Fórmula de Caractere para Álgebras de Lie Semissimples de Dimensão Finita

Universidade Federal de Minas Gerais

Centro de Ciências Exatas

Departamento de Matemática

Fórmula de Caractere para

Álgebras de Lie Semissimples de

Dimensão Finita

Gustavo Pereira Gomes

Belo Horizonte 2014

Universidade Federal de Minas Gerais

Centro de Ciências Exatas

Departamento de Matemática

Fórmula de Caractere para

Álgebras de Lie Semissimples de

Dimensão Finita

Discente: Gustavo Pereira Gomes Orientador: Prof. Dr. André Gimenez Bueno

Dissertação orientada pelo Prof. Dr. André Gimenez Bueno e apre-sentada à Universidade Federal de Minas Gerais, como parte dos requisitos necessários para a conclusão do mestrado em Matemá-tica.

Belo Horizonte 2014

iii

Agradecimentos

A Deus pelas oportunidades.

Aos meus pais Cleamárcia e Fabiano, meus irmãos Camila e Victor e famili-ares pelo carinho e apoio.

A minha namorada Gabrielle pela paciência, companheirismo e amor. Aos colegas, amigos e professores da UFMG, em especial ao professor André, que zeram parte desta caminhada.

Aos meus antigos professores, em especial aos professores Rosivaldo e Sebas-tião, que acreditaram no meu potencial.

iv

Resumo

O objetivo principal deste trabalho é descrever as representações de álgebras de Lie semissimples g sobre C de dimensão nita, onde g também tem dimensão nita. Inicialmente, é necessário o estudo das subálgebras de Cartan, juntamente da teoria de raízes, que nos leva à seguinte decomposição:

g= h ⊕M

α∈R

gα,

onde h ⊂ g é uma subálgebra de Cartan. Ao mesmo tempo, as fórmu-las de Freudenthal e Weyl nos mostra as dimensões destas representações citadas acima. Além disso, apresentamos a teoria de caractere e anel de re-presentações com o objetivo de obter ferramentas que auxiliam no estudo das representações de álgebras de Lie.

Palavras-chave: álgebra de Lie semissimples; representações; fórmula de Weyl; caractere; anel de representações.

v

Abstract

The goal of this work is describe the nite dimensional representations of semisimple Lie algebras g over C, where g also has nite dimension. Initi-ally, is necessary the study of Cartan subalgebras, together of root systems, which leads to decomposition:

g= h ⊕M

α∈R

gα,

where h ⊂ g is a Cartan subalgebra. At the same time, Freudenthal's and Weyl's formulas give us the dimensions of these representations mentioned above. Moreover, we present the theory of characters and representation ring as tools that help us understand of representations of Lie algebras.

Key-words: semisimple Lie algebra; representations; Weyl's formula; cha-racter; representation ring.

vi

Introdução

O objetivo deste trabalho é estudar as álgebras de Lie semissimples de dimensão nita sobre C, bem como suas representações de dimensão nita. Deste modo, o principal resultado mencionado nesta dissertação é a obtenção da Fórmula de Weyl para o cálculo da dimensão destas representações citadas acima.

O único pré-requisito para o entendimento deste trabalho é a Álgebra Linear e Multilinear. Por exemplo, usamos constantemente os conceitos de produto tensorial, autovalor, autovetos e autoespaços. Todavia, os principais resultados usados da Álgebra Linear e Multilinear serão citados ao longo do texto.

Este trabalho foi dividido em nove seções. Os conceitos básicos das álgebras de Lie estão presentes na Seção 1, bem como os Teoremas de Engel e Lie sobre álgebras de Lie nilpotentes e solúveis, respectivamente, que são teoremas indispensáveis na teoria das álgebras de Lie. Vale ressaltar que esta seção foi baseada no livro Introduction to Lie algebras and representation theory do autor James E. Humphreys (referência [2]).

Já na Seção 2, mencionamos um critério de semissimplicidade para álgebras de Lie e ao mesmo tempo, abordamos o Teorema de Weyl, fazemos uma breve discussão do Teorema de Ado e o caso particular deste teorema quando a álgebra de Lie é semissimples.

Começamos a Seção 3 denindo as subálgebras de Cartan e demons-tramos que toda álgebra de Lie de dimensão nita sobre C possui subálgebra de Cartan usando a Topologia de Zariski como ferramenta demonstrativa. Também, abordamos resultados importantes a respeito das subálgebras de Cartan quando a álgebra de Lie é semissimples.

O objetivo da Seção 4 é caracterizar as representações (módulos) de sl2(C) e sistemas de raízes, matrizes de Cartan, diagramas de Dynkin estão

presentes na Seção 5.

Na Seção 6, zemos um estudo detalhado as álgebras de Lie semissim-ples de dimensão nita sobre C e um dos principais resultados presentes nesta seção é que toda álgebra de Lie nestas condições possui a decomposição

g= h ⊕M

α∈R

gα

em autoespaços gα _{= {X ∈ g | ad(H)X = [H, X] = α(H)X, ∀H ∈ h}, onde}

vii As representações das álgebras de Lie semissimples e a teoria de pesos são descritas na Seção 7. Destacamos que as Seções 2 até 7 foram baseados no livro Complex Semisimple Lie Algebras do autor J.P. Serre (referência [4]). A Seção 8 contém os resultados mais importantes desta dissertação. Por exemplo, nela encontramos as câmaras de Weyl, o estudo dos caracteres das repreentações de dimensão nita e o anel de representações. Vale destacar que o anel de representações é um anel de polinômios, onde as variáveis são as classes das representações irredutíveis de peso mais alto ω1, . . . , ωn, chamados

pesos fundamentais. Também, obtemos as fórmulas de Freudenthal e de Weyl, sendo que a última, calcula a dimensão das representações de dimensão nita Γλ e está descrita abaixo:

dim Γλ =

Y

α∈R+

(λ + ρ, α) (ρ, α) ·

Finalizando, a Seção 9, caracteria a álgebra de Lie excepcional g2 de

dimensão 14. Usamos o livro Representation theory dos autores William Fulton e Joe Harris para a elaboração desta seção e da anterior.

Além disso, salientamos que o conceito de anel de representações tam-bém é válido para os grupos nitos (veja [7], capítulo 9) e, até mesmo, para os grupo de Lie compactos como mostra [8].

SUMÁRIO viii

Sumário

1 Conceitos Básicos 1

1.1 Álgebras de Lie, subálgebras e ideais . . . 1

1.2 Derivações, homomorsmos, representações e módulos . . . 4

1.3 Álgebras de Lie solúveis e nilpotentes . . . 7

1.4 Teoremas de Engel e Lie . . . 10

2 Álgebras de Lie Semissimples 13 2.1 Critério de semissimplicidade . . . 13

2.2 Teorema de Weyl, elementos semissimples e nilpotentes . . . . 15

3 Subálgebras de Cartan 18 3.1 Denição das subálgebras de Cartan . . . 18

3.2 Existência das subálgebras de Cartan . . . 18

3.3 g semissimples . . . 22

4 Representações de sl(2, C) 24 4.1 sl2-módulos, pesos e elementos primitivos . . . 24

4.2 Representações irredutíveis . . . 26

5 Sistema de raízes 30 5.1 Simetrias e Sistemas de Raízes . . . 30

5.2 Formas quadráticas invariantes . . . 32

5.3 Posição relativa entre duas raízes . . . 33

5.4 Bases . . . 34

5.5 Matriz de Cartan . . . 37

5.6 Sistemas de raízes irredutíveis . . . 38

5.7 Diagramas de Dynkin . . . 38

6 Estrutura das Álgebras de Lie semissimples 40 6.1 Decomposição de g . . . 40

SUMÁRIO ix

6.2 Subálgebras de Borel . . . 47

7 Representações de álgebras de Lie semissimples 49 7.1 Envolvente universal . . . 49

7.2 Pesos e elementos primitivos . . . 50

7.3 Módulos irredutíveis com peso mais alto . . . 53

7.4 Módulos de dimensão nita . . . 55

8 Fórmulas de Freudenthal e Weyl 61 8.1 Câmaras de Weyl . . . 62 8.2 Caracteres . . . 63 8.3 O anel de representações . . . 66 8.4 Fórmula de Freudenthal . . . 71 8.5 Fórmulas de Weyl . . . 78 9 A álgebra excepcional g2 85 9.1 Grupo de Weyl . . . 85

9.2 Construção de g2 pelo seu diagrama de Dynkin . . . 86

1

1 Conceitos Básicos

Esta seção tem como objetivo denir os conceitos básicos das álgebras de Lie que serão constantemente usados neste trabalho.

1.1 Álgebras de Lie, subálgebras e ideais

Denição 1.1.1. Se A é um espaço vetorial sobre K juntamente com uma lei de composição bilinear A × A → A (não necessariamente associativa), então dizemos que A é uma K-álgebra. Ou seja, existe uma aplicação K-linear A ⊗K A → A.

Denição 1.1.2. Uma K-álgebra g com a operação [ , ] : g × g → g é chamada álgebra de Lie se:

(L1) [X, X] = 0, ∀X ∈ g, isto é, [ , ] é alternada. (L2) a identidade de Jacobi é satisfeita:

[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0, ∀X, Y, Z ∈ g.

A dimensão da álgebra de Lie g é a dimensão do espaço vetorial subjacente e, geralmente, chamamos [ , ] de comutador ou colchete.

Observação 1.1.1. Pela propriedade universal da álgebra exterior, uma ál-gebra de Lie g possui a propriedade de que o mapa g ⊗K g → g se fatora

em

g⊗K g→

^2

g→ g.

Note que aplicando o item (L1) ao elemento X + Y , obtemos [X, Y ] = −[Y, X] para todo X, Y ∈ g (anti-simetria) e caso char K 6= 2, a recíproca é válida, isto é, [X, Y ] = −[Y, X] ⇒ [X, X] = 0 para X, Y ∈ g.

Exemplo 1.1.1. Quando A é uma K-álgebra associativa, podemos considerá-la uma álgebra de Lie denindo o comutador [X, Y ] = X ∗ Y − Y ∗ X para X, Y ∈ A, onde ∗ é a multiplicação em A. Assim, a associação A 7→ AL

(AL é a álgebra de Lie induzida por A) dene um funtor da categoria das

K-álgebras associativas para a categoria das álgebras de Lie sobre K, pois (i) se f : A → B um K-homomorsmo de álgebras associativas, tem-se

1.1 Álgebras de Lie, subálgebras e ideais 2 Isto mostra que f induz um homomorsmo de álgebras de Lie fL: AL → BL.

(ii) considere os K-homomorsmos de álgebras associativas A −→ Bf −→ Cg e os induzidos AL

fL

−→ BL gL

−→ CL. Pode-se vericar que (g ◦ f)L = gL◦ fL.

(iii) a identidade em A induz a identidade em AL.

A funtorialidade citada acima é importante pelo fato de que se A ∼= B (entre álgebras associativas), então AL∼= BL (entre álgebras de Lie).

Exemplo 1.1.2. Seja V é um espaço vetorial de dimensão n sobre um corpo K. Denotemos o conjunto dos endomorsmos de V por

End(V ) = {ϕ : V → V | ϕ é uma transformação linear}.

Assim, End(V ) é uma K-álgebra associativa e se xarmos uma base para V , End(V ) ∼= Mn×n(K), onde Mn×n(K) é a álgebra (associativa) das matrizes

n × n com entradas em K. Pelo exemplo anterior, End(V ) é uma álgebra de Lie e tem dimensão n2_{. Usaremos a notação gl(V ) ou gl(n, K) quando nos}

referirmos a End(V ) como álgebra de Lie, chamada álgebra geral linear. Exemplo 1.1.3. Observe que se V é um espaço vetorial de dimensão n sobre um corpo K, podemos ver V como uma álgebra de Lie denindo [X, Y ] = 0para todo X, Y ∈ V . As álgebras de Lie desta forma são chamadas abelianas.

Denição 1.1.3. Um subespaço h de uma álgebra de Lie g é dito subálge-bra de Lie (ou apenas subálgesubálge-bra) se [X, Y ] ∈ h para todo X, Y ∈ h. Exemplo 1.1.4. Considere B um subconjunto de g, então o centralizador de B em g é uma subálgebra de g (pela identidade de Jacobi) denida por Cg(B) = {X ∈ g | [X, Y ] = 0, ∀Y ∈ B}.

Denição 1.1.4. Uma subálgebra a de uma álgebra de Lie g é chamada ideal se ∀X ∈ a e ∀Y ∈ g tem-se [X, Y ] ∈ a. Como [X, Y ] = −[Y, X] para todo X, Y ∈ g, as noções de ideais à esquerda e direita coincidem, diferentemente da teoria de anéis.

Exemplo 1.1.5. Quando a e b são ideais de g, é de fácil vericação que a+ b = {X + Y | X ∈ a e Y ∈ b} e a ∩ b também o são.

1.1 Álgebras de Lie, subálgebras e ideais 3 Exemplo 1.1.6. Denote sl(V ) = {φ ∈ gl(V ) | tr(φ) = 0}. Armamos que, sl(V ) é ideal de gl(V ). De fato, usando a identicação End(V ) ∼= Mn×n(K),

sabemos que a aplicação traço é linear e que tr(MN) = tr(NM) para todo M, N ∈ Mn×n(K). Logo, se M, N ∈ sl(V ) e λ ∈ K obtemos:

(i) tr(M + N) = tr(M) + tr(N) = 0 e tr(λM) = λ tr(M) = 0, isto é, sl(V ) é subespaço de gl(V ).

(ii) tr([M, N]) = tr(MN − NM) = tr(MN) − tr(NM) = 0.

Assim, (i) e (ii) mostram que sl(V ) é ideal de gl(V ). Chamamos sl(V ) de álgebra especial linear.

Observação 1.1.2. As subálgebras de gl(V ) são chamadas álgebras de Lie lineares.

Denição 1.1.5. Dizemos que g é simples se dim g > 1 e g não possui ideias diferentes de {0} e g.

Exemplo 1.1.7. Quando char K 6= 2, o ideal sl(2, K) de gl(2, K) das ma-trizes 2 × 2 de traço nulo com entradas em K é simples. Em particular, se char K = 0, então sl(n, K) é simples.

Exemplo 1.1.8. O centro de g, denido por

z(g) = {X ∈ g | [X, Y ] = 0, ∀Y ∈ g}, é um ideal de g. Note que g é abeliano se, e só se, z(g) = g.

Exemplo 1.1.9. Seja h subálgebra de g. O normalizador de h em g é denido por ng(h) = {X ∈ g | [X, Y ] ∈ h, ∀Y ∈ h}. Deste modo, ng(h) é a

maior subálgebra de g onde h é ideal.

Exemplo 1.1.10. A álgebra derivada de g, denotada [g, g], é a álgebra gerada por todos os comutadores [X, Y ] com X, Y ∈ g. Portanto, [g, g] = {P[Xi, Yj] | Xi, Yj ∈ g}. É fácil vericar que [g, g] é ideal de g e quando g é

simples, z(g) = 0 e [g, g] = g.

Se a é um ideal de g, denimos a álgebra quociente como o espaço g/a = {X + a | X ∈ g}. Assim, g/a torna-se uma álgebra de Lie via

1.2 Derivações, homomorsmos, representações e módulos 4

1.2 Derivações, homomorsmos, representações e

mó-dulos

Denição 1.2.1. Seja A uma K-álgebra. Uma derivação de A é uma aplicação K-linear δ : A → A satisfazendo δ(ab) = aδ(b) + δ(a)b, ∀a, b ∈ A.

Iremos denotar o conjunto das derivações de A por Der(A), que é su-bespaço vetorial de End(A). Destacamos também que o comutador de duas derivações é uma derivação, mas a composição pode não ser. Diante disso, concluímos que se g é uma álgebra de Lie, então Der(g) é uma álgebra de Lie (subálgebra de gl(g)) via

[D1, D2] = D1◦ D2− D2◦ D1 para todo D1, D2 ∈ Der(g).

Exemplo 1.2.1. O principal exemplo de derivação de uma álgebra de Lie é a aplicação adjunta ad(X) : g → g dada por ad(X)Y = [X, Y ], onde X ∈ g é xo. Para vericar este fato, basta usar a bilinearidade do comutador e a identidade de Jacobi (considere X, Y, Z ∈ g e α ∈ K):

(i)ad(X)(αY +Z) = [X, αY +Z] = α[X, Y ]+[X, Z] = αad(X)Y +ad(X)Z. (ii) ad(X)([Y, Z]) = [X, [Y, Z]] = −[Y, [Z, X]] − [Z, [X, Y ]] = [Y, [X, Z]] + [[X, Y ], Z]] = [Y,ad(X)Z] + [ad(X)Y, Z].

As derivações desta forma são chamadas derivações internas e as demais externas.

Denição 1.2.2. Sejam g1 e g2 duas álgebras de Lie. Uma transformação

linear ϕ : g1 → g2 é dita homomorsmo se ϕ([X, Y ]) = [ϕ(X), ϕ(Y )]. Caso

ϕfor bijetiva, dizemos que ϕ é um isomorsmo e que g1 e g2 são isomorfas.

Um automorsmo de g, denotamos por Aut(g), é um isomorsmo de g em g.

Observação 1.2.1. O Ker(ϕ) é ideal de g1 e Im(ϕ) é subálgebra de g2.

Neste contexto, são válidos os três Teoremas do Isomorsmo:

Teorema 1.2.1 (Teoremas do Isomorsmo). (a) Se ϕ : g1 → g2 é um

ho-momorsmo de álgebras de Lie, então g1/Ker(ϕ) ∼=Im(ϕ).

(b) Se a e b são ideais de g, então (a + b)/b ∼= a/(a ∩ b).

(c) Se a e b são ideais de g tais que a ⊆ b, então b/a é ideal de g/a e (g/a)/(b/a) ∼= g/b.

1.2 Derivações, homomorsmos, representações e módulos 5 Demonstração. É análoga à versão para grupos com as alterações óbvias.  Considere g uma álgebra de Lie com base {X1, ..., Xn}. Como [Xi, Xj]

é um elemento de g, podemos escrever [Xi, Xj] = n

X

k=1

ak_ijXk, onde akij são

chamadas constantes de estrutura. O próximo resultado mostra que as álgebras de Lie são completamente determinadas pelas constantes de estruturas (a menos de isomorsmo).

Lema 1.2.1. Sejam g1 e g2 duas álgebras de Lie de dimensão nita. g1 é

isomorfa g2 se, e só se, existem bases B1 e B2 de g1 e g2, respectivamente,

que possuem as mesmas constantes de estrutura.

Demonstração. (⇒) Como g1 e g2 são isomorfas, possuem o mesmo número

de elementos na base e existe um isomorsmo ϕ : g1 → g2 que leva uma base

de g1 em uma base de g2. Tome {X1, ..., Xn} e {Y1, ..., Yn} bases de g1 e g2,

respectivamente, tais que ϕ(Xi) = Yi. Assim,

[Xi, Xj] = n X k=1 ak_ijXk e [Yi, Yj] = n X k=1 bk_ijYk. Deste modo, [Yi, Yj] = [ϕ(Xi), ϕ(Xj)] = ϕ([Xi, Xj]) = = ϕ n X k=1 ak_ijXk ! = n X k=1 ak_ijϕ(Xk) = n X k=1 ak_ijYk. Logo, Pn k=1b k ijYk = Pn k=1a k

ijYk. Sabemos que {Y1, ..., Yn} é base, portanto,

bk

ij = akij para todo k = 1, ..., n.

(⇐)Como g1 e g2 possuem as mesmas constantes de estrutura, as dimensões

de g1 e g2 são iguais. Sendo assim, considere {X1, ..., Xn} base de g1 e

{Y1, ..., Yn}base de g2. Dena ϕ : g1 → g2 tal que ϕ(Xi) = Yi e estenda por

linearidade para obtermos ϕ([X, Y ]) = [ϕ(X), ϕ(Y )], ∀X, Y ∈ g1. 

Denição 1.2.3. Uma representação de uma álgebra de Lie g sobre K é um homomorsmo ρ : g → gl(V ), onde V é um espaço vetorial (sobre o mesmo corpo) e dizemos que a dimensão da representação é a dimensão de V.

Exemplo 1.2.2. Vimos que ad(X) ∈ Der(g) ⊂ gl(g). Deste modo, a apli-cação ad: g → Der(g) que leva X em ad(X) é uma representação de g (pela

1.2 Derivações, homomorsmos, representações e módulos 6 identidade de Jacobi), chamada representação adjunta. Verica-se de forma imediata que Ker(ad)= z(g).

Denição 1.2.4. Seja g uma álgebra de Lie sobre K. Um espaço vetorial V , sobre o mesmo corpo K, juntamente com uma operação g×V → V dada por (X, v) 7→ Xv, é chamado g-módulo se as condições abaixo são satisfeitas para todo X, Y ∈ g; u, v ∈ V ; λ, µ ∈ K:

(M1) (λX + µY )v = λ(Xv) + µ(Y v). (M2) X(λu + µv) = λ(Xu) + µ(Xv). (M3) [X, Y ]v = X(Y v) − Y (Xv).

Observação 1.2.2. Se ρ : g → gl(V ) é uma representação, a operação (X, v) 7→ Xv = ρ(X)(v) faz com que V seja um g-módulo. Reciprocamente, se V é um g-módulo, a aplicação ρ : g → gl(V ) denida por ρ(X)(v) = Xv é uma representação. Ou seja, as denições de representações e módulos são equivalentes.

Denição 1.2.5. Uma representação (ou módulo) ρ : g → gl(V ) é dita irredutível se V é não-nulo e não possui subespaços g-invariantes (submó-dulos) próprios não-triviais, ou seja, se W é subespaço de V tal que ρ(X)W ⊂ W para todo X ∈ g, então W = V ou W = 0. Dizemos que a representação ρ (ou módulo V ) é completamente redutível se ρ é soma direta de represen-tações

irredutíveis, ou seja, V se decompõe como soma direta V = V1⊕· · ·⊕Vnonde

cada Vi é invariante pela representação e a restrição de ρ a Vi é irredutível.

Exemplo 1.2.3. Seja V um g-módulo. O espaço dual de V∗ _{possui uma}

estrutura de g-módulo denida por

g× V∗ _{→ V}∗

(X, f ) 7→ Xf

tal que (Xf)v = −f(Xv) para v ∈ V . De fato, as duas primeiras condições da denição de módulo são vericadas facilmente. Para (M3),

([X, Y ]f )v = −f ([X, Y ].v)

= −f (X(Y v)) + f (Y (Xv)) = (Xf )(Y v) − (Y f )(Xv) = −(Y Xf )v + (XY f )v = ((XY − Y X)f )v.

1.3 Álgebras de Lie solúveis e nilpotentes 7 Exemplo 1.2.4. Sejam V, W dois g-módulos. Então, o produto tensorial V ⊗ W também possui uma estrutura de g-módulo via

g× V ⊗ W → V ⊗ W (X, v ⊗ w) 7→ X(v ⊗ w),

onde X(v ⊗ w) = (Xv) ⊗ w + v ⊗ (Xw).

Sendo assim, considere V um espaço vetorial de dimensão nita e a aplicação

ϕ : V∗⊗ V → End(V ) f ⊗ v 7→ g

denida por g(w) = f(w)v para w ∈ V . Usando a base dual, concluimos que ϕ é sobrejetiva e como o domínio e contradomínio possuem a mesma dimensão, temos um isomorsmo. Vimos que V∗_{⊗ V pode ser considerado}

um g-módulo, logo End(V ) também o é.

1.3 Álgebras de Lie solúveis e nilpotentes

Denição 1.3.1. Seja g uma álgebra de Lie. A série derivada de g é uma série descendente de ideias de g denida por:

g(0) = ge g(n)= [g(n−1), g(n−1)] para n > 1.

Observe que g(1) _{⊇ · · · ⊇ g}(i) _{⊇ g}(i+1) _{⊇ · · ·. Dizemos que g é solúvel se}

existe um inteiro k tal que g(k)_{= 0.}

Proposição 1.3.1. Seja g uma álgebra de Lie.

(a) Se g é solúvel, então todas as suas subálgebras e imagens homomorfas de g também o são.

(b) Se a é um ideal solúvel de g tal que g/a é solúvel, então g também é solúvel.

1.3 Álgebras de Lie solúveis e nilpotentes 8 Demonstração. (a): Se a é subálgebra de g, então a(i) _{⊂ g}(i) para todo i e

se φ : g → b é um homomorsmo sobrejetivo, podemos mostrar por indução em i que φ(g(i)_{) = b}(i)_.

(b): Por hipótese, (g/a)(n) _{= 0 para algum inteiro n. Tome π : g → g/a a}

aplicação canônica denida por π(X) = X + a. Por (a), π(g(i)_{) = (g/a)}(i) _⇒

π(g(n)) = 0 ⇒ g(n) ⊂ a. Por outro lado, a(m) _{= 0 e}

g(n+m) = (g(n))(m)=⊂ a(m) = 0.

(c): Pelo item (a), a/(a ∩ b) é solúvel e por (b), a + b também o é. _ Lema 1.3.1. Toda álgebra de Lie g de dimensão nita possui um único ideal maximal solúvel.

Demonstração. Sabemos que a soma de todos os ideais solúveis de g ainda é ideal solúvel e é maximal. Suponha que s1 e s2 são ideais solúveis maximais,

então s1+ s2 ⊇ s1 e s1+ s2 ⊇ s2. Considerando a maximalidade de s1 e s2e o

fato de que soma de ideais solúveis ainda é solúvel temos s1= s1+s2= s2. 

Denição 1.3.2. O ideal solúvel maximal de uma álgebra de Lie g é chamado radical e é denotado por r(g).

Denição 1.3.3. Se r(g) = 0, dizemos que a álgebra de Lie g é semissim-ples.

Observação 1.3.1. Na Denição 1.1.5, exigimos que dim g > 1. Por isso, existe uma compatibilidade nas denições de álgebras de Lie simples e semis-simples no sentido de que toda álgebra de Lie semis-simples é semissemis-simples, pois, por denição, álgebras de Lie unidimensionais não são semissimples.

Note que gss = g/r(g) é semissimples. De fato, tome I = I + r(g) um

ideal solúvel de gss. Logo, I (n)

= 0 para algum inteiro n, isto é, I(n)_{⊂ r(g)}e

como r(g) é solúvel (I(n)₎(k) _{= I}(n+k) _{= 0. Daí, I ⊂ r(g) e consequentemente}

I = 0.

Denição 1.3.4. Seja g uma álgebra de Lie. A série central descendente de g é uma série descendente de ideias de g denida da forma:

g1 = g e gn = [g, gn−1] para n > 2.

Dizemos que g é nilpotente se existe um inteiro k tal que gk_{= 0}. Também

1.3 Álgebras de Lie solúveis e nilpotentes 9 Equivalentemente, g é nilpotente se para algum número inteiro n e para todo X0, . . . , Xn ∈ g, temos

[X0, [X1, [. . . , Xn] . . .]] = (ad(X0) ◦ad(X1) ◦ · · · ◦ad(Xn−1))(Xn) = 0.

Em particular, ad(X)n−1 _{= 0 para todo X ∈ g. Ou seja, se g é}

nilpo-tente, então ad(X)n _{= 0para todo X ∈ g. Veremos adiante que a recíproca}

deste fato é verdadeira (resultado conhecido como Teorema de Engel). Por outro lado, observe que toda álgebra de Lie nilpotente é solúvel, pois g(i) _{⊆ g}i

para todo i inteiro.

Proposição 1.3.2. Seja g uma álgebra de Lie.

(a) Se g é nilpotente, então todas as suas subálgebras e imagens homomor-fas de g são nilpotentes.

(b) Se g/z(g) é nilpotente, então g também o é. (c) Se g é nilpotente e não-nulo, então z(g) 6= 0.

Demonstração. (a): Análago ao item (a) da Proposição 1.3.1.

(b): Por hipótese, (g/z(g))n _{= 0} para algum inteiro n, logo gn _{⊂ z(g)} e

gn+1 = [g, gn] ⊂ [g, z(g)] = 0.

(c): Como g é nilpotente, existe um inteiro n tal que gn= 0 e gn−16= 0. Daí, gn _{= [g, g}n−1_{] = 0 o que implica g}n−1_{⊂ z(g). }

Exemplo 1.3.1. Se char K = 2, então g = sl(2, K) é nilpotente. Com efeito, considere a base de g:

X =0 1 0 0  , Y =0 0_{1 0}  , H =1_{0 −1}0 

que satisfazem as relações [X, Y ] = H, [H, X] = 2X = 0 e [H, Y ] = −2Y = 0. Logo,

g2 _{= [g, g] = KH e g}3 _{= [g, g}2_{] = 0.}

Exemplo 1.3.2. A álgebra de Lie 2-dimensional g com base {X, Y } tal que [X, Y ] = X é solúvel, mas não nilpotente. De fato, como gn _{= KX} para

todo n ≥ 2, temos que g não é nilpotente. Por outro lado, g(2) _{= g}2 _{e g}(3) _{= [g}(2)_{, g}(2)_{] = 0 ⇒ g é solúvel.}

1.4 Teoremas de Engel e Lie 10

1.4 Teoremas de Engel e Lie

Vimos na Subseção 1.3 que se g é nilpotente, então existe um inteiro n tal que ad(X)n _{= 0 para todo X ∈ g. Agora, vamos mostrar a recíproca}

desta armação, mas para isso, vamos utilizar o seguinte resultado: Lema 1.4.1. Se X ∈ gl(V ) é nilpotente, então ad(X) é nilpotente.

Demonstração. Sabemos que ad(X)Y = XY − Y X. Dena os endomors-mos LX(Y ) = XY e RX(Y ) = Y X tais que ad(X)Y = LX(Y ) − RX(Y ) =

(LX − RX)(Y ). Note que LX e RX comutam, pois em End(End(V )),

LX(RX(Y )) = X(Y X) = (XY )X = RX(LX(Y )) ⇒ LX ◦ RX = RX ◦ LX.

Por hipótese, existe um inteiro n tal que Xn _{= 0 e daí, L}n

X(Y ) = XnY = 0

e Rn

X(Y ) = Y Xn= 0. Como LX e RX comutam, vale:

(LX − RX)2n= 2n X i=0 2n i  L2n−i_X (−RX)i = 0.

Portanto, ad(X) é nilpotente.  Teorema 1.4.1 (Engel). Seja g uma subálgebra de gl(V ), onde V é um K-espaço vetorial de dimensão nita (não-nulo). Se g consiste de endomor-smos nilpotentes, então existe um vetor não-nulo v ∈ V tal que gv = 0, isto é, Xv = 0 para todo X ∈ g.

Demonstração. Veja [2] (página 12).  Antes de apresentarmos algumas consequências do Teorema de Engel, precisamos da seguinte denição: seja V um espaço vetorial de dimensão nita n. Dizemos que uma bandeira em V é uma cadeia de subespaços 0 = V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vn = V, onde dim Vi = i e que X ∈ End(V ) estabiliza

a bandeira se XVi ⊂ Vi para todo i.

Corolário 1.4.1. Sob as hipóteses do Teorema de Engel, existe uma bandeira {Vi}em V invariante sob g: XVi ⊂ Vi−1, ∀i = 1, . . . , ne ∀X ∈ g. Em outras

palavras, existe uma base de V tal que todo X ∈ g é representado por uma matriz estritamente triangular.

Demonstração. Veja [2] (página 13).  Corolário 1.4.2. Se ad(X) é nilpotente ∀X ∈ g, então g é nilpotente.

1.4 Teoremas de Engel e Lie 11 Demonstração. Veja [2] (página 12).  Lema 1.4.2. Seja a um ideal de uma álgebra de Lie g ⊂ gl(V ) e λ ∈ a∗ _um

funcional linear. Se

W = {v ∈ V | Xv = λ(X)v, ∀X ∈ a}, então gW ⊂ W .

Demonstração. Veja [1] (página 127).  Teorema 1.4.2 (Lie). Seja K um corpo algebricamente fechado de carac-terística zero e g uma subálgebra solúvel de gl(V ), onde V é um K-espaço vetorial de dimensão nita (não-nulo). Então, existe um vetor não-nulo v ∈ V tal que Xv = λ(X)v, ∀X ∈ g com λ ∈ g∗, ou seja, existe um vetor não-nulo em V que é autovetor comum a todos os X ∈ g.

Ideia da demonstração. A demostração é feita por indução na dimensão de g, sendo que o caso dim g = 1 segue das hipóteses impostas a K. Usando que g é solúvel, podemos encontrar um ideal h ⊂ g de codimensão 1. Por hipótese de indução, o conjunto W = {v ∈ V | Xv = λ(X)v, ∀X ∈ h} é não-nulo e pelo Lema 1.4.2, gW ⊂ W . Como g = h + αZ (Z ∈ g\h) e Z possui um autovetor v0 com autovalor µ0, podemos estender λ ao funcional

e

λ(Y + αZ) = λ(Y ) + αµ0 em g∗. 

Corolário 1.4.3. Nas mesmas hipóteses do Teorema de Lie, g estabiliza alguma bandeira em V , ou seja, existe uma base de V tal que todo X ∈ g é representado por uma matriz triangular superior.

Demonstração. Veja [2] (página 16).  Proposição 1.4.1. Seja g ⊂ gl(V ) uma álgebra de Lie sobre C, onde g e V são ambos de dimensão nita não-nula. Assim, toda representação irredutível de g é da forma V = V0⊗ L, onde V0 é uma representação irredutível de gss

(isto é, uma representação de g que é trivial em r(g)) e L é uma representação 1-dimensional de g.

Demonstração. Como r(g) é solúvel, o Teorema de Lie garante que existe λ ∈ r(g)∗ tal que W = {v ∈ V | Xv = λ(X)v, ∀X ∈ r(g)} 6= 0. Pelo Lema 1.4.2, gW ⊂ W o que implica V = W . Armamos que se X ∈ r(g) ∩ [g, g], então λ(X) = 0. Com efeito,

1.4 Teoremas de Engel e Lie 12 • Se X ∈ r(g), tr(X) = λ(X)(dim V ), pois o Teorema de Lie mostra que existe uma base de V tal que X é representado por uma matriz triangular superior e Xv = λ(X)v para todo X ∈ r(g).

• Se X ∈ [g, g], X possui traço nulo (pois o traço é linear e o traço do comutador de duas matrizes é sempre zero).

Portanto, caso X ∈ r(g) ∩ [g, g], obtemos que λ(X)(dim V = 0) e consequentemente λ(X) = 0. Agora, estenda λ a um funcional linear eλ ∈ g∗

tal que eλ([g, g]) = 0. Assim, eλ induz um homomorsmo de álgebras de Lie g/[g, g] _{→ C = gl(1, C)}

X + [g, g] 7→ eλ(X)

que é uma representação 1-dimensional de g e está bem denida, pois eλ([g, g]) = 0. Se considerarmos C = L, a representação de g em L é

g× L → L (X, v) 7→ eλ(X)v.

Por outro lado, considere outra representação de g g× (V ⊗_CL∗) → V ⊗_CL∗

(X, v ⊗ ψ) 7→ Xv ⊗ ψ + v ⊗ Xψ.

Armamos que esta representação é trivial em r(g). De fato, se v ∈ V , X ∈ r(g) e w ∈ L, temos

(i): Xv ⊗ ψ(w) = eλ(X)v ⊗ ψ(w) e

(ii): (Xψ)(w) = −ψ(Xw) = −ψ(eλ(X)w) = −eλ(X)ψ(w) ⇒ v ⊗ (Xψ)(w) = −eλ(X)v ⊗ ψ(w).

De (i) e (ii), segue a armação. Portanto, g × (V0⊗ L) → (V0 ⊗ L),

onde V0 = V ⊗ L∗, é a representação de g procurada. 

A partir desta proposição, percebemos a importância do estudo das representações irredutíveis das álgebras de Lie semissimples, pois toda repre-sentção de uma álgebra de Lie qualquer se decompõe em uma parte solúvel (L) e outra irredutível (V0). Note ainda que o Teorema de Lie nos diz uma

informação importante a respeito das representações de g ⊂ gl(V ) quando g é solúvel e V tem dimensão nita: neste caso, V possui um subespaço g-invariante W = hvi, ou de forma equivalente, toda representação irredutí-vel de g é 1-dimensional.

13

2 Álgebras de Lie Semissimples

Nesta seção, considere o corpo base K com característica zero, as álgebras de Lie e os espaços vetoriais de dimensão nita. Vimos que uma álgebra de Lie g é semisimples se seu radical r(g) é zero. Agora, nosso objetivo é apresentar critérios para sabermos se uma determinada álgebra de Lie é semissimples.

2.1 Critério de semissimplicidade

Denição 2.1.1. Seja g uma álgebra de Lie. A forma bilinear simétrica B : g × g → K dada por B(X, Y ) = tr(ad(X) ◦ ad(Y )) é chamada forma de Killing.

Exemplo 2.1.1. Sabemos que se {e1, . . . , en}é uma base para g, então toda

forma bilinear pode ser escrita como B(X, Y ) = Xt_{BY, onde B é a matriz}

B(ei, ej)ij e Xt é a transposta de X. Considere a álgebra de Lie sl(2, C).

É fácil vericar que se tomarmos a base ordenada {X, H, Y } de sl(2, C) mencionada anteriormente, obtemos

ad(X) =   0 −2 0 0 0 1 0 0 0  , ad(H) =   2 0 0 0 0 0 0 0 −2  e ad(Y ) =   0 0 0 −1 0 0 0 2 0  . Logo, se e1 = X, e2 = H e e3 = Y, então B =   0 0 4 0 8 0 4 0 0  .

Proposição 2.1.1. A forma de Killing B possui as seguintes propriedades: (a) B é associativa: B([X, Y ], Z) = B(X, [Y, Z]).

(b) B é invariante: B(D(X), Y ) + B(X, D(Y )) = 0 para toda derivação D em g.

(c) Se θ ∈ Aut(g), então B(θ(X), θ(Y )) = B(X, Y ) para todo X, Y ∈ g. Demonstração. Para (a), basta usar que o traço é cíclico, ou seja, tr(XY Z) = tr(ZXY ) = tr(Y ZX) para quaisquer endomorsmos X, Y, Z. Em (b), observe que para todo X ∈ g tem-se ad(D(X)) = D ◦ ad(X) − ad(X) ◦ D. Finalmente, em (c) note que ad(θ(X)) = θ ◦ ad(X) ◦ θ−1_.

2.1 Critério de semissimplicidade 14 Proposição 2.1.2. Considere B a forma de Killing de g. Se a é um ideal de g, então Ba= B|a×a, onde Ba é a forma de Killing de a.

Demonstração. Vamos precisar do seguinte resultado da Álgebra Linear: Se W ⊂ V é um subespaço, onde V tem dimensão nita e f : V → V um endomorsmo tal que f(V ) ⊂ W , então tr(f) = tr(f|W) (para ver isto,

estenda uma base de W a uma base de V e considere a matriz de f nesta base). Sendo assim, tome X, Y ∈ a. Logo, ad(X) ◦ ad(Y ) : g → g é um endomorsmo tal que (ad(X) ◦ ad(Y ))(g) ⊂ a e pelo resultado mencionado acima,

tr(ad(X) ◦ ad(Y )) = tr((ad(X) ◦ ad(Y ))|a) = tr(ad(X)|a ◦ ad(Y )|a).

 Denição 2.1.2. Denimos o radical de uma forma bilinear simétrica arbitrária f em g por Rad(f) = {X ∈ g | f(X, Y ) = 0, ∀Y ∈ g} e dizemos que a forma f é não-degenerada se Rad(f) = 0, ou de forma equivalente, det f 6= 0.

Note que Rad(B) é ideal de g, pois se X ∈ Rad(B) e Y ∈ g, en-tão B([X, Y ], Z) = B(X, [Y, Z]) = 0 pelo fato de que B é associativa e X ∈ Rad(B).

Observação 2.1.1. Uma álgebra de Lie g é semissimples se, e só se, g só possui o ideal abeliano trivial 0. Tome g semissimples e a um ideal abeliano de g (em particular, a é solúvel), logo a ⊆ r(g) = 0. Reciprocamente, suponha que g não é semissimples (r = r(g) 6= 0). Como r é solúvel, existe um inteiro n tal que r(n) _{= 0}e r(n−1) _{6= 0}. Logo, r(n−1) é um ideal abeliano não-nulo de

g.

Teorema 2.1.1 (Critério de Cartan). Seja g subálgebra de gl(V ), onde V tem dimensão nita. Então g é solúvel se, e só se, tr(XY ) = 0 para todo X ∈ [g, g] e Y ∈ g.

Demonstração. (⇒) Se g é solúvel, existe uma base para V tal que para todo elemento de g é representado por uma matriz triangular superior. Logo, se X ∈ [g, g], então X é uma matriz estritamente triangular e consequentemente XY também o é.

2.2 Teorema de Weyl, elementos semissimples e nilpotentes 15 Corolário 2.1.1. Seja g uma álgebra de Lie tal que tr(ad(X) ◦ ad(Y )) = 0 para todo X ∈ [g, g] e Y ∈ g. Então, g é solúvel.

Demonstração. Por hipótese, tr(ad(X) ◦ ad(Y )) = 0 para todo X ∈ [g, g] e Y ∈ g, ou seja, para todo ad(X) ∈ [ad(g),ad(g)] e ad(Y ) ∈ ad(g). Pelo Critério de Cartan, ad(g) é solúvel. Por outro lado, g/z(g) ∼= ad(g) (Teo-rema do Isomorsmo) sendo ad(g) e z(g) solúveis. Portanto g é solúvel pela

Proposição 1.3.1. 

Teorema 2.1.2. Uma álgebra de Lie é semissimples se, e só se, sua forma de Killing é não-degenerada.

Demonstração. (⇒) Suponha B degenerada, ou seja, existe X ∈ g não-nulo tal que X ∈ R = Rad(B). Daí, R é um ideal não-nulo de g. Pela denição de R e pela Proposição 2.1.2, BR = B|R×R = 0. Assim, tr(ad(X) ◦ ad(Y )) = 0

para todo X, Y ∈ R, em particular, para todo X ∈ [R, R] ⊂ R e Y ∈ R. Por outro lado, considere a representação adjunta ad|R : R → ad(R) ⊂

gl(R) e pelo Teorema do Isomorsmo, R/z(R) ∼= ad(R). Ao mesmo tempo, ad(R) é solúvel (Critério de Cartan). Assim, pelo isomorsmo anterior e pela Proposição 1.3.1, R é solúvel (z(R) é solúvel) com R ⊂ r(g). Portanto, g não é semissimples.

(⇐) Se g não é semissimples, g possui um ideal abeliano não-nulo a. Tome X ∈ a não-nulo e Y ∈ g, logo (ad(X) ◦ ad(Y ))2 _{= 0, isto é, ad(X) ◦ ad(Y )}

é um operador nilpotente e, consequentemente, possui uma representação matricial de traço zero. Isto implica que B(X, Y ) = 0 para todo X ∈ a e Y ∈ g (o traço independe da base). Portanto, a ⊂ R e B é degenerada.  Pelo teorema anterior, Rad(B) ⊂ r(g) e ca fácil vericar que sl(2, C) é semissimples, pois det B = −128.

Teorema 2.1.3. Se g é semissimples, então todas as derivações de g são internas.

Demonstração. Veja [2] (página 23). 

2.2 Teorema de Weyl, elementos semissimples e

nilpo-tentes

O Teorema de Weyl é uma ferramenta essencial para o estudo das representações das álgebras de Lie semissimples, como veremos adiante.

2.2 Teorema de Weyl, elementos semissimples e nilpotentes 16 Teorema 2.2.1 (Weyl). Toda representação de uma álgebra de Lie semis-simples é completamente redutível.

Demonstração. Veja [2] (página 28).  Relembre que o Teorema da Decomposição de Jordan nos diz que todo endomorsmo X de um espaço vetorial complexo pode ser escrito de forma única como X = Xs + Xn, onde Xs é diagonalizável, Xn é nilpotente e

Xs, Xn comutam. Assim, para g ∈ gl(V ) (V espaço vetorial complexo) todo

elemento X ∈ g pode ser escrito de forma única X = Xs+ Xn. Em geral,

Xs e Xn são elementos em gl(V ), mas não necessariamente em g.

Proposição 2.2.1. Se g ⊂ gl(V ) é semissimples, então Xs, Xn∈ g.

Demonstração. Veja [1] (página 482).  Agora, se considerarmos g uma álgebra de Lie, X ∈ g e ρ : g → gl(C, n) uma representação, queremos saber o comportamento de ρ(X) com respeito a decomposição de Jordan. Por exemplo, se g = C, considere os casos (i) na representação ρ1 : t 7→ (t)1×1 todo elemento é diagonalizável, isto é,

ρ1(X)s = ρ1(X).

(ii) se ρ2 : t 7→

0 t 0 0



, então todo elemento é nilpotente (ρ2(X)s= 0).

(iii) e se ρ3 : t 7→  t t 0 0  = t 0 0 0  +0 t 0 0  , ρ3(X) não é diagonalizável

nem nilpotente; a parte diagonalizável e nilpotente de ρ3(X) não pertencem

a imagem ρ(g).

Mas, quando g é semissimples, a situação é bastante diferente como mostra o próximo teorema:

Teorema 2.2.2 (Preservação da decomposição de Jordan). Seja g uma álge-bra de Lie semissimples. Para todo X ∈ g, existem Xs, Xn ∈ g tais que para

toda representação ρ : g → gl(V ) tem-se ρ(X)s = ρ(Xs) e ρ(X)n= ρ(Xn).

Demonstração. Veja [1] (página 483).  Considere a representação adjunta ad: g → gl(g) de uma álgebra de Lie semissimples. Como Ker(ad)= z(g) é um ideal solúvel de g, obtemos que Ker(ad) = z(g) ⊂ r(g) = 0, ou seja, ad é injetiva (este é um caso particular do Teorema de Ado que arma que toda álgebra de Lie é linear, ou seja, é uma

2.2 Teorema de Weyl, elementos semissimples e nilpotentes 17 subálgebra de gl(V ) para algum espaço vetorial V , ou de modo equivalente, toda álgebra de Lie possui uma representação injetiva). Tal teorema pode ser encontrado em [1] (página 499). Pelo teorema anterior, existem Xs e Xn

em g tais que

ad(X)s =ad(Xs) e ad(X)n =ad(Xn).

Usando que ad(X) = ad(Xn) +ad(Xs), ad([Xn, Xs]) = [ad(Xn),ad(Xs)] = 0

e ad é injetiva, concluímos que X = Xn+ Xs e [Xs, Xn] = 0.

Denição 2.2.1. Seja g uma álgebra de Lie semissimples e X ∈ g.

(a) X é chamado nilpotente se o endomorsmo ad(X) de g é nilpotente; (b) X é chamado semissimples se o endomorsmo ad(X) de g é

semissim-ples (diagonalizável).

Lema 2.2.1 (Schur). Seja ρ : g → gl(V ) uma representação irredutível de g. Então, os únicos endomorsmos de V que comutam com ρ(X) (X ∈ g) são os escalares.

18

3 Subálgebras de Cartan

Nesta seção, considere as álgebras de Lie de dimensão nita sobre C.

3.1 Denição das subálgebras de Cartan

Denição 3.1.1. Uma subálgebra h de g é dita subálgebra de Cartan se h é nilpotente e ng(h) = h.

Veremos adiante que toda álgebra de Lie possui subálgebra de Cartan. Exemplo 3.1.1. Se g = sl(2, C) e h = a 0 0 −a  | a ∈ C  , então h é subálgebra de Cartan gerada por H = diag(1, −1). De fato, como [h, h] = 0, h é abeliana e nilpotente. Agora, tome A ∈ ng(h)e assim,

A ∈ ng(h) ⇔ [H, A] = [H, aX + bH + cY ] = 2aX − 2cY ∈ h ⇔ a = c = 0.

Portanto, ng(h) = h.

Exemplo 3.1.2. Se g é nilpotente e h é subálgebra de Cartan, então h = g. Com efeito, tome h & g uma subálgebra e considere os endomorsmos

ad(h) : g → g, ρ(h) : g/h → g/h X + h 7→ ad(h)X + h

nilpotentes, pois h é nilpotente. Note que o segundo endomorsmo está bem denido pelo fato de que h é subálgebra. Pelo Teorema de Engel, existe v ∈ g/h não-nulo (v /∈ h) tal que ρ(h)v = 0, isto é, [h, v] ⊂ h (v ∈ ng(h)).

Portanto, ng(h) 6= h.

3.2 Existência das subálgebras de Cartan

Seja g uma álgebra de Lie e X ∈ g. O polinômio característico de ad(X) é denotado PX(T ) =det (T − ad(X)) = n X i=0 ai(X)Ti

3.2 Existência das subálgebras de Cartan 19 Denição 3.2.1. O posto de g, denotado rk(g), é o menor inteiro l tal que alnão é identicamente nulo. Um elemento Y ∈ g é dito regular se al(Y ) 6= 0.

Sendo assim, observe que ad(X)X = 0, isto é, 0 é autovalor de ad(X) o que implica PX(0) = 0e a0(X) = 0. Daí, rk(g) ≥ 1. Por outro lado, como

an(X) = 1, devemos ter rk(g) ≤ n. Portanto, 1 ≤ rk(g) ≤ n. Quando g

é nilpotente PX(T ) = (−1)nTn e seu posto é n. Reciprocamente, se g tem

posto n = dim g, então g é nilpotente.

Exemplo 3.2.1. Seja g = sl(2, C), {X, Y, H} a base ordenada usual e Z = aX + bH + cY em g. Logo, ad(Z) =   2b −2a 0 −c 0 a 0 2c −2b  

e PZ(T ) = T3− 4(b2+ ac)T. Portanto, rk(g) = 1 e Z é regular se, e só se,

b2_{+ ac 6= 0. Em particular, H é regular e X, Y não são.}

Exemplo 3.2.2. Se g é nilpotente, todos os seus elementos são regulares. Exemplo 3.2.3. Seja g a álgebra de Lie 2-dimensional com base ordenada {X, Y } tal que [X, Y ] = X. Se Z = aX + bY , então

ad(Z) =−b a_{0 0} 

,

PZ(T ) = T2+bT e rk(g) = 1. O conjunto dos elementos que não são regulares

coincide com a álgebra derivada.

Proposição 3.2.1. Utilizando a Topologia de Zariski temos que o conjunto dos elementos regulares de uma álgebra de Lie g é conexo, denso e aberto. Demonstração. Veja [4] (página 11). 

Agora, seja g uma álgebra de Lie, X ∈ g e λ ∈ C. Denote o nilespaço de ad(X) − λIg por

gλ_X = {Y ∈ g | (ad(X) − λIg)nY = 0 para algum inteiro n > 0},

onde Ig é a identidade em g. Em particular, g0X é o nilespaço de ad(X) e sua

3.2 Existência das subálgebras de Cartan 20 Lema 3.2.1. Seja n ≥ 0; X, Y, Z ∈ g e λ, µ ∈ C. A fórmula é válida: (ad(X) − (λ + µ)Ig)n[Y, Z] =

n X i=1 n i 

[(ad(X) − λIg)iY, (ad((X) − µIg)n−iZ]

Demonstração. Basta usar indução sobre o número n.  Proposição 3.2.2. Seja X ∈ g, então:

(a) g é soma direta dos nilespaços gλ X.

(b) [gλ_X, gµ_X] ⊂ gλ+µ_X para λ, µ ∈ C. (c) g0

X é subálgebra de g.

Demonstração. Para (a), basta aplicar o seguinte resultado ao endomorsmo ad(X):

Sejam V um espaço vetorial n-dimensional complexo e A : V → V um operador linear. Considere P (t) um polinômio tal que P (A) = 0 e P (t) = (t−α1)m1· · · (t−αr)mr sua fatoração, onde α1, . . . , αrsão suas raízes distintas.

Então, V é soma direta dos subespaços Wi =Ker(A − αiI)mi com 1 ≤ i ≤ r.

A armação (b) segue do lema anterior e se tomarmos λ = µ = 0 em

(b) obtemos (c). _

Lema 3.2.2. Se X ∈ g, então dim g0

X ≥rk(g). Mas, se X é regular obtemos

que dim g0

X = rk(g).

Demonstração. Suponha X ∈ g qualquer. Sabemos que o polinômio carac-terístico PX de ad(X) : g → g é o produto dos polinômios característicos gλX

das restrições de ad(X) em gλ

X denotados P λ X. Temos que P 0 X = Tdim g 0 X, pois ad(X) |g0 X é nilpotente e P λ X(0) 6= 0 para λ 6= 0. Portanto, PX(T ) = PX0 =

Tdim g0XQ(T ) com Q(0) 6= 0. Em particular, a

dim g0

X(X) 6= 0 e ak(X) = 0

para k < dim g0

X. Por denição, dim g0X ≥ rk(g). Caso X seja regular,

a_rk(g)(X) 6= 0e ak(X) = 0para k < rk(g) o que implica dim g0X =rk(g). 

Teorema 3.2.1. Se X é regular, g0

X é subálgebra de Cartan.

Demonstração. (i) g0

X é nilpotente: é suciente mostrar que se Y ∈ g0X,

então ad(Y )|g0

X é nilpotente, pois o Teorema de Engel nos garante que g

0 X é

nilpotente. Sendo assim, considere as aplicações adI_{(Y ) =ad(Y )|} g0

3.2 Existência das subálgebras de Cartan 21 adII_{(Y ) : g/g}0 X → g/g 0 X Z + g0_X 7→ ad(Y )Z + g0 X sendo Y ∈ g0

X (note que a segunda aplicação está bem denida). Agora,

dena os conjuntos:

U = {G ∈ g0_X | adI(G)não é nilpotente} e V = {G ∈ g0_X | adII(G)é invertível}. Note que g0

X = Cm para algum m, pois g0X é subespaço de g que é

um espaço vetorial de dimensão nita sobre C. Assim, U e V são abertos de g0

X na topologia de Zariski, visto que os elementos de g0X\U satisfazem

(adI)k(G) = 0 para algum k e os de g0_X\V det(adII(G)) = 0. Armamos que V 6= ∅ (X ∈ V ). Com efeito, para mostrar que X é um elemento de V , precisamos mostrar que adII_{(X) é invertível, ou de forma equivalente,}

adII_{(X)não admite autovalor zero. Caso contrário, ad}II_{(X)Z = 0para Z 6= 0}

(Z /∈ g0 X) e

adII_{(X)Z =ad(X)Z + g}0

X = g0X ⇒ ad(X)Z ∈ g0X ⇒ ad(X)n ad(X)Z = 0

para algum inteiro n > 0. Deste modo, ad(X)n+1_{Z = 0, isto é, Z ∈ g}0

X que é

absurdo. O próximo passo é mostrar que U = ∅. Inicialmente, temos que g0 X

é irredutível, pois o ideal I(g0

X) = h0ié primo e consequentemente, quaisquer

dois abertos não-vazios de g0

X se intersectam. Suponha que U 6= ∅. Logo,

U ∩ V 6= ∅ e tome B ∈ U ∩ V . Diante disso, • B ∈ U ⇒ ad(B)|_g0

X possui 0 como autovalor com multiplicidade

estri-tamente menor que dim g0

X =rk(g).

• B ∈ V ⇒ ad(B)|_g/g0

X não admite autovalor zero.

Isto nos diz que a multiplicidade de 0 em ad(B) é estritamente menor que dim g0

X, daí, dim g0B< dim g0X, absurdo pelo lema anterior.

(ii) ng(g0X) = g0X: seja Z ∈ ng(g0X), logo ad(Z)g0X ⊂ g0X, em particular,

[Z, X] ∈ g0

X. Pela denição de g0X, existe n > 0 tal que

0 = ad(X)n[Z, X] = −ad(X)n[X, Z] = −ad(X)n+1Z o que implica Z ∈ g0

X. 

Teorema 3.2.2. Toda subálgebra de Cartan de g é da forma g0

X para algum

elemento regular X ∈ g.

3.3 g semissimples 22

3.3 g semissimples

Nesta subseção, considere g uma álgebra de Lie semissimples. Neste caso, as suas subálgebras de Cartan possuem uma forma mais simples com propriedades especícas como mostra o próximo teorema.

Teorema 3.3.1. Seja h uma subálgebra de Cartan de g. Então: (a) A restrição da forma de Killing de g em h é não-degenerada. (b) h é abeliana.

(c) h é seu próprio centralizador. (d) Todo elemento de h é semissimples.

Demonstração. (a): Sabemos que existe um elemento regular X ∈ g tal que h = g0

X. Considere a decomposição com respeito a X ∈ g:

g= g0_XM X

λ6=0

gλ_X. Tome B a forma de Killing de g, Y ∈ gλ

X e Z ∈ g µ

X. Logo, (ad(X)−λIg)nY =

0 e (ad(X) − µIg)mZ = 0 para n, m inteiros. Podemos mostrar por indução

em n + m que

λB(Y, Z) = B([X, Y ], Z) = −B(Y, [X, Z]) = −µB(Y, Z), ou seja, gλ

X e g µ

X são ortogonais em relação a forma de Killing de g (que é

não-degenerada) quando λ + µ 6= 0. Daí, g0

X é ortogonal a gλX para todo

λ 6= 0. Portanto, temos a decomposição de g em subespaços mutuamente ortogonais:

g= g0_XM X

λ6=0

(gλ_X ⊕ g−λ_X ).

Neste caso, a restrição de B a cada um desses subespaços é não-degeberada. (b): Sabemos que h é nilpotente, em particular, solúvel. Considere a re-presentação ad: h → gl(g) e pelo Teorema do Isomorsmo, ad(h) é solúvel (o quociente de uma álgebra solúvel é solúvel). Usando o Critério de Car-tan, obtemos que tr(XY ) = 0 para todo X ∈ [ad(h),ad(h)] = ad([h, h]) e Y ∈ ad(h). Em outras palavras, h é ortogonal a [h, h], pois B([h, h], h) = 0. Mas, pelo item (a), B|h é não-degenerada o que implica [h, h] = 0.

3.3 g semissimples 23 (c): Temos Cg(h) ⊆ ng(h) ⊆ h. Por outro lado, como h é abeliana h ⊆ Cg(h).

(d): Tome X ∈ h e X = N + S sua decomposição de Jordan. Considere Y ∈ h, logo Y comuta com X (h é abeliano) e também com N e S. Isto signica que N, S ∈ Cg(h) = h. Como ad(N) é nilpotente e Y comuta com N,

ad(Y ) ◦ ad(N) também é nilpotente, ou seja, B(Y, N) = 0 e N é ortogonal a todo elemento de h. Pela não-degenerescência de B|h e pelo fato de que

N ∈ h, temos que N = 0. _

Corolário 3.3.1. A subálgebra de Cartan h é a subálgebra maximal abeliana de g.

Demonstração. Segue de (c).  Corolário 3.3.2. Todo elemento regular em g é semissimples.

Demonstração. Se X ∈ g é regular, g0

X = h é subálgebra de Cartan com

24

4 Representações de sl(2, C)

Nesta seção, usaremos a notação sl2 para a álgebra de Lie sl(2, C)

composta pelas matrizes quadradas de ordem 2 e traço nulo. Assim, X =0 1 0 0  , Y =0 0_{1 0}  , H =1_{0 −1}0 

formam uma base para sl2 de modo que [X, Y ] = H, [H, X] = 2X e

[H, Y ] = −2Y. Por outro lado, o endomorsmo ad(H) possui 3 autovalores: 2, 0, −2 e, portanto, é diagonalizável. Vericamos na Seção 3 que h = CH é um subálgebra de Cartan de sl2 e nota-se facilmente que os elementos X, Y

são nilpotentes. A subálgebra b gerada por H e X é solúvel e chamada subálgebra de Borel de sl2.

4.1 sl

-módulos, pesos e elementos primitivos

Seja V um sl2-módulo (não necessariamente de dimensão nita) e

λ ∈ C. Denimos Vλ _{= {v ∈ V | Hv = λv} e dizemos que um elemento em}

Vλ tem peso λ.

Proposição 4.1.1. A soma P_λ∈CVλ é direta e se v tem peso λ, então Xv tem peso λ + 2 e Y v tem peso λ − 2.

Demonstração. Para a primeira armação, basta observar que autovetores correspondentes a autovalores distintos são linearmente independentes. Por outro lado, tome v ∈ Vλ. Logo,

H(Xv) = [H, X]v + X(Hv) = 2Xv + λXv = (λ + 2)Xv.

De modo análogo, mostramos que H(Y v) = (λ − 2)Y v.  Observe que de forma indutiva, obtemos

H(Xkv) = (λ + 2k)Xkv e H(Ykv) = (λ − 2k)Ykv.

Caso V possua dimensão nita, V = P_λ∈CVλ, pois H é semissimples e todo endomorsmo ρ(H) ∈ gl(V ) também o é.

Denição 4.1.1. Seja V um sl2-módulo e λ ∈ C. Um elemento e ∈ V é

4.1 sl2-módulos, pesos e elementos primitivos 25

Proposição 4.1.2. Para que um elemento não-nulo e seja primitivo, é ne-cessário e suciente que E = Ce é estável sob a subálgebra de Borel b. Demonstração. (⇒) Trivial.

(⇐) Como E é estável sob a subálgebra de Borel b, temos que Xe = ae e He = be com a, b ∈ C. Logo,

2ae = 2Xe = [H, X]e = H(Xe) − X(He) = aHe − bXe = 0 ⇒ a = 0.  Proposição 4.1.3. Todo sl2-módulo V de dimensão nita contém um

ele-mento primitivo.

Demonstração. Como b é solúvel, o Teorema de Lie garante que b possui um autovetor não-nulo v comum para todos os seus elementos. Portanto, E = Ce é estável sob b e o resultado segue da proposição anterior.  Teorema 4.1.1. Seja V um sl2-módulo e e ∈ V um elemento primitivo de

peso λ. Tome en = Yne/n! para n ≥ 0 e e−1 = 0. Então, para todo n ≥ 0

temos

(i) Hen = (λ − 2n)en.

(ii) Y en = (n + 1)en+1.

(iii) Xen = (λ − n + 1)en−1.

Demonstração. Para (i), basta usar a observação feita logo após a Proposição 4.1.1. Para (ii), faça:

Y en = Y  Yn_e n!  = 1 n!  Yn+1e  = 1 n!(n + 1)!en+1 = (n + 1)en+1. Agora, vamos mostrar (iii) usando indução sobre n: se n = 0, então Xe0 =

(λ + 1)e−1 = 0 (usando a fórmula) e como e é elemento primitivo, Xe0 =

Xe = 0. Suponha que o resultado seja válido para n − 1 e tome n > 0. Logo, nXen = XY en−1= [X, Y ]en−1+ Y Xen−1

= Hen−1+ (λ − n + 2)Y en−2

= (λ − 2n + 2 + (λ − n + 2)(n − 1))en−1

= n(λ − n + 1)en−1.

4.2 Representações irredutíveis 26 Corolário 4.1.1. Considere V um sl2-módulo qualquer. Somente um dos

dois casos acontece:

(a) os elementos {en} são linearmente independentes para n > 0; ou

(b) o peso λ de e é um número inteiro m > 0, os elementos e0, . . . , em são

linearmente independentes e ei = 0 para i > m.

Demonstração. Uma vez que os elementos ei possuem pesos distintos, aqueles

que são não-nulos são linearmente independentes. Se todos são não-nulos, temos o caso (a). Caso contrário, existe um inteiro m > 0 tal que e0, . . . , em

são linearmente independentes e ei = 0para i > m. Aplicando a fórmula (iii)

para n = m + 1, obtemos 0 = Xem+1 = (λ − m)em. Como em 6= 0, λ = m

e isto mostra que o peso λ é um número inteiro não-negativo, resultando

(b). _

Corolário 4.1.2. Se V possui dimensão nita, estamos no caso (b) do co-rolário anterior. Assim, o subespaço vetorial W de V com base e0, . . . , em é

um sl2-submódulo irredutível.

Demonstração. Claramente o caso (a) não acontece. Por outro lado, as fór-mulas (i), (ii) e (iii) mostram que W é um g-submódulo de V gerado por e. De (i), os autovalores de H em W são m, m−2, m−4 . . . , −m+4, −m+2, −m e possuem multiplicidade um. Tome W0_{um subespaço não-nulo de W estável}

sob sl2 (em particular, estável sob X, H e Y ), logo W0 contém um elemento

não-nulo que é combinação linear dos ei. Aplicando Y (ou X) a este elemento,

obtemos que ej ∈ W0 para algum 1 ≤ j ≤ m; a fórmula (iii) nos diz que W0

contém ej−1, . . . , e0 = ee a fórmula (ii) mostra que ej+1, ej+2, . . . pertencem

a W0_{. Portanto, W}0 _{= W e W é um sl}

2-submódulo irredutível. 

4.2 Representações irredutíveis

Seja m > 0 inteiro e Wm um espaço vetorial de dimensão m + 1 com

base e0, . . . , em. Dena os endomorsmos X, Y, H de Wm pelas fórmulas

(convencionamos e−1 = em+1 = 0):

(i) Hen = (m − 2n)en.

(ii) Y en = (n + 1)en+1.

4.2 Representações irredutíveis 27 Assim, os endomorsmos X, Y, H fazem de Wmum sl2-módulo. De fato,

os itens (M1) e (M2) da denição de módulo são triviais. Resta mostrar o item (M3):

[X, Y ]en = Hen

= (m − 2n)en

= X(Y en) − Y (Xen).

De modo análogo, [H, X]en = H(Xen) − X(Hen) = 2Xene [H, Y ]en=

H(Y en) − Y (Hen) = −2Y en.

Teorema 4.2.1. Wm é um sl2-módulo irredutível e todo sl2-módulo

irredu-tível de dimensão m + 1 é isomorfo a Wm.

Demonstração. Observe que e0é elemento primitivo de peso m e Wmé gerado

pelas imagens de e0. Pelo Corolário 4.1.2 do Teorema 4.1.1, Wm é um sl2

-módulo irredutível. Por outro lado, considere V um sl2-módulo irredutível

de dimensão m + 1. Vimos que V possui um elemento primitivo e de peso m0 e que o sl2-submódulo W de V gerado por e tem dimensão m0+ 1. Logo,

V = W, m = m0 e pelas fórmulas do Teorema 4.1.1, V ∼= Wm. 

Teorema 4.2.2. Todo sl2-módulo de dimensão nita é isomorfo a uma soma

direta dos módulos Wm.

Demonstração. Pelo Teorema de Weyl, todo módulo é soma direta de sub-módulos irredutíveis, mas vimos que estes são isomorfos a Wm para algum

m. _

Teorema 4.2.3. Seja V um sl2-módulo de dimensão nita. Então:

(a) O endomorsmo de V induzido por H é diagonalizável e seus auto-valores são inteiros. Se ±n (com n ≥ 0) é autovalor de H, então n − 2, n − 4, . . . , −n + 2, −n também são;

(b) Se n ≥ 0 é um inteiro, os mapas lineares

Yn : Vn→ V−n _{e X}n_{: V}−n _{→ V}n

são isomorsmos. Em particular, Vn _{e V}−n _{têm a mesma dimensão.}

Demonstração. O resultado é válido se V = Wm para algum m. Assim, as

4.2 Representações irredutíveis 28 Assim, temos as ferramentas necessárias para identicar algumas re-presentações (módulos) de sl2. Seja V = C o sl2-módulo de dimensão 1, logo

V = W0, onde H age trivialmente. Se V = C2 e {x, y} é a base usual de

C2 temos Hx = x, Hy = −y e V = Cx ⊕ Cy = V1 ⊕ V−1 = W1 (chamado

módulo fundamental). Agora, considere V o sl2-módulo fundamental com a

mesma base descrita anteriormente e

A = Sym2(V ) = V ⊗ V hx ⊗ y − y ⊗ xi·

Então, A é um sl2-módulo com base {x ⊗ x, x ⊗ y, y ⊗ y}, chamada

segunda potência simétrica. Considerando xy a imagem de x⊗y em Sym2_{(V )}

temos que

Hx2 = (Hx)x + x(Hx) = x2+ x2 = 2x2, H(xy) = (Hx)y + x(Hy) = xy − xy = 0,

Hy2 = (Hy)y + y(Hy) = −y2− y2 = −2y2, ou seja, A = C(x⊗x)⊕C(x⊗y)⊕C(y⊗y) = V2_⊕V0_⊕V−2 _{= W}

2 (adjunta).

Observação 4.2.1. Podemos generalizar este argumento do seguinte modo: tome Symr_{(V ), onde V o sl}

2-módulo fundamental com a base usual. Assim,

{xr_{, x}r−1_{y, . . . , xy}r−1_{, y}r_{} é um base para Sym}r_{(V ) e se k = 0, . . . , r:}

H(xr−kyk) = H(xr−k)yk+ xr−kH(yk)

= (r − k)xr−k−1H(x)yk+ xr−kkyk−1H(y) = (r − k)xr−kyk− kxr−kyk

= (r − 2k)xr−kyk.

Isto nos mostra que Symr_{(V )possui os autovalores r, r −2, . . . , −r +2, −r de}

multiplicidade 1, ou seja, Symr_{(V )é a representação irredutível de dimensão}

r + 1.

Observação 4.2.2. Se v tem autovalor α e w tem autovalor β, então v ⊗ w tem autovalor α + β. De fato,

H(v ⊗ w) = Hv ⊗ w + v ⊗ Hw = αv ⊗ w + v ⊗ βw = (α + β)v ⊗ w. Exemplo 4.2.1. Seja V o sl2-módulo fundamental com a base usual. Então,

V ⊗ V é um sl2-módulo com base {x ⊗ x, x ⊗ y, y ⊗ x, y ⊗ y}. Como x tem

autovalor 1 e y tem autovalor −1, os autovalores de V ⊗ V são: 2, 0, 0, −2. Portanto, V ⊗ V = Sym2_{(V ) ⊕ Sym}0_{(V ). Neste caso, V}2

(V ) = Sym0_{(V ) e}

assim V ⊗ V = Sym2_{(V ) ⊕}V2

(V ). De modo geral, se V é um K-espaço vetorial de dimensão nita e K é um corpo de característica zero, então

4.2 Representações irredutíveis 29 V ⊗KV =Sym2(V ) ⊕

V2 (V ).

Exemplo 4.2.2. Sym2_{(V ) ⊗ Sym}3_{(V ) = Sym}5_{(V ) ⊕Sym}3_{(V ) ⊕ Sym}1_{(V ),}

onde V o sl2-módulo fundamental. De fato, Sym2(V )tem autovalores 2, 0, −2

e Sym3_{(V )} tem os autovalores 3, 1, −1, −3, logo as possibilidades dos

auto-valores do produto tensorial das potências simétricas são: 5, 3 (com multi-plicidade 2), 1 (com multimulti-plicidade 3), −1 (com multimulti-plicidade 3), −3 (com multiplicidade 2), −5. Portanto, temos a decomposição acima.

30

5 Sistema de raízes

Nesta seção, o corpo base é o corpo dos números reais R e os espaços vetoriais considerados são todos de dimensão nita.

5.1 Simetrias e Sistemas de Raízes

Denição 5.1.1. Seja V um espaço vetorial e α ∈ V um vetor não-nulo. Uma simetria com o vetor α é um automorsmo s de V tal que

(i) s(α) = −α.

(ii) O conjunto H = {β ∈ V | s(β) = β} é um hiperplano de V .

No que segue, usaremos a notação hf, vi = f(v) para f ∈ V∗ _{e v ∈ V .}

Lema 5.1.1. Seja s uma simetria com o vetor α. Então: (a) O espaço H é complemento para Rα em V .

(b) s tem ordem 2.

(c) Existe um único α∗ ∈ V∗ _{tal que hα}∗_{, Hi = 0 e hα}∗_{, αi = 2. Tem-se}

s(v) = v − hα∗, viα.

(d) Se α ∈ V e α∗ ∈ V∗ são tais que hα∗, αi = 2, então a aplicação denida por r(v) = v − hα∗_{, viα é uma simetria no vetor α.}

Demonstração. (a): Segue do fato de que H tem codimensão 1 e não contém α. Assim, V = H ⊕ Rα.

(b): Basta observar que a ordem de s em H é 1 e em Rα é 2. Usando a decomposição acima de V , o resultado é válido.

(c): A existência é clara e a unicidade segue do fato de que H e Rα estão em soma direta. Tome v ∈ V , logo v = h + aα com h ∈ H e a ∈ R. Daí, s(v) = h − aα e

v − hα∗, viα = h + aα − hα∗, h + aαiα

= h + aα − hα∗, hiα − ahα∗, αiα = h + aα − 2aα

5.1 Simetrias e Sistemas de Raízes 31 (d): r(α) = α − hα∗, αiα = α − 2α = −α. Por outro lado, se H = Ker(α∗), então H é um hiperplano e r(h) = h, ∀h ∈ H.  Assim, se s é uma simetria, podemos escrever s = 1 − α∗_{⊗ αusando a}

identicação de End(V ) com V∗_{⊗ V.}

Denição 5.1.2. Um subconjunto R do espaço vetorial V é chamado sis-tema de raízes em V se as condições são satisfeitas:

(S1) R é nito, gera V e não contém 0.

(S2) Para cada α ∈ R, existe uma única simetria sα com o vetor α que deixa

R invariante.

(S3) Para cada α, β ∈ R, sα(β) − β é um inteiro múltiplo de α.

Observação 5.1.1. Se α ∈ R, então −α = sα(α) ∈ R por (S2).

Observação 5.1.2. A condição (S3) é equivalente a: para todo α, β ∈ R, temos que hα∗

, βi ∈ Z.

Denição 5.1.3. A dimensão de V é dita o posto do sistema de raízes R, os elementos α ∈ R são chamados raízes de V e os elementos α∗ _{∈ V}∗ _são

chamados raízes inversas de α.

Denição 5.1.4. Um sistema de raízes R é chamado reduzido se para cada α ∈ R, α e −α são as únicas raízes proporcionais a α em R.

Considere R um sistema de raízes não reduzido e α ∈ R, então tα ∈ R para 0 < t < 1 (podemos fazer esta escolha pelo fato de que t ≥ 1 ou 0 < t < 1, caso tα = β ∈ R com t ≥ 1 obtemos que α = 1_tβ ∈ R e portanto tome β). Aplicando (S3) em β = tα:

hα∗

, βi ∈ Z ⇒ hα∗, tαi = thα∗_{, αi = 2t ∈ Z ⇒ t =} 1₂.

Ou seja, as raízes proporcionais a α em R são: −α, −α/2, α/2, α (ou −2α, −α, α, 2α).

Denição 5.1.5. Seja R um sistema de raízes em um espaço vetorial V . O grupo de Weyl de R é o subgrupo de

GL(V ) = {g : V → V | g é linear e bijetiva}

gerado pelas simetrias sα com α ∈ R e o denotamos por W ou W(R) para

5.2 Formas quadráticas invariantes 32

Exemplo 5.1.1. Veremos adiante que todo sistemas de raízes reduzidos de posto 2 é isomorfo a um dos listados abaixo (nesta ordem, são chamados do tipo A1× A1, A2, B2 e G2):

5.2 Formas quadráticas invariantes

Denição 5.2.1. Um espaço euclidiano E sobre F (onde F é R ou C) é um espaço vetorial sobre F juntamente com um produto interno em E, ou seja, uma aplicação

E × E → _F (x, y) 7→ hx, yi que fatisfaz as propriedades para x, y, z ∈ E e λ ∈ F:

(a) hx, yi = hy, xi ou hx, yi = hy, xi quando F = C (a barra denota a conjugação complexa).

(b) hλx, yi = λhy, xi.

(c) hx + z, yi = hx, yi + hz, yi. (d) hx, xi > 0se x 6= 0.

Denição 5.2.2. Dizemos que uma forma bilinear simétrica g de V é positiva denida se para todo α ∈ V não-nulo, tem-se g(α, α) > 0.

Proposição 5.2.1. Seja R um sistema de raízes de V . Então, existe uma forma bilinear, simétrica e positiva denida ( , ) em V que é invariante sob o grupo de Weyl W de R, isto é, (w(x), w(y)) = (x, y) para todo w ∈ W. Demonstração. Se B(x, y) é uma forma bilinear, simétrica, positiva denida em V , então a forma

5.3 Posição relativa entre duas raízes 33 (x, y) = X

w∈W

B(w(x), w(y))

é positiva denida e invariante sob o grupo de Weyl (segue do fato de que W é nito). Fixando esta forma ( , ), V possui uma estrutura de espaço

euclidiano sobre R. 

Observação 5.2.1. Seja α ∈ R não-nulo e v ∈ V . Então, sα(v) = v − 2

(α, v) (α, α)α

ou equivalentemente, usando a identicação de V com V∗ _{via ( , ), temos}

a igualdade α0 ₌ 2α (α,α) (α

∗ _{∈ V}∗ _{7→ α}0 _{∈ V). De fato, note que podemos}

escrever V = Rα ⊕ (Rα)⊥_{, onde (Rα)}⊥ _{é o complemento ortogonal de Rα}

com respeito a forma ( , ). Sendo assim, considere v = aα + v0 em V com

v0 ∈ hαi⊥. Inicialmente, observe que

0 = (v0, α) = (sα(v0), sα(α)) = (v0− hα∗, v0iα, −α) = hα∗, v0i(α, α)

com α 6= 0, o que implica hα∗_{, v}

0i = 0 (pois a forma é positiva denida) e

consequentemente, sα(v0) = v0. Daí, sα(v) = −aα + v0 e

v − 2(α, v) (α, α)α = v − 2 (α, aα + v0) (α, α) α = v − 2a(α, α) (α, α)α − 2 (α, v0) (α, α)α = v − 2aα = sα(v).

Isto signica que para v ∈ V , (α0, v) = hα∗, vi = 2(α, v) (α, α) =  2α (α, α), v  ⇒ α0 = 2α (α, α)·

5.3 Posição relativa entre duas raízes

Se α, β são duas raízes, denotaremos n(β, α) = hα∗_{, βi = 2}(α,β) (α,α) ∈ Z,

|α| = p(α, α) e φ o ângulo entre α e β com respeito a estrutura de espaço euclidiano de V . Então, (α, β) = |α||β| cos φ e n(β, α) = 2|β|

|α|cos φ. Daí,

5.4 Bases 34 Como n(β, α) e n(α, β) são inteiros e 0 ≤ cos2_{φ ≤ 1}, a equação (1)

mostra que n(β, α)n(α, β) = 0, 1, 2, 3, 4 sendo que o último caso acontece quando α e β são proporcionais (ou seja, α = ±β). Agora, se α e β são duas raízes não proporcionais de forma que |α| ≤ |β|, então

|n(β, α)| = 2|(α, β)| (α, α) ≥ 2

|(β, α)|

(β, β) = |n(α, β)| e temos as 7 possibilidades listadas na tabela abaixo:

Tabela 1: n(α, β) n(β, α) θ |β|/|α| 0 0 π/2 indeterminado 1 1 π/3 1 −1 −1 2π/3 1 1 2 π/4 2 −1 −2 3π/4 2 1 3 π/6 3 −1 −3 5π/6 3

Agora, dados α e β em R, queremos saber se α + β, α − β, β − α são elementos em R. A proposição seguinte responde esta pergunta.

Proposição 5.3.1. Sejam α e β duas raízes não proporcionais. Se o ângulo entre as duas raízes é agudo (n(β, α) > 0), então α − β ∈ R e quando o ângulo é obtuso (n(β, α) < 0) α + β é raiz.

Demonstração. Considere n(β, α) > 0. Pela tabela acima, n(β, α) = 1 ou n(α, β) = 1. No primeiro caso, α − β = −(β − n(β, α)α) = sα(β) ∈ R. Já

no segundo temos que α − β = sβ(α) ∈ R. Por outro lado, se n(β, α) < 0,

pela Tabela 1 concluímos que n(α, β) = −1, o que implica α + β = α − n(α, β)β = sβ(α) ∈ R.



5.4 Bases

Seja R um sistema de raízes de V . Denição 5.4.1. S ⊂ R é base de R se:

5.4 Bases 35 (a) S é base de V .

(b) Cada β ∈ R pode ser escrito como β = P_α∈Smαα, onde os coecientes

mα são inteiros e possuem o mesmo sinal (todos ≥ 0 ou ≤ 0).

Os elementos de S são chamados raízes simples.

Tome t ∈ V∗ _{tal que ht, αi 6= 0 para todo α ∈ R e dena}

R+_t = {α ∈ R | ht, αi > 0}. Logo, R = R+

t ∪(−R +

t). Dizemos que um elemento α ∈ R +

t é decomponível

se existem β, γ ∈ R+

t tal que α = β + γ; caso contrário, α é chamado

indecomponível. Considere Sté o conjunto dos elementos indecomponíveis

de R+ t .

Teorema 5.4.1. St é base de R. Reciprocamente, se S é base de R e t ∈ V∗

é tal que ht, αi > 0, ∀α ∈ S, tem-se S = St. Em particular, todo sistema de

raízes possui base.

Demonstração. Veja [4] (página 30).  Proposição 5.4.1. Tem-se (α, β) ≤ 0 para todo α, β ∈ St, isto é, o ângulo

entre duas raízes simples não pode ser agudo.

Demonstração. Suponha (α, β) > 0. Pela Proposição 5.3.1, γ = α − β é raiz. Se γ ∈ R+

t , então α = β + γ é decomponível, absurdo. Caso contrário,

−γ ∈ R+

t e assim β = α + (−γ) é decomponível. 

Para o que segue, S é uma base para o sistema de raízes R e denote R+

o conjunto das raízes que são combinações lineares de elementos de S com coecientes inteiros não-negativos. Um elemento em R+ é chamado raiz

positiva.

Proposição 5.4.2. Toda raiz positiva β pode ser escrita da forma β = α1+ · · · + αk com αi ∈ S

tal que cada soma parcial α1+ · · · + αh com 1 ≤ h ≤ k é raiz.

5.4 Bases 36 Proposição 5.4.3. Suponha que R é reduzido e α ∈ R. A simetria sα

associada a α deixa R+_{− {α} invariante.}

Demonstração. Tome β ∈ R+_{− {α} ⇒ β =}P

γ∈Smγγ com mγ ≥ 0. Como

R é reduzido e β 6= α, β não é proporcional a α e existe γ0 6= α tal que

mγ0 > 0. Assim, sα(β) = X γ∈S mγsα(γ) = X γ∈S mγγ − X γ∈S mγhα∗, γi ! α.

Portanto, o coeciente de γ0 continua mγ0 > 0 para a raiz o que implica

sα(β) 6= α e sα(β) ∈ R+ (pois se um determinado coeciente é positivo,

todos os outros devem ser).  Corolário 5.4.1. Seja ρ = 1

2 X

β∈R+

β. Então, sα(ρ) = ρ − α para todo α ∈ S.

Demonstração. Considere ρα = 1₂ P_β∈R+_−{α}β, logo ρ = ρα + 1₂α. Pela

proposição anterior, sα(ρα) = ρα e consequentemente,

sα(ρ) = sα(ρα) + 1 2sα(α) = ρα− 1 2α = ρ − α.  Teorema 5.4.2. Sejam R um sistema de raízes reduzido, S uma base para R e W o grupo de Weyl. Então

(a) Para cada t ∈ V∗, existe w ∈ W tal que hw(t), αi ≥ 0 para todo α ∈ S. (b) Se S0 é outra base de R, existe w ∈ W tal que w(S0) = S.

(c) Para cada β ∈ R, existe w ∈ W tal que w(β) ∈ S. (d) W é gerado pelas simetrias sα com α ∈ S.