(iv) (−λ)u= −(λu) =λ(−u), para todosλ∈Re u∈V;
(v) −(−u) =u, para todo u∈V;
(vi) se u,v,w∈V s˜ao tais que u+v=u+w, ent˜ao v=w.
Observe que, fazendo λ = 1 em (iv), acima, obt´em-se (−1)u = −u, para todou∈V.
Demonstra¸c˜ao. Faremos a demonstrac¸˜ao apenas de (i), ficando as demons-trac¸ ˜oes das demais propriedades a cargo do leitor. Comec¸emos por obser-var que
λ0V =λ(0V+0V) =λ0V+λ0V, (4.1) em que utilizamos (3) na primeira igualdade e (7) na segunda. Por (4), existe um vetor−(λ0V)que satisfazλ0V+ −(λ0V)=0V. Assim,
0V= λ0V+ −(λ0V) = (λ0V+λ0V) + −(λ0V) por (4.1)
= λ0V+λ0V+ −(λ0V) por (2)
= λ0V+0V por (4)
= λ0V, por (3)
que ´e a igualdade desejada.
Deste ponto em diante, faremos uso das propriedades relacionadas na proposic¸˜ao acima, bem como das oito condic¸ ˜oes na definic¸˜ao de espac¸o ve-torial, sem fazer menc¸˜ao expl´ıcita a elas.
Uma quest˜ao notacional: seuevs˜ao vetores em um espac¸o vetorial, o vetoru+ (−v)ser´a, doravante, simplesmente denotado poru−v.
Exerc´ıcios. Lista 2 - ´Algebra Linear I: Exs. 37–38.
Em outras palavras, um subespac¸o vetorial (ou, simplesmente, subes-pac¸o) de um espac¸o vetorial ´e um subconjunto do espac¸o vetorial que con-t´em o vetor nulo e ´e “fechado” para as operac¸ ˜oes de soma e multiplicac¸˜ao por escalar, no sentido de que quando se soma dois vetores desse subcon-junto obt´em-se um vetor que ainda est´a no subconsubcon-junto. Analogamente, n˜ao se “sai” desse subconjunto tomando-se m ´ultiplos escalares de vetores nele.
Observa¸c˜ao. Se W ´e um subespac¸o do espac¸o vetorial V, ent˜ao W ´e, ele mesmo, um espac¸o vetorial com operac¸ ˜oes dadas pela restric¸ ˜oes das opera-c¸ ˜oes deVa elementos deW.
As condic¸ ˜oes (1)–(8) est˜ao satisfeitas emW porque valiam para todos os vetores de V, em particular, para todos os vetores deW. ( ´E claro que 0W = 0V e que a condic¸˜ao (4) est´a satisfeita emW, pois se u ∈ W, ent˜ao
−u= (−1)u∈W.) ♦
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo4.2.1. Considere o espac¸o vetorialR3 ={(x,y,z)|x,y,z ∈R}com as operac¸ ˜oes usuais (aquelas introduzidas no Exemplo 4.1.2), e o seguinte subconjunto deR3:
W = (x,y,z)∈R3 |x−2y=0 .
Isto ´e, os elementos deW s˜ao apenas aquelas ternas ordenadas de n ´umeros reais (x,y,z) em quex−2y = 0. Por exemplo, (−2,−1, 9) ∈ W, porque (−2)−2(−1) = 0, mas (2,−1, 0) 6= W, uma vez que 2−2(−1) 6= 0.
Mostremos que W ´e um subespac¸o de R3, verificando, uma por vez, as condic¸ ˜oes que definem um subespac¸o de um espac¸o vetorial.
(i) O vetor nulo deR3 ´e o elemento 0R3 = (0, 0, 0), como vimos no Exem-plo 4.1.2. Como 0−2(0) =0, segue que, de fato, 0R3 ∈W.
(ii) Vejamos por queW ´e fechado para a soma. Sejam w1 ew2 dois veto-res de W. Ent˜ao, cada um deles ´e um elemento de R3 satisfazendo a condic¸˜ao para estar emW, isto ´e, w1 = (x1,y1,z1)com x1−2y1 = 0, e w2 = (x2,y2,z2) com x2−2y2 = 0. Verifiquemos que w1+w2 ∈ W. Para tanto, ´e preciso lembrar da definic¸˜ao da operac¸˜ao de soma no espac¸o vetorial do qual W ´e um subconjunto, no caso, R3. Con-forme mencionado, a operac¸˜ao de soma ´e aquela introduzida no Exem-plo 4.1.2. Assim,
w1+w2 = (x1,y1,z1) + (x2,y2,z2) = (x1+x2,y1+y2,z1+z2). Para que esse vetor soma esteja em W, ´e preciso que ele satisfac¸a a condic¸˜ao que define os vetores de W, o que, de fato, ´e o caso, uma vez que(x1+x2)−2(y1+y2) = (x1−2y1) + (x2−2y2) =0+0 = 0.
Logo,W ´e fechado para a soma.
(iii) Finalmente, verifiquemos queW ´e fechado para multiplicac¸˜ao por es-calar. Seλ ∈ Rew = (x,y,z) ∈ W, ent˜ao λw = (λx,λy,λz), j´a que a multiplicac¸˜ao por escalar emR3 ´e aquela definida no Exemplo 4.1.2.
Agora,λx−2(λy) =λ(x−2y) =λ0=0, uma vez quex−2y=0, pois w ´e um elemento deW. Logo,W ´e tamb´em fechado para multiplicac¸˜ao por escalar.
Como as trˆes condic¸ ˜oes na definic¸˜ao de subespac¸o est˜ao satisfeitas,W ´e um subespac¸o deR3.
Tome, agora, o seguinte subconjunto deR3: L= (x,y,z)∈R3 |x+y=1 .
Esse subconjunto n˜ao ´e um subespac¸o de R3, pois, por exemplo, 0R3 ∈/ L. (Na verdade, L n˜ao satisfaz nenhuma das trˆes condic¸ ˜oes para ser um subespac¸o, mas basta que uma delas n˜ao esteja satisfeita para que L n˜ao
seja um subespac¸o). ♦
Exemplo4.2.2. Todo espac¸o vetorialVtem pelo menos dois subespac¸os, cha-mados subespac¸os triviais deV: o subespac¸o{0V}formado apenas pelo ve-tor nulo, e o subespac¸o totalV. Espac¸os vetoriais, em geral, contˆem muitos
outros subespac¸os al´em dos triviais. ♦
Exemplo4.2.3. Este ´e um dos exemplos mais importantes de subespac¸o ve-torial. Seja A∈ Mm×n(R)e considere o sistema linear homogˆeneo AX =0 de mequac¸ ˜oes e n inc ´ognitas. As soluc¸ ˜oes de AX = 0 s˜ao elementos de Rn. Mostremos que o conjuntoSformado por todas as soluc¸ ˜oes deAX =0
´e um subespac¸o do espac¸o vetorialRn. (Aqui, consideramos as operac¸ ˜oes usuais deRn, aquelas do Exemplo 4.1.2).
(i) ´E claro que 0Rn = (0, 0, . . . , 0)∈ S, uma vez que um sistema homogˆeneo sempre tem, pelo menos, a soluc¸˜ao trivial.
(ii) Sejamu= (a1,a2, . . . ,an)ev = (b1,b2, . . . ,bn)elementos deS, isto ´e,u evs˜ao soluc¸ ˜oes do sistema AX = 0. Mostremos queu+v ∈ S. Para tanto, ´e preciso mostrar que u+v = (a1+b1,a2+b2, . . . ,an+bn) ´e soluc¸˜ao deAX =0. Mas isso ´e verdade, uma vez que vale a igualdade matricial
A
a1+b1 a2+b2
... an+bn
= A
a1 a2 ... an
+
b1 b2 ... bn
= A
a1 a2 ... an
+A
b1 b2 ... bn
=
0 0 ... 0
+
0 0 ... 0
=
0 0 ... 0
.
(iii) Sejau= (a1,a2, . . . ,an)∈Se sejaλ∈R. Ent˜aoλu∈S, pois
A
λ
a1 a2 ... an
=λA
a1 a2 ... an
=λ
0 0 ... 0
=
0 0 ... 0
.
Conclui-se que, de fato,S ´e um subespac¸o deRn.
Observe que o subespac¸oW deR3do Exemplo 4.2.1 anterior ´e um caso particular deste, em quem=1,n=3 eA=1 −2 0
.
O conjunto formado por todas as soluc¸ ˜oes de um sistema linear n˜ao homogˆeneo de m equac¸ ˜oes e n inc ´ognitas ainda ´e um subconjunto de Rn, mas n˜ao ´e um subespac¸o deRn. (Vocˆe consegue ver por quˆe?) ♦ Exemplo 4.2.4. Lembre, do Exemplo 4.1.5, que o conjuntoPn(R)de todos os polin ˆomios de grau ≤ n, mais o polin ˆomio nulo, tem uma estrutura natural de espac¸o vetorial. Convenc¸a-se de que sem < n, ent˜aoPm(R) ´e
um subespac¸o dePn(R). ♦
Exemplo 4.2.5. Dado um intervalo aberto I na reta real, denote por C(I)o conjunto de todas as func¸ ˜oes f: I →Rcont´ınuas. No curso de C´alculo, vi-mos que a func¸˜ao nulan: I →R´e cont´ınua, que soma de func¸ ˜oes cont´ınuas
´e cont´ınua e que a multiplicac¸˜ao de uma constante por uma func¸˜ao cont´ınua
´e cont´ınua. Esses trˆes fatos podem ser resumidos na afirmac¸˜ao de queC(I)
´e um subespac¸o do espac¸o vetorial F(I) de todas as func¸ ˜oes reais com dom´ınio I. SeD(I)denota o conjunto de todas as func¸ ˜oes f: I → R de-riv´aveis, ent˜ao, segue, tamb´em de resultados vistos no curso de C´alculo, queD(I)´e um subespac¸o deC(I).
Mais geralmente, temos uma cadeia infinita de subespac¸os vetoriais:
P0(R)⊆ P1(R)⊆ P2(R)⊆ · · · ⊆ P(R)⊆ D(R)⊆ C(R)⊆ F(R), em que P(R)denota o espac¸o vetorial formado por todos os polin ˆomios,
sem limitac¸˜ao no grau. ♦
Agora, um exemplo em um espac¸o de matrizes.
Exemplo4.2.6. Mostre que
W = a b
c d
∈ M2(R) b=c
´e um subespac¸o do espac¸o vetorialM2(R)(com respeito `as operac¸ ˜oes usu-ais definidas no Exemplo 4.1.4.)
Solu¸c˜ao.Temos:
(i) 0M2(R) = 0 0
0 0
∈W, claramente;
(ii) seA,B∈W, ent˜aoA+B∈W (pois se A=
a b c d
e B=
a0 b0 c0 d0
, ent˜ao
A+B=
a+a0 b+b0 c+c0 d+d0
eb+b0 =c+c0, uma vez queb=ceb0 = c0, j´a queAeBs˜ao elementos deW);
(iii) seλ∈ReA∈W, ent˜aoλA∈W (pois se A=
a b c d
, ent˜ao
λA=
λa λb λc λd
eλb=λc, j´a queb= c).
Logo,W ´e um subespac¸o deM2(R). ♦
Exemplo4.2.7. O subconjunto
S=A∈ M2(R)|det(A) =0
do espac¸o vetorialM2(R)n˜ao ´e um subespac¸o, apesar de satisfazer as con-dic¸ ˜oes (i) e (iii) na definic¸˜ao de subespac¸o, com o leitor pode facilmente verificar. Mas Sn˜ao satisfaz a condic¸˜ao (ii); por exemplo, M =
1 0 0 0
e N =
0 0 0 1
s˜ao matrizes de determinante nulo, portanto, M,N ∈ S. Mas M+N = I2e det(I2) = 1 6= 0. Logo, M+N ∈/ S. O subconjuntoSn˜ao ´e fechado para soma. Portanto, n˜ao ´e um subespac¸o deM2(R). ♦ O que fizemos nesta sec¸˜ao e na anterior — e faremos nas seguintes — foi explorar consequˆencias das condic¸ ˜oes que definem um espac¸o vetorial.
Pode-se demonstrar que muitas das propriedades do espac¸o vetorial V3, por exemplo, s˜ao consequˆencias apenas do fato de, nele, estar definida uma estrutura de espac¸o vetorial, isto ´e, de estarem definidas emV3 operac¸ ˜oes que satisfazem as condic¸ ˜oes (1)–(8), e n˜ao necessariamente de o conjunto V3 ser formado por vetores definidos em termos de segmentos orientados em E3. Como vimos, h´a diversos exemplos diferentes de espac¸os vetori-ais. Assim, tudo que foi — e ser´a — demonstrado para um espac¸o vetorial abstrato, isto ´e, um conjunto munido de duas operac¸ ˜oes satisfazendo as condic¸ ˜oes (1)–(8), ser´a v´alido em cada um desses exemplos. Este ´e o po-der do m´etodo axiom´atico: por meio da obtenc¸˜ao de consequˆencias l ´ogicas
de um determinado conjunto de axiomas (por exemplo, as condic¸ ˜oes que definem espac¸o vetorial), alcanc¸amos resultados que s˜ao v´alidos em qual-quer instˆancia particular em que os axiomas est˜ao satisfeitos. Isso ficar´a ainda mais claro nas sec¸ ˜oes seguintes, em que os conceitos de combinac¸˜ao linear, dependˆencia linear, base e coordenadas ser˜ao introduzidos no con-texto mais abstrato dos espac¸os vetoriais.
Exerc´ıcios. Lista 2 - ´Algebra Linear I: Exs. 39–41.