonamento”, como v´ınhamos chamando, na matrizD.)
Como apenas operac¸ ˜oes elementares do tipo III foram utilizadas, segue, da propriedade (2-III), que det(D) =det(A).
Agora, utilizando a propriedade (2-II) em cada uma das linhas de D, obtemos
det(D) =a11a22. . .anndet(In) =a11a22. . .ann.
Nessa ´ultima igualdade, utilizamos a propriedade (1). Logo, no caso de todas as entradas na diagonal principal de A serem n˜ao nula, obtemos det(A) =a11a22. . .ann.
Vejamos, agora, como argumentar no caso em que alguma das entra-das na diagonal principal de A ´e nula. Nesse caso, considere, de baixo para cima, a primeira linha deAque cont´em uma entrada nula na diagonal principal, digamos que essa linha seja ai-´esima. O mesmo processo des-crito acima resultar´a em uma matriz B(agora n˜ao necessariamente diago-nal) com ai-´esima linha nula. Pela parte (i) da Proposic¸˜ao 1.3.1, det(B) =0.
Como det(A) = det(B), teremos, tamb´em, det(A) = 0, coincidindo, por-tanto, com o produto das entradas em sua diagonal principal.
Essa proposic¸˜ao, conjugada com a propriedade (3), acarreta o fato de que o determinante de uma matriz triangular inferior (ou seja, uma matriz cujas entradas acima da diagonal principal s˜ao todas nulas) tamb´em ´e dado pelo produto dos elementos ao longo da diagonal principal, j´a que a trans-posta de uma matriz triangular inferior ´e uma matriz triangular superior com a mesma diagonal.
Al´em disso, a propriedade (3) tamb´em nos proporciona um m´etodo de c´alculo do determinante fazendo uso de “operac¸ ˜oes elementares sobre colu-nas” (ou seja, valem as afirmac¸ ˜oes da propriedade (2) com cada ocorrˆencia de “linha” trocada por “coluna”).
De posse da propriedade (2) e da Proposic¸˜ao 1.3.2, obtemos um m´etodo para calcular o determinante de qualquer matriz quadrada fazendo uso do processo de escalonamento, uma vez que toda matriz quadrada escalonada
´e triangular superior, desde que, em cada aplicac¸˜ao de uma operac¸˜ao ele-mentar sobre linhas, se registre o efeito acarretado no determinante.
Vejamos dois exemplos, um, primeiro, num´erico, e outro contendo uma f ´ormula familiar.
Exemplo1.3.3. Calcule o determinante da matrizA=
3 5 −2 6 1 2 −1 1
2 4 1 5
3 7 5 3
. Solu¸c˜ao.Vamos escalonarA:
A=
3 5 −2 6 1 2 −1 1
2 4 1 5
3 7 5 3
→
0 −1 1 3
1 2 −1 1
0 0 3 3
0 1 8 0
=B.
Aqui, fizemos uso de operac¸ ˜oes elementares do tipo III utilizando a se-gunda linha para zerar trˆes entradas na primeira coluna. Como foram usa-das apenas operac¸ ˜oes do tipo III, segue det(B) =det(A). Agora,
B=
0 −1 1 3
1 2 −1 1
0 0 3 3
0 1 8 0
→
1 2 −1 1
0 −1 1 3
0 0 3 3
0 1 8 0
=C.
Nessa passagem, realizamos uma operac¸˜ao elementar do tipo I, permu-tando a primeira e segunda linhas. Assim, det(C) = −det(B); portanto, como det(B) = det(A), segue que det(A) = −det(C). Aplicando mais uma operac¸˜ao elementar do tipo III, que n˜ao altera o determinante, obte-mos:
C=
1 2 −1 1
0 −1 1 3
0 0 3 3
0 1 8 0
→
1 2 −1 1
0 −1 1 3
0 0 3 3
0 0 9 3
= D.
Logo, det(A) =−det(C) = −det(D). Finalmente, um ´ultimo uso de uma operac¸˜ao elementar do tipo III:
D=
1 2 −1 1
0 −1 1 3
0 0 3 3
0 0 9 3
→
1 2 −1 1
0 −1 1 3
0 0 3 3
0 0 0 −6
=E.
Como det(E) =1·(−1)·3·(−6) =18, uma vez queE´e triangular superior, conclu´ımos que det(A) =−det(D) =−det(E) =−18. ♦ Exemplo1.3.4. Mostre, usando o que vimos sobre o efeito no determiante de operac¸ ˜oes elementares sobre linhas de uma matriz, que
det a b
c d
= ad−bc.
Solu¸c˜ao.Consideremos, primeiramente, o caso em quea=0. Temos det
0 b c d
= −det c d
0 b
=−cb,
o que comprova a f ´ormula neste caso. Suponha, agora, que a 6= 0. Neste caso,
det a b
c d
=det
a b 0 d−bca
=ad−bc.
Ou seja, a f ´ormula vale quaisquer que sejama,b,c,d. ♦ Uma das propriedades mais importantes do determinante de uma ma-triz ser´a enunciada no resultado a seguir, apresentado sem demonstrac¸˜ao.
Teorema 1.3.5. Sejam A e B matrizes quadradas de mesmo tamanho. Ent˜ao, det(AB) =det(A)det(B).
Esse teorema tem a seguinte consequˆencia imediata.
Corol´ario 1.3.6. Seja A∈ Mn(R)uma matriz invers´ıvel. Ent˜ao,det(A)6= 0e det(A−1) = 1
det(A).
Demonstra¸c˜ao. A aplicac¸˜ao da f ´ormula no Teorema 1.3.5 `a igualdade ma-tricialAA−1= Infornece
det(A)det(A−1) =det(AA−1) =det(In) =1.
Em particular, det(A)6=0 e det(A−1) = det1(A).
Veremos, a seguir, que vale a rec´ıproca: toda matriz quadrada de deter-minante n˜ao nulo ´e invers´ıvel. Para isso, precisaremos, antes, de um lema.
Lema 1.3.7. Seja A uma matriz quadrada e seja R uma matriz obtida a partir de A por meio da aplica¸c˜ao de uma sequˆencia de opera¸c˜oes elementares sobre linhas.
Ent˜ao,det(A)6=0se, e somente se,det(R)6=0.
Demonstra¸c˜ao. Suponha que Rseja uma matriz obtida a partir de Apela aplicac¸˜ao de uma ´unica operac¸˜ao elementar sobre as linhas de A. Vimos, na p´agina 27, qual ´e o efeito, no determinante, de operac¸ ˜oes elementares sobre linhas. Lembremos que operac¸ ˜oes elementares do tipo II s ´o podem ser realizadas utilizando-se constantes n˜ao nulas. Assim, se det(A) 6= 0, o determinante deRtamb´em ser´a n˜ao nulo. ComoApode ser obtida a partir deRpela aplicac¸˜ao da operac¸˜ao elementar “inversa”, vale a equivalˆencia.
O argumento para uma sequˆencia (finita) de operac¸ ˜oes elementares so-bre linhas ´e indutivo: a condic¸˜ao soso-bre o determinante passa de uma matriz para a seguinte na sequˆencia.
Finalmente, podemos enunciar um resultado que relaciona invertibili-dade de matrizes com sistemas lineares. Para tanto, observemos, primei-ramente, que se AX = B ´e um sistema linear (em notac¸˜ao matricial) com n vari´aveis e se(s1,s2, . . . ,sn) ´e uma sequˆencia de n n ´umeros reais, ent˜ao (s1,s2, . . . ,sn) ´e soluc¸˜ao do sistema AX = Bse, e somente se, AS = B, em que S =
s1 s2 ... sn
e AS denota o produto matricial. ( ´E esse fato, ali´as, que justifica a adoc¸˜ao da notac¸˜ao matricial para sistemas lineares.) Se, de fato, ocorrer AS = B, ser´a comum, deste ponto em diante, referirmo-nos `a ma-trizStamb´em como uma soluc¸˜ao do sistema linearAX =B.
O pr ´oximo resultado ´e extremamente ´util e ser´a utilizado diversas ve-zes nessas notas como parte da argumentac¸˜ao em demonstrac¸ ˜oes de outros resultados e em resoluc¸ ˜oes de exerc´ıcios.
Teorema 1.3.8. Seja A∈ Mn(R). S˜ao equivalentes:
(a) A ´e invers´ıvel.
(b) Para qualquer B ∈ Mn×1(R), o sistema linear AX = B ´e poss´ıvel determi-nado.
(c) O sistema linear homogˆeneo AX =0´e poss´ıvel determinado.
(d) det(A)6=0.
Antes de dar in´ıcio `a demonstrac¸˜ao, ´e preciso esclarecer o que se en-tende por dizer que as afirmac¸ ˜oes (a)–(d) s˜ao equivalentes. O que se deve entender de enunciados desse tipo ´e que tomando-se qualquer uma das quatro afirmac¸ ˜oes como hip ´otese pode se obter qualquer uma das outras trˆes como consequˆencia dela. Na demonstrac¸˜ao que veremos abaixo, trata-remos de mostrar que existe uma sequˆencia de implicac¸ ˜oes
(a) =⇒ (b) =⇒ (c) =⇒ (d) =⇒ (a),
o que, por certo, estabelecer´a a equivalˆencia entre as quatro afirmac¸ ˜oes.
Demonstra¸c˜ao. Para ver que (a) implica (b), suponha que A ´e invers´ıvel, tomeB∈ Mn×1(R)e considere o sistema linearAX= B. Para mostrar que esse sistema ´e poss´ıvel determinado, precisamos mostrar que ele tem uma
´unica soluc¸˜ao. Considere a matrizS = A−1B. Mostremos queS ´e a ´unica soluc¸˜ao deAX =B. Por um lado,S ´e, de fato, soluc¸˜ao deAX = B, uma vez que
AS= A(A−1B) = (AA−1)B= InB= B.
Vejamos por que S ´e a ´unica soluc¸˜ao de AX = B. Suponha que S0 ∈ Mn×1(R) seja uma soluc¸˜ao de AX = B, isto ´e, que S0 satisfac¸a AS0 = B.
Multiplicando essa igualdade porA−1 `a esquerda em ambos os lados, ob-temos
A−1(AS0) = A−1B.
O lado esquerdo dessa igualdade ´e igual aS0, ao passo que o direito, aS. Ou seja,S0 =S, o que prova queS ´e a ´unica soluc¸˜ao do sistema linearAX= B.
Isso quer dizer que ele ´e poss´ıvel determinado.
´E claro que (b) implica (c), pois (c) ´e apenas o caso particular de (b) em que a matrizB ´e a matriz nula.
Vejamos, agora, por que (c) implica (d). Se o sistemaAX= 0 ´e poss´ıvel determinado eT ∈ Mn×(n+1)(R) ´e uma matriz obtida no processo de es-calonamento da matriz aumentada [A | 0] do sistema AX = 0, ent˜ao T tem exatamente n piv ˆos, ou seja, T ´e da forma T = [R | 0], em que R ´e
uma matriz quadrada de tamanho n×nque ´e triangular superior e cujas entradas na diagonal principal — seus piv ˆos — s˜ao todas n˜ao nulas. As-sim, det(R) 6= 0. Como Rfoi obtida a partir de Apor meio de operac¸ ˜oes elementares sobre linhas, segue, do Lema 1.3.7 que det(A)6=0.
Finalmente, tratemos de mostrar que (d) implica (a). Suponha que A tenha determinante n˜ao nulo e sejaRuma matriz escalonada obtida a partir de A por operac¸ ˜oes elementares sobre linhas. Pelo Lema 1.3.7, det(R) 6=
0. Como R ´e triangular superior — toda matriz quadrada escalonada ´e triangular superior —,Rtem que ter piv ˆos em todas as entradas ao longo de sua diagonal principal. Multiplicando cada uma das linhas de R pelo inverso do piv ˆo correspondente, que ´e uma operac¸˜ao elementar do tipo II, e, em seguida, fazendo retroescalonamento, obteremos a matriz identidade a partir de R, e, portanto, tamb´em a partir de A, por meio de operac¸ ˜oes elementares sobre linhas. Mas isso implica, pelo Teorema 1.2.5, que A ´e invers´ıvel.
Logo, as quatro condic¸ ˜oes s˜ao equivalentes.
Em particular, da equivalˆencia entre (a) e (d), temos, agora um crit´erio de invertibilidade de matrizes em termos de determinantes: dada uma ma-triz quadradaA,
A ´e invers´ıvel se, e somente se,det(A)6=0.
Esse crit´erio ser´a utilizado diversas vezes ao longo destas notas.
Note que segue, tamb´em, do resultado acima que seA∈ Mn(R)´e uma matriz para a qual existe uma matrizB∈ Mn(R)tal que AB= In, ent˜ao A
´e invers´ıvel e A−1 = B. Isso, pois deAB = In, segue que det(A)det(B) = det(AB) = det(In) = 1. Portanto, det(A)6= 0, o que implica, como vimos, queA´e invers´ıvel. Multiplicando a igualdadeAB= InporA−1 `a esquerda, obtemos B = A−1. Ou seja, para demonstrar que uma matriz ´e invers´ıvel, basta exibir uma inversa `a direita. Um argumento an´alogo mostra que uma matriz quadrada que tem uma inversa `a esquerda ´e invers´ıvel.
Um outro coment´ario relevante retoma um tema deixado incompleto na sec¸˜ao anterior. No Teorema 1.2.5, hav´ıamos visto que se h´a uma sequˆencia de operac¸ ˜oes elementares sobre linhas que produz a partir de uma matriz quadradaAuma matriz escalonada com piv ˆos em todas suas linhas, ent˜ao a matrizAser´a invers´ıvel.
Com o que temos, agora, nesta sec¸˜ao, ´e poss´ıvel mostrar que vale tam-b´em a rec´ıproca, e, portanto, essas duas condic¸ ˜oes s˜ao, de fato, equivalen-tes. Vejamos por quˆe. Seja Auma matriz quadrada e seja Ruma matriz escalonada obtida a partir de A por meio de uma sequˆencia de operac¸ ˜oes elementares sobre linhas. Sabemos, pelo Teorema 1.3.8, queA ´e invers´ıvel se, e somente se, det(A)6=0. Mas, pelo Lema 1.3.7, isso ´e equivalente a ter-mos det(R)6=0. Assim, Aser´a invers´ıvel se, e s ´o se, det(R)6=0. Como R
´e triangular superior, essa condic¸˜ao ocorrer´a se, e somente se,Rtiver piv ˆos
em todas as suas linhas (j´a que, pela Proposic¸˜ao 1.3.2, seu determinante ´e dado pelo produto dos elementos na diagonal principal).
Concluindo, o procedimento, visto no Teorema 1.2.5, de construc¸˜ao da inversa de uma matriz quadradaApor meio de operac¸ ˜oes elementares so-bre linhas s ´o resultar´a na matriz identidade seAfor invers´ıvel.
Terminamos esta sec¸˜ao com uma ressalva importante. Apesar de a func¸˜ao determinante ser multiplicativa, de acordo com o Teorema 1.3.5, ela n˜ao ´e uma func¸˜ao aditiva, ou seja se Ae Bs˜ao matrizes quadradas de mesmo tamanho, ent˜ao n˜ao vale sempre que det(A+B)ser´a igual `a soma dos n ´umeros det(A)e det(B), como mostra, por exemplo, a conta a seguir:
det
1 2 1 1
+ 1 0
0 1
=det 2 2
1 2
=2, ao passo que
det 1 2
1 1
+det 1 0
0 1
=−1+1=0.
Observa¸c˜ao. H´a outros m´etodos conhecidos para o c´alculo de determinan-tes, como, por exemplo, as f ´ormulas de Sarrus (para determinantes de ma-trizes 3×3) e de Laplace (tamb´em conhecida como expans˜ao em cofatores).
No Apˆendice A, o leitor interessado encontra uma descric¸˜ao, n˜ao acompa-nhada de demonstrac¸ ˜oes, dessas f ´ormulas.
Ainda, no que tange ao uso de determinates para resoluc¸˜ao de sistemas lineares, deve-se mencionar a f ´ormula de Cramer (que n˜ao ser´a tratada nes-sas notas, mas que ´e apresentada com detalhes, por exemplo, em [5].) ♦ Exerc´ıcios. Lista 1 - ´Algebra Linear I: Exs. 17–34.
Vetores 2
Neste cap´ıtulo, ser´a definido o conjunto dos vetores no espac¸o tridimensi-onal e ser˜ao introduzidas operac¸ ˜oes envolvendo os elementos desse con-junto.
Ser´a preciso assumir, no que segue, alguns conhecimentos de geome-tria euclidiana no plano e no espac¸o, usualmente vistos nas disciplinas de matem´atica no Ensino M´edio.
O conjunto formado por todos os pontos do espac¸o tridimensional, am-biente familiar aos alunos de Ensino M´edio, onde se d´a o estudo da geome-tria espacial, ser´a denotado porE3.
A referˆencia principal para este cap´ıtulo e o pr ´oximo ´e o livro [3].