Equiatração exponencial de variedades instáveis locais

SejaZ um espaço de Banach complexo e A : D(A) ⊂ Z → Z o gerador de um semi- grupo fortemente contínuo {eAt: t_{> 0} ⊂ L (Z ). Considere o seguinte problema de Cauchy}

˙z = Az + h(z), z(0) = z0∈Z . (1.9)

CondiçãoH . Assuma que o conjunto σ+= {λ ∈ σ (A) : Reλ > 0} é compacto. Seja γ uma curva suave simples em ρ(A) ∩ {λ ∈ C : Reλ > 0} orientada no sentido antiorário. Defina

Q = Q(σ+ ) = 1 2πi Z γ (λ I − A)−1dλ (1.10)

e defina Z+ =Q(Z ), Z−= (I −Q)(Z ), A± = A|_Z±. Então, temos Z = Z+⊕Z−, A− gera um semigrupo fortemente contínuo sobreZ− e A+∈L (Z+_{). Suponha que, para certo}

M_{> 1, ω > 0,} ‖eA+t_‖ L (Z+₎6 Meωt, t 6 0 ‖eA−t_‖ L (Z−₎6 Me−ωt, t > 0. (1.11) Sejam D > 0, L > 0 e denote porL B(D,L) o espaço métrico completo consistindo de todas as funções limitadas e globalmente Lipschitz contínuas Σ :Z+→Z−satisfazendo

sup

z+_∈Z+

‖Σ(z+)‖_{Z 6 D, e ‖Σ(z}+) − Σ(˜z+)‖_{Z 6 L‖z}+− ˜z+‖, z+, ˜z+∈Z+, (1.12) onde a distância entre Σ, ˜Σ ∈L B(D,L) é definida como

|||Σ − ˜Σ||| := sup

z+_∈Z+

‖Σ(z+) − ˜Σ(z+)‖_Z. Lema 1.4.14 (Lema de Gronwall). Seja φ ∈ L1((0, T ), R+) tal que

φ (t)6 a(t) + Z t 0 b(s)φ (s) ds, quase sempre em (0, T ), com a, b ∈ L∞_{(0, T ). Então,} φ (t)6 a(t) + Z t 0 a(s)b(s)e Rt sb(µ) dµ_ds.

Demonstração. Ver (CARVALHO; LANGA; ROBINSON,2013).

Proposição 1.4.15. Seja h :Z → Z uma função continuamente diferenciável que leva limitados deZ em limitados de Z e satisfaz h(0) = 0, h′(0) = 0 ∈L (Z ). Suponha que a condição H valha, 0 < ν < 1 e escolha ρ > 0 tal que

ρ M ω 6 D, ρ M ω (1 + L) 6 ν < 1, ρ M2(1+L) ω −ρ M(1+L) 6 L ρM + ρ2M2(1+L)(1+M) 2ω−ρM(1+L) < ω. (1.13)

Defina z+=Qz e z−= z − z+, onde z é uma solução de (1.9) e considere as equações ˙z+= A+z++ H(z+, z−),

˙z−= A−z++ G(z+, z−) (1.14) com H(z+, z−) =Qh(z++ z−) e G(z+, z−) = (I −Q)h(z++ z−). Seja h tal que H e G satisfazem

‖H(z+_{, z}−_)‖ Z 6 ρ, ‖G(z+_{, z}−_)‖ Z 6 ρ, ‖H(z+_{, z}−_{) − H(˜z}+_{, ˜z}−_)‖ Z 6 ρ(‖z+− ˜z+‖Z + ‖z−− ˜z−‖Z), ‖G(z+_{, z}−_{) − G(˜z}+_{, ˜z}−_)‖ Z 6 ρ(‖z+− ˜z+‖Z + ‖z−− ˜z−‖Z) (1.15)

para todo z+ ∈Z+ _{e z}− _∈Z−_{. Então, existe Σ}*_{∈L B(D,L) tal que a variedade instável}

Wu(0, 0) da solução de equilíbrio (0, 0) de (1.14) é dada por

Wu(0, 0) = {w ∈ Z+× Z−: w = (Qw,Σ*(Qw))}. (1.16) A prova da Proposição1.4.15se encontra em (BRUSCHI et al.,2006). Para efeito de completude dos argumentos usados aqui, colocamos esta prova no ApêndiceB.2.

Corolário 1.4.16. Nas hipóteses da Proposição1.4.15, segue que existe uma vizinhançaO_δ(0) em X e uma função Σ*:Z+→Z−, tal que a variedade instável local W_locu (0) := Wu(0, B_δ(0)) da solução de equilíbrio x = 0 de (1.9) satisfaz

W_locu (0) ⊆ {w ∈O_δ(0) : w = (Qw,Σ*(Qw))}.

Além disso, se valer a igualdade acima, então W_locu (0) é exponencialmente atrator, isto é, existe γ tal que

distH(S(t)u0,Wlocu (0)) 6 Me−γt, (1.17)

sempre que u0∈Oδ(0), t ∈ R

+ _{e {S(s)u}

0: 06 s 6 t} ⊂ Oδ(0). Aqui, S(t)u0:= u(t) e a solução

de (1.9) com dado inicial u0.

Observação 1.4.17. A prova da atração exponencial dada por (1.17) é a prova da desigualdade (B.23). A constante δ é pequena o suficiente para que (1.15) seja satisfeita emO_δ(0). Segue da prova deste resultado que γ = γ(ρ, M, L, ω) e portanto, segue que as constantes da atração exponencial W_locu (0) dependem de ρ, M, L, ω, e portanto obtemos a hipótese de equiatração exponencial das variedades instáveis locais.

1.4. Equiatração exponencial 33

Observação 1.4.18. Se um semigrupo T (·) é gradient-like, então para cada equilíbrio u* de T(·), existe uma vizinhança V tal que

Wu(u*,V ) = Wu(u*) ∩V. (1.18)

Suponha que exista uma aplicação ˜T : R+× X → X tal que ˜

T(t)|V = T (t)|V, ∀t > 0.

Defina para ˜T as noções de solução global, variedade instável ˜Wu(u*) e variedade instável local ˜Wu(u*,V ) como as definições que são dadas no caso de semigrupos. Então,

Wu(u*,W ) = ˜Wu(u*,W ), para toda vizinhança W de u*em V .

Afirmamos que existe uma vizinhança W de u*em V tal que ˜

Wu(u*,W ) = ˜Wu(u*) ∩W.

De fato, se ˜Wu(u*,W ) ̸= ˜Wu(u*) ∩ W para qualquer vizinhança W de u* em V , como ˜

T(t)|V = T (t)|V , teríamos u*tendo estrutura homoclínica com relação a T (·), o que seria uma contradição.

Em particular, se ˜Wu(u*) é dada um gráfico, por exemplo, ˜

Wu(u*) = {u*+Qx + Σ(Qx) : x ∈ X}, então

Wu(u*,W ) = ˜Wu(u*,W ) = ˜Wu(u*) ∩W = {u*+Qx + Σ(Qx) ∈ W : x ∈ X}. (1.19)

Nas aplicações que faremos desta observação, teremosQ projeção, Σ limitada e global- mente Lipschitz e portanto, para r > 0 e c := ‖Q‖_{L (X)}, teríamos

35

CAPÍTULO

2

CORRETORES E POTÊNCIAS

FRACIONÁRIAS

Neste capítulo estudamos de forma abstrata o comportamento assintótico dos atratores da seguinte família de problemas semilineares

du dt + A

α_{u= f (u), t > 0,}

em um espaço de Hilbert X, com 06 α 6 1, quando o operador A : D(A) ⊂ X → X é positivo, auto adjunto com resolvente compacto e − log(A) é o gerador do semigrupo {A−t : t _{> 0}.} Denotaremos Xα _{o espaço de potência fracionária associado ao operador A. A principal referência}

para as técnicas utilizadas aqui é (CARVALHO; LANGA; ROBINSON,2013).

Seja f : X12 → X uma função limitada, Fréchet diferenciável com derivada contínua e limitada. Seja α ∈ [1₂, 1]. Consideremos as seguintes famílias de problemas de valor inicial:

   du dt + Aα ,iu= f (u), t > 0, i = 0, 1, u(0) = u0∈ X 1 2, (2.1) onde Aα ,0:= Aα e {Aα ,1}_{α ∈[}1

2,1] é a família que representará o corretor de primeira ordem da convergência de A−α para A−1 quando α → 1−. Definiremos, na Seção2.1.1, Aα ,1:= Cα.

Segue dos resultados das Seção2.1e dos resultados de (HENRY,1981) (Lema 3.3.2 e Corolário 3.3.5) que os problemas (2.1) estão bem colocado em X12 para i = 0, 1; isto é, para cada u0∈ X

1

2 e α ∈ [1

2, 1], existe uma única solução correspondente

u_{α ,i}(·, u₀) ∈ C([0, ∞), X12), com u

α ,i(t, u0) ∈ D(Aα ,i), ∀t > 0,

tal que uα ,i(·, u0) satisfaz (2.1) e

u_{α ,i}(t, u0) = e−Aα ,itu0+

Z t

0

e−Aα ,i(t−s)_f(u

Além disso, do Teorema 3.4.4 de (HENRY,1981), segue que uα ,i(t, ·) ∈ C1(X

1

2), ∀t > 0. Assim, definimos o semigrupo Tα ,i(·) emZ := X

1

2 associado à (2.1) por T

α ,i(t)u0=

u_{α ,i}(t, u0) para t > 0.

Definição 2.0.1. Para α ∈ [1₂, 1], as soluções de equilíbrio de (2.1) são soluções constantes com relação ao tempo, isto é, são soluções da equação

A_{α ,i}u− f (u) = 0. (2.2)

Denotamos porEα ,io conjunto de soluções de (2.2), α ∈ [1₂, 1].

Definição 2.0.2. Dizemos que um equilíbrio u*_{α ,i}de (2.1) é hiperbólico se σ (Aα ,i− f′(u*α ,i)) é

disjunto do eixo imaginário.

O teorema a seguir resume nossos principais resultados neste capítulo. Teorema 2.0.3. Sejam {T_{α ,i}(·)}

α ∈[1₂,1], i = 0, 1, as famílias de semigrupos contínuos associados

à (2.1). Então:

(i) existe α0 < 1 tal que cada semigrupo Tα ,i(·) tem um atrator global Aα ,i. Além disso,

[

α06α61

Aα ,ié um pré-compacto de Xβ para cada β ∈ [0, 1);

(ii) {T_{α ,i}(·)}

α ∈[1₂,1]é contínua e coletivamente assintóticamente compacta em α = 1 para cada

i= 0, 1. Denotando Bα :=Aα ,0∪Aα ,1, temos que {Bα}_{α ∈[}1

2,1]é assintóticamente com- pacta em α = 1;

(iii) dado θ ∈ (0, 1), existem M, L > 0, γ, α0∈ (0, 1) tais que

sup u∈BZr (0) ‖Tα ,0(t)u − T1,1(t)u‖Z 6 M(1 − α)θ /2t−γeLt, e sup u∈BZ_r (0) ‖Tα ,0(t)u − Tα ,1(t)u‖Z 6 M(1 − α)θt−γeLt, para todo t > 0 e α ∈ [α0, 1]; (iv) seE1,1= {u*,11 , . . . , u *,m

1 } só tem pontos hiperbólicos, então, para α próximo de 1, temos

Eα ,i= {u *,1 α ,i, . . . , u

*,m

α ,i} com todos os equilíbrios hiperbólicos, tais que

sup j=1,...,m ‖u*, j α ,i− u *, j 1 ‖Z = O(1 − α) 1−_2α1 _{, i = 0, 1, e} (2.3) sup j=1,...,m ‖u*, j_{α ,0}− u*, j_{α ,1}‖_Z = O(1 − α)2−α1 (2.4) quando α → 1−;

37

(v) dados D > 0 e L > 0, existem projeções ortogonais Q_{α ,i}j :Z → Z , Z_{α ,i}+, j =Q_{α ,i}j (Z ), Z−, j α ,i = (I −Q j α ,i)(Z ) e aplicações Lipschitz Σ *, j α ,i :Z +, j α ,i →Z −, j α ,i satisfazendo sup v∈Z‖Σ *, j α ,i(Q + α ,i(v))‖Z 6 D, ‖Σ *, j α ,i(v) − Σ *, j α ,i( ˜v)‖Z 6 L‖v − ˜v‖Z, (2.5)

e existe ρ > 0 tal que, se

W_ρu(u*, j_{α ,i}) := W_Tu α ,i(u *, j α ,i, B Z ρ (u *, j 1 )), então W_ρu(u*, j_{α ,i}) ⊂ {u*, j_{α ,i}+Q_{α ,i}j x+ Σ_{α ,i}*, j(Q_{α ,i}j x) : x ∈Z ,‖x‖_Z < ρ} =: W_{α ,i}j e, para cada θ ∈ (0, 1), sup j=1,...,m DistH(W_{α ,0}j ,W_{α ,1}j ) = O((1 − α)θ), e sup j=1,...,m DistH(W_{α ,0}j ,W_1,1j ) = O((1 − α)θ /2) quando α → 1−;

(vi) existe δ > 0 tal que para cada j = 1, . . . , m e w ∈Z com ‖w − u*, j_{α ,i}‖_Z < δ , temos dist(Tα ,i(t)(w),Wρu(u *, j α ,i)) 6 Me −ρ1(t−t0)_dist(T α ,i(t0)(w),Wρu(u *, j α ,i)) enquanto ‖Tα ,i(t)(w) − u *, j α ,i‖Z 6 δ , com M > 1 e ρ1> 0 independentes de α.

Adicionalmente, suponha que o conjuntoY1:= m

[

j=1

u*, j₁ atrai pontos sob a ação de T1,1(·)

e que T1,1(·) não tenha estrutura homoclínica. Então:

(vii) dado θ ∈ (0, 1), existem ν, L > 0 tais que,

DistH(Aα ,i,A1,1) = O((1 − α) θ 2(L+νν )), i = 0, 1, e DistH(Aα ,0,Aα ,1) = O((1 − α) θ (_L+νν )₎ quando α → 1−.

Este capítulo todo será dedicado à prova do teorema acima. A seguir descrevemos as seções deste capítulo.

Na Seção 2.1 estudamos a taxa de convergência de A−α para A−1 e introduzimos a definição de corretor de primeira ordem (Definição 2.1.9), que é uma família de operadores uniformemente setoriais {Cα}, e estimamos ‖C−1α − A

−α_‖

tal que para cada ângulo ϕ ∈ (π/2, π], as taxas acima se transferem para ‖(λ + Aα₎−1_{− (λ +} A)−1‖ L (X,X12) e ‖(λ + A α₎−1_{− (λ +C} α)−1‖ L (X,X12)uniformemente em λ ∈ Σ−ω,ϕ.

Na Seção2.2, estudamos a taxa de aproximação das projeções espectrais associadas aos autovalores dos operadores Aα _{e C}

α, bem como o comportamento assintótico de autovalores e

autoespaços generalizados associados a estes operadores quando α → 1− (Proposição2.2.2). Na Seção2.3, usando os resultados da Seção2.1, estimamos a distância entre semigrupos lineares e−Aα(·), e−A(·) e e−Cα(·). Na Seção2.4, com uso da fórmula da variação das constantes, transferimos estas taxas para os semigrupos não lineares correspondentes, associados à (2.1).

Na Seção2.5, obtemos limitação uniforme dos resolventes que correspondem a lineari- zação de (2.1) em torno de um equilíbrio.

Na Seção2.6, obtemos a taxa de convergência dos equilíbrios associados à (2.1), bem como a taxa dos resolventes da linearização de (2.1) em torno de equilíbrios.

Na Seção2.7, obtemos a equiatração exponencial das variedades instáveis locais associa- dos aos equilíbrios de (2.1), com o auxílio da linearização de (2.1).

Na Seção2.8, com base nos resultados das seções anteriores, provamos o Teorema2.0.3, que é o principal objetivo deste capítulo.

Na Seção2.9, apresentamos uma motivação extendida da busca por introduzir a noção de corretores em sistemas dinâmicos.