´e ortogonal an#»1e an#»2(ele ´e±(n#»1∧n#»2), dependendo da orientac¸˜ao deV3).
Assim, podemos tom´a-lo como diretor der. Precisamos, por fim, de um ponto emr, ou seja, um ponto que esteja simultaneamente emπ1eπ2. Para tanto, basta tomar um ponto cujas coordenadas s˜ao uma soluc¸˜ao do sistema linear
(2x−y=3 3x+y+2z=1
Subtituindoy = 2x−3, obtida a partir da primeira equac¸˜ao, na segunda, obtemos 5x+2z = 4. Fazendo x = 0 nessa ´ultima equac¸˜ao, obtemos a soluc¸˜ao(0,−3, 2). Logo,
X= (0,−3, 2) +λ(−2,−4, 5) (λ∈R)
´e uma equac¸˜ao vetorial parar. ♦
Exerc´ıcios. Lista 2 - ´Algebra Linear I: Exs. 4–8.
#»r
#»s A
B retas reversas
Vejamos alguns exemplos, em que se entende fixado um sistema de co-ordenadas emE3(n˜ao necessariamente ortogonal).
Exemplo3.4.1. Estude a posic¸˜ao relativa das retas
r : X= (1, 2, 3) +λ(0, 1, 3) (λ∈ R) e
s: X= (0, 1, 0) +µ(1, 1, 1) (µ∈R).
Solu¸c˜ao. O vetor #»r = (0, 1, 3) ´e diretor de r, e o vetor #»s = (1, 1, 1), de s. Como{#»r,#»s} ´e LI, as retas r es n˜ao s˜ao paralelas. Para decidir se s˜ao concorrentes ou coplanares, considere os pontos A = (1, 2, 3) ∈ r e B = (0, 1, 0) ∈ se o vetor # »
AB = (−1,−1, 3). Temos det
0 1 3
1 1 1
−1 −1 −3
= 2 6=
0. Segue que{#»r,#»s,# »
AB}´e LI. Portanto,ress˜ao reversas. ♦ Exemplo3.4.2. Estude a posic¸˜ao relativa das retas
r : X= (1, 2, 3) +λ(0, 1, 3) (λ∈ R) e
s: X = (1, 3, 6) +µ(0, 2, 6) (µ∈R).
Solu¸c˜ao. O vetor #»r = (0, 1, 3) ´e diretor de r, e o vetor #»s = (0, 2, 6), des.
Como{#»r,#»s} ´e LD (pois #»s = 2#»r), as retasress˜ao paralelas. Vejamos se s˜ao coincidentes ou n˜ao. Considere o pontoA= (1, 2, 3)∈r. Verifiquemos se A ∈ s, ou seja, se existe µ ∈ R tal que A = (1, 3, 6) +µ(0, 2, 6). Essa igualdade ´e equivalente a
1=1 2=3+2µ 3=6+6µ
que tem soluc¸˜ao dada por µ = −12. Logo, A ∈ s, o que faz der es reta coincidentes. (Duas retas paralelas s˜ao coincidentes precisamente quando
tˆem um ponto em comum.) ♦
Exemplo3.4.3. Estude a posic¸˜ao relativa das retas
r : X= (1, 2, 3) +λ(0, 1, 3) (λ∈ R) e
s:
(x+y+z−6=0 x−y−z+4=0
Solu¸c˜ao.O vetor #»r = (0, 1, 3) ´e diretor der. Fazendoz = 0 nas equac¸ ˜oes que definems, obtemos o pontoP= (1, 5, 0)∈se, fazendoz=1, obtemos o pontoQ= (1, 4, 1)∈s. Logo,#»s = PQ# »= (0,−1, 1)´e um vetor diretor de s, e{#»r,#»s}´e LI. Temos os pontos A = (1, 2, 3) ∈ re P = (1, 5, 0) ∈ s, que definem o vetor # »
AP= (0, 3,−3). Como o conjunto{#»r,#»s,# »
AP}´e LD (pois det
0 1 3
0 −1 1
0 3 −3
= 0), as retas res s˜ao concorrentes. Para determinar o ponto de intersec¸˜ao das retas basta, por exemplo, substituir nas equac¸ ˜oes que definemsas coordenadas de um ponto gen´erico der, que s˜ao da forma (1, 2+λ, 3+3λ). Fazendo isso na primeira equac¸˜ao, obtemosλ= 0 (e, na segunda, tamb´em). Logo o ponto de coordenadas(1, 2, 3)(que ´e o pontoA)
´e o ponto de intersec¸˜ao deres. ♦
Posi¸c˜ao relativa de reta e plano. EmE3, dada uma retare um plano π, h´a trˆes possibilidades de posic¸ ˜oes relativas: our est´a contida emπ, ou reπn˜ao se interceptam — nesses dois primeiros casos, dizemos quereπ s˜aoparalelos—, ou a intersec¸˜ao der eπ ´e apenas um ponto — nesse caso dizemos quereπs˜aotransversais.
Se #»r ´e um vetor diretor da retare #»u,#»v s˜ao vetores diretores do plano π, fica claro quereπs˜ao paralelos se, e somente se{#»r,#»u,#»v}´e LD.
O resultado a seguir fornece um instrumento vetorial ´util na an´alise de posic¸ ˜oes relativas de reta e plano, quando se tem a disposic¸˜ao uma equac¸˜ao geral do plano.
Proposi¸c˜ao 3.4.4. Seja Σ = (O,B) um sistema de coordenadas em E3. Seja w#» = (m,n,p)B um vetor e sejaπ um plano emE3 de equa¸c˜ao geral ax+by+ cz+d=0. Ent˜ao, w ´e paralelo a#» πse, e somente se, am+bn+cp=0.
Demonstra¸c˜ao. Tome um ponto A∈ πe sejaB = A+w. Ent˜ao,#» #»w ´e para-lelo aπse, e somente se, B ∈ π. Agora, comoA ∈ π, seA = (x0,y0,z0)Σ, ent˜ao
ax0+by0+cz0= −d. (3.4)
Como B = (x0+m,y0+n,z0+p)Σ, segue que B ∈ π se, e somente se, a(x0+m) +b(y0+n) +c(z0+p) +d =0. Em vista de (3.4), essa igualdade ocorre se, e somente se,am+bn+cp=0.
Observa¸c˜ao. Se o sistema de coordenadas na proposic¸˜ao acima fosse orto-gonal, o resultado seria imediato, uma vez que, nesse caso #»n = (a,b,c)B seria um vetor normal a π e, portanto, w#»seria paralelo aπ se, e somente se, w#»e #»n fossem ortogonais. O que diz a Proposic¸˜ao 3.4.4 ´e que o c´alculo que realizar´ıamos para verificar a ortogonalidade entre w#»e #»n, no caso de sistema ortogonal, continua valendo como teste de paralelismo entrew#»eπ,
mesmo se o sistema n˜ao for ortogonal. ♦
Como uma reta ´e paralalela a um plano se, e s ´o se, qualquer vetor di-retor da reta for paralelo ao plano, o crit´erio acima pode ser aplicado no estudo da posic¸˜ao relativa entre reta e plano.
Nos exemplos a seguir, sempre estar´a impl´ıcito um sistema de coorde-nadas n˜ao necessariamente ortogonal fixado.
Exemplo3.4.5. Estude a posic¸˜ao relativa da retare planoπ, em que r : X= (1, 1, 1) +α(3, 2, 1) (α∈R)
e
π : X= (1, 1, 3) +λ(1,−1, 1) +µ(0, 1, 3) (λ,µ∈R). Solu¸c˜ao.Sabemos que uma equac¸˜ao geral deπ ´e dada por
det
x−1 y−1 z−3
1 −1 1
0 1 3
=0.
Expandindo o determinante, obtemosπ : 4x+3y−z−4 = 0. Como #»r = (3, 2, 1) ´e um vetor diretor der, o crit´erio da Proposic¸˜ao 3.4.4 nos garante que #»r n˜ao ´e paralelo aπ, uma vez que 4·3+3·2+ (−1)·1 = 17 6= 0.
Logo,reπs˜ao transversais. Para encontrar o ponto de intersec¸˜ao entrere π basta substituir as coordenadas de um ponto gen´erico der,(1+3α, 1+ 2α, 1+α), na equac¸˜ao geral deπ: 4(1+3α) +3(1+2α)−(1+α)−4= 0.
Essa equac¸˜ao nos forneceα= −172. Logo,r∩π= 1117,1317,1517 . ♦ Exemplo3.4.6. Estude a posic¸˜ao relativa da retare planoπ, em que
r : X= (2, 2, 1) +α(3, 3, 0) (α∈R) e
π : X= (1, 0, 1) +λ(1, 1, 1) +µ(0, 0, 3) (λ,µ∈ R).
Solu¸c˜ao.Um vetor diretor de r ´e #»r = (3, 3, 0)e vetores diretores de π s˜ao
#»u = (1, 1, 1),#»v = (0, 0, 3). Como det
3 3 0 1 1 1 0 0 3
= 0, segue quereπ s˜ao paralelos (pois o determinante sendo nulo garante que {#»r,#»u,#»v} ´e LD).
Para decidir serest´a contida emπou n˜ao, tomemos o pontoA= (2, 2, 1)∈
r. Se Afor um ponto deπ, comor eπ s˜ao paralelos, isso implicar´a quer est´a contida emπ, caso contr´ario, teremosr∩π = ∅. Vejamos, ent˜ao, se existemλ,µ ∈ Rtais que A = (1, 0, 1) +λ(1, 1, 1) +µ(0, 0, 3), isto ´e, λ,µ que satisfazem
2=1+λ 2=λ
1=1+λ+3µ
´E claro que esse sistema n˜ao tem soluc¸˜ao. Portanto,A∈/π, donde se conclui
quer∩π =∅. ♦
Exemplo3.4.7. Estude a posic¸˜ao relativa da retare planoπ, em que r :
x =1+λ y=1−λ z=λ
(λ∈ R) e π : x+y−2=0
Solu¸c˜ao.Um vetor diretor der ´e #»r = (1,−1, 1). Como 1·1+1·(−1) +0· 1= 0,reπs˜ao paralelos. O pontoA= (1, 1, 0)est´a emre suas coordena-das satisfazem a equac¸˜ao geral deπ. Logo,rest´a contida emπ. ♦ Posi¸c˜ao relativa de planos. Dois planos emE3 s˜ao ditostransversaisse interceptarem-se em uma reta; caso contr´ario, s˜ao ditos paralelos. Se s˜ao paralelos, podem ser coincidentes ou ter intersec¸˜ao vazia.
Proposi¸c˜ao 3.4.8. SejaΣ= (O,B)um sistema de coordenadas emE3e sejamπ1 eπ2planos emE3, com equa¸c˜oes gerais
π1 : a1x+b1y+c1z+d1 =0 e π2 : a2x+b2y+c2z+d2=0.
Ent˜ao, π1 e π2 s˜ao paralelos se, e somente se, existir λ ∈ R tal que λa1 = a2, λb1 =b2eλc1= c2.
Demonstra¸c˜ao. Suponha que exista λ ∈ R tal que λa1 = a2, λb1 = b2 e λc1 = c2. Sejam u#»1,v#»1 vetores diretores de π1. Se u#»1 = (r,s,t)B e v#»1 = (m,n,p)B, ent˜ao
a2r+b2s+c2t =λa1r+aλb1s+λc1t =λ(a1r+b1s+c1t) =0, poisa1r+b1s+c1t =0, pela Proposic¸˜ao 3.4.4, uma vez que, sendo diretor deπ1,u#»1´e paralelo aπ1. De modo similar, mostra-se quea2m+b2n+c2p = 0. Portanto, tantou#»1comov#»1s˜ao paralelos aπ2. Da´ı, segue queπ1eπ2s˜ao paralelos.
Reciprocamente, suponha que π1 eπ2 sejam paralelos. Sabemos que pelo menos um dos escalares a1,b1,c1 n˜ao ´e nulo. Suponha, por exemplo, que a1 6= 0. Mostremos que, tomando λ = aa2
1, temos as igualdades de-sejadas. ´E claro que a2 = λa1. Para mostrar que b2 = λb1, considere o
vetor w#» = (b2,−a2, 0)B. Pelo teste da Proposic¸˜ao 3.4.4, w#» ´e paralelo aπ2. Comoπ2e π1 s˜ao paralelos, segue que w#» ´e paralelo a π1 Outra aplicac¸˜ao da Proposic¸˜ao 3.4.4 fornece quea1b2+b1(−a2) = 0, e, portanto,b2 = λb1. Para mostrar quec2 =λc1, usa-se um argumento an´alogo, com o fato de o vetor #»
t = (c2, 0,−a2)B ser paralelo aπ2e,a fortiori, aπ1.
Observa¸c˜ao. Na Proposic¸˜ao 3.4.8, se o sistema de coordenadasΣfor ortogo-nal, ent˜aon#»1= (a1,b1,c1)B ´e um vetor normal aπ1en#»2 = (a2,b2,c2)B ´e um vetor normal aπ2. Ent˜ao,π1eπ2s˜ao paralelos se, e somente se,n#»1en#»2s˜ao vetores paralelos. Isso ocorre se, e somente se, existeλ∈Rtal quen#»2= λn#»1 (lembre que vetores normais nunca s˜ao nulos). O que a Proposic¸˜ao 3.4.8 diz
´e que mesmo no caso de um sistema que n˜ao seja ortogonal, a proporciona-lidade entre os trˆes primeiros coeficientes das equac¸ ˜oes gerais dos planos ´e
equivalente ao paralelismo entre eles. ♦
Nos exemplos, entende-se fixado um sistema de coordenadas n˜ao ne-cessariamente ortogonal emE3.
Exemplo3.4.9. Estude a posic¸˜ao relativa dos planos
π1 : X= (1, 0, 1) +λ(1, 1, 1) +µ(0, 1, 0) (λ,µ∈R) e
π2 : X= (0, 0, 0) +α(1, 0, 1) +β(−1, 0, 3) (α,β∈R).
Solu¸c˜ao.Equac¸ ˜oes gerais deπ1eπ3s˜ao obtidas fazendo, respectivamente, det
x−1 y z−1
1 1 1
0 1 0
=0 e det
x y z
1 0 1
−1 0 3
=0.
Assim, π1 : x−z = 0 e π2 : y = 0. Aplicando o crit´erio visto na Proposic¸˜ao 3.4.8, conclu´ımos que π1 e π2 s˜ao transversais. A reta r de intersec¸˜ao deπeπ2 ´e definida por
r :
(x−z =0 y=0,
ou seja, ela ´e formada pelos deE3cujas coordenadas satisfazem
simultane-amente as equac¸ ˜oes deπ1e deπ2. ♦
Exemplo3.4.10. Estude a posic¸˜ao relativa dos planosπ1: 2x−y+z−1=0 e π2:x− 12y+ 12z−9=0.
Solu¸c˜ao.Tomandoλ = 12 na Proposic¸˜ao 3.4.8, concluimos queπ1 eπ2 s˜ao paralelos. Agora, para que eles fossem coincidentes, seria necess´ario que o quarto escalar nas equac¸ ˜oes gerais estivessem na mesma proporc¸˜ao dos demais. Como−96= 12(−1), segue queπ1∩π2 =∅. ♦
Exerc´ıcios. Lista 2 - ´Algebra Linear I: Exs. 9–16.