Esta seção está baseada nos resultados de (BREZIS, 1983) e (FOLLAND, 1999), e aqui provamos basicamente que os a diferenciabilidade de operadores de Nemytskii de Lp(Ω) em Lp(Ω) de funções reais implica que a função é afim. Começamos revendo o Teorema da Convergência Dominada Inverso e, para este fim, consideramos Ω um domínio limitado de Rne p> 1.
Teorema B.7.1 (Convergência Dominada Inverso). Seja {un} uma sequência em Lp(Ω) e u ∈
Lp(Ω) tal que un→ u in Lp(Ω). Então, existe uma subsequência {unk} de {un} e uma função h∈ Lp(Ω) tal que
(i) unk(x) → u(x) a.e. em Ω;
(ii) |unk(x)| 6 h(x) para todo k, a.e. em Ω. Demonstração. Ver (BREZIS,1983).
Lema B.7.2. Considere uma função contínua f : R → R tal que | f (s)| 6 c(1 + |s|p) para todo s∈ R, onde c > 0 é uma constante, e defina o operador de Nemytskii fe: Lp(Ω) → L1(Ω) associado com f por fe(u)(x) = f (u(x)) para cada x ∈ Ω e u ∈ Lp(Ω). Então, fe está bem definido e é contínuo.
Demonstração. Seja u ∈ Lp(Ω) e {un} uma sequência em Lp(Ω) que converge para u. Do
TeoremaB.7.1, existe uma subsequência {unk} de {un} e uma função h ∈ L
p(Ω) tal que u
nk(x) → u(x) a.e. em Ω e |unk(x)| 6 h(x) para todo k, a.e. em Ω.
Consequentemente | f (unk(x))| 6 c(1 + |unk(x)|
p) ≤ C(1 + |h(x)|p) e do Teorema da
Convergência Dominada temos Z
Ω
| f (unk(x)) − f (u(x))|dx → 0 as k → ∞,
e como este limite não depende da sequência {un}, obtemos a continuidade de feem u.
O seguinte lema tem uma prova simples e vai ajudar-nos a seguir.
Lema B.7.3. Se f : R → R é diferenciável e globalmente Lipschitz, então seu operador de Nemytskii está bem definido de Lp(Ω) em Lp(Ω) e é globalmente Lipschitz.
Usaremos tanbém o seguinte resultado.
Lema B.7.4. Se f : R → R é diferenciável e globalmente Lipschitz com fe sendo Fréchet diferenciável em u0∈ Lp(Ω), então [D fe(u0)h](x) = f′(u0(x))h(x) para cada h ∈ Lp(Ω), a.e.
B.7. Diferenciabilidade de operadores de Nemytskii 169
Demonstração. Como feé Fréchet diferenciável em u0∈ Lp(Ω), para cada h ∈ Lp(Ω), temos
lim t→0 Z Ω f(u0(x) + th(x)) − f (u0(x)) t − [D f e(u 0)h](x) p = 0, e disto segue que
lim t→0 f (u0(x) + th(x)) − f (u0(x)) t − [D f e(u 0)h](x) = 0, a.e. in Ω, o que implica que [D fe(u0)h](x) = f′(u(x))h(x) a.e. em Ω.
Recordamos o Teorema de Diferenciação de Lebesgue, que será usado para provar o principal resultado desta seção.
Teorema B.7.5 (Teorema de Diferenciação de Lebesgue). Seja g ∈ L1loc(Ω) e defina Arg(x) =
1 |Br(x)|
Z
Br(x)
g(y)dy, para cada 0 < r < dist(x, ∂ Ω). Então, Arg(x) → g(x) quando r → 0+, a.e. em Ω.
Demonstração. Ver (FOLLAND,1999) para a prova deste resultado.
Agora estamos prontos para estabelecer o principal resultado desta seção.
Teorema B.7.6. Se f : R → R é diferenciável e globalmente Lipschitz e seu operador de Nemystkii fe é Fréchet diferenciável num ponto u0∈ Lp(Ω), então existem a, b ∈ R tais que
f(s) = as + b para todo s ∈ R.
Demonstração. Defina gs(y) = | f (u0(y) + s) − f (u0(y)) − f′(u0(y))s|ppara cada s ∈ R e y ∈ Ω.
Do TeoremaB.7.5segue que, fixado x ∈ Ω, temos lim
r→0+Args(x) = gs(x) para todo s ∈ R∖Ex,
onde Exé um conjunto de medida de Lebesgue zero. Se existe x0∈ Ω tal que gs(x0) = 0 para
quase todo s ∈ R então temos que f (u0(x0) + s) = f (u0(x0)) + f′(u0(x0))s para quase todo s ∈ R
e o resultado está provado. Se não valesse a afirmação acima, então para cada x ∈ Ω, existiria um conjunto de medida positiva Sx⊂ R∖{0} tal que gs(x) ̸= 0 para todo s ∈ Sx. Como Ex é de
medida nula, segue que dado x ∈ Ω, existe sx∈ Sx∩ (R∖Ex) e, consequentemente gsx(x) ̸= 0. Sejam s0̸= 0 e x0∈ R∖Es0 tais que gs0(x0) > 0. Seja r > 0 tal que Br(x0) ⊂ Ω e ur= s0χ
Br(x0). Como f
e é Fréchet diferenciável em u
0, Lema B.7.4 implica que [D fe(u)h](x) =
f′(u(x))h(x) q.s em Ω. Por outro lado, 1
‖ur‖p
Lp(Ω) Z
Ω
| f (u0(y) + ur(y)) − f (u0(y)) − f′(u0(y))ur(y)|pdy
> 1 ‖ur‖Lpp(Ω)
Z
Br(x0)
| f (u0(y) + s0) − f (u0(y)) − f′(u0(y))s0|pdy
= 1 |s0|p Args0(x0) → gs0(x0) |s0|p quando r → 0+,
e como gs0(x0) > 0, obtemos uma contradição com a Fréchet-diferenciabilidade de f
eem u 0.
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