Nos dois exemplos analisados, verificou-se que, mesmo para malhas pouco refinadas (com apenas 4 elementos), os resultados são bastante próximos dos resultados obtidos para malhas mais refinadas. Para a viga sob flexão a 4 pontos, observou-se que o máximo erro relativo entre valores de flecha para as malhas de 4 elementos (2,43 mm) e de 48 elementos (2,49 mm) foi de -2,4%, a qual ocorreu para carga de 26% de Pu(20 kN), após a transição entre estádios I e II.
No caso da viga sob flexão a 3 pontos, o máximo erro relativo entre flechas para malhas de 4 elementos (0,70 mm) e 32 elementos (0,73 mm) foi de -4,1% para carga de 20% de Pu(20 kN), na
transição entre o estado não-fissurado e o estado fissurado. Nos dois exemplos, os erros relativos de flecha foram nulos quando as vigas se encontram no estádio I. Já no estádio II, a média dos erros relativos foi de 0,5% tanto para vigas sob flexão a 4 pontos como sob flexão a 3 pontos. Nota-se, portanto, que os erros relativos entre malhas pouco refinadas e malhas bastante refinadas são pequenos, concluindo-se que o modelo empregado é objetivo, uma vez que não apresenta forte dependência da malha escolhida para solução.
A análise da quantidade de camadas da seção transversal demonstrou consistência de resultados a partir de seções divididas em 9 camadas tanto para a viga sob flexão a 4 pontos quanto para a viga sob flexão a 3 pontos. Observou-se que os modelos com seção dividida em 3 camadas mostraram- se mais flexíveis que os demais modelos, pois apresentaram flechas maiores. Esse fenômeno pode ser explicado pelo fato de que as deformações e respectivas tensões são calculadas no baricentro de cada camada. Assim, analisando-se a camada situada na região tracionada sem efeito de tension- stiffening, sendo a deformação calculada em seu baricentro maior que a deformação de fissuração, a
tensão atuante em seu baricentro será nula, ou seja, mesmo que uma parcela dessa região absorvesse tensão de tração, o modelo desprezaria esse efeito totalmente, tornando-o mais flexível.
Os modelos com seções divididas em 6 camadas apresentaram resultados com erro relativo médio de 3,0%, quando comparados aos modelos com seções divididas em 90 camadas. Já os mo- delos com seções divididas em 9 camadas apresentaram erro relativo médio de 1,1%, comparados aos modelos de 90 camadas.
Ainda, como era esperado, nos dois tipos de carregamento analisados foram constatados mo- mentos fletores de fissuração iguais de 20 kNm, indicando coerência do procedimento numérico FLECHA-0.
Portanto, concluiu-se que o procedimento numérico para cálculo de flecha imediata FLECHA- 0apresenta consistência resultados, sendo possível obter resultados com boa precisão realizando- se análises com modelos de malha pouco refinadas e com seções transversais discretizadas em 9 camadas de concreto.
5. COMPARAÇÃO COM MODELOS EXPERIMENTAIS
São apresentados os resultados gerados pelos procedimentos FLECHA-0 e FLECHA-T em comparação com os resultados de modelos experimentais de vigas de concreto armado solicita- das a carregamentos de curta e de longa duração encontrados na literatura.
Para os modelos experimentais de viga solicitada a carregamento de curta duração, utilizados para a análise de flecha imediata, as comparações são ilustradas através de curvas carga-flecha.
Embora a análise paramétrica tenha mostrado que bons resultados podem ser obtidos dividindo- se a seção transversal em apenas 9 camadas de concreto, foram utilizadas seções mais discretizadas nas comparações com resultados experimentais a fim de se evitar imprecisões nos resultados nu- méricos devidas às diferentes geometrias das seções transversais dos modelos experimentais.
No caso de modelos experimentais de viga solicitada a carregamento de longa duração, para análise de flecha total incluindo efeitos de fluência e retração, as comparações são apresentadas através de curvas flecha-idade.
Além dos resultados dos modelos experimentais, foram também feitas comparações com os resultados dos procedimentos preconizados pelas normas ABNT NBR 6118 (2014) e Eurocode 2 (2004), os quais foram denominados NBR6118 e EC2, respectivamente, para simplificação. 5.1 Considerações Gerais
Nas seções seguintes, são apresentados os modelos experimentais e seus dados (propriedades geométricas, propriedades mecânicas e carregamentos), assim como os dados necessários para as análises. No caso de dados necessários não terem sido fornecidos pelos autores dos modelos expe- rimentais, foram empregadas expressões apresentadas a seguir.
Para a análise pelo procedimento NBR6118, são necessários os valores da resistência à com- pressão característica do concreto fck, do módulo de elasticidade secante do concreto Ecm, da resis-
tência à tração do concreto em valor médio fctm e do momento de fissuração Mcr. Seguindo-se as
prescrições da norma ABNT NBR 6118 (2014) para concretos até classe de resistência C50, para esse procedimento foram adotadas as expressões:
Ecm= αEαi5600 p fck (5.1.1) αi= 0, 80 + 0, 20 fck 80 ≤ 1, 00 (5.1.2) fctm= 0, 30 fck2/3 (5.1.3)
Mcr= α fctmIc ytr
(5.1.4) onde fck é a resistência à compressão característica do concreto (em MPa), Ic é o momento de
inércia da seção bruta não-fissurada de concreto, ytr é a distância do baricentro da seção à fibra
mais tracionada e α é o fator que relaciona a resistência à tração na flexão com resistência à tração direta, igual a 1,5 para seções retangulares.
O coeficiente αE se refere ao tipo de rocha do agregado graúdo utilizado no concreto. Na
Tabela 5.1 são apresentados os valores desse coeficiente conforme a natureza do agregado graúdo. Tabela 5.1: Coeficiente αE conforme natureza do agregado graúdo
Agregado graúdo αE
Basalto e diabásio 1,2 Granito e gnaisse 1,0 Calcário 0,9
Arenito 0,7
Usualmente, os relatos de ensaios experimentais apresentam valores médios das propriedades mecânicas dos materiais utilizados. Dessa forma, sendo conhecido o valor da resistência média à compressão do concreto fcmfornecido pelo trabalho experimental, foi necessário estabelecer uma
relação com a resistência característica à compressão do concreto fck a fim de atender aos dados
de entrada necessários ao procedimento NBR6118. Portanto, adotou-se a abordagem proposta pela norma ABNT NBR 12655 (2006).
Segundo seu texto, pode-se estimar o valor de fckpela expressão
fck= fcm− 1, 65Sd (5.1.5)
onde Sd é o desvio-padrão da amostra.
No caso de desvio-padrão desconhecido, são sugeridos valores pela norma ABNT NBR 12655 (2006) de acordo com as condições de preparo do concreto. Na Tabela 5.2 são apresentados os valores de desvio-padrão sugeridos em função das condições de preparo do concreto.
Tabela 5.2: Desvio-padrão de acordo com condição de preparo do concreto. Adaptada de ABNT NBR 12655 (2006)
Condição de preparo do concreto Sd (MPa)
A 4,0
B 5,5
As condições de preparo do concreto são resumidas a seguir:
• condição A (aplicável às classes C10 até C80) - controle rigoroso de medida de cimento e agregados em massa e água em massa ou volume com dispositivo dosador e correção relativa à umidade dos agregados;
• condição B
– (aplicável às classes C10 até C25) - cimento medido em massa, agregados medidos em massa combinada com volume e água medida em volume com dispositivo dosador; – (aplicável às classes C10 até C20) - cimento medido em massa, agregados medidos em
volume e água medida em volume com dispositivo dosador;
• condição C (aplicável às classes C10 até C15) - cimento medido em massa e agregados e água medidos em volume.
Para o procedimento EC2, foram adotadas as seguintes expressões, conforme o texto do Eurocode 2 (2004): Ecm= 22000 fcm 10 0,3 (5.1.6) fcm= fck+ 8 (5.1.7) fctm= 0, 30 ( fcm− 8)2/3 (5.1.8) fctm, f l = max 1, 6 − h 1000 fctm, fctm (5.1.9) onde fcmé a resistência à compressão média do concreto (em MPa), fcké a resistência à compressão
característica do concreto (em MPa), fctm, f l é a resistência à tração média na flexão do concreto e
hé a altura total da seção (fornecida em milímetros na Equação 5.1.9), sendo a equação de fctm
igual à Equação 5.1.3. O módulo de elasticidade secante ainda deve ser modificado de acordo com o agregado graúdo presente no concreto, seguindo-se os mesmos fatores presentes recomendados pela norma brasileira ABNT NBR 6118 (2014) e os valores seguem a Tabela 5.1.
Como o momento de fissuração para o procedimento indicado pelo Eurocode 2 (2004) não é apresentado em seu texto, adotou-se a recomendação indicada por Ruiz, Dutari e Escribano (2009):
Mcr= fctm, f lWI (5.1.10)
onde WI é o módulo de resistência da fibra tracionada extrema da seção homogeneizada não-
fissurada.
No caso de resistência média à tração do concreto ter sido medida por ensaio de compressão diametral (splitting), adotou-se a relação com a resistência média à tração direta, presente tanto na ABNT NBR 6118 (2014) quanto no Eurocode 2 (2004)
fctm= 0, 9 fcm,sp (5.1.11)
onde fcm,spé a resistência média à tração do concreto obtida por ensaio de compressão diametral.
Para o procedimento FLECHA-0, utilizaram-se os valores de fctme Ecmconforme as equações
Ecm= 22000 fcm 10 0,3 (5.1.12) e fctm= 0, 30 ( fcm− 8) 2/3 (5.1.13) No caso da análise de flechas totais, também são necessários o coeficiente de fluência ϕ (t,t0)
e a deformação de retração εcs para utilização dos procedimentos FLECHA-T e EC2. No caso
de valores experimentais não serem apresentados pelos autores dos ensaios consultados, tais pro- priedades foram estimadas conforme procedimento proposto pelo Eurocode 2 (2004), explicado em detalhes no Anexo A. Optou-se por tais procedimentos por não dependerem de parâmetros re- lativos à consistência do concreto, como é o caso dos procedimentos recomendados pela ABNT NBR 6118 (2014), pois esse nível de detalhamento não é encontrado com facilidade nos trabalhos experimentais disponíveis na literatura.
As propriedades mecânicas dos aços foram consideradas igualmente por todos os procedimen- tos analisados e a seguinte simbologia foi empregada:
• Es- módulo de elasticidade do aço da armadura longitudinal de tração;
• Es0- módulo de elasticidade do aço da armadura longitudinal de compressão; • fy- tensão de escoamento do aço da armadura longitudinal de tração;
• As - área de aço da armadura longitudinal de tração;
• A0s - área de aço da armadura longitudinal de compressão; • ρ - taxa geométrica da armadura longitudinal de tração; • ρ0- taxa geométrica da armadura longitudinal de compressão; • d - altura útil da armadura de tração;
• d0- altura útil da armadura de compressão.
As taxas geométricas de armadura de tração e de compressão foram calculadas, respectiva- mente, por ρ = As bd (5.1.14) e ρ0= A 0 s bd (5.1.15)
onde b é a base da seção transversal da viga.
O peso próprio das vigas foi considerado durante a análise e a flecha relativa apenas ao peso próprio foi subtraída da flecha relativa ao carregamento total após a análise.
Os procedimentos NBR6118 e EC2 exigiram o cálculo do momento de inércia nos Estádios I (estado não-fissurado) e II puro (estado fissurado). Para isso, utilizou-se a formulação apresentada no Anexo B.
Na análise de flechas imediatas, utilizou-se o valor adimensional P/Pu onde P é a carga con-
centrada aplicada e Pu é a carga teórica de ruína da viga, a qual foi calculada a partir do momento
teórico de ruína, conforme formulação apresentada no Anexo C.
Como parâmetro para comparação dos resultados, foram calculados os erros relativos dos re- sultados numéricos de flecha em relação aos resultados experimentais. Conhecendo-se o valor observado de flecha (δobs) e o valor calculado por determinado procedimento numérico (δcalc), o erro relativo (erel)], em porcentagem, foi calculado pela seguinte expressão
erel(%) = (δcalc− δobs) δobs
× 100 (5.1.16)
Também foram calculadas as médias dos erros relativos para cada viga analisada. Entretanto, para o cálculo da média foram utilizados os valores absolutos dos erros calculados para cada ponto, a fim de não introduzir distorções à média calculada.