Espa¸ cos vetoriais com produto 5
interno
Na Sec¸˜ao 2.4, vimos que o espac¸o vetorialV3, dos vetores tridimensionais, est´a dotado de uma operac¸˜ao, `a ´epoca denominada produto escalar, que permite dar um tratamento geom´etrico, por meio do conceito de ˆangulo, a algumas relac¸ ˜oes entre vetores.
Neste cap´ıtulo, apresentaremos, de modo axiom´atico, o conceito de pro-duto interno em um espac¸o vetorial, que generaliza o de propro-duto escalar de V3, e exploraremos v´arias de suas propriedades.
(2) hλu,vi=λhu,vi, para todosu,v∈Veλ∈R;
(3) hu,vi= hv,ui, para todosu,v ∈V;
(4) para todou∈ V,u6=0V, valehu,ui>0.
Ou seja, um produto interno em um espac¸o vetorialV ´e um modo de se atribuir a um par de vetores(u,v)deVum n ´umero real, denotadohu,vi. Exige-se que essa atribuic¸˜ao satisfac¸a as condic¸ ˜oes (1)–(4). Veremos que essas quatro condic¸˜ao s˜ao suficientes para que a presenc¸a de um produto interno em um espac¸o vetorial permita que muitos dos resultados vistos no Cap´ıtulo 2 possam ser generalizados para o contexto de espac¸os vetoriais abstratos.
Como j´a mencionamos, no in´ıcio da sec¸˜ao, o produto escalar em V3
´e um produto interno. Isso segue do fato que as condic¸ ˜oes (1)–(4) est˜ao todas satisfeitas emV3 tomando-seh#»u,#»vi = #»u · #»v, como verificamos na Proposic¸˜ao 2.4.2.
Vejamos outros exemplos.
Exemplo5.1.1. A func¸˜ao definida por
(a1,a2, . . . ,an),(b1,b2, . . . ,bn)= a1b1+a2b2+· · ·+anbn
´e um produto interno no espac¸o vetorial Rn. Que as condic¸ ˜oes (1)–(3) na definic¸˜ao de produto interno est˜ao satisfeitas segue imediatamente da definic¸˜ao das operac¸ ˜oes de soma e multiplicac¸˜ao por escalar em Rn. A condic¸˜ao (4) ´e consequˆencia do fato de uma soma de quadrados de n ´umeros reais ser sempre um n ´umero positivo se pelo menos um de seu termos for n˜ao nulo. Essa operac¸˜ao ser´a doravante denominadaproduto interno usual
deRn. ♦
Exemplo5.1.2. Al´em do produto interno usual, existem outros produtos in-ternos emR2. Por exemplo,
(a,b),(c,d)=2ac+bd
tamb´em define um produto interno emR2, como o leitor pode facilmente verificar. (Veja o Exerc´ıcio 53 da Lista 1 - ´Algebra Linear II (2020) para ainda
mais um exemplo de produto interno emR2.) ♦
Exemplo5.1.3. Considere o espac¸o vetorialPn(R), dos polin ˆomios de grau menor ou igual an, e a func¸˜ao definida por
hf,gi=
Z 1
0 f(t)g(t)dt, (5.1)
para todos f,g ∈ Pn(R). Mostre que essa func¸˜ao ´e um produto interno no espac¸o vetorialPn(R).
Solu¸c˜ao. Vale iniciar notando que, de fato, essa func¸˜ao est´a bem definida, uma vez que para todos f,g∈ Pn(R), o produto f g´e uma func¸˜ao cont´ınua em[0, 1]e, portanto, integr´avel nesse intervalo.
As condic¸ ˜oes (1) e (2) s˜ao propriedades da integrac¸˜ao:
hf+g,hi=
Z 1
0 f(t) +g(t)h(t)dt=
Z 1
0 f(t)h(t) +g(t)h(t)dt
=
Z 1
0 f(t)h(t)dt+
Z 1
0 g(t)h(t)dt= hf,hi+hg,hi, quaisquer que sejam f,g,h∈ Pn(R), e
hλf,gi=
Z 1
0 λf(t)g(t)dt=λ Z 1
0 f(t)g(t)dt=λhf,gi,
para todosλ∈ Re f,g∈ Pn(R). A condic¸˜ao (3) ´e ´obvia. Resta (4); vejamos.
Comecemos por lembrar que o vetor nulo de Pn(R) ´e o polin ˆomio nulo.
Assim, se f ∈ Pn(R)e f 6=0Pn(R), existet0∈[0, 1]tal que1 f(t0)6=0, o que implica que f(t0)2 > 0. Como f ´e uma func¸˜ao cont´ınua no intervalo[0, 1], existemc,d∈ Rcom 0≤ c< d≤1 tais que f(t)2 >0, para todot ∈ (c,d), enquanto f(t)2≥0 para todot∈[0,c]∪[d, 1]. Portanto,
hf,fi=
Z 1
0 f(t)2dt=
Z c
0 f(t)2dt+
Z d
c f(t)2dt+
Z 1
d f(t)2dt>0, j´a queRd
c f(t)2dt>0 e os outros dois termos na soma acima n˜ao s˜ao
nega-tivos. ♦
O argumento utilizado acima tamb´em prova que (5.1) define um pro-duto interno no espac¸o P(R) de todos os polin ˆomios, sem limitac¸˜ao no grau. Ainda, n˜ao h´a nada de especial na escolha dos extremos de integra-c¸˜ao: para quaisquera,b∈Rcoma<b,
hf,gi=
Z b
a f(t)g(t)dt (5.2) define um produto interno emPn(R)e emP(R).
Mais geralmente, a express˜ao (5.2) define um produto interno no espac¸o vetorialC([a,b])de todas as func¸ ˜oes reais cont´ınuas definidas no intervalo [a,b]. (Mas n˜ao ´e um produto interno no espac¸o vetorialC(R). Por quˆe?)
H´a outro produto interno comumente utilizado emPn(R), que ´e uma vers˜ao discreta do produto interno definido no exemplo anterior.:
1Um polin ˆomio n˜ao nulo de grau no m´aximontem no m´aximonra´ızes. Como o inter-valo[0, 1]´e infinito, algum elemento nesse intervalo certamente n˜ao ´e raiz do polin ˆomio.
Exemplo 5.1.4. Seja n um inteiro positivo. Fixe mn ´umeros reais distintos a1,a2, . . . ,am, comm>n. Dados f,g∈ Pn(R), defina
hf,gi= f(a1)g(a1) + f(a2)g(a2) +· · ·+ f(am)g(am).
Fica a cargo do leitor verificar que as condic¸ ˜oes (1)–(3) est˜ao satisfeitas (para elas, a hip ´otesem>nn˜ao ´e necess´aria). Para a condic¸˜ao (4), suponha que f ∈ Pn(R)seja tal quehf,fi=0. Ent˜ao,
f(a1)2+ f(a2)2+· · ·+ f(am)2 =hf,fi=0.
Logo, f(a1) = f(a2) = · · · = f(am) = 0. Como f tem grau menor ou igual an, se n˜ao for nulo, f ter´a no m´aximonra´ızes distintas. Como osai s˜ao distintos entre si em > n, segue que f tem que ser o polin ˆomio nulo.2 Assim, se f n˜ao for o polin ˆomio nulo, pelo menos um dos termos f(ai)2 ´e estritamente positivo e, portanto,hf,fi>0. ♦ As propriedades listadas a seguir s˜ao consequˆencias imediatas da defi-nic¸˜ao.
Proposi¸c˜ao 5.1.5. Seja V um espa¸co vetorial munido de um produto interno.
Ent˜ao,
(i) hu,v1+v2i= hu,v1i+hu,v2i, para todos u,v1,v2∈V;
(ii) hu,λvi=λhu,vi, para todosλ∈Re u∈V;
(iii) hu, 0Vi=0, para todo u∈V;
(iv) para todo u∈V,hu,ui=0se, e somente se, u=0V.
Demonstra¸c˜ao. A propriedade (i) segue das condic¸ ˜oes (1) e (3) na definic¸˜ao de produto interno, e a (ii), das condic¸ ˜oes (2) e (3). Provemos (iii). De (i), que acabamos de demonstrar, sabemos que
hu, 0Vi= hu, 0V+0Vi= hu, 0Vi+hu, 0Vi.
Assim a = hu, 0Vi ´e um n ´umero real que satisfaza = 2a. Logo, a = 0.
Finalmente, para (iv), j´a sabemos, da condic¸˜ao (4), que se u 6= 0V, ent˜ao hu,ui 6= 0. Reciprocamente, se u = 0V, ent˜ao hu,ui = h0V, 0Vi = 0, por (iii).
2A t´ıtulo de ilustrac¸˜ao do argumento, considere o polin ˆomio p(t) = t2−3t+2 ∈ P2(R). Se tomarmos apenas dois pontos, por exemplo, a1 = 1 e a2 = 2, teremos hp,pi=p(1)2+p(2)2=0, ao passo quepn˜ao ´e o polin ˆomio nulo.
Norma e distˆancia. Continuando com a analogia que estabelecemos en-tre o produto escalar e o produto interno, definiremos norma e distˆancia, em um espac¸o vetorial abstrato, em termos de um produto interno.
Defini¸c˜ao. SejaVum espac¸o vetorial munido do produto internoh,i. Dado u∈V, definimos anormadeupor
kuk= q
hu,ui. Dadosu,v∈ V, definimos adistˆanciaentreuevpor
dist(u,v) =ku−vk.
(Observe que, em vista da condic¸˜ao (4), a norma de um vetor est´a sempre definida. Al´em disso, a func¸˜ao dist satisfaz as condic¸ ˜oes esperadas de uma func¸˜ao distˆancia.3)
Exemplo 5.1.6. No espac¸o vetorial Rn munido do produto interno usual (cf. Exemplo 5.1.1), dados u = (a1,a2, . . . ,an),v = (b1,b2, . . . ,bn) ∈ Rn, temos
kuk= q
a21+a22+· · ·+a2n e
dist(u,v) = q
(a1−b1)2+ (a2−b2)2+· · ·+ (an−bn)2.
A norma e distˆancia assim definidas em Rn costumam ser denominadas
euclidianas. ♦
Observa¸c˜ao. N˜ao ´e demais enfatizar que norma e distˆancia s˜ao conceitos relativos ao produto interno. Assim, por exemplo, se tomarmos emR2 os seguintes dois produtos internos
(a,b),(c,d)
1 =ac+bd e
(a,b),(c,d)
2 =2ac+bd, teremos definidas emR2 duas normas (e, portanto, duas distˆancias). Por exemplo,
k(1, 1)k1 = q
(1, 1),(1, 1)
1=√ 2,
3Dado um conjuntoX, chama-se distˆancia ou m´etrica emXuma func¸˜aodque associa a pares de elementos deXum n ´umero real satisfazendo
(i) d(x,y)≥0, para todosx,y∈X;
(ii) para todosx,y∈X,d(x,y) =0 se, e somente se,x=y;
(iii) d(x,y) =dist(y,x), para todosx,y∈X;
(iv) d(x,z)≤dist(x,y) +dist(y,z), para todosx,y,z∈X.
Essa ´ultima condic¸˜ao, no caso da func¸˜ao distˆancia definida em termos da norma, em um espac¸o vetorial munido de um produto interno, ´e consequˆencia do Corol´ario 5.1.12, que veremos adiante.
ao passo que
k(1, 1)k2 = q
(1, 1),(1, 1)
2=√ 3,
diferentes, portanto. ♦
Algumas propriedades imediatas da norma est˜ao enunciadas na pr ´oxi-ma proposic¸˜ao.
Proposi¸c˜ao 5.1.7. Seja V um espa¸co vetorial munido de um produto interno, e sejam u∈V eλ∈R. Valem:
(i) se u6=0V, ent˜aokuk>0;
(ii) kuk=0se, e somente se, u=0V; (iii) kλuk= |λ| kuk.
Demonstra¸c˜ao. Da condic¸˜ao (4) na definic¸˜ao de produto interno, segue que se u 6= 0V, ent˜ao hu,ui > 0 e, portanto, kuk = phu,ui > 0, provando (i). A equivalˆencia em (ii) segue da Proposic¸˜ao 5.1.5 (iv). Para (iii), temos kλuk = phλu,λui = pλ2hu,ui = √
λ2p
hu,ui = |λ| kuk, em que a segunda igualdade segue da condic¸˜ao (2) na definic¸˜ao de produto interno e da Proposic¸˜ao 5.1.5 (ii).
Exemplo5.1.8. Considere o produto interno definido por hf,gi=
Z π
0 f(t)g(t)dt
no espac¸o vetorialC([0,π])e os vetoresu,v∈ C([0,π])dados por u(t) =cos(t), v(t) =sen(t).
Encontrekukehu,vi. Solu¸c˜ao.Por definic¸˜ao,
kuk2 =hu,ui=
Z π
0 cos2(t)dt= 1 2
Z π
0 1+cos(2t)dt
= 1 2
t+sen(2t) 2
π
0
= π 2. Portanto,kuk= pπ2. Similarmente,
hu,vi=
Z π
0 cos(t)sen(t)dt= 1 2
Z π
0 sen(2t)dt= 1 2
−cos(2t) 2
π
0
,
que ´e 0. Ou seja,hu,vi=0. ♦
Quando estudamos o espac¸o vetorialV3 dos vetores tridimensionais, vimos que dois vetores eram ortogonais exatamente quando o produto es-calar entre eles era igual a 0. Isso motiva nossa pr ´oxima definic¸˜ao.
Defini¸c˜ao. Diremos que dois vetoresu evde um espac¸o vetorial munido do produto internoh,is˜aoortogonaissehu,vi= 0, e, neste caso, usamos a notac¸˜aou⊥v.
Vimos que emC([0,π]), usando o produto interno definido no Exem-plo 5.1.8, temos cos(t)⊥sen(t).
Observa¸c˜ao. Assim como norma e distˆancia, ortogonalidade tamb´em ´e um conceito relativo ao produto interno. Assim, dois vetores de um espac¸o ve-torial podem ser ortogonais com relac¸˜ao a um produto interno e deixarem de ser com relac¸˜ao a outro.
Por exemplo, considere os seguintes dois produtos internos definidos emP(R):
hp,qi1=
Z 1
0 p(t)q(t)dt e hp,qi2 =
Z 1
−1p(t)q(t)dt.
Se tomarmos os vetores f(t) = t eg(t) = t2 deP(R), ent˜ao f eg n˜ao s˜ao ortogonais com relac¸˜ao ah,i1, pois
hf,gi1=
Z 1
0 t3dt= t
4
4
1
0
= 1 4 6=0;
mas, como
hf,gi2=
Z 1
−1t3dt= t
4
4
1
−1
=0,
f egs˜ao ortogonais com relac¸˜ao ah,i2. ♦ O conceito de ortogonalidade entre vetores em um espac¸o vetorial mu-nido de um produto interno permite que obtenhamos, no contexto abstrato, vers ˜oes de alguns resultados v´alidos conhecidos da geometria euclidiana, como por exemplo, a seguinte forma do teorema de Pit´agoras.
Proposi¸c˜ao 5.1.9. Seja V um espa¸co vetorial munido de um produto interno e sejam u,v∈V vetores ortogonais. Ent˜ao,
ku+vk2 =kuk2+kvk2.
Demonstra¸c˜ao. Pela definic¸˜ao de norma de um vetor emV, temos ku+vk2 =hu+v,u+vi
=hu,u+vi+hv,u+vi
=hu,ui+hu,vi+hv,ui+hv,vi
=kuk2+2hu,vi+kvk2. O resultado segue da hip ´otesehu,vi=0.
H´a outros resultados que eram v´alidos emV3 e que tˆem vers ˜oes an´a-logas no contexto geral. Por exemplo, sabemos que se #»u e #»v s˜ao vetores n˜ao nulos de V3, ent˜ao #»u · #»v = kuk kvkcos(θ), em que θ denota a me-dida do ˆangulo entre #»u e #»v. Portanto,|#»u ·#»v| = kuk kvk |cos(θ)|. Como
|cos(θ)| ≤ 1, segue|#»u ·#»v| ≤ kuk kvk. Esse fato continua valendo para espac¸os vetoriais arbitr´arios.
Teorema 5.1.10. Seja V um espa¸co vetorial munido de um produto interno. Ent˜ao, para todos u,v∈ V, vale
|hu,vi| ≤ kuk kvk. (5.3) Al´em disso, em(5.3), vale a igualdade se, e somente se,{u,v}´e LD.
A desigualdade (5.3) ´e conhecida comodesigualdade de Cauchy-Schwarz. Demonstra¸c˜ao. Se v = 0V, ent˜ao hu,vi = 0 e kvk = 0. Portanto, neste caso, a desigualdade vale trivialmente (ela ´e, na realidade, uma igualdade).
Suponha, ent˜ao, quev6=0Ve considere o vetor w= hu,vi
kvk2v.
Ent˜ao,u−wews˜ao ortogonais, pois
hu−w,wi= hu,wi − hw,wi
=
*
u,hu,vi kvk2v
+
−
hu,vi kvk2 v
2
= hu,vi
kvk2 hu,vi − hu,vi kvk2
!2
kvk2
=0.
Comou= (u−w) +w, segue, da Proposic¸˜ao 5.1.9, que kuk2=ku−wk2+kwk2≥ kwk2, e, portanto,
kwk ≤ kuk. (5.4) Mas,
kwk=
hu,vi kvk2v
= |hu,vi|
kvk2 kvk= |hu,vi|
kvk , o que, em vista de (5.4), fornece (5.3).
Para verificarmos a ´ultima afirmac¸˜ao no enunciado, comecemos por lembrar que j´a vimos que se v = 0V, ent˜ao vale a igualdade. Se v 6= 0V, mas{u,v}´e LD, ent˜aou= λv, para algumλ∈Re, neste caso,
|hu,vi|=|hλv,vi|=|λ| kvk2 =kλvk kvk= kuk kvk.
Reciprocamente, suponha que|hu,vi|= kuk kvk. Mostremos que{u,v}´e LD. Considere o sistema linear homogˆeneo
"
kuk2 hu,vi hu,vi kvk2
# x y
= 0
0
, (5.5)
nas inc ´ognitasxey. Como det
"
kuk2 hu,vi hu,vi kvk2
#
=kuk2kvk2− hu,vi2 =0,
segue do Teorema 1.3.8 que (5.5) ´e indeterminado e, portanto, tem uma soluc¸˜ao n˜ao trivial(α,β), isto ´e, uma em queαeβn˜ao s˜ao simultaneamente nulos. Agora,
kαu+βvk2 =hαu+βv,αu+βvi
=α kuk2α+hu,viβ
+β hu,viα+kvk2β)
=α0+β0 (pois(α,β)´e soluc¸˜ao de (5.5))
=0,
o que implicaαu+βv = 0V; ou seja, o vetor nulo pode ser expresso como uma combinac¸˜ao linear deuevem que nem todos os coeficientes s˜ao nulos.
Logo,{u,v}´e LD.
Na demonstrac¸˜ao da desigualdade de Cauchy-Schwarz que vimos a-cima, foi introduzimos um vetor auxiliar, w = hu,vi
kvk2v, que ter´a um papel relevante nas pr ´oximas sec¸ ˜oes. Esse vetor ser´a denominado projec¸˜ao orto-gonal deusobrev(seguindo, portanto, a nomenclatura utilizada no estudo da projec¸˜ao ortogonal no espac¸oV3).
Exemplo 5.1.11. Escreva, no contexto do Exemplo 5.1.8, como fica a desi-gualdade de Cauchy-Schwarz.
Solu¸c˜ao.Segundo o Teorema 5.1.10, considerando o produto interno no es-pac¸o vetorialC([0,π])definido no Exemplo 5.1.8, vale
Z π
0 f(t)g(t)dt
≤ Z π
0 f(t)2dt
12 Z π
0 g(t)2dt 12
,
quaiquer que sejam f,g∈ C([0,π]). ♦
Uma consequˆencia da desigualdade de Cauchy-Schwarz ´e o seguinte resultado.
Corol´ario 5.1.12. Seja V um espa¸co vetorial munido de um produto interno.
Ent˜ao,
ku+vk ≤ kuk+kvk, (5.6)
para todos u,v∈ V.
Chama-se (5.6) dedesigualdade triangular (pois ela evoca o fato de que a soma dos comprimentos de dois lados de um triˆangulo sempre excede o comprimento do terceiro).
Demonstra¸c˜ao. Dadosu,v∈V, temos ku+vk2 =hu+v,u+vi
=kuk2+2hu,vi+kvk2
≤ kuk2+2kuk kvk+kvk2 (pelo Teorema 5.1.10)
= kuk+kvk2, o que implica a desigualdade desejada.
Esse corol´ario tem a seguinte consequˆencia. Se dist denota a func¸˜ao distˆancia definida em termos da norma de um espac¸o vetorialV munido de um produto interno, conforme a definic¸˜ao na p´agina 161, ent˜ao
dist(u,w)≤dist(u,v) +dist(v,w),
para todosu,v,w ∈ V. Isso, pois, escrevendou−w = (u−v) + (v−w), obtemos
dist(u,w) =ku−wk
=k(u−v) + (v−w)k
≤ ku−vk+kv−wk
=dist(u,v) +dist(v,w). Exerc´ıcios. Lista 1 - ´Algebra Linear II (2020): Exs. 52–56.