2o Passo: Vamos construir um g-módulo irredutível a partir de V ω.
Considere Vω como acima e de na Vω− =
P
π6=ω(Vω)π. Lembre que um
g-módulo é equivalente a um U(g)-módulo. Sendo assim, vamos mostrar que todo g-submódulo próprio de Vω está contido em Vω−. Tome V
0 um
g-submódulo próprio de Vω. Por de nição, V0 é estável por g, em particular,
é estável por h o que implica V0 =P
π∈h∗(V0)π. De fato, existe a representa-
ção ρ : g → gl(V0)e sabemos que V0 é estável por h, logo ρ|
h é diagonalizável
(Teorema 2.2.2). Se ρ1(Y1) = ρ|h(Y1)e ρ2(Y2) = ρ|h(Y2)temos que para todo
Z ∈ V: (ρ1(Y1) ◦ ρ2(Y2))(Z) = ρ1(Y1)(ρ2(Y2)Z) = ρ1(Y1)Y2Z = Y1(Y2Z) = [Y1, Y2]Z + Y2(Y1Z) = ρ2(Y2)Y1Z (h é abeliana) = (ρ2(Y2) ◦ ρ1(Y1))(Z).
Isto mostra que os endomor smos ρ|h são simultaneamente diagonalizáveis
e obtemos a decomposição desejada. Se (V0)ω 6= 0, então existe x ∈ V0
não-nulo tal que Hx = ω(H)x para todo H ∈ h. Pelo Teorema 7.3.1, x = λu e consequentemente, u ∈ (V0)ω. Deste modo, obtemos V0 = V
ω que é
um absurso. Daí, V0 = P
π6=ω(V
0)π e V0 ⊂ V−
ω . Isto mostra que todo g-
submódulo próprio de Vω está contido em Vω−. Para nalizar a demostração,
tome o g-submódulo Nω de Vω gerado por todos os g-submódulos de Vω
distintos de Vω(pode acontecer de Nω = 0). Pelo que vimos acima, Nω ⊂ Vω−
e assim, Nω 6= Vω. Portanto, basta tomar Eω = Vω/Nω que é um g-módulo
irredutível com peso mais alto ω. Observação 7.3.1. Os Teoremas 7.3.1 e 7.3.2 mostram que existe uma bije- ção entre os elementos ω ∈ h∗ e as classes dos g-módulos irredutíveis de peso
mais alto.
7.4 Módulos de dimensão nita
Proposição 7.4.1. Seja V um g-módulo de dimensão nita. Então: (a) V =P Vπ (soma direta).
7.4 Módulos de dimensão nita 56 (b) Se π é um peso de V , então π(Hα) é um número inteiro para todo
α ∈ R.
(c) Se V 6= {0}, V contém um elemento primitivo.
(d) Se V é gerado por um elemento primitivo, então V é irredutível. Demonstração. (a): Por hipótese temos a representação ρ : g → gl(V ) e se tomarmos a restrição ρ|h, obtemos endomor smos comutativos e diagonali-
záveis. Logo, são simultaneamente diagonalizáveis e o resultado segue. (b): Tome π um peso de V , logo Vπ 6= 0. Como V é um g-módulo, V também
é um sα-módulo, onde α ∈ R+ e sα = hXα, Yα, Hαi ∼= sl2(C). Aplicando o
Teorema 4.2.3 a este sα-módulo, concluímos que os autovalores de Hα em V
são inteiros.
(c): Como b é solúvel, pelo Teorema de Lie, b possui um autovetor não-nulo que é primitivo.
(d): Tome V1 um g-submódulo próprio de V . Pelo Teorema de Weyl, V se
decompõe da forma V = V1⊕ V2, mas como V é gerado por um elemento
primitivo, V é idecomponível pelo item (4) da Proposição 7.2.2, logo V1 =
{0}. Portanto, V é irredutível. Corolário 7.4.1. Todo g-módulo irredutível de dimensão nita possui peso mais alto.
Demonstração. Segue de (c). Teorema 7.4.1. Sejam ω ∈ h∗ e E
ω um g-módulo irredutível de peso mais
alto ω. Então, Eω tem dimensão nita se, e só se, para todo α ∈ R+ tem-se
que ω(Hα) é um inteiro ≥ 0.
Demonstração. (⇒) Considere Eω um g-módulo irredutível de dimensão -
nita. Se v é elemento primitivo de peso ω de Eω para g, temos também que
v é elemento primitivo para a subálgebra sα gerada por Xα, Yα, Hα. Pelo
Corolário 4.1.2 do Teorema 4.1.1, ω(Hα) é um inteiro ≥ 0.
(⇐) Seja v um elemento primitivo de Eω e i um inteiro entre 1 e n. Tome
mi = ω(Hi) ∈ Z≥0 e vi = Yimi+1v/(mi+ 1)! (2)
Pelo Teorema 6.2.2, Xj e Yi comutam para i 6= j. Logo,
Xjvi = XjYimi+1 v (mi+ 1)! = 1 (mi+ 1)! Ymi+1 i Xjv = 0,
7.4 Módulos de dimensão nita 57 pois
XjYiv = [Xj, Yi]v + YiXjv ⇒ XjYiv = YiXjv ⇒ XjYikv = Y k i Xjv.
Por outro lado,
Xiv = (ω(Hi) − (mi + 1) + 1)vi−1= 0vi−1= 0,
visto que ω(Hi) = mi e Xen= (λ − n + 1)en−1 para en= Yn en!. Deste modo,
se vi 6= 0 temos:
• vi tem peso ω − (mi+ 1)αi, pois vi ∈ g−(mi+1)αi(Eω)ω ⊂ (Eω)ω−(mi+1)αi.
• Xαvi = 0, ∀α ∈ S.
Ou seja, vi é elemento primitivo de Eω que é um absurdo pelo Teorema
7.3.1. Portanto vi = 0. Agora, considere Fi o subespaço de Eω gerado pelos
elementos Yp
i v, onde 0 ≤ p ≤ mi. Assim, Fi tem dimensão nita e é um
sα-submódulo de Eω. De fato, o procedimento anterior mostra que Fi tem
dimensão nita e observe que:
(i) Hi(Yiv) = [Hi, Yi]v + Yi(Hiv) = −2Yiv + ω(Hi)Yiv = (−2 + ω(Hi))Yiv,
logo Hi(Yiv) ∈ Fi.
(ii) Xi(Yiv) = [Xi, Yi]v + Yi(Hiv) = Hiv = ω(Hi)v = ω(Hi)Yi0v ∈ Fi.
(iii) Yi(Yiv) = Yi2v ∈ Fi.
Tome Ti o conjunto dos sα-submódulo de Eω de dimensão nita
(Ti 6= ∅, pois Fi ∈ Ti) e Ei0 =
P
F ∈TiF.
Fato 1: Se F ∈ Ti, então gF ∈ Ti.
Sabemos que g e F tem dimensão nita, logo o mesmo acontece com gF . Por outro lado,
sα(gF ) ⊂ gF ⇒ gF ∈ Ti.
Fato 2: E0
i é um g-submódulo de Eω.
Se x ∈ F ∈ Ti, então gx ∈ gF ∈ Ti (ou seja, gx ∈ Ei0). Visto que qualquer
elemento em E0
i é uma soma de elementos em F ∈ Ti, o resultado segue.
Deste modo, como Eω é irredutível e Ei0 é não-nulo (contém Fi), con-
cluímos que Eω = Ei0, isto é, Eω é uma soma de sα-submódulos de dimensão
nita. Considere Pω o conjunto dos pesos de Eω. Vamos mostrar que Pω é
7.4 Módulos de dimensão nita 58 (1) Pω é invariante sob a simetria si associada a raiz αi: Seja π ∈ Pω e
y ∈ (Eω)π com y 6= 0. Assim, y está contido em algum subespaço de Eω
estável sob sα de dimensão nita. Pelo Teorema 7.3.1, π = ω − P kiαi onde
ki ∈ N e pi = π(Hi) = ω(Hi) | {z } ∈Z≥0(hipótese) − P kiαi(Hi) | {z } ∈Z ∈ Z ⇒ pi ∈ Z. De na x = Ypi i y se pi ≥ 0 e x = X −pi i y se pi ≤ 0. Como y ∈ (Eω)π,
obtemos Hy = π(H)y para todo H ∈ h, em particular, Hiy = π(Hi)y. Caso
pi ≥ 0:
Hix = Hi(Yipiy) = (π(Hi) − 2pi)Yipiy = −π(Hi)x
e assim, devemos ter obrigatoriamente x 6= 0. De fato, sabemos que y ∈ F (F um sα-submódulo de Eω de dimensão nita) e y tem autovalor π(Hi), daí,
o autovalor −π(Hi) também deve ocorrer, isto é, x 6= 0.
De modo análogo, veri ca-se que se pi ≤ 0, então x 6= 0. Note que o
peso de x é π − piαi = π − π(Hi)αi = π − hπ, Hiiαi = si(π), concluímos que
si(π) ∈ Pω. Portanto, Pω é invariante sob a simetria si.
(2) Pω é nito: Seja π ∈ Pω, logo π = ω − P piαi com pi ∈ N. Sabemos que
−S também é uma base para R. Pelo Teorema 5.4.2, existe w ∈ W(R) tal que w(S) = −S, onde w é um produto de simetrias da forma si e vimos que
w(π) ∈ Pω. Daí, w(π) = ω − P qiαi com qi ∈ N e π = w−1(ω) −Xqiw−1(αi) = w−1(ω) + X riαi com ri ∈ Z≥0. Deste modo, ω −P piαi = w−1(ω) +P riαi ⇒ ω − w−1(ω) =P ciαi
para ci = ri + pi. Isto mostra que para todo peso π ∈ Pω tem-se π =
ω −P piαi com pi ≤ ci para todo i (pi, ci ∈ N), isto é, os coe cientes pi são
limitados. Assim, existem nitos pesos em Eω.
Finalizando, vimos que existem nitos pesos em Eω com cada um deles
de multiplicidade nita, onde Eω = P(Eω)π. Portanto, segue que Eω tem
dimensão nita.
Observação 7.4.1. Se π ∈ Pω e w ∈ W(R), então os pesos π e w(π)
possuem as mesmas multiplicidades. Com efeito, considere ρ : g → gl(Eω)a
representação irredutível de dimensão nita, Xα ∈ gα (α ∈ R+), Yα ∈ g−α e
7.4 Módulos de dimensão nita 59 A rmação 1: ad(ρ(Xα)) e ρ(Xα) são endomor smos nilpotentes. De fato,
Xα age de forma nilpotente em Eω, pois se v ∈ (Eω)µ, Xαkv tem peso µ + kα
e como o conjunto de pesos é nito, existe um k tal que µ+kα = 0 (o mesmo argumento se aplica a Yα).
A rmação 2: ead(ρ(Xα)) ∈ Aut(ρ(g)) e eρ(Xα) ∈ GL(E
ω). Usando a regra
de Leibniz para derivações podemos mostrar que ead(ρ(Xα)) ∈Aut(ρ(g)) (veja
[2], página 8). O segundo fato é trivial, pois o endomor smo inverso de eρ(Xα)
é e−ρ(Xα).
A rmação 3: ead(ρ(Xα))ρ(Z) = eρ(Xα)ρ(Z)e−ρ(Xα). Basta lembrar que ad(ρ(X
α))Z =
ρ(Xα)Z − Zρ(Xα) = (Lρ(Xα)− Rρ(Xα))Z (Lρ(Xα) e Rρ(Xα) são endomor smos
que comutam). Daí,
ead(ρ(Xα))= eLρ(Xα)e−Rρ(Xα) = L
eρ(Xα)Re−ρ(Xα),
e a a rmação é válida.
A rmação 4: Considere as aplicações
τα = ead(ρ(Xα))ead(−ρ(Yα))ead(ρ(Xα)) ∈Aut(ρ(g)),
ηα = eρ(Xα)e−ρ(Yα)eρ(Xα) ∈GL(Eω).
Então, τα(ρ(Z)) = ηαρ(Z)ηα−1. A veri cação é imediata usando a a rmação
3.
A rmação 5: τα(ρ(H)) = ρ(H − α(H)Hα) para H ∈ h. Com efeito,
ead(ρ(Xα))ρ(H) = ρ(H) + [ρ(X α), ρ(H)] = ρ(H) + ρ([Xα, H]) = ρ(H) + ρ(−α(H)Xα) = ρ(H − α(H)Xα), ead(−ρ(Yα))ead(ρ(Xα))ρ(H) = ρ(H − α(H)Xα) + ρ([H − α(H)Xα, Yα]) + 1 2ρ([[H − α(H)Xα, Yα], Yα]) = ρ(H − α(H)Xα− α(H)Yα− α(H)Hα+ 1 22α(H)Yα) = ρ(H − α(H)Hα− α(H)Xα) e nalmente τα(ρ(H)) = ead(ρ(Xα))ρ(H − α(H)Hα− α(H)Xα) = ρ(H − α(H)Hα− α(H)Xα− α(H)Xα+ 2α(H)Xα) = ρ(H − α(H)Hα).
7.4 Módulos de dimensão nita 60 A rmação 6: dim Eµ
ω =dim E w(µ)
ω para todo w ∈ W e µ ∈ Pω. É su ciente
mostrar este fato para w = sα com α ∈ R+. Tome v ∈ (Eω)µ não-nulo e
H ∈ h, logo
sαµ(H)v = (µ−µ(Hα)α)(H)v = µ(H−α(H)Hα)v = τα(ρ(H))v = ηαρ(H)η−1α v.
Assim, ρ(H)(η−1
α v) = sαµ(H)ηα−1v para todo H ∈ h. Isto signi ca que,
ηα−1v ∈ (Eω)w(µ), ou seja, ηα−1((Eω)µ) ⊆ (Eω)w(µ). Por outro lado,
ηα−1((Eω)w(µ)) ⊆ Ew
2(µ)
ω = E
µ ω.
Portanto, ηα((Eω)µ) = (Eω)w(µ) e o resultado é válido.
De nição 7.4.1. (i) Λ = ΛW = {λ ∈ h∗ | λ(Hi) ∈ Z, ∀i = 1, . . . , n} é
chamado reticulado dos pesos.
(ii) λ ∈ Λ é dito peso dominante se λ(Hi) ∈ Z≥0, ∀i = 1, . . . , n. O
conjunto dos pesos dominantes é denotado Λ+.
(iii) Seja {Hi} base de h e {ωi} base dual de h∗, ou seja, ωi(Hj) = δij. Os
pesos ωi são chamados pesos fundamentais do sistema de raízes R
(com respeito a S).
Observação 7.4.2. Note que por de nição: ωi ∈ Λ+, Λ = Zω1+ · · · + Zωn
e Λ+ = Z
61
8 Fórmulas de Freudenthal e Weyl
Esta seção contém o objetivo principal deste trabalho. Iremos desen- volver alguns métodos para descrever as representações das álgebras de Lie semissimples, como por exemplo, podemos calcular a dimensão destas usando a teoria de pesos e raízes via fórmulas de Freudenthal e Weyl. Algumas des- tas aplicações serão feitas para a álgebra de Lie excepcional g2 na próxima
seção. Caso menção ao contrário, vamos adotar as seguintes notações: • g é uma álgebra de Lie semissimples sobre K de dimensão n, onde K
é um corpo algebricamente fechado de característica zero. • h é subálgebra de Cartan de g, logo temos a decomposição
g= h ⊕M
α∈R
gα,
onde R é o sistema de raízes associado a h e W seu grupo de Weyl. • B é a forma de Killing de g e ( , ) : h∗ × h∗ → K e a forma bilinear
não-degenerada induzida por B via o isomor smo h ∼= h∗. • Para cada α ∈ R, considere hα∈ h de forma que α = B(hα, ).
• Hα =
2hα
(α, α) ∈ h.
• S = {α1, . . . , αn} é uma base para R. Assim, temos a decomposição
R = R+∪R˙ − (união disjunta) e denominamos os elementos de R+ por
raízes positivas. Note que R−= −R+.
• ρ = 1 2 X α∈R+ α. • n = X α>0 gα, n− =X α>0 g−α e b = h ⊕ n. Deste modo, g = n−⊕ h ⊕ n = n−⊕ b.
• Γλ o g-módulo irredutível de peso mais alto λ e mµ a dimensão do
8.1 Câmaras de Weyl 62 Sejam π, µ ∈ E (E como na Subseção 6.1) e de na a relação de ordem parcial em E: dizemos que π é maior ou igual que µ, escrevemos π ≥ µ, se π − µ = P kiαi, onde ki ∈ N para todo i. Sabemos que os pesos de Γλ são
da forma π = λ − P niαi com ni ∈ N para todo i, logo λ ≥ π para todo peso
π de Γλ.
8.1 Câmaras de Weyl
Nesta subseção, g é uma álgebra de Lie qualquer de dimenção nita. Para cada α ∈ R, de na Pα = {λ ∈ h∗ | (λ, α) = 0}, ou seja, o hiperplano
ortogonal a α que particionam E em duas regiões.
De nição 8.1.1. O fecho das componentes conexas de E − Sα∈RPα são
chamadas câmaras de Weyl (fechadas) de E.
Por de nição, cada γ ∈ E − Sα∈RPα pertence a uma câmara de Weyl
e a denotemos por C(γ). Dizer que C(γ) = C(γ0)signi ca que γ e γ0 vivem
no mesmo lado de cada hiperplano Pα com α ∈ R, ou seja, R+γ = R+γ0 ou
Sγ = Sγ0 (notação utilizada em 5.4). Isto mostra que as câmaras de Weyl
estão em correspondência 1-1 com as bases.
Lema 8.1.1. Seja C = {x ∈ E | (x, β) ≥ 0, ∀β ∈ R+}. Então, C é uma
câmara de Weyl.
Demonstração. Inicialmente, considere Pλ1, . . . , Pλk os hiperplanos possíveis.
Sabemos que C está contida em alguma câmara de Weyl C0, pois caso con-
trário, existiria x ∈ C tal que (x, α) < 0 para algum α ∈ S. Considere que C ⊆ C0, mas C0 * C. Logo, existe x ∈ C0 tal que x /∈ C e isto signi ca
que (x, β) < 0 para algum β ∈ S. De na a função fβ : C0 → R dada por
fβ(γ) = (γ, β). Assim, fβ é contínua e como C0 é compacto, podemos usar
o Teorema do Valor Intermediário. Daí, existe c ∈ C0 tal que fβ(c) = 0, em
outras palavras, existe um hiperplano diferente dos mencionados que passa na região interior de C0, absurdo. Portanto, C é uma câmara de Weyl.
De nição 8.1.2. A câmara de Weyl considerada no lema anterior é chamada câmara fundamental de Weyl.
Proposição 8.1.1. Um peso λ é dominante se, e só se, está na câmara fundamental de Weyl.
8.2 Caracteres 63 Lema 8.1.2. Se β ∈ E, então existe w ∈ W tal que (w(β), α) ≥ 0 para todo α ∈ S. Em particular, todo elemento x ∈ E está na W-órbita de um peso dominante.
Demonstração. Fixe β ∈ E e considere w ∈ W tal que (w(β), ρ) é máximo. Então, para todo α ∈ S:
(sαw(β), ρ) = (w(β), sα(ρ)) = (w(β), ρ−α) = (w(β), ρ)−(w(β), α) ≤ (w(β), ρ).
Portanto, o resultado é válido. Exemplo 8.1.1. A primeira gura ilusta o sistema de raízes do tipo A2
juntamente com os hiperplanos Pγ para γ ∈ R. Já a segunda, exempli ca
a câmara fundamental de Weyl. Note que neste caso, existem 6 câmaras de Weyl.
8.2 Caracteres
Considere Λ o reticulado dos pesos que é subgrupo de h∗ relativo a
soma.
De nição 8.2.1. Seja G um grupo abeliano e {ei}i∈I uma família de ele-
mento de G. Dizemos que esta família é uma base para G se é não-vazia e todo elemento x ∈ G pode ser escrito de forma única como
x =Xxiei,
onde xi ∈ Z e xi = 0 para quase todo i, ou seja, a soma é nita. Assim, um
grupo abeliano é livre se possui base e neste caso, é imediato que se Zi = Z
para todo i, temos o isomor smo G ∼=L
8.2 Caracteres 64 Assim, Λ é um grupo abeliano livre com base formada pelos pesos fundamentais ω1, . . . , ωn.
Observação 8.2.1. Se λ é um peso tal que λ(Hα) ∈ Z≥0 para todo α ∈ R+,
então Γλ tem dimensão nita e o conjunto dos seus pesos é subconjunto de
Λ.
Observação 8.2.2. Note que ρ = P ωi, em particular, ρ ∈ Λ+. De fato, já
sabemos que si(ρ) = ρ − αi, mas também
si(ρ) = ρ − hαi∗, ρiαi = ρ − ρ(Hi)αi.
Comparando as duas igualdades acima, concluímos que ρ(Hi) = 1 para todo
i, logo ρ = P ωi.
De nição 8.2.2. Sejam A um anel comutativo, G um grupo e o conjunto A[G] =
( X
x∈G
axx | ax ∈ A e ax = 0 para quase todo x ∈ G
) .
De nimos a adição em A[G] da forma Px∈Gaxx +
P y∈Gbyy = P x∈G(ax+ bx)x e a multiplicação por Px∈Gaxx P y∈Gbyy =P z=xyczz, onde cz = P
z=xyaxby. Com estas operações, A[G] é um anel com unidade 1 · e (e é o
elemento neutro de G) e todo elemento neste anel é escrito de forma única em termos dos elementos de G. Chamamos A[G] de álgebra de grupo.
Considere a álgebra de grupo Z[Λ]. Aditivamente, Z[Λ] é um grupo abeliano livre gerado pelos elementos de Λ. Agora, vamos dar uma estrutura multiplicativa para Λ fazendo corresponder cada λ ∈ Λ por eλ de modo que
um elemento f ∈ Z[Λ] é da forma f =X
λ∈Λ
aλeλ, onde aλ é nulo para quase todo λ ∈ Λ
e nesta notação, eλeπ = eλ+π. Por de nição, Z[Λ] possui base {eπ} π∈Λ e temos o isomor smo Z[Λ] ∼= Z[T1±1, . . . , T ±1 n ] eω i 7→ Tiω.
Observação 8.2.3. O grupo de Weyl W age naturalmente em Z[Λ] via w ·X λ aλeλ = X λ aλew(λ), ∀w ∈ W.
8.2 Caracteres 65 De nição 8.2.3. Considere V um g-módulo de dimensão nita. Para cada π peso de V , tome mπ = dim Vπ a multiplicidade de π em V . O elemento
ch(V ) =X
π∈Λ
mπeπ ∈ Z[Λ]
é chamado caractere de V . Note que este elemento está bem de nido, pois os mπ's são quase todos nulos e pela Proposição 7.4.1, cada peso de V
pertence a Λ. Caso V é a representação de peso mais alto λ ∈ Λ+, escrevemos
simplesmente ch(V ) = chλ.
Proposição 8.2.1. (a) ch(V ) é invariante sob o grupo de Weyl W. (b) Temos que
ch(U ⊕ V ) = ch(U ) + ch(V ) e ch(U ⊗ V ) = ch(U) · ch(V ). (c) Dois g-módulos de dimensão nita U e V são isomorfos se, e só se,
ch(U ) = ch(V ).
Demonstração. (a): Sabemos que w · eµ= ew(µ) e dim Vµ=dim Vw(µ) para
todo w ∈ W. Logo, w ·ch(V ) = w · X π∈Λ mπeπ ! =X π∈Λ mπew·π = X µ∈Λ mw−1·µeµ = X µ∈Λ mµeµ.
Note que quando fazemos a substituição µ = w · π, π e µ são tomados no mesmo conjunto de elementos. Portanto, w · ch(V ) = ch(V ).
(b): Para a primeira a rmação, basta observar que (U ⊕ V )π = Uπ⊕ Vπ. Já
na segunda, se P (V ) representa o conjunto dos pesos de V , então P (U ⊗V ) = {π + µ | π ∈ P (U ) e µ ∈ P (V )} e consequentemente, (U ⊗ V )π = M π=α+β (Uα⊗ Vβ). Isto é, dim (U ⊗ V )π = X π=α+β
8.3 O anel de representações 66 (c): (⇒) Trivial.
(⇐)A prova será feita por indução em dim U. Se dim U = 0 (U = 0), então ch(V ) = ch(U) = 0, ou seja, dim V = 0 (V = 0) e consequentemente, U ∼= V. Denote PU o conjunto dos pesos de U, logo PU = PV (pois ch(U) = ch(V )).
Temos que PU 6= ∅ e é nito, assim, existe ω ∈ PU tal que ω + αi ∈ P/ U para
todo i. Se u ∈ Uω é não-nulo, u é elemento primitivo, pois X
αiu ∈ U
ω+αi = 0.
Pela Proposição 7.4.1, o submódulo U1 de U gerado por u é irredutível e tem
peso mais alto ω; pelo Teorema de Weyl, temos que U = U1⊕U2, onde U2é um
submódulo de U. De modo análogo, obtemos V = V1⊕ V2 com V1 irredutível
de peso mais alto ω. Como U1 e V1 possuem o mesmo peso mais alto, eles
são isomorfos (Teorema 7.3.1) o que implica ch(U1) =ch(V1). Usando o item
(b), concluímos que ch(U2) = ch(V2) e pela hipótese de indução, U2 ∼= V2.
Portanto, U ∼= V.
8.3 O anel de representações
Seja Z[Λ]W a subálgebra de Z[Λ] formada pelos elementos invariantes
sob a ação de W.
De nição 8.3.1. O anel de representações de g, denotado por R(g), é um grupo abeliano livre das classes de isomor smo [V ] de representações V com dimensão nita módulo a relação
[V ] + [W ] = [V ⊕ W ].
Pelo Teorema de Weyl, segue que R(g) é gerado pelas classes [V ] de repre- sentações irredutíveis. A multiplicação em R(g) é de nida por
[V ] · [W ] = [V ⊗ W ].
Observação 8.3.1. O conceito de anel de representações também é válido para os grupos nitos (veja [7], capítulo 9) e, até mesmo, para os grupo de Lie compactos como mostra [8]. Neste contexto, considere G um grupo de Lie com álgebra de Lie g e subgrupo de Cartan H. Para qualquer g-módulo V , a imagem de [V ] ∈ R(g) em Z[Λ] nos fornece o caracter formal de V . O porquê da terminologia caracter vem do seguinte: se X ∈ h, então exp(X) ∈ H age no espaço de peso Vµ como multiplicação dada por exp(µ(X)). Temos
portanto o seguinte resultado (note que uma representação ρ : G → GL(V ) é sempre determinada pelo caracter de sua restrição ao subgrupo de Cartan H):
8.3 O anel de representações 67 Proposição 8.3.1. Se χ(V ) = P mαeα é o caracter formal, então o traço
de exp(X) em V é dado por X
mαexp(α(X)).
Pela Proposição 8.2.1, a aplicação
ch : R(g) → Z[Λ] [V ] 7→ P
dim(Vλ)eλ
é um homomor smo de anéis, onde Vλ é o espaço de peso; ch manda a
unidade C de R(g) na unidade 1 = e0 em Z[Λ]; a invariância de ch(V ) sob a
ação do grupo de Weyl implica que ch(R(g)) ⊆ Z[Λ]W.
Como os elementos de Z[Λ] são escritos de forma única como combina- ção linear dos eµ e toda representação é determinada pelos seus espaços de
peso juntamente com suas multiplicidades, a aplicação ch é injetiva. Nosso próximo passo é mostrar que R(g) ∼= Z[Λ]W. Para isto, considere os pesos fundamentais ω1, . . . , ωn e Γ1, . . . , Γn as classes em R(g) das representações
irredutíveis de peso mais alto ω1, . . . , ωn, respectivamente.
Proposição 8.3.2. Todo elemento f ∈ Z[Λ] que é xado pela ação do grupo de Weyl W pode ser expresso de forma única como uma combinação Z-linear dos chλ tais que λ ∈ Λ+.
Demonstração. Considere f = cλ1e
λ1 + · · · + c
λme
λm ∈ Z[Λ]W, onde c
λi 6= 0
para todo i = 1, . . . , m e de na o conjunto Mf dos elementos µ ∈ Λ+ tais
que µ ≤ λi para todo λi ∈ Λ+ com cλi 6= 0.
A rmação 1: Mf é nito. Fixe λ ∈ Λ+. Vamos mostrar que o número de
pesos dominantes µ ≤ λ é nito. Por hipótese, λ + µ ∈ Λ+ e λ − µ é soma de
raízes simples com coe cientes naturais. Logo, 0 ≤ (λ + µ, λ − µ) = (λ, λ) − (µ, µ). Deste modo, µ pertence ao conjunto A = {x ∈ E | (x, x) ≤ (λ, λ)}. Como A é limitado e fechado (f : E → R≥0dada por f(x) = (x, x) é contínua
e f−1([0, (λ, λ)]) = A), segue que A é compacto. Agora, considere o conjunto
discreto Λ+ (um conjunto Y ⊂ X é dito discreto se não possui pontos de
acumulação) que é fechado por vacuidade. Assim, A ∩ Λ+ é compacto, pois é
limitado e fechado. Nosso próximo passo é mostrar que A ∩ Λ+ é nito. Para
isto, se z ∈ Λ+, então existe uma vizinhança Y
z de z tal que Yz∩ Λ+ = {z}.
Deste modo, Y = {Yz| z ∈ Λ+}é uma cobertura aberta de Λ+, em particular,
de A ∩ Λ+. Visto que A ∩ Λ+ é compacto, Y possui uma subcobertura
8.3 O anel de representações 68 propriedade de que Xk∩ Λ+ contém exatamente um ponto, logo A ∩ Λ+∩ Xk
contém no máximo um ponto. Daí, (A ∩ Λ+) ∩ n [ k=1 Xk= n [ k=1
(A ∩ Λ+∩ Xk) contém no máximo n pontos.
Como A ∩ Λ+⊆ n [ k=1 Xk, obtemos que A ∩ Λ+ = (A ∩ Λ+) ∩ n [ k=1 Xk contém no
máximo n pontos e, portanto, é nito.
A prova desta proposição é feita por indução no número de elementos do conjunto Mf.
A rmação 2: Se Mf = ∅, então f = 0. De fato, suponha f 6= 0. Logo,
existe λk ∈ Λ tal que cλk 6= 0 e pela Lema 8.1.2, existe w ∈ W tal que
w · λk = πk ∈ Λ+. Como f é invariante sob a ação de W (w · f = f, para
todo w ∈ W) e a expressão de f é única, concluímos que se f 6= 0, então algum dos λi é dominante com cλi 6= 0. Assim, se λs é o menor destes, temos
que λs ∈ Mf, ou seja, Mf 6= ∅.
Agora, tome γ ∈ Λ+ o maximal dos elementos λ ∈ Λ+ tais que c λ 6= 0
e de na g = f − cγchγ (note que g satisfaz as hipóteses da proposição).
A rmação 3: Mg & Mf. Com efeito, seja
g = cλ1e λ1 + · · · + c λne λn+ c γeγ+ Θ | {z } f −cγ(mβ1e β1 + · · · + m βke βk + eγ+ Ω) | {z } chγ ,
onde Θ e Ω são as partes não-nulas de f e chγ, respectivamente, em que
não aparecem os pesos dominantes. Na expressão anterior de g, estamos considerando todos os cλi e mβ1 não-nulos. Tome x ∈ Mg, logo, x ∈ Λ
+ e x ≤
λ1, . . . , λn, β1, . . . , βk onde cλi 6= 0 (∀i = 1, . . . , n) e mβj 6= 0 (∀j = 1, . . . , k).
Isto implica que x ≤ γ (os pesos dominantes que aparecem na expressão de chγ são todos menores que γ) e portanto, x ∈ Mf. Mas, γ /∈ Mg, pois
γ > λ1, . . . , λn, β1, . . . , βk.
Por indução, a proposição é válida para g e, consequentemente, para f. Agora, suponha que f possua duas expressões
a1chλ1 + · · · + anchλn = b1chβ1 + · · · + bmchβm, (1)
onde m ≥ n, λ1 > · · · > λn e β1 > · · · > βm. Inicialmente, note que os pesos
que ocorrem do lado esquerdo de (1) também devem ocorrer do lado direito, pois os elementos chλ são escritos de forma única como combinação dos eπ's.
8.3 O anel de representações 69 Diante disso, o peso mais alto que ocorre do lado esquerdo de (1) também deve ocorrer do lado direito. Assim, λ1 = β1 e consequentemente, a1 = b1,
pois o coe ciente de eλ1 é a
1 e o de eβ1 é b1. Subtraindo a1eλ1 de ambos
os lado, encontramos uma nova igualdade de modo que o peso mais alto à esquerda é λ2 e à direita, eβ2. Pelo mesmo procedimento acima, concluímos
que λ2 = β2 e a2 = b2. Repetindo este processo n vezes, encontramos que
λi = βi e ai = bi para todo i = 1, . . . , n. Além disso, bk = 0 para todo
n < k ≤ m. Portanto, f é escrito de forma única. Teorema 8.3.1. (a) R(g) é o anel de polinômios nas variáveis Γ1, . . . , Γn.
(b) O homomor smo R(g) → Z[Λ]W é um isomor smo. Em particular, Z[Λ]W é o anel de polinômios nas variáveis ch(Γ1), . . . , ch(Γn).
Demonstração. Considere as variáveis U1, . . . , Un e as aplicações
Z[U1, . . . , Un] → R(g) → Z[Λ]W
Ui 7→ Γi.
Se esta composição é um isomor smo, visto que a segunda aplicação é inje- tiva, temos que as duas aplicações são isomor smo. A proposição anterior nos diz que todo elemento f ∈ Z[Λ]W é da forma f = a
1chλ1 + · · · + akchλk
para ai ∈ Z e λi ∈ Λ+. Tome λj com j = 1, . . . , k e considere os casos:
Caso 1: Se Vλj = V1⊗ · · · ⊗ Vk, então ch(V1 ⊗ · · · ⊗ Vk) =ch(V1) · · ·ch(Vk)
pela Proposição 8.2.1. Agora, usamos o Teorema de Weyl para decompor os Vi's na soma das representações irredutíveis Γ1, . . . , Γn e aplicamos nova-
mente a Proposição 8.2.1 para obter chλj como soma de monônimos do tipo
Qch(Γ
i)mi.
Caso 2: Se Vλj não é igual ao produto tensorial de representações, basta
aplicar o Teorema de Weyl e a Proposição 8.2.1 à Vλj para encontrar a ex-
pressão:
chλj =ch(Vλj) = ch(rj1(Γ1) ⊕ · · · ⊕ rjnΓn) = rj1ch(Γ1) + · · · + rjnch(Γn),
(aqui usamos o abuso de notação rjs(Γs) para representar rjs vezes a soma
de Γs) para todo j = 1, . . . , k. Assim, concluímos que Z[Λ]W é o anel de
polinômios nas variáveis ch(Γ1), . . . ,ch(Γn)e o resultado segue.
Exemplo 8.3.1. Vimos que quando g = sl(2, C), as representações irredu- tíveis são da forma
8.3 O anel de representações 70 A álgebra de grupo Z[Λ] é isomorfa a Z[t, t−1]com em = tm. Como g possui
somente uma raiz, o grupo de Weyl é formado por dois elementos, sendo que o elemento não-trivial age em Z[Λ] por t ↔ t−1. Pelo teorema anterior, o
anel de representações de g é Z[Γ1] = Z[W1], pois ω1 = 12α e ω1(H) = 1 (ou
seja, Γ1 é a representação irredutível de peso mais alto 1). Pela equação (1),
ch(Wm) = tm+ tm−2+ · · · + t−(m−2)+ t−m =
tm+1− t−(m+1)
t − t−1 ·
Assim, Z[Λ]W = Z[ch(Γ
1)] = Z[t + t−1]. Note ainda que
ch(Wn⊗ Wm) = ch(Wn) ·ch(Wm) = (tn+1− t−n−1)(tm+1− t−m−1) (t − t−1)2 = t m+n+2− tm−n+ t−m−n−2− tn−m (t − t−1)2 ·
Exemplo 8.3.2 (Generalização do exemplo anterior). Se g = sln+1 é a ál-
gebra de Lie das matrizes quadradas de ordem n + 1 sobre C e traço nulo, então a subálgebra h ⊂ g das matrizes diagonais H = diag(a1, . . . , an+1)com
P ai = 0 é uma subálgebra de Cartan. Além disso,
h∗ = C{L1, . . . , Ln+1} (L1+ · · · + Ln+1 = 0) , sendo que Li a1 0 · · · 0 0 a2 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · an+1 = ai.
Logo, as raízes de g são dadas por αi,j = Li − Lj (i 6= j) e o conjunto dos
αi = αi,i+1 (1 ≤ i ≤ n) formam uma base para o sistema de raízes R de
g. Os elementos Hi que correspondem a αi via o isomor smo h∗ ∼= h são
matrizes com entradas ai = 1, ai+1 = −1 e aj = 0 se j 6= i, i + 1 e os pesos
fundamentais são ωi = L1+ · · · + Li. Deste modo, gαi,j = heiji(eij é a matriz
com entrada 1 na posição (i, j) e 0 nas remanescentes) e Λ = Z{L1, . . . , Ln+1}
(L1+ · · · + Ln+1 = 0)
·
Considere Γi a representação irredutível de peso mais alto ωi e de na xi =
eLi ∈ Z[Λ]. Veri ca-se que Γ 1 = V = Cn+1, Γ2 = V2 V, . . . , Γn = Vn V, com V a representação fundamental de g. O caractere de Γk é P eα, sendo que
α é soma de k diferentes Li para 1 ≤ i ≤ n + 1. Logo, ch(Γk) = Ak, onde Ak
é a k-ésima função elementar nas variáveis x1, . . . , xn+1. Também, o grupo
de Weyl é o grupo simétrico Sn+1 que age em Z[Λ] permutando os índices e
pelo Teorema 8.3.1,
8.4 Fórmula de Freudenthal 71 Teorema 8.3.2 (Clebsch-Gordon). Se Wi é o sl2(C)-módulo irredutível de
dimensão i + 1 e m > n, então
Wn⊗ Wm ∼= Wn+m⊕ Wn+m−2⊕ Wn+m−4⊕ · · · ⊕ Wm−n.
Demonstração. Basta calcular o caractere da parte à direita da igualdade e comparar ao que encontramos no Exemplo 8.3.1.
8.4 Fórmula de Freudenthal
Considere uma representação injetiva ϕ : g → gl(V ) de g e de na a forma bilinear simétrica associativa β(X, Y ) = tr(ϕ(X)ϕ(Y )). Denote S = Rad(β). A rmamos que β é não-degenerada. De fato, temos o isomor smo g ∼= ϕ(g) e fazendo ϕ|S obtemos S ∼= ϕ(S). Também,
β(X, Y ) = tr(ϕ(X)ϕ(Y )) = 0, ∀ϕ(X), ϕ(Y ) ∈ ϕ(S)
pela de nição de S. Em particular, β(X, Y ) = 0 para todo ϕ(X) ∈ [ϕ(S), ϕ(S)] ⊂ ϕ(S)e ϕ(Y ) ∈ ϕ(S). Pelo Critério de Cartan, ϕ(S) é solúvel, logo S é solúvel. Portanto, S = 0 pois g é semissimples.
Assim, se {Xi}ni=1 é uma base de g, existe {Yi}ni=1 outra base de g que
é dual a anterior com respeito a β, ou seja, β(Xi, Yj) = δij.
De nição 8.4.1. Deste modo, o elemento de Casimir (em relação a ϕ) é dado por
cϕ =P ϕ(Xi)ϕ(Yi) ∈ End(V ),
onde {Xi}ni=1 e {Yi}ni=1 são bases de g duais em relação a forma de Killing.
Proposição 8.4.1. (a) O elemento de Casimir cϕindepende da base {Xi}ni=1.
(b) Se ϕ é uma representação irredutível de g, pelo Lema de Schur, cϕ(v) = λv com λ ∈ K.
(c) c é um endomor smo de V que comuta com qualquer outro endomor- smo de V , isto é, [γ, c] = 0 para todo γ ∈ End(V ).
8.4 Fórmula de Freudenthal 72 Se considerarmos a forma de Killing B (bilinear, simétrica, alternada e não-degenerada), já vimos que B|h×h é não-degenerada, assim, tome {Hi}ri=1
e {H0
i}ri=1 bases de h duais em relação a B. Pela decomposição de g em
espaços de raízes, para obtermos uma base de g basta tomar Xα ∈ gα
(1-dimensional), logo {Hi}ri=1∪{Xα}α∈Ré base de g. Agora, se Yα ∈ g−α, con-
sidere a subálgebra de g isomorfa ao sl2 gerada pelos elemtentos Xα, Hα, Yα
e de na X0 α = (α,α) 2 Yα. Daí, {H 0 i}ri=1∪ {X 0
α}α∈R é base de g dual a anterior
(com respeito a B). De fato, B(Xα, Xα0) = B Xα, (α, α) 2 Yα = (α, α) 2 B(Xα, Yα) = (α, α) 2 2 (α, α) = 1 e o resultado segue pelo Teorema 6.1.2. Deste modo, o elemento de Casimir em relação à ad é: cad = r X i=1 ad(Hi)ad(Hi0) + X α∈R ad(Xα)ad(Xα0)
e esta construção nos sugere considerar o elemento cg= r X i=1 HiHi0 + X α∈R XαXα0 ∈ U(g).
Se estendermos ad a um homomor smo de álgebras associativas ad: U(g) → End(g), então ad(cg) = cad. Assim, chamamos cad de elemento
universal de Casimir de g e o denotamos simplesmente por c.
Na demonstração da Fórmula de Freudenthal, vamos precisar dos se- guintes lemas:
Lema 8.4.1. Sejam V e W dois espaços vetoriais de dimensão nita. Se A : V → W e B : W → V são operadores lineares, então
trV(BA) = trW(AB).
Demonstração. Considere dim V = n e dim W = m. Fixando uma base para V e W , as matrizes dos operadores BA : V → V e AB : W → W são respectivamente (BA)ki = m X j=1 BkjAji e (AB)pq = n X r=1 AprBrq
8.4 Fórmula de Freudenthal 73 para k, i = 1, . . . , n e p, q = 1, . . . , m. Deste modo,
trV(BA) = n X k=1 (BA)kk = n X k=1 m X j=1 BkjAjk = m X j=1 n X k=1 AjkBkj = m X j=1 (AB)jj =trW(AB). Lema 8.4.2. Seja Γλ o g-módulo irredutível de peso mais alto λ ∈ Λ+ e µ
um peso de Γλ tal que λ 6= µ. Então,
(µ + ρ, µ + ρ) < (λ + ρ, λ + ρ). A igualdade é válida se, e só se, µ = λ.
Demonstração. A ideia da prova é: dado um peso µ com λ 6= µ, podemos encontrar um peso µ0 tal que µ < µ0 e a inequação
(µ + ρ, µ + ρ) < (µ0+ ρ, µ0+ ρ)
é válida. Sendo assim, considere µ com λ 6= µ. Um possível candidato para µ0 é a simetria com αi que é um peso de Γλ pelo argumento abordado no
Teorema 7.4.1. Relembre que
µ0 = si(µ) = µ − hα∗i, µiαi = µ − 2 (αi, µ) (αi, αi) αi. Daí, (µ0+ ρ, µ0+ ρ) = (µ − hα∗i, µiαi, µ − hα∗i, µiαi) = (µ + ρ, µ + ρ) − 2(µ + ρ, hα∗i, µiαi) + hα∗i, µi 2(α i, αi).
Usando que 2(αi, µ) = hα∗i, µi(αi, αi), obtemos
(µ0+ ρ, µ0+ ρ) − (µ + ρ, µ + ρ) = −2(µ + ρ, hα∗i, µiαi) + hα∗i, µi
2
(αi, αi)
= −2hα∗i, µi(αi, µ) − 2hα∗i, µi(αi, ρ) + hα∗i, µi2(αi, αi)
= −hα∗i, µi2(αi, αi) − 2hα∗i, µi(αi, ρ) + hα∗i, µi 2(α i, αi) = −2hα∗i, µi(αi, ρ). De 1 = hα∗ i, ρi = 2 (αi,ρ)
(αi,αi), segue que (αi, ρ) > 0. Além disso, hα
∗
i, µi = µ(Hi)
é um número real. Deste modo, se existe um i tal que hα∗