Perturbação Lipschitz de MS e Lipschitz Shadowing

Logo, como no Lema2.4.3, obtemos Z t 0 I_{ε(s,t) ds 6 c4}ε | ln(ε )| + Z t 0 c₂(t − s)−12‖T ε(s)u − ˜Tε(s)u‖Xα ε ds. Seja φε(t) := ‖Tε(s)u − ˜Tε(s)u‖Xα

ε . Então, φε(t) 6 cg(t)e−ωt+ c4ε | log(ε )| + Z t 0 c₂(t − s)−12_φ ε(s) ds. Fixado θ ∈ (0, 1), temos g(t) = c min{t−12, εt−1} 6 cεθ_t− 1 2(1+θ ).

Por outro lado, ε1−θ| ln(ε)| = o(ε) quando ε → 0 e portanto φε(t) 6 cε θ_(t−1₂(1+θ )_e−ωt_{+ o(ε)) +}Z t 0 c2(t − s)− 1 2_φ ε(s) ds.

Note que para cada δ > 0, existe c > 0 tal que e−ωt+ o(ε)t12(1+θ )_{6 e}δ t_. Logo, φε(t) 6 ct− 1 2(1+θ )_εθeδ t+ Z t 0 c₂(t − s)−12_φ ε(s) ds.

Denotando ϕε(t) := φε(t)e−δt obtemos

ϕε(t) 6 ct− 1 2(1+θ )_εθ+ Z t 0 c2(t − s)− 1 2_ϕ ε(s) ds.

Usando a desigualdade de Gronwall generalizada (Lema2.4.4), obtemos

ϕε(t) 6 cεθt −1

2(1+θ )_eL0t_, para algum L0> 0 e portanto, para todo u ∈ X , ‖u‖X 6 r, temos

‖(Tε(t) − ˜Tε(t))u‖Xα ε 6 cε

θ_t−1₂(1+θ )_e(L0+δ )t_.

para todo t > 0.

B.5

Perturbação Lipschitz de MS e Lipschitz Shadowing

A prova da Proposição3.1.14, que construímos nesta seção, é análoga a prova do Lema A.0.9 de (SANTAMARÍA,2013). Para efeito de completude do texto, inserimos e destacamos os lemas de (SANTAMARÍA,2013) que foram usados para provarmos o nosso resultado.

Em toda esta seção, T : Rm→ Rm _{é uma aplicação Morse-Smale (gradient-like) com}

atrator globalA . Se V ⊂ Rm, denotamos γ+(V ) := [ n>0 Tn(V ), γ−(V ) := [ n60 Tn(V ), e γ (V ) := γ+(V ) ∪ γ−(V ).

Denotamos por p1, . . . , pN o conjunto dos equilíbrios hiperbólicos de T .

Observação B.5.1. Observamos que, para pontos fixos hiperbólicos, pode-se encontrar na literatura a seguinte notação:

S(q) := TpWs(q) e U(q) := TpWu(q),

com TpWs(q) (resp. TpWu(q)) sendo o espaço tangente, no ponto q, da variedade estável (resp.

instável) do ponto fixo hiperbólico q. Chamaremos S(q) de variedade estável linear de q e U(q) de variedade instável linear de q.

O Lema a seguir fala sobre o comportamento das trajetórias de semigrupos gradient-like. Observamos que este resultado vale para dimensão infinita, e a prova é a mesma.

Lema B.5.2. Sejam V1, . . . ,VN vizinhanças de p1, . . . , pN respectivamente. Então, dado B ⊂ Rm

limitado, existe T0= T0(B) ∈ N tal que

{Tnx: n ∈ {0, 1, . . . , T0}} ∩ ( N [ i=1 Vi) ̸= /0, para todo x ∈ B.

Demonstração. Argumentaremos por contradição. Suponha que exista uma sequência {x_k}_k∈N em B e uma sequência {nk}k∈Nem N com nk

k→∞ −→ ∞ tais que {Tnx_k: n ∈ {1, . . . , 2nk}} ∩ ( N [ i=1 V_i) = /0.

SejaA o atrator global de T. Então, sem perda de generalidade (a menos de subsequência), temos Tnk_x

k k→∞

−→ y ∈A . Como nk k→∞

−→ ∞, segue que, para cada n ∈ N, Tny= lim

k→∞T n+nk_x

k∈ Rm∖(∪Ni=1Vi),

e portanto y ∈A , mas Tnynão converge para nenhum equilíbrio de T , contradizendo a hipótese de T ser gradient-like.

B.5. Perturbação Lipschitz de MS e Lipschitz Shadowing 153

Lema B.5.3 ((SANTAMARÍA,2013)). Seja {p1, . . . , pN} o conjunto de equilíbrios hiperbólicos

de T . Para cada i ∈ {1, . . . , N}, existe uma vizinhança Vi de pi, uma família de subespaços

{Si(x),Ui(x)}x∈ ¯Vi∪γ(Vi)de R

m_{, e λ}

0∈ (0, 1) tais que

(1) Si,Uisão DT - invariantes, isto é,

DT(x)Si(x) = Si(T (x)), ∀x ∈ ¯Vi∪ γ(Vi),

e

DT(x)Ui(x) = Ui(T (x)), ∀x ∈ ¯Vi∪ γ(Vi),

(2) Para todo x ∈ Vi,

Si(x) ⊕Ui(x) = Rm,

(3) Si(pi) = S(pi) e Ui(pi) = U(pi) para cada i = 1, . . . , N, com {S(pi), U(pi)} sendo as

variedades estável e instável lineares de pi,

(4) Si(x) ⊂ Sj(x), Ui(x) ⊃ Uj(x) para x ∈ γ+(Vi) ∩ γ−(Vj),

(5) Para x ∈ Vi, vs∈ Si(x) e vu∈ Ui(x), temos

|DT (x)vs_{| 6 λ} 0|vs|,

|DT−1(x)vu_{| 6 λ}0|vu|.

Uma vez que para cada i = 1, . . . , N temos a família {Si(x),Ui(x)}x∈ ¯Vi∪γ(Vi), nosso pró- ximo passo será estender esta propriedade para uma vizinhançaN (A ) do atrator global, i é, construir uma família {Si(x),Ui(x)}q∈N (A ) com algumas propriedades similares as do Lema

B.5.3. Seja V := N [ i=1 V_i,

onde {Vi}N_i=1 são as vizinhanças dos pontos fixos hiperbólicos dadas pelo LemaB.5.3. SejaU

uma vizinhança limitada deA em Rmtal que T, DT (x) sejam injetoras emU para cada x ∈ U , e TU ⊂ U (ver Observação3.1.12e Observação3.1.13). Sem perda de generalidade, suponha que T−1:U → X esteja bem definida e tenha constante de Lipschitz limitada (poderíamos tomar, desde o começo, U := T (U ) no lugar de U , a fim de obtermos T−1: U → X bem definida). Seja T0= T0(U ) dado pelo LemaB.5.2. Dado q ∈U , denotemos por i(q) o natural em {1,...,N}

tal que V_i(q) é o primeiro conjunto da família {Vi}Ni=1 visitado pela órbita positiva de q (isto

está bem definido graças ao Lema B.5.3). Isto é, se q ∈ Vi, então i(q) = i ou, se q /∈ Vj para

nenhum j ∈ {1, . . . , N}, então existe n(q) ∈ {1, . . . , T0} tal que y := Tn(q)(q) ∈ Vi(q)para algum

i(q) ∈ {1, . . . , N} e Tn(q) /∈

N

[

i=1

Para cada q ∈U , definimos os subespaços lineares S(q),U(q) de Rmpor S(q) = D(T−n(q))(y)S_i(q)(y) e

U(q) = D(T−n(q))(y)U_i(q)(y).

Note que, se q ∈ γ(Vi) ∩U , então S(q) = Si(q) e U (q) = Ui(q).

Com as considareções acima, enunciamos o seguinte resultado.

Lema B.5.4 ((SANTAMARÍA, 2013)). A família {S(q),U (q)}q∈U, de subespaços de Rm,

definida acima satisfaz as seguintes propriedades: (1) para n ∈ Z+,

D(Tn)(q)S(q) ⊂ S(Tn(q)) e D(T−n)(q)U (q) ⊂ S(T−n(q)); (2) existe C > 0 tal que para todo n ∈ Z+,

|D(Tn_)(q)vs_{| 6 Cλ}n

0|vs|, vs∈ S(q),

|D(T−n)(q)vu_{| 6 Cλ0}n|vu_{|, v}u_{∈ U(q),}

com λ0∈ (0, 1) dado pelo LemaB.5.3;

(3) existe J > 0 tal que

‖P(q)‖_{L (R}m₎, ‖Q(q)‖_{L (R}m₎6 J, ∀q ∈ U ,

onde P(q) (resp. Q(q)) é uma projeção de Rmsobre S(q) paralelas a U (q) (resp. sobre U(q) paralelas a S(q)).

(4) Para cada q ∈U , S(q) ⊕U(q) = Rm.

A seguir, enunciamos um resultado abstrato sobre Shadowing que foi o ponto central para provarmos o principal resultado desta seção, que é a Proposição3.1.14. O objetivo do restante da seção é, a partir das hipóteses da Proposição3.1.14, verificar as hipóteses do lema a seguir, de forma a obtermos a propriedade de Shadowing de forma uniforme numa vizinhança de T em Lip(U ,Rm).

Seja {Ek}k∈Zuma sequência de espaços de Banach (podendo ser de dimensão infinita) e

considere uma sequência de aplicações {φ_k}_k∈Z

φk: Ek→ Ek+1

tais que,

φk(v) = Akv+ ωk+1(v)

B.5. Perturbação Lipschitz de MS e Lipschitz Shadowing 155

Lema B.5.5 ((SANTAMARÍA,2013)). Assuma que

(1) Existem projeções lineares

P_k, Q_k: Ek→ Ek

e constantes λ1∈ (0, 1), J > 0 tais que

‖Pk‖L (E_k,Ek), ‖Qk‖L (Ek,Ek)6 J, Pk+ Qk= I e

‖Ak|Pk(Ek)‖L (Ek,Ek+1)6 λ1, AkPk(Ek) ⊂ Pk+1(Ek+1) com I a identidade.

(2) Existem aplicações lineares Bk: Qk+1(Ek+1) → Ektais que

B_kQ_k+1(Ek+1) ⊂ Qk(Ek), ‖Bk‖_{L (Ek},E_k+1)6 λ1, AkBk|Q_k+1(E_k+1)= I.

(3) Existem constantes κ, ∆ > 0 tais que

‖ωk+1(v) − ωk+1(v′)‖E_k+1 6 κ‖v − v′‖E_k+1 para ‖v‖E_k+1, ‖v′‖E_k+1 6 ∆.

Suponha também que a desigualdade

κ N1< 1

é satisfeita com

N₁= J1 + λ1 1 − λ1

.

Então, existem constantes d0, L > 0 dependendo somente de λ1, J, ∆, κ tais que, se

‖φk(0)‖Ek+1 6 d 6 d0, k ∈ Z, então existe uma sequência de pontos vk∈ Ek, k ∈ Z, tal que

φk(vk) = vk+1 e ‖vk‖Ek 6 Ld, k ∈ Z.

Com o auxílio do LemaB.5.5, provamos da propriedade Lipschitz Shadowing em uma pequena vizinhança de um equilíbrio L- hiperbólico. Este resultado é a Proposição3.2.5, e a prova segue abaixo.

Prova da Proposição3.2.5. Sem perda de generalidade, suponha x* = 0 L-hiperbólico com parâmetros γ, a, b, δ . Para cada n ∈ N, defina An:= L, Pn:= P := πs, Qn:= Q := πu, En:= X ,

Bn:= L−1u : Xu→ X. Seja

com ωn+1(v) := N(v + xn) + Lxn− xn+1. Então, Lip_BX δ(0) (ωn+1) = Lip_BX δ(0)(N) 6 γ =: κ. Sejam λ1:= max{b, a−1}, J := max{‖P‖, ‖Q‖} e N1:= J 1 + λ1 1 − λ1 . Note que κ N1< 1 ⇔ γ < 1 J 1 − λ1 1 + λ1 .

Assim, tomando ∆ ∈ (0, δ ), podemos aplicar o LemaB.5.5e o resultado segue.

A seguir, enunciamos o último resultado técnico, de (SANTAMARÍA,2013), que usamos na prova da Proposição3.1.14.

Lema B.5.6 ((SANTAMARÍA,2013)). Seja T : Rm→ Rm_{uma aplicação Morse-Smale gradient-}

like. Seja {S(q),U (q)}_q∈U a família de subespaços de Rmobtida no LemaB.5.4. Então, dados ν > 0 e N ∈ N, existe d0> 0 tal que se z, p ∈U e

dist(z, TNp), dist(T−Nz, p) < d0,

então existe um isomorfismo linear Π(p, z) : Rm→ Rmcom

‖Π − I‖_{L (R}m₎6 ν, Π(p, z)(D(TN)(p)S(p)) ⊂ S(z), e um isomorfismo linear Θ(p, z) : Rm→ Rm_com

‖Θ − I‖_{L (R}m₎6 ν, Θ(p, z)(D(T−N)(z)U (z)) ⊂ U (p).

Prova da Proposição

3.1.14

A prova deste resultado consiste basicamente em aplicar o LemaB.5.5com o auxílio dos outros lemas desta seção. Aqui, nosso foco é provar as hipóteses do LemaB.5.5. Dividiremos a prova em 2 passos:

Passo 1: Prova da Propriedade Lipschitz Shadowing para T

Primeiro, provaremos o resultado para (d, N)-pseudo-trajetórias, d_{6 d}0, com N e d0

a serem determinados. Em seguida, com um pequeno passo, mostraremos a propriedade de Lipschitz Shadowing para d-pseudo-trajetórias.

Como T : Rm→ Rm_{é uma aplicação Morse-Smale, temos T ∈ C}1_(Rm_{). SejaU ⊂ R}m

dado pelo LemaB.5.4. Então, segue para cada q ∈U , existem subespaços S(q),U(q) de Rmque satisfazem as condições do LemaB.5.4. Em particular, existem C > 0 e λ0∈ (0, 1) tais que para

todo n ∈ Z+,

|D(Tn_)(q)vs_{| 6 Cλ}n

0|vs|, vs∈ S(q);

|D(T−n)(q)vu_{| 6 Cλ0}n|vu_{|, v}u_{∈ U(q).}

Fixemos µ ∈ (0, 1) e consideremos N ∈ N tal que

B.5. Perturbação Lipschitz de MS e Lipschitz Shadowing 157

Com isto, temos que para cada q ∈U ,

|D(Tn_)(q)vs_{| 6 µ|v}s_{|, v}s_{∈ S(q);}

|D(T−n)(q)vu_{| 6 µ|v}u|, vu_{∈ U(q).} (B.46)

para todo n> N − 1. Além disso, tomando K > J tal que

‖D(Tn)(q)‖_{L (R}m₎6 K para |n| 6 N + 1, e q ∈ U , (B.47) onde J é a constante tal que ‖P(q)‖_{L (R}m₎, ‖Q(q)‖_{L (R}m₎6 J para todo q ∈ U .

Afim de obtermos as hipóteses do LemaB.5.5e, por razões técnicas, tomaremos ν0∈

(0, 1) tal que λ := (1 + ν0)µ < 1. Então, para este λ e para J do Lema B.5.4, denotamos

N₁:= J1 + λ

1 − λ e fixamos κ > 0 tal que κN1< 1. Além disso, tomaremos ν ∈ (0, ν0) tal que K(2K + 1)ν < κ

2. (B.48)

Para aplicar o LemaB.5.5, necessitamos de uma sequência de espaços de Banach {E_k}_k∈Z e uma sequência de aplicações {φ_k}_k∈Z. Seja {xn}n∈Z− uma (d, N)-pseudo-trajetória negativa de T emU . Definimos a extensão {xn}n∈Zda seguinte forma: se k ∈ N e n ∈ {kN, . . . , (k +1)N−1},

então xn:= T(k+1)Nx−N+(n−kN). Então, {xn}n∈Z é uma (d, N)-pseudo-trajetória de T em U .

Definimos Ek:= Rmpara cada k ∈ Z. Seja T a N-ésima iteração de T ; isto é, T (q) := TN(q).

Então, definimos

φk: Ek→ Ek+1

por

φk(v) :=T (xk+ v) − xk+1.

Assim, Dφk(0) = DT (xk) e Dφk: Ek→ Ek+1.

Note que podemos escrever

φ_k(v) = Dφ_k(0) + φ_k(v) − Dφ_k(0)v

| {z }

hk+1(v)

= Dφk(0)v + hk+1(v).

Como T ∈ C1_(Rm), segue que Dhk+1(0) = 0. Além disso,

|hk+1(v) − hk+1(v′)| = |T (xk+ v) −T (xk+ v′) − DT (xk)(v − v′)|.

Então, como a derivada deT é uniformemente contínua em limitados de Rm, segue que existe ∆ > 0 tal que |hk+1(v) − hk+1(v′)| 6 κ 4|v − v ′_{| para v, v}′ ∈ Rm com |v|, |v′_{| 6 ∆.} (B.49) Como mencionamos antes, para {xk} ⊂U , existe uma família de subespaços lineares

S(x_k),U (x_k) de E_ke sua correspondente família de projeções P(xk), Q(xk) com

S(x_k) = P(x_k)E_k, U(x_k) = Q(x_k)E_k

que satisfazem as propriedades descritas no LemaB.5.4.

Além disso, pelo LemaB.5.4, podemos relacionar S(xk) com S(T (xk)) e U (xk) com

U(T (x_k)). Mas para obtermos a propriedade de Lipschitz Shadowing para T , precisaremos relacionar S(xk) com S(xk+1) e U (xk) com U (xk+1). É neste ponto que faremos uso do Lema

B.5.6. Fixe δ1> 0 tal que, se

dist(x_k,T −1(xk+1)), dist(T (xk), xk+1) < δ1, (B.50)

então existem os isomorfismos lineares Π(xk, xk+1) e Θ(xk, xk+1), dados pelo LemaB.5.6, tais

que

‖Π(xk, xk+1) − I‖_{L (R}m₎, ‖Θ(x_k, x_k+1) − I‖_{L (R}m₎6 ν, com ν ∈ (0, ν0) (ver (B.48)).

Note que, se c := max{1, Lip((T |_U)−1)} e {xn}n∈Z− é uma (d, N)-pseudo trajetória de T emU com d < δ1/c, então (B.50) é satisfeita para cada k ∈ Z.

Note também que, se ν ∈ (0, 1) e ‖Θ(xk, xk+1) − I‖L (Rm₎6 ν, então, para cada x ∈ Rm, ‖Θ(xk, xk+1)x‖ = ‖x − (x − Θ(xk, xk+1)x)‖ > (1 − ν)‖x‖,

e então,

‖Θ−1(xk, xk+1)x − x‖ = ‖Θ−1(xk, xk+1)(x − Θ(xk, xk+1)x)‖ 6

ν 1 − ν‖x‖. Assim, podemos supor, sem perda de generalidade, que

‖Π(xk, xk+1) − I‖L (Rm₎, ‖Θ(x_k, x_k+1) − I‖_{L (R}m₎, ‖Θ−1(x_k, x_k+1) − I‖_{L (R}m₎6 ν < ν₀. (B.51) Definimos

As_k:= Π(xk, xk+1)DT (xk)P(xk)

Au_k:= DT (T−1(xk+1))Θ−1(xk, xk+1)Q(xk),

e

B_k:= Θ(x_k, xk+1)DT −1(xk+1).

Isto é, As_k relaciona os espaços S(x_k) e S(xk+1), Au_k relaciona os espaços U (xk) e U (xk+1) e Bk

relaciona os espaços U (xk+1) e U (xk).

Agora, φk(v) pode ser escrita como segue,

φk(v) = Akv+ ωk+1(v),

com

A_k:= As_k+ Au_k, e

B.5. Perturbação Lipschitz de MS e Lipschitz Shadowing 159

Nosso próximo passo é provar que A_k, B_ke ωk+1 satisfazem as condições do LemaB.5.5. Com

este fim, tomamos vs∈ S(xk) = P(xk)Ek. Segue do LemaB.5.4e de (B.46) que

DT (x_k)vs∈ S(T (x_k)) e |DT (x_k)vs_{| 6 µ|v}s|.

Segue do LemaB.5.6que Π(xk, xk+1)(DT (xk)vs) ∈ S(xk+1), e portanto,

As_kS(x_k) ⊂ S(xk+1).

De (B.51) e (B.46), obtemos

|Π(xk, xk+1)(DT (xk)vs)| 6 (1 + ν)µ|vs| 6 λ |vs|,

com λ := (1 + ν0)ν < 1 definido anteriormente. Assim,

‖As_k|_S(xk)‖_{L (R}m₎6 λ . Agora, tomemos vu∈ U(x_k+1). Do LemaB.5.6, obtemos

B_kvu= Θ(xk, xk+1)DT −1(xk+1)vu∈ U(xk), (B.52)

e, de (B.51) e (B.46),

|Θ(xk, xk+1)DT −1(xk+1)vu| 6 (1 + ν)µ|vu| 6 λ |vu|.

Logo,

B_kU(xk+1) ⊂ U (xk), ‖Bk|U(xk)‖L (Rm)6 λ . Seja v1= B_kvu. De (B.52), obtemos v1∈ U(x_k), Q(x_k)v1= v1. Então,

Au_kB_kvu=DT (T−1(xk+1))Θ−1(xk, xk+1)Q(xk)v1

=DT (T−1(xk+1))Θ−1(xk, xk+1)(Θ(xk, xk+1)DT−1(xk+1))vu= vu.

Portanto,

Au_kB_k|_U(x

k+1)= I. Como A_k|_S(xk) = As_k, segue que A_kB_k|_U(x

k+1) = A

u

kBk|U(x_k+1), e portanto, Ak, Bk satisfazem as

condições do LemaB.5.5.

Como DT é uniformemente contínua em limitados de Rm, segue que existe δ2> 0 tal

que, se

dist(x_k,T −1(xk+1)) < δ2,

então

‖DT (xk) − DT (T −1(xk+1))‖L (Rm₎6 ν. (B.53) Note que, se c := max{1, Lip((T |_U)−1)} e {xn}_n∈Z−⊂U é uma (d,N)-pseudo-trajetória negativa de T com d < δ2/c, então dist(xk,T −1(xk+1)) < δ2para todo k ∈ Z.

Resta mostrar que {ωk+1} satisfaz as hipóteses do LemaB.5.5; isto é, que ωk+1 satisfaz

a condição de Lipschitz. Recordando,

ωk+1(v) := (DT (xk) − Ak)v + hk+1(v).

Então, para d ∈ (0, δ2], primeiro estimamos ‖DT (xk) − Ak‖L (Rm₎, ‖DT (x_k) − A_k‖_{L (R}m₎=‖DT (x_k)(P(x_k) + Q(x_k)) − A_k‖_{L (R}m₎ 6‖DT (xk)P(xk) − Ask‖L (Rm)+ ‖DT (xk)Q(xk) − Auk‖L (Rm) 6‖DT (xk)P(xk) − Π(xk, xk+1)DT (xk)P(xk) | {z } As k ‖_{L (R}m₎ +‖DT (x_k)Q(x_k) − DT (T−1(x_k+1))Θ−1(x_k, x_k+1)Q(x_k) | {z } Au_k ‖_{L (R}m₎.

De (B.46) e (B.51), o primeiro termo é estimado como segue,

‖DT (x_k)P(x_k) − Π(xk, xk+1)DT (xk)P(xk)‖L (Rm₎6 K2ν . Como d ∈ (0, δ2], segue de (B.53) que

‖DT (x_k)Q(x_k) − DT (T−1(xk+1))Θ−1(xk, xk+1)Q(xk)‖L (Rm₎ 6 K‖DT (xk) − DT (T−1(xk+1))Θ−1(xk, xk+1)‖L (Rm₎ = K‖DT (T −1(xk+1))(Θ−1(xk, xk+1) − I) + DT (T−1(xk+1) − DT (xk))‖L (Rm₎ 6 K2ν + K‖DT (T−1(xk+1)) − DT (xk)‖L (Rm₎ 6 K2ν + Kν = ν K(K + 1). Consequentemente, ‖DT (x_k) − A_k‖_{L (R}m₎6 K2ν + ν K(K + 1) = ν K(2k + 1)6κ 2,

com a última desigualdade dada por (B.48). Como (B.49) vale, então obtemos a desejada estimativa |ωk+1(v) − ωk+1(v′)| 6 3 4κ |v − v ′ | 6 κ|v − v′|, v, v′_{∈ R}m com |v|, |v′| 6 ∆. (B.54) Assim, se d < δ3:= 1

cmin{δ1, δ2}, então {φk}k∈Zsatisfaz as condições do LemaB.5.5.

Pelo LemaB.5.5, existem constantes d*, L > 0 dependendo somente de λ , J, ∆, κ tais que, se

|φk(0)| 6 d 6 d*, k ∈ Z, (B.55)

então existe uma sequência {vk}k∈Ztal que

B.5. Perturbação Lipschitz de MS e Lipschitz Shadowing 161

Por outro lado, como {x_k}_k∈Z⊂U é uma (d,N)-pseudo-trajetória de T, segue que |φk(0)| = |T (xk) − xk+1| = |TN(xk) − xk+1| 6 d, ∀k ∈ Z.

Assim, se d0∈ (0, min{δ3, d*}) e d 6 d0, então (B.56) segue.

Seja p_k= xk+ vk. Como φk(v) :=T (xk+ v) − xk+1 satisfaz (B.56), segue que

T (pk) = pk+1,

isto é, {p_k}_k∈Z− é uma trajetória negativa deT . Além disso, para k ∈ Z−, |p_k− xk| = |(xk+ vk) − xk| = |vk| 6 Ld, com d 6 d0.

Então, acabamos de provar que TNtem Lipschitz Shadowing para d-pseudo-trajetória sobreU . A seguir, provaremos este resultado para T. Seja d 6 d1(d1será determinado a seguir)

e {yn}n∈Z− uma d-pseudo-trajetória negativa de T emU . Seja L_T a constante de Lipschitz de T emU . Então,

|y_(k+1)N− TNy_{kN| 6|y(k+1)N}− T (y_(k+1)N−1)| + |T (y_(k+1)N−1) − T2(y_(k+1)N−2)| + · · · + |TN−1y_kN+1− TNy_kN|

6d(1 + LT+ · · · + LN−1_T ) := ˜d.

Assim, escolhemos d1> 0 tal que d1(1 + LT + · · · + LN−1_T ) = d0. Logo, {ykN}k∈Z− é uma ˜d- pseudo-trajetória negativa de T e portanto existe {p_k}_k∈Z− trajetória negativa deT que L ˜d- shadows a ˜d-pseudo-trajetória negativa {ykN}k∈Z−.

Defina {xn}n∈Z− da seguinte forma: se n ∈ {kN, . . . , (k + 1)N − 1} ∩ Z−, então x_n:= Tn−kN(p_k). Então, {xn}_n∈Z− é uma trajetória negativa de T .

Seja n ∈ {kN, . . . , (k + 1)N − 1}. Então, |xn− yn| 6|Tn−kN(ykN) − Tn−kN(ykN)| + |Tn−kN(ykN) − yn| 6Ln−kNT |pk− ykN| + d(1 + LT+ · · · + LLn−kN−1T ) 6Ln−kNT L ˜d+ max{1, L}d(1 + LT+ · · · + L n−kN−1 T ) 6 max{1, L}(1 + LT + · · · + LN−1T ) ˜d = max{1, L}(1 + LT + · · · + LN−1_T )2d,

e portanto {yk}k∈Z− é L₁d-shadowed pela trajetória negativa {x_n}_n∈Z− com L1= max{1, L}(1 + LT+ · · · + LNT)2,

e d_{6 d}1. Isto prova que T tem a propriedade Lipschitz Shadowing sobreU com parâmetros

Passo 2: Prova da propriedade Lipschitz Shadowing para perturbações Lipschitz pequenas de T

Seja d0do passo 1 e fixe ¯d∈ (0, d0). Seja {zn}n∈Zuma (d, N)-pseudo-trajetória de S em

U com d 6 ¯d. Então, |zn+1− SNzn| 6 d, ∀n ∈ Z, e portanto |zn+1− TNzn| 6 d + ‖TN− SN‖L∞(U ,Rm₎, ∀n ∈ Z. Suponha que ‖TN− SN‖_L∞(U ,Rm₎6 d₀− ¯d. (B.57) Então, {zn}n∈Zé uma (d0, N)-pseudo-trajetória de T emU e podemos repetir os argumentos do

passo 1 para obtermos ¯ φk(v) := SN(v + zk) − zk+1= Ak+ ωk+1(v) + (SN− TN)(v + zk) | {z } ¯ ωk+1(v) .

Seja κ > 0 escolhido no início do passo 1. Assim, se ‖SN− TN‖_Lip(O d0(U ),Rm)6 κ 4, (B.58) então, de (B.54) obtemos | ¯ωk+1(v) − ¯ωk+1(v′)| 6 κ|v − v′|, v, v′∈ Rm com |v|, |v′| 6 d0, (B.59)

e, aplicando o LemaB.5.5, obtemos (como no passo 1) uma orbita negativa {qn}n∈Z− de SNtal que

|qn− zn| 6 Ld, com d 6 ¯d,

com L dado no passo 1. Analogamente, obtemos para S a propriedade de Lipschitz Shadowing sobreU com constantes L1,S, d1,Sdefinidas por

d_1,S:= ¯d(1 + LS+ · · · + LN−1_S )−1;

L_1,S:= max{1, L}(1 + LS+ · · · + LN−1_S )2.

Como L1,S e d1,S são funções contínuas (em S) de Lip(U ,Rm) em R, segue que, dado

δ > 0, existe δ′> 0 tal que

‖S − T ‖_{Lip(U ,R}m₎< δ′ (B.60) implica que

d1,T− δ 6 d1,S6 d1,T+ δ ;

L1,T− δ 6 L1,S6 L1,T+ δ .

Seja δ > 0 tal que (B.57) e (B.58) também sejam válidas. Então, para todo S na vi- zinhançaO de T definida por (B.60), temos que S tem Lipschitz Shadowing com constantes L0:= L1,T+ δ e d0= d1,T− δ e a prova está completa.

No documento Continuidade de atratores globais: o uso de corretores para a obtenção de melhores taxas de convergência (páginas 153-165)