A seguir apresentamos os lemas que usamos para provar o Teorema1.4.13.
Recordamos que X um espaço métrico, I := [0, 1] e, para cada B ⊂ X , denotamos γη+(B) =St>0Sη(t)B a orbita positiva de B pelo semigrupo Sη(·).
Lema B.1.1. Se a família {Bη}η ∈I de subconjuntos de X é coletivamente compacta em η = 0,
então {Bη}η ∈I é uniformemente limitada em uma vizinhança de η = 0; isto é,
[
06η6η0 Bη é limitado em X .
Lema B.1.2. Seja {Sη(·)}η ∈I uma família de semigrupos em um espaço de Banach X que é coletivalemente assintoticamente compacta em η = 0. Então, dado um limitado B, existe η0> 0
e t0> 0 tais que a união
[
η ∈[0,η0]
γη+(Sη(t0)B) é limitada em X .
Lema B.1.3. Seja {Sη(·)}η ∈I uma família de semigrupos em um espaço de Banach X que é
coletivalemente assintoticamente compacta em η = 0 e eventualmente convergente em η = 0. Assuma que, para cada η ∈ I, Sη(·) tenha um atrator globalAη e queAη ⊂ Bη com {Bη}η ∈I
coletivamente compacta em η = 0. Suponha que exista uma família {Ξ*η}η ∈I de compactos
invariantes isolados associados a {Sη(·)}η ∈I tais que Ξ*η = {Ξ *
η ,1, . . . , Ξ *
η ,k} para certo k ∈ N e
para todo η ∈ I. Além disso, lim η →0+ max 16 j6k{distH(Ξ * 0, j, Ξ*η , j)} = 0,
e, adicionalmente, Ξ*0= {Ξ*0,1, . . . , Ξ*0,k} atrai pontos de X sob a ação de S0(·).
Então, dado δ > 0, existem T0e η > 0 tais que para todo η ∈ [0, η0] e
x∈ γη+(Sη(T ) [
06η6η0
temos que {Sη(t)x : t ∈ [0, T0]} ∩Oδ(Yη) ̸= ∅, ondeYη := k [ j=1 Ξ*k,η e T é como na Definição1.4.1.
Demonstração. Provaremos este lema por contradição. Suponha que existam δ > 0 e sequências ηn→ 0, tn→ ∞, xn∈ B(ηn,1n), tais que
{Sηn(t)xn: t ∈ [0,tn]} ∩Oδ(Yηn) = ∅.
Como, por hipótese, para cada n ∈ N, sem perda de generalidade, temos que Oδ 2
(Y0) ⊂Oδ(Yη),
então, para quase todo n ∈ N,
{Sηn(t)xn: t ∈ [0,tn]} ∩Oδ 2
(Y0) = ∅. Além disso, existem sequências {yn} ⊂
[
η ∈[0,1n]
Bη, ηkn→ 0 e {τn} ⊂ [0, ∞) tais que xn= Sηkn(T +
τn)yne para quase todo n ∈ N,
{Sηn(t)Sηkn(T + τn)yn: t ∈ [0,tn]} ∩Oδ 2
(Y0) = ∅. (B.1)
Afirmamos que existe uma subsequência de {Sηkn(T + τn)yn} (que sem perda de generalidade
suporemos a mesma) e z ∈ X tais que Sη
nk(T + τn)yn→ z. (B.2)
De fato, se τn é limitada, (e sem perda de generalidade, convergente para τ0∈ R+) usamos
que a família {Bη}η ∈I é coletivamente assintoticamente compacta em η = 0 para garantir que
{yn} tenha subsequência convergente (que suporemos ser a mesma, para simplificar a notação)
para certo z0∈ X e consequentemente obtemos (B.2) com z = S0(T + τ0)z0. Se {τn} não tem
subsequência limitada, (B.2) é uma consequência imediata da compacidade assintótica em η = 0 dos semigrupos.
Assim, (B.1) implica que {S0(t)z : t ∈ [T, ∞)} ∩Oδ 2
(Y0) = ∅, que contradiz a hipótese
de queY0atrai pontos sob a ação de S0(·).
O lema abaixo deixa claro porque da importância de assumirmos que o semigrupo limite não possui estrutura homoclínica.
Lema B.1.4. Suponham válidas as hipóteses do LemaB.1.3. Suponha também que a família de semigrupos {Sη(·)}η ∈Ié eventualmente contínua com relação ao tempo e que
lim η →0+ max 16 j6kdistH(Ξ * η , j, Ξ * 0, j) = 0. (B.3)
B.1. Prova do Teorema1.4.13 129 Suponha finalmente que S0(·) não possui estrutura homoclínica e seja T > 0 como na Definição
1.4.1.
Com estas hipóteses, dado ε > 0, existem δ > 0 e η0> 0 tais que a propriedade (pj)
(abaixo) é satisfeita para todo j = 1, . . . , k: (pj) se η ∈ [0, η0], x ∈Oδ(Ξj,η) ∩ γ + η(Sη(2T ) [ η ∈[0,η0] Bη) e se Sη(t1)x ̸∈Oε(Ξ*j,η)
para algum t1> 0, então Sη(t)x /∈Oδ(Ξ *
η , j) para todo t > t1.
Demonstração. Suponha o resultado falso. Então, existem ε > 0 e sequências δn→ 0, ηn∈ [0,1n],
vn ∈Oδn(Ξ*j,ηn) ∩ γη+n(Sη(2T )
[
η ∈[0,1n]
Bη), {tn} ⊂ (0, ∞), {τn} ⊂ (0, ∞) satisfazendo τn < tn e
também j ∈ {1, . . . , k} tal que para todo n ∈ N
distH(Sηn(τn){vn},Oε(Ξ*j,ηn)).
Note que, por hipótese, sem perda de generalidade, temos que vn→ y*∈ Ξ*0, j, Sηn(tn)vn→ z *∈ Ξ* 0, j e Oε 2(Y * 0, j) ⊂Oε(Ξηn, j). Defina a seguinte sequência de tempos sn, tais que
{Sηn(t)vn: t ∈ [0, sn)} ⊂Oε 2(Ξ * 0, j) e distH(Sηn(sn){vn}, Ξ * 0, j) > ε 2.
Note que, para certa subsequência (que denotaremos de forma igual) temos que sn→ ∞. Caso
contrário, supondo sem perda de generalidade que sn→ s0, então deveríamos ter
Sηn(sn)vn→ S0(s0)y
*∈ Ξ*
0, j, (B.4)
que provamos ser uma contradição. De fato, existem sequências {Tn} ⊂ R+, ηkn <
1
n e ykn ∈ Bηkn
tais que vn= Sηn(T )Sηn(T + Tn)ykn. Sem perda de generalidade, podemos assumir que existe um ¯T ∈ R+ tal que Tn→ ¯T. Usando que {Bη}η ∈I é coletivamente assintoticamente compacta
em η = 0 e que {Sη(·)}η ∈Ié coletivamente assintoticamente compacta em η = 0 (caso ¯T = ∞)
ou eventualmente convergente em η = 0 (caso ¯T < ∞), tomando subsequências se necessário, temos que Sηn(T + Tn)ykn → w. Consequentemente,
y*← vn= Sηn(T )Sηn(T + Tn)ykn→ S0(T )w. Disso, concluímos que
Sηn(sn)vn= Sηn(T + sn)Sηn(T + Tn)ykn → S0(T + s0)w = S0(s0)y
*.
A seguir provaremos que existe uma estrutura homoclínica para o semigrupo S0(·)
Seja φn : [−sn, ∞) definida por φn(t) = Sηn(t + sn)vn, t > −sn e sn > T . Note que φn(t) = Sηn(t + T )Sηn(sn− T )vne que, por hipótese, {Sηn(sn− T )vn} é pre-compacta. Tomando subsequência se necessário, podemos definir φ (t) := limn→∞φn(t) para t ∈ [0, ∞).
Para estender φ para intervalos maiores e definir φ : [−1, ∞) → X tomemos uma sub- sequência {φn
k(1)} de {φn} tal que snk(1) > 1 + T e Sηnk(1)(snk(1) − 1 − T )vnk(1) é convergente. Então, a sequência de aplicações
φnk(1)(t) = Snk(1)(t + 1 + T )Snk(1)(snk(1)− 1 − T )vnk(1).
é uma subsequência de {φn(t)} que é convergente para cada −1 6 t < ∞ e o limite coincide com
φ sobre [0, ∞), o que permite definir φ para t ∈ [−1, ∞) como limite de φn
k(1).
É simples ver que continuando este processo, obteremos uma solução φ : R → X como limite da sequência de tipo ’diagonal’ {φn
k(n)(t)} e que φ tem a propriedade de que distH(φ (t), Ξ*0, j) 6 ε para todo t 6 0.
Relembramos que, por construção, φ é contínua e é uma solução global limitada de S0(·).
Segue das hipóteses sobre S0(·) que existe Ξ*0,l ∈ Ξ*0tal que φ (t) → Ξ*0,l quando t → ∞.
Consequentemente, se l = j, então a prova está completa.
Se l ̸= j, então podemos continuar nossa construção. Então, existe uma vizinhança Oθ(Ξ*0, j) ⊂Oε(Ξ*0, j) pequena o suficiente para que φ (t) não encontre esta para t > 0. Isto pode
ser justificado usando que φ (t) → Ξ*0,l, que Ξ*0, j é um compacto invariante e que φ (t) é uma solução global limitada de S0(·).
Por hipótese temos φ (tm) → Ξ*0,l e, recordando a contrução de φ , sabemos que para cada
m> m0, o ponto φ (tm) pode ser aproximado por uma subsequência apropriada {Sηn′(t+sn′)vn′}
de {Sηn(t+sn)vn} no tempo tmcom ηn′→ 0. Portanto, existe uma sequencia de pontos da forma
zn′ m:= Sηn′m(tm+ sn′)vn′m∈ γ + ηn′m(Sηn′m(T )( [ η ∈[0,η0]
Bη)) convergente para Ξ*0,l e tais que ηn′ m→ 0. Também, fixando m ∈ N e denotando Gm+ = {Sηn′m(t + sn′)vn′ : t ∈ [0,tm]} nós observamos que
Gm∩Oθ 2(Ξ
*
0, j) = ∅. Isto acontece porque Sη
n′m(t + sn′)vn′ aproxima a soluçaõ global φ (t) no intervalo [0,tm] e φ (t) é separado deOθ
2(Ξ
*
0, j) para todo t > 0. Consequentemente a sequência de
pontos zn′
mtem a propriedade de que as orbitas Sηn′m(t)zn′m necessariamente visita a ’vizinhança inicial’Oε(Ξ*0,l) no tempo, respectivamente, maior do que tm.
O que foi dito acima também indica que o procedimento descrito anteriormente para definir a solução global φ indo deOε(Ξ*0, j) paraOε(Ξ*0,l) pode ser repetida novamente para
então construimos uma nova solução global, saindo agora deOε(Ξ*0,l) paraOε(Ξ*0,i) para algum
i∈ {1, . . . , k}.
Continuando, em não mais do que k passos, nós vamos ’construir um loop’, que seria uma contradição do fato de S0(·) não possuir uma estrutura homoclínica e isto completa a prova.
B.1. Prova do Teorema1.4.13 131 Lema B.1.5. Sob as hipóteses do Teorema1.4.13, existem η0> 0 e τ0> 0 tais que para cada
(η, v) ∈ [0, η0] × Sη(τ0)( [ η ∈[0,η0] Bη) e uma aplicação ˜ uη : [0, ∞) → Aη, tal que distH(Sη(t){v}, Aη) 6 ‖Sη(t)v − ˜uη(t)‖ 6 ˜ce − ˜γt para cada t > 0. (B.5)
Aqui, τ0= 2T + t0+ τ, onde t0é como no LemaB.1.2, T é como na Definição1.4.1e τ é como
na Definição1.4.4. A constante ˜γ depende somente de γ e L, enquanto que a constante ˜cdepende de c, γ, L, T0, T,t0e de
[
η ∈[0,η0]
Bη, onde c, γ, L são como em (1.7) e (1.8) e T0é como no Lema
B.1.1. Além disso, ˜c, ˜γ são independentes de (η , v) ∈ [0, η0] × Sη(τ0)(
[
η ∈[0,η0] Bη).
Demonstração. Escolha ε > 0 e ηε > 0 suficientemente pequenos tais que, dado η ∈ [0, ηε],
então todas as k vizinhançasOε(Ξ*η , j) são disjuntas duas a duas e o LemaB.1.1se aplica; isto é,
[
η ∈[0,η0]Bη
é limitado. Escolha δ > 0 e η0∈ (0, ηε] para o ε acima de acordo com o LemaB.1.4;
isto é, tal que as propriedades (pj), j = 1, . . . , k deste último teorema sejam satisfeitas.
Devido ao LemaB.1.2, existe t0> 0 tal que, fazendo η0menor se necessário, a união
[
η ∈[0,η0]
γη+( [
η ∈[0,η0]
Bη) é limitado.
De acordo com a propriedade Lipschitz (1.7), existe certo η0> 0 que, sem perda de
generalidade podemos denotar o mesmo, e que existem constantes τ, c, L > 0 tais que para cada η ∈ [0, η0] e todo (x, y) ∈ γη+(
S
η ∈[0,η0]Bη) × Bη, temos
‖Sη(t)x − Sη(t)y‖ 6 ceLt‖x − y‖, t > 0.
Recordemos que, pelo LemaB.1.3, existe T0> 0 e η0> 0 (que novamente podemos
supor igual ao anterior) tal que, para η ∈ [0, η0] e w ∈ γη+(
S η ∈[0,η0]Bη), temos Sη(t)w ∈Oδ(Yη) = k [ j=1 Oδ(Ξ * η , j) para algum t 6 T0,
onde T é como na Definição1.4.1.
Assim, dado qualquer (η, v) ∈ [0, η0] × Sη(2T + t0+ τ)(
[ η ∈[0,η0] Bη), existem sequências {ti( j)− }m j=0, {t + i( j)} m j=0 e {Ξ*ηi( j)} m
j=0 tais que para i( j) ∈ {1, . . . , k}, 16 j 6 m 6 k,
ti(1)− 6 T0, 0 < ti( j)+ − ti( j)− 6 T0, 1 6 j 6 m, ti(m)+ = ∞,
onde ti( j)− é o tempo que Sη(t)v entra emOε(Ξ*
ηi( j)) e t +
i( j) é (para j < m) o tempo que Sη(t)v
deixaOε(Ξ*
ηi( j)) cruzando sua fronteira e não retornando àOδ(Ξ * ηi( j)).
Em particular, Sη(t)v ∈Oε(Ξ* ηi( j)) para todo t ∈ [t − i(1),t + i(1)) e j = 1, . . . , m.
Por simplicidade vamos assumir que i( j) = j; isto é, reenumeramos os invariantes cujas vizinhan- ças são visitadas pela orbita considerada como Ξ*1, . . . , Ξ*monde m6 k é o número de elementos da família Ξ*η = {Ξ*η ,1, . . . , Ξ*k,η} cujas vizinhanças são visitadas.
É verdade que esta enumeração, o número n e os tempos de ’entrada e saída’ tl±, até este ponto, dependem de (η, v); entretanto, para simplificar a notação, não vamos exibir esta dependência.
Agora considere (η, v) ∈∈ [0, η0] × Sη(2T + t0+ τ)(
[
η ∈[0,η0]
Bη) e fixe um ponto arbitrá- rio yη ,1∈ Aη. Usando a compacidade de Wlocu (Ξ*η ,1), definimos a seguinte função
ψη ,1,t− 1,t + 1 : [t − 1,t + 1] → Wlocu (Ξ*η ,1) ⊂ Aη satisfazendo ‖Sη(t)v − ψη ,1,t− 1,t + 1 (t)‖ = dist(Sη(t)v,W u loc(Ξ*η ,1)) e defina ˜ uη(t) := ( yη ,1, t ∈ [0,t1−), ψη ,1,t− 1,t + 1 (t), t ∈ [t − 1,t + 1].
Por hipótese temos
‖Sη(t)v − ˜uη(t)‖ 6 ceLT0distH(Aη, {v})eγ T0e−γt 6 ceLT0 sup η ∈[0,η0] sup v∈Sη(2T +t0+τ)(∪η ∈[0,η0]Bη) distH(Aη, {v})eγ T0e−γt =: c˜1e−γt, t ∈ [0,t1−), ou 6 ce−γ(t−t1−)6 ceγ T0e−γt =: ˆc 1e−γt, t ∈ [t1−,t1+]. e seguimos denotando c1:= max{ ˜c1, ˆc1}, t0+:= 0, t01:= t1+, γ1= γ. (B.6)
Agora vamos definir ˜uη sobre [0, ∞) passo a passo da seguinte forma:
γj= γ2j−1 L+ 2γj−1 , t0j = min{L+ 2γj−1 L+ γj−1 t−j ,t+j }, j = 2, . . . , m. (B.7)
e estendemos ˜uη para R+ da seguinte forma:
˜ uη(t) := Sη(t − t+j−1) ˜uη(t+j−1), t ∈ [t+j−1,t−j ), Sη(t − t−j )Sη(t−j − t + j−1) ˜uη(t + j−1), t ∈ [t−j ,t0j] ψη , j,t− j,t + j (t), t ∈ (t 0 j,t + j ],
B.1. Prova do Teorema1.4.13 133 com a aplicação ψη , j,t− j,t + j : [t − j ,t + j ] → Wlocu (Ξ*η , j) ⊂ Aη satisfazendo ‖Sη(t)v − ψη , j,t− j,t + j (t)‖ = dist(Sη(t)v,W u loc(Ξ*η , j)).
Como em [(CARVALHO; CHOLEWA,2011), Lemma 2.1] mostramos que, para cada j = 2, . . . , m, a seguinte implicação vale:
se (i) ‖Sη(t)v − ˜uη(t)‖ 6 cj−1e−γj−1t, t ∈ [t +
j−2,t−j−1] com algum cj−1 > 0, então (ii)
‖Sη(t)v − ˜uη(t)‖ 6 cje−γjt, t ∈ [t+
j−1,t−j ] com algum cj> 0,
onde para j = m, temos [tm−1+ ,tm+] := [tm−1+ , ∞). Embora esta parte seja análoga a prova de referência em [(CARVALHO; CHOLEWA,2011), Lema 2.1], incluímos abaixo para completude desta prova.
Usando (i) primeiramente notamos que, para t ∈ [t+j−1,t−j ],
‖Sη(t)v − ˜uη(t)‖ 6 ceL(t−t + j−1)‖S η(t + j−1)v − ˜uη(t + j−1)‖ 6 ccj−1eL(t−t + j−1)−γj−1t+j−1. (B.8)
Por outro lado, por construção, se t0j é considerado como uma variável do intervalo (t−j ,t+j ] então por hipótese e por (B.8), temos
‖Sη(t)v − ˜uη(t)‖ 6 ce L(t−t−j) ‖Sη(t−j )v − Sη(t−j − t + j ) ˜uη(t + j−1)‖ 6 ccj−1eLT0eL(t−t − j)−γj−1t+j−1 6 cc j−1e(L+γ)T0eL(t−t − j )−γj−1t+j−1. (B.9) para todo t ∈ [t−j ,t0j] e ‖Sη(t)v − ψη , j,t− j,t + j (t)‖ 6 ce −γ(t−t−j ) 6 ce−γj−1(t−t−j), ∀t ∈ [t− j ,t + j ]. (B.10)
Evidentemente, quando o tempo t0j está dentro do intervalo (t−j ,t+j ), ele é tal que os expoentes do lado direito de (B.9) e (B.10) se tornam iguais; de fato,
[L(t − t−j ) − γj−1t−j ]|t=t0
j = [−γj−1(t − t
− j )]|t=t0j.
s s s s s (t−j, 0) (t−j, −γj−1t−j) P P P P P P P P P P P P P P P P P P PP P PP (t0 j, 0) L(t −t−j) − γj−1t−j −γjt −γj(t − t−j ) (t−j, −γjt−j) Figura: Determinação de t0j e γj.
A partir do que foi dito acima pode-se inferir que
L(t − t−j ) − γj−1t−j 6 −γjt, t ∈ [t−j ,t0j], (B.11)
−γj−1(t − t−j ) 6 −γjt, t ∈ (t0j,t+j ], (B.12)
para obter de (B.9) e (B.11) que
‖Sη(t)v − ˜uη(t)‖ 6 ccj−1e(L+γ)T0e−γjt∀t ∈ [t−j ,t0j],
e de (B.10) e (B.12)
‖Sη(t)v − ˜uη(t)‖ 6 ccj−1e(L+γ)T0e−γjt∀t ∈ (t0j,t+j ].
Assim, (B.8) se estende para a seguinte estimativa
‖Sη(t)v − ˜uη(t)‖ 6 ccj−1e(L+γ)T0e−γjt, (B.13)
e então, a condição (ii) segue com
cj= max{c, ccj−1e(L+γ)T0}. (B.14)
Do que tinhamos dito antes, para cada (η, v) ∈ [0, η0] × Sη(2T + t0+ τ)(
[
η ∈[0,η0]
Bη), obtemos
distH(Sη(t){v}, Aη) 6 ‖Sη(t)v − ˜uη(t)‖ 6 cme−γmt, t > 0.
com cmdependendo somente de c, γ, T0, T,t0e
[
η ∈[0,η0]