Nesta subseção, considere os sistemas de raízes reduzidos e irredutíveis. De nição 5.7.1. O diagrama de Dynkin é um grafo que contém todas as informações da matriz de Cartan de uma determinada álgebra de Lie, mas de uma forma mais sucinta. Fixada uma base S de R, os vértices destes diagramas representam as raízes simples que são ligados por uma, duas ou três arestas dependendo do valor de n(α, β)n(β, α) e orientamos a aresta da raiz de maior comprimento para a de menor.
Exemplo 5.7.1. Abaixo, estão listados alguns exemplos de diagramas de Dynkin (φ representa o ângulo entre as duas raízes simples):
5.7 Diagramas de Dynkin 39 tipo A1 tipo A1× A1 se φ = π/2 tipo A2 se φ = 2π/3 tipo B2 se φ = 3π/4 tipo G2 se φ = 5π/6
Observe que se não orientarmos as arestas que ligam as raízes simples, não conseguimos determinar a matriz de Cartan da álgebra de Lie. Perce- bemos este fato tomando como exemplo a álgebra de Lie do tipo G2. Mas,
especi cando o diagrama de Dynkin é equivalente especi car a matriz de Cartan e eles determinam o sistema de raízes.
Um resultado importante que pode ser encontrado em [5] (página 89), no diz que uma álgebra de Lie é simples, se e só se, seu diagrama de Dynkin é conexo.
Teorema 5.7.1. Todo diagrama de Dynkin conexo (não-vazio) é isomorfo a um dos listados abaixo:
· · · An (n ≥ 1) · · · Bn (n ≥ 2) · · · Cn (n ≥ 3) · · · Dn (n ≥ 4) E6 E7 E8 F4 G2
40
6 Estrutura das Álgebras de Lie semissimples
Nesta seção, g denota uma álgebra de Lie complexa semissimples (de dimensão nita) e h uma subálgebra de Cartan de g.
6.1 Decomposição de g
Considere α ∈ h∗e o autoespaço gα = {X ∈ g | [H, X] = α(H)X, ∀H ∈
h}. Note que [H, X] = ad(H)X.
De nição 6.1.1. Se X ∈ gα, dizemos que X possui peso α.
Observação 6.1.1. Em particular, g0 é o conjunto dos elementos de g que
comutam com h e pelo Teorema 3.3.1, temos g0 = h.
De nição 6.1.2. Um elemento α ∈ h∗ tal que α 6= 0 e gα 6= 0 é chamado
raiz de g relativo a h. Denotaremos o conjunto das raízes de g por R. Teorema 6.1.1. Tem-se g = h ⊕M
α∈R
gα.
Demonstração. Sabemos que o conjunto dos endomor smos ad(H) de g com H ∈ h são diagonalizáveis (item (d) do Teorema 3.3.1) e a rmamos que estes endomodr smos comutam entre si. De fato, tome ad(H1) e ad(H2) neste
conjunto, logo para todo Z ∈ g:
(ad(H1) ◦ad(H2))Z = [H1, [H2, Z]]
= −[H2, [Z, H1]] − [Z, [H1, H2]]
= [H2, [H1, Z]]
= (ad(H2) ◦ad(H1))Z.
Portanto, eles são simultaneamente diagonalizáveis e o resultado segue, visto que: seja S = {T1, . . . , Tk} um conjunto de operadores lineares diagonalizá-
veis em um espaço vetorial V que comutam entre si, isto é, Ti◦ Tj = Tj ◦ Ti
para todo 1 ≤ i, j ≤ k. Então existe uma base β de V tal que [Ti]β são
diagonalizáveis para todo i. A recíproca também é verdadeira. Para o que segue, ( , ) denota uma forma bilinear, não-degenerada, simétrica e invariante de g (por exemplo a forma de Killing).
6.1 Decomposição de g 41 (b) Os subespaços gα e g−α são duais com respeito a ( , ), ou seja, se
(X, Y ) = 0 para todo X ∈ gα (respectivamente, para todo Y ∈ g−α) tem-se Y = 0 (respectivamente, X = 0).
(c) A restrição de ( , ) à h é não-degenerada.
(d) Se X ∈ gα, Y ∈ g−α e H ∈ h, então (H, [X, Y ]) = α(H)(X, Y ).
Demonstração. (a), (b), e (c): Tome X ∈ gα, Y ∈ gβ e H ∈ h. Pela inva-
riância da forma, temos
(H, [X, Y ]) + (X, [H, Y ]) = 0 ⇒ α(H)(X, Y ) + β(H)(X, Y ) = 0. Se α + β 6= 0, existe um H ∈ h tal que α(H) + β(H) 6= 0, o que implica (X, Y ) = 0. Por outro lado, considere a decomposição de g em subespaços mutuamente ortogonais
g= h ⊕X(gα⊕ g−α)
Como ( , ) é não-degenerada, a restrição a cada um desses subespaços tam- bém o é. Portanto, gα e g−α são duais com respeito a ( , ) e a restrição de
( , ) à h é não-degenerada.
(d): Pela invariância de ( , ), temos que (H, [X, Y ]) = ([H, X], Y ) =
α(H)(X, Y ).
O teorema anterior nos permite identi car (via isomor smo) h à h∗
tomando os homomor smos: θ : h → h∗ H 7→ θH : h → C Y 7→ (H, Y ) e γ : h∗ → h
f 7→ fz tal que f(Y ) = (fz
, Y ). De fato,
(i): (θ ◦ γ)(f) = θ(fz) = (fz, ·) ⇒ (fz, Y ) = f (Y ), ∀Y ∈ h ⇒ (θ ◦ γ)(f ) = f.
(ii): (γ ◦ θ)(X) = γ((X, ·)) = (X, ·)z ⇒ (X, ·)(Y ) = ((X, ·)z, Y ), ∀Y ∈ h ⇒
X = (X, ·)z (pois ( , ) restrita a h é não-degenerada) ⇒ (γ ◦ θ)(X) = X.
6.1 Decomposição de g 42 h∗ ∼= h
α 7→ hα
onde α(Y ) = (hα, Y )para todo Y ∈ h.
Lema 6.1.1. Sejam α ∈ R e hα o único elemento de h correspondente a
α via o isomor smo h∗ ∼= h associado a forma bilinear (não-degenerada). Então, [X, Y ] = (X, Y )hα, quando X ∈ gα e Y ∈ g−α.
Demonstração. Se H ∈ h, então α(H) = (hα, H). Usando a igualdade (d)
da proposição anterior, obtemos que
(H, [X, Y ]) = α(H)(X, Y ) = (hα, H)(X, Y )
= (H, hα)(X, Y )
= (H, hα(X, Y ))
e o resultado segue pela não-degenerescência de ( , ). Teorema 6.1.3. (a) R é um sistema de raízes reduzido em h.
(b) Se α ∈ R, então gα é 1-dimensional e o mesmo ocorre com o subes- paço hα = [gα, g−α] de h. Existe um único elemento Hα ∈ hα tal que
α(Hα) = 2.
(c) Seja α ∈ R. Para cada Xα em gα, existe um único Yα em g−α tal
que [Xα, Yα] = Hα. Também, [Hα, Xα] = 2Xα e [Hα, Yα] = −2Yα. A
subálgebra sα = hα⊕ gα⊕ g−α é isomorfa a sl2.
(d) Se α, β ∈ R e α + β 6= 0, então [gα, gβ] = gα+β.
Demonstração. Fato 1: Se α, β ∈ h∗, então [gα, gβ] ⊂ gα+β.
Se X ∈ gα, Y ∈ gβ e H ∈ h, temos pela identidade de Jacobi que
[H, [X, Y ]] = [[H, X], Y ] + [X, [H, Y ]] = (α + β)(H)[X, Y ]. Isto mostra que [X, Y ] ∈ gα+β e o resultado segue.
Fato 2: R gera h∗.
Suponha que R não gere h∗, isto é, existe H ∈ h não-nulo tal que α(H) = 0
para todo α ∈ R. Daí, [H, gα] = 0 para todo α ∈ R. Como h é abeli-
ana, [H, h] = 0 o que implica [H, g] = 0. Portanto, H ∈ z(g) = 0 (g é semissimples), absurdo.
6.1 Decomposição de g 43 Fato 3: Se α ∈ R, então hα é 1-dimensional.
De fato, pelo lema anterior, hα = [gα, g−α] é gerado por hα.
Fato 4: Se α ∈ R, existe um único elemento Hα em hα tal que α(Hα) = 2.
Pelo Fato 3, é su ciente mostrar que a restrição de α à hα é não-trivial
(α|hα 6= 0). Suponha que seja trivial e escolha Z = [X, Y ] não-nulo tal que
α(Z) = 0, onde X ∈ gα e Y ∈ g−α. Logo,
[Z, X] = ad(Z)X = α(Z)X = 0, [Z, Y ] = ad(Z)Y = −α(Z)Y = 0 e [X, Y ] = Z.
De na a a subálgebra de g gerada por X, Y, Z com as relações descritas acima. Logo, a é nilpotente (a3 = 0), em particular, solúvel. Agora, considere
a representação ad: a → gl(g) e pelo Teorema do Isomor smo, a/z(a) ∼= ad(a). Daí, ad(a) é nilpotente, em particular, ad(Z) é nilpotente. Por outro lado, ad(Z) é semissimples (pois pelo Teorema 3.3.1, todo elemento de h é semissimples e Z ∈ hα ⊂ h), portanto, ad(Z) = 0 ⇒ Z ∈ z(g) = 0 que é um
absurdo.
Fato 5: dim gα = 1 se α ∈ R.
Suponha dim gα > 1. Como gα e g−α são duais com respeito a ( , ), existe
um elemento Y ∈ g−α ortogonal a todo X
α em gα. Assim, [Xα, Y ] ∈ he pelo
Lema 6.1.1, [Hα, Y ] = −α(Hα)Y = −2Y. Isto mostra que Y é um elemento
primitivo de peso −2 em g que contradiz o Corolário 4.1.2 do Teorema 4.1.1. Fato 6: Se α ∈ R, então −α ∈ R.
Suponha que −α /∈ R, logo g−α = 0 ⇒ (gα, gβ) = 0 para β = −α. Quando
β 6= −α, o Teorema 6.1.2 nos diz que (gα, gβ) = 0. Portanto, (gα, g) = 0, ou
seja, ( , ) é degenerada que é um absurdo.
Fato 7: A subálgebra sα = hα⊕ gα⊕ g−α é isomorfa a sl2.
Seja α ∈ R e tome Xα ∈ gα não-nulo. Então, existe Y ∈ g−α tal que
[Xα, Yα] = Hα. De fato, como gα e g−α são duais com respeito a ( , ),
existe Y ∈ g−α tal que (X
α, Y ) 6= 0, logo [Xα, Y ] = (Xα, Y )hα 6= 0 (Te-
orema 6.1.2). Multiplicando Y por um escalar adequado, obtemos o ele- mento Yα ∈ g−α (único pelo Fato 5) tal que [Hα, Xα] = α(Hα)Xα = 2Xα,
[Hα, Yα] = −α(Hα)Yα = −2Yα e [Xα, Yα] = Hα. Portanto, a subálgebra sα
de g gerada por Xα, Yα, Hα é isomorfa a sl2 via (X, Y, H) 7→ (Xα, Yα, Hα).
Assim, podemos considerar g um sl2-módulo via adjunta ad: sα → gl(g).
Fato 8: Considere α, β ∈ R raízes não proporcionais. Seja q o maior inteiro j tal que β + jα é raiz e p o menor inteiro k tal que β + kα é raiz. Então, (a) Para cada i entre p e q, β + iα é raiz; (b) β(Hα) ∈ Z; (c) β − β(Hα)α é
6.1 Decomposição de g 44 Inicialmente, observe que
se j = 0, β + jα = β ∈ R ⇒ q ≥ 0 se k = 0, β + kα = β ∈ R ⇒ p ≤ 0. De na a = q M i=p
gβ+iα, onde gβ+iα = 0 se β + iα /∈ R. Assim, V é um
sα-submódulo de g via
sα× a → a
(Z, X) 7→ ad(Z)X pois,
ad(Xα)gβ+iα = [Xα, gβ+iα] ∈ gβ+(i+1)α ⊂ a
ad(Yα)gβ+iα = [Yα, gβ+iα] ∈ gβ+(i−1)α ⊂ a
ad(Hα)gβ+iα = [Xα, gβ+iα] ∈ gβ+iα ⊂ a.
Pelo Teorema de Weyl, a se decompõe em soma direta de subespaços irredutíveis ad(sα)-invariantes. Vimos que estes subespaços decompõe-se em
soma direta de autoespaços de ad(Hα)(cada um 1-dimensional) com autova-
lores inteiros. Logo, a possui uma base constituída de autovalores de ad(Hα).
Mas, os autovalores de ad(Hα) em a são da forma
(β + (i + 1)α)(Hα) = β(Hα) + iα(Hα) = β(Hα) + 2i,
sendo que o maior autovalor de ad(Hα) em a é (β + iα)(Hα) = β(Hα) + 2q
e o menor (β + iα)(Hα) = β(Hα) + 2p, um o negativo do outro. Portanto,
−(β(Hα) + 2q) = β(Hα) + 2p ⇒ β(Hα) = −(p + q) ∈ Z.
Isto mostra (b). Por outro lado, os números β(Hα) + 2i com p ≤ i ≤ q
(i ∈ Z) são autovalores de ad(Hα), logo gβ+iα 6= 0para todo i com p ≤ i ≤ q,
ou seja, β + iα ∈ R e (a) é válido. Como q ≥ 0 e p ≤ 0, p ≤ p + q ≤ q o que implica, β − β(Hα)α = β + (p + q)α ∈ R e obtemos (c). Finalmente, se
α + β ∈ R a aplicação ad(Xα) : gβ → gβ+α é um isomor smo, pois gβ e gβ+α
são espaços 1-dimensionais não-nulos. Logo, (d) é válido. Fato 9: R é um sistema de raízes e Hα é a raiz inversa de α.
Como g tem dimensão nita, R é nito. Vimos que R gera h pelo Fato 2 e não contem 0 por de nição. Agora, se α ∈ R, de na o endomor smo sα por
6.1 Decomposição de g 45 Lema 5.1.1. Vimos no Fato 8 que β(Hα) ∈ Z, portanto as a rmações são
válidas.
Fato 10: R é um sistema de raízes reduzido.
Já vimos que R é um sistema de raízes, agora suponha que 2α ∈ R e tome Y ∈ g2α não-nulo. Então, [H
α, Y ] = 2α(Hα)Y = 4Y. Por outro lado, vimos
que 3α nunca é raiz, logo ad(Xα)Y ∈ g3α= 0. A igualdade Hα = [Xα, Yα] e
a identidade de Jacobi nos mostra que ad(Hα)Y = [Hα, Y ]
= −[Y, [Xα, Yα]]
= [Xα, [Yα, Y ]] + [Yα, [Y, Xα]]
= ad(Xα)ad(Yα)Y.
Mas, ad(Yα)Y ∈ gα ⇒ ad(Yα)Y é múltiplo de Xα que é aniquilado por
ad(Xα). Assim, obtemos 4Y = ad(Hα)Y = 0, absurdo.
Portanto, a prova do teorema agora está completa. Observação 6.1.2. Note que se tomarmos X = 2hα
(hα,hα) ∈ hα, encontramos α(X) = α 2hα (hα, hα) = 2 (hα, hα) α(hα) = 2 (hα, hα) (hα, hα) = 2.
Assim, o teorema anterior nos diz que Hα = (h2hα,hαα).
Observação 6.1.3. Sabemos que g = h ⊕ Lα∈Rg
α e que cada gα é
1-dimensional. Portanto, B(X, Y ) = Pα∈Rα(X)α(Y )para todo X, Y em h. De fato, considere Zαo elemento gerador de gαe X, Y ∈ h, logo ad(X)ad(Y )Zα =
α(X)α(Y )Zα o que implica
B(X, Y ) =X
α∈R
α(X)α(Y )dim gα =X
α∈R
α(X)α(Y ).
Diante destes fatos, podemos transferir a forma de Killing B|h×h (não-
degenerada) para h∗, tomando (α, β) = B(h
α, hβ) onde hα e hβ são os ele-
mentos correspondentes a α e β, respectivamente, via o isomor smo h ∼= h∗. Vimos que R gera h∗, então tome α
1, . . . , αk ∈ R uma base para h∗. Se
β ∈ R, escrevemos β = Pki=1ciαi (de forma única), onde ci ∈ C. A rmamos
que ci ∈ Q. De fato, considere 1 ≤ j ≤ k, logo
(β, αj) = k X i=1 ciαi, αj ! = k X i=1 (αi, αj)ci ⇒
6.1 Decomposição de g 46 ⇒ (β, α1) ... (β, αk) | {z } A = (α1, α1) · · · (α1, αk) ... ... ... (αk, α1) · · · (αk, αk) | {z } C c1 ... ck | {z } D ,
onde C é a matriz da forma ( , ) que é não-degenerada, ou seja, tem deter- minante não-nulo. Das observações acima, obtemos
(i) B(Hα, Hβ) =
X
α∈R
α(Hα)α(Hβ) ∈ Z, ∀α, β ∈ R.
(ii) B(hα, hα)B(Hα, Hα) = 4. Com efeito,
B(Hα, Hα) = B 2hα B(hα, hα) , 2hα B(hα, hα) = 4 B(hα, hα) ·
(iii) (α, β) ∈ Q. Basta observar que
(α, β) = B(hα, hβ) = B HαB(hα, hα) 2 , HβB(hβ, hβ) 2 = B(hα, hα)B(hβ, hβ) 4 B(Hα, Hβ).
Daí, as entradas das matrizes C−1 e A são números racionais, logo
ci ∈ Q para todo i. Isto mostra que o Q-subespaço EQ de h
∗ gerado pelas
raízes tem dimensão ` = dimCh
∗, ou seja, se S = {α
1, . . . , αn} é base de R,
então R ⊆ Qα1+ . . . + Qαn.
Proposição 6.1.1. A forma ( , ) : EQ× EQ → Q é positiva de nida.
Demonstração. Para todo θ ∈ R, vimos que θ = a1α1 + . . . + anαn com
ai ∈ Q. Daí,
(θ, θ) = B(hθ, hθ) =
P
α∈Rα(hθ) 2 ≥ 0.
Além disso, (θ, θ) = 0 se, e só se, α(hθ)2 = 0 para todo α ∈ R se, e só se,
hθ = 0 (pois R gera h∗) se, e só se, θ = 0.
Assim, tome E o espaço vetorial real obtido estendendo EQ para o
corpo real: E = R ⊗QEQ. A forma ( , ) se estende naturalmente a E e é
positiva de nida, ou seja, E é um espaço euclidiano; R contém uma base de E e dimRE = `.