Representações irredutíveis

dois casos acontece:

(a) os elementos {en} são linearmente independentes para n > 0; ou

(b) o peso λ de e é um número inteiro m > 0, os elementos e0, . . . , em são

linearmente independentes e ei = 0 para i > m.

Demonstração. Uma vez que os elementos ei possuem pesos distintos, aqueles

que são não-nulos são linearmente independentes. Se todos são não-nulos, temos o caso (a). Caso contrário, existe um inteiro m > 0 tal que e0, . . . , em

são linearmente independentes e ei = 0para i > m. Aplicando a fórmula (iii)

para n = m + 1, obtemos 0 = Xem+1 = (λ − m)em. Como em 6= 0, λ = m

e isto mostra que o peso λ é um número inteiro não-negativo, resultando

(b). _

Corolário 4.1.2. Se V possui dimensão nita, estamos no caso (b) do co- rolário anterior. Assim, o subespaço vetorial W de V com base e0, . . . , em é

um sl2-submódulo irredutível.

Demonstração. Claramente o caso (a) não acontece. Por outro lado, as fór- mulas (i), (ii) e (iii) mostram que W é um g-submódulo de V gerado por e. De (i), os autovalores de H em W são m, m−2, m−4 . . . , −m+4, −m+2, −m e possuem multiplicidade um. Tome W0_{um subespaço não-nulo de W estável}

sob sl2 (em particular, estável sob X, H e Y ), logo W0 contém um elemento

não-nulo que é combinação linear dos ei. Aplicando Y (ou X) a este elemento,

obtemos que ej ∈ W0 para algum 1 ≤ j ≤ m; a fórmula (iii) nos diz que W0

contém ej−1, . . . , e0 = ee a fórmula (ii) mostra que ej+1, ej+2, . . . pertencem

a W0_{. Portanto, W}0 _{= W e W é um sl}

2-submódulo irredutível. 

4.2 Representações irredutíveis

Seja m > 0 inteiro e Wm um espaço vetorial de dimensão m + 1 com

base e0, . . . , em. Dena os endomorsmos X, Y, H de Wm pelas fórmulas

(convencionamos e−1 = em+1 = 0):

(i) Hen = (m − 2n)en.

(ii) Y en = (n + 1)en+1.

4.2 Representações irredutíveis 27 Assim, os endomorsmos X, Y, H fazem de Wmum sl2-módulo. De fato,

os itens (M1) e (M2) da denição de módulo são triviais. Resta mostrar o item (M3):

[X, Y ]en = Hen

= (m − 2n)en

= X(Y en) − Y (Xen).

De modo análogo, [H, X]en = H(Xen) − X(Hen) = 2Xene [H, Y ]en=

H(Y en) − Y (Hen) = −2Y en.

Teorema 4.2.1. Wm é um sl2-módulo irredutível e todo sl2-módulo irredu-

tível de dimensão m + 1 é isomorfo a Wm.

Demonstração. Observe que e0é elemento primitivo de peso m e Wmé gerado

pelas imagens de e0. Pelo Corolário 4.1.2 do Teorema 4.1.1, Wm é um sl2-

módulo irredutível. Por outro lado, considere V um sl2-módulo irredutível

de dimensão m + 1. Vimos que V possui um elemento primitivo e de peso m0 e que o sl2-submódulo W de V gerado por e tem dimensão m0+ 1. Logo,

V = W, m = m0 e pelas fórmulas do Teorema 4.1.1, V ∼= Wm. 

Teorema 4.2.2. Todo sl2-módulo de dimensão nita é isomorfo a uma soma

direta dos módulos Wm.

Demonstração. Pelo Teorema de Weyl, todo módulo é soma direta de sub- módulos irredutíveis, mas vimos que estes são isomorfos a Wm para algum

m. _

Teorema 4.2.3. Seja V um sl2-módulo de dimensão nita. Então:

(a) O endomorsmo de V induzido por H é diagonalizável e seus auto- valores são inteiros. Se ±n (com n ≥ 0) é autovalor de H, então n − 2, n − 4, . . . , −n + 2, −n também são;

(b) Se n ≥ 0 é um inteiro, os mapas lineares

Yn : Vn→ V−n _{e X}n_{: V}−n _{→ V}n

são isomorsmos. Em particular, Vn _{e V}−n _{têm a mesma dimensão.}

Demonstração. O resultado é válido se V = Wm para algum m. Assim, as

4.2 Representações irredutíveis 28 Assim, temos as ferramentas necessárias para identicar algumas re- presentações (módulos) de sl2. Seja V = C o sl2-módulo de dimensão 1, logo

V = W0, onde H age trivialmente. Se V = C2 e {x, y} é a base usual de

C2 temos Hx = x, Hy = −y e V = Cx ⊕ Cy = V1 ⊕ V−1 = W1 (chamado

módulo fundamental). Agora, considere V o sl2-módulo fundamental com a

mesma base descrita anteriormente e

A = Sym2(V ) = V ⊗ V hx ⊗ y − y ⊗ xi·

Então, A é um sl2-módulo com base {x ⊗ x, x ⊗ y, y ⊗ y}, chamada

segunda potência simétrica. Considerando xy a imagem de x⊗y em Sym2_{(V )}

temos que

Hx2 = (Hx)x + x(Hx) = x2+ x2 = 2x2, H(xy) = (Hx)y + x(Hy) = xy − xy = 0,

Hy2 = (Hy)y + y(Hy) = −y2− y2 = −2y2, ou seja, A = C(x⊗x)⊕C(x⊗y)⊕C(y⊗y) = V2_⊕V0_⊕V−2 _{= W}

2 (adjunta).

Observação 4.2.1. Podemos generalizar este argumento do seguinte modo: tome Symr_{(V ), onde V o sl}

2-módulo fundamental com a base usual. Assim,

{xr_{, x}r−1_{y, . . . , xy}r−1_{, y}r_{} é um base para Sym}r_{(V ) e se k = 0, . . . , r:}

H(xr−kyk) = H(xr−k)yk+ xr−kH(yk)

= (r − k)xr−k−1H(x)yk+ xr−kkyk−1H(y) = (r − k)xr−kyk− kxr−kyk

= (r − 2k)xr−kyk.

Isto nos mostra que Symr_{(V )possui os autovalores r, r −2, . . . , −r +2, −r de}

multiplicidade 1, ou seja, Symr_{(V )é a representação irredutível de dimensão}

r + 1.

Observação 4.2.2. Se v tem autovalor α e w tem autovalor β, então v ⊗ w tem autovalor α + β. De fato,

H(v ⊗ w) = Hv ⊗ w + v ⊗ Hw = αv ⊗ w + v ⊗ βw = (α + β)v ⊗ w. Exemplo 4.2.1. Seja V o sl2-módulo fundamental com a base usual. Então,

V ⊗ V é um sl2-módulo com base {x ⊗ x, x ⊗ y, y ⊗ x, y ⊗ y}. Como x tem

autovalor 1 e y tem autovalor −1, os autovalores de V ⊗ V são: 2, 0, 0, −2. Portanto, V ⊗ V = Sym2_{(V ) ⊕ Sym}0_{(V ). Neste caso, V}2

(V ) = Sym0_{(V ) e}

assim V ⊗ V = Sym2_{(V ) ⊕}V2

(V ). De modo geral, se V é um K-espaço vetorial de dimensão nita e K é um corpo de característica zero, então

4.2 Representações irredutíveis 29 V ⊗KV =Sym2(V ) ⊕

V2 (V ).

Exemplo 4.2.2. Sym2_{(V ) ⊗ Sym}3_{(V ) = Sym}5_{(V ) ⊕Sym}3_{(V ) ⊕ Sym}1_{(V ),}

onde V o sl2-módulo fundamental. De fato, Sym2(V )tem autovalores 2, 0, −2

e Sym3_{(V )} tem os autovalores 3, 1, −1, −3, logo as possibilidades dos auto-

valores do produto tensorial das potências simétricas são: 5, 3 (com multi- plicidade 2), 1 (com multiplicidade 3), −1 (com multiplicidade 3), −3 (com multiplicidade 2), −5. Portanto, temos a decomposição acima.

30

5 Sistema de raízes

Nesta seção, o corpo base é o corpo dos números reais R e os espaços vetoriais considerados são todos de dimensão nita.

5.1 Simetrias e Sistemas de Raízes

Denição 5.1.1. Seja V um espaço vetorial e α ∈ V um vetor não-nulo. Uma simetria com o vetor α é um automorsmo s de V tal que

(i) s(α) = −α.

(ii) O conjunto H = {β ∈ V | s(β) = β} é um hiperplano de V .

No que segue, usaremos a notação hf, vi = f(v) para f ∈ V∗ _{e v ∈ V .}

Lema 5.1.1. Seja s uma simetria com o vetor α. Então: (a) O espaço H é complemento para Rα em V .

(b) s tem ordem 2.

(c) Existe um único α∗ ∈ V∗ _{tal que hα}∗_{, Hi = 0 e hα}∗_{, αi = 2. Tem-se}

s(v) = v − hα∗, viα.

(d) Se α ∈ V e α∗ ∈ V∗ são tais que hα∗, αi = 2, então a aplicação denida por r(v) = v − hα∗_{, viα é uma simetria no vetor α.}

Demonstração. (a): Segue do fato de que H tem codimensão 1 e não contém α. Assim, V = H ⊕ Rα.

(b): Basta observar que a ordem de s em H é 1 e em Rα é 2. Usando a decomposição acima de V , o resultado é válido.

(c): A existência é clara e a unicidade segue do fato de que H e Rα estão em soma direta. Tome v ∈ V , logo v = h + aα com h ∈ H e a ∈ R. Daí, s(v) = h − aα e

v − hα∗, viα = h + aα − hα∗, h + aαiα

= h + aα − hα∗, hiα − ahα∗, αiα = h + aα − 2aα

5.1 Simetrias e Sistemas de Raízes 31 (d): r(α) = α − hα∗, αiα = α − 2α = −α. Por outro lado, se H = Ker(α∗), então H é um hiperplano e r(h) = h, ∀h ∈ H.  Assim, se s é uma simetria, podemos escrever s = 1 − α∗_{⊗ αusando a}

identicação de End(V ) com V∗_{⊗ V.}

Denição 5.1.2. Um subconjunto R do espaço vetorial V é chamado sis- tema de raízes em V se as condições são satisfeitas:

(S1) R é nito, gera V e não contém 0.

(S2) Para cada α ∈ R, existe uma única simetria sα com o vetor α que deixa

R invariante.

(S3) Para cada α, β ∈ R, sα(β) − β é um inteiro múltiplo de α.

Observação 5.1.1. Se α ∈ R, então −α = sα(α) ∈ R por (S2).

Observação 5.1.2. A condição (S3) é equivalente a: para todo α, β ∈ R, temos que hα∗

, βi ∈ Z.

Denição 5.1.3. A dimensão de V é dita o posto do sistema de raízes R, os elementos α ∈ R são chamados raízes de V e os elementos α∗ _{∈ V}∗ _são

chamados raízes inversas de α.

Denição 5.1.4. Um sistema de raízes R é chamado reduzido se para cada α ∈ R, α e −α são as únicas raízes proporcionais a α em R.

Considere R um sistema de raízes não reduzido e α ∈ R, então tα ∈ R para 0 < t < 1 (podemos fazer esta escolha pelo fato de que t ≥ 1 ou 0 < t < 1, caso tα = β ∈ R com t ≥ 1 obtemos que α = 1_tβ ∈ R e portanto tome β). Aplicando (S3) em β = tα:

hα∗

, βi ∈ Z ⇒ hα∗, tαi = thα∗_{, αi = 2t ∈ Z ⇒ t =} 1₂.

Ou seja, as raízes proporcionais a α em R são: −α, −α/2, α/2, α (ou −2α, −α, α, 2α).

Denição 5.1.5. Seja R um sistema de raízes em um espaço vetorial V . O grupo de Weyl de R é o subgrupo de

GL(V ) = {g : V → V | g é linear e bijetiva}

gerado pelas simetrias sα com α ∈ R e o denotamos por W ou W(R) para