A consideração da não-linearidade física no cálculo de flecha em vigas de concreto armado

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Orientadora: Maria Cecilia Amorim Teixeira da Silva Coorientador: Mario Conrado Cavichia

Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo da Unicamp, para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil na área de Estruturas e Geotécnica.

Orientadora: Maria Cecilia Amorim Teixeira da Silva Coorientador: Mario Conrado Cavichia

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELO ALUNO PEDRO

ALEXANDRE CONDE BANDINI, E ORIENTADA PELA

PROFA. DRA. MARIACECILIAAMORIMTEIXEIRA DA

SILVA.

Assinatura da Orientadora

CAMPINAS

Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura Elizangela Aparecida dos Santos Souza - CRB 8/8098

Bandini, Pedro Alexandre Conde,

B222c BanA consideração da não-linearidade física no cálculo de flecha em vigas de

concreto armado / Pedro Alexandre Conde Bandini. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.

BanOrientador: Maria Cecilia Amorim Teixeira da Silva.

BanCoorientador: Mario Conrado Cavichia.

BanDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de

Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo.

Ban1. Concreto armado. 2. Vigas. 3. Flexão (Engenharia civil). 4. Concreto

-Deformação - Modelos matemáticos. 5. Análise não-linear. I. Silva, Maria Cecilia Amorim Teixeira da,1955-. II. Cavichia, Mario Conrado,1953-. III. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo. IV. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: The consideration of material nonlinearity on the assessment of

deflection in reinforced concrete beams

Palavras-chave em inglês:

Reinforced concrete Beams

Flexion (Civil engineering)

Concrete - Strain - Mathematical models Nonlinear analysis

Área de concentração: Estruturas e Geotécnica Titulação: Mestre em Engenharia Civil

Banca examinadora:

Maria Cecilia Amorim Teixeira da Silva [Orientador] Leandro Mouta Trautwein

Julio Soriano

Data de defesa: 22-05-2015

Programa de Pós-Graduação: Engenharia Civil

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E URBANISMO

A CONSIDERACAO DA NAO-LINEARIDADE FiSICA NO

CALCULO DE FLECHA EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO

Pedro Alexandre Conde Bandini

Dissertacio dc Mestrado aprovada pela Banca Examinadora, constitul’da par:

Profa. Dra. Maria Cecilia Amorim Teixeira da Silva Presidente e Orientadora/Universidade Estadual de Campinas

OZQOMM Mafia {MW

Universidade Estadual de Campinas

flu w)’

. r. Julio Soriano

Unive a e Estadual de Campinas

Campinas, 22 de maio de 2015

RESUMO

A fim de atender a requisitos de Estados Limites de Serviço, uma estrutura de concreto deve sa-tisfazer critérios, dentre eles o controle de deslocamentos excessivos. As normas de projeto de estruturas de concreto estabelecem limites máximos para flechas em vigas que devem ser verifica-dos em etapa de projeto. Portanto, métoverifica-dos que estimem os deslocamentos em vigas de concreto armado de maneira satisfatória devem ser utilizados por engenheiros estruturais com o intuito de se projetar estruturas que atendam às condições de segurança e de serviço. No presente trabalho foram desenvolvidos e implementados os procedimentos numéricos FLECHA-0 e FLECHA-T que permitem analisar o comportamento de vigas de seção retangular, bi-apoiadas, de concreto armado submetidas à flexão simples. Os procedimentos consideraram a não-linearidade física para o cál-culo de flecha imediata e flecha total, nesta sendo também considerados os efeitos de fluência e retração. Adotou-se a análise da seção transversal em camadas para integração das tensões e ob-tenção dos esforços internos. A consideração da não-linearidade física foi introduzida através do emprego de modelos constitutivos adequados para concreto e aço, e a colaboração do concreto entre fissuras foi considerada através de modelo de tension-stiffening para o concreto tracionado pós-fissuração em região de tração efetiva. A análise de efeitos diferidos de fluência e retração foi desenvolvida mediante emprego de método para cálculo de curvatura em elementos fletidos. Os procedimentos numéricos foram implementados computacionalmente e foram validados através da comparação com resultados experimentais de vigas ensaiadas à flexão obtidos por outros pes-quisadores. Também foram avaliadas as recomendações referentes ao cálculo de flecha em vigas apresentadas pelas normas brasileira e europeia. Devido aos resultados obtidos na análise compa-rativa a modelos experimentais, procedeu-se uma investigação da influência da taxa de armadura de tração no procedimento para cálculo de flecha imediata em vigas recomendado pela norma bra-sileira de projeto de estruturas de concreto. Os resultados obtidos pelos procedimentos numéricos desenvolvidos no presente trabalho (FLECHA-0 e FLECHA-T) foram satisfatórios comparados aos experimentais e indicaram que estes podem ser empregados em situações de projeto para verifi-cação de Estado Limite de Serviço de Deformações Excessivas em vigas de concreto armado do grupo I de resistência. A análise da influência da taxa de armadura de tração indicou que pode existir uma limitação ao uso do procedimento recomendado pela norma brasileira para o cálculo de flecha imediata em vigas com taxa de armadura inferior de tração a 0,50%.

ABSTRACT

In order to satisfy Serviceability Limits States requirements, a concrete structure must fulfill some criteria; among them is the deflection control. Guidelines for the design of concrete structures set maximum limit to the deflection of beams which ought to be verified at the design stage. There-fore, methods which are able to estimate deflection of reinforced concrete beams satisfactorily should be used by the structural designer in order to design a RC structure that meet safety and serviceability specifications. This work presents the development of numerical procedures called FLECHA-0and FLECHA-T that allow the assessment of instaneous and long-term (considering creep and shrinkage effects) deflections, respectivly, on reinforced concrete simply supported rect-angular beams subjected to bending. A section analysis approach was adopted for the integration of stresses to obtain bending moment and axial load acting on the section and material nonlinear-ities were introduced by the application of adequate constitutive relations for concrete and steel. The collaboration of concrete in tension between cracks was considered by a tension-stiffening model for post-cracking concrete under tension. The numerical procedures were implemented and their efficiencies were verified by the comparison to experimental results of tested RC beams under bending. Specifications related to the subject, established by the Brazilian and European standards guidelines were also investigated. Due to the results gathered in the comparative analysis to ex-perimental data, an investigation was perfomed to assess the influence of the tension reinforcement ratio on the procedure to estimate instantaneous deflection in beam recommended by the Brazilian concrete structures design standards. The results obtained by the numerical procedures developed in the present work (FLECHA-0 and FLECHA-T) showed to be satisfactory and indicate that such procedures are able to be applied at design situations for the assessment of Deflection Control Serviceability Limit State in reinforced concrete beams of the strength group I. The analysis of the influence of the tension reinforcement ratio indicated that a limitation may exist in the proce-dure recommended by the Brazilian standards when applied to estimate instantaneous deflection of beams with tension reinforcement ratio lower than 0.50%.

SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 1 1.1 Objetivos . . . 3 1.1.1 Objetivo geral . . . 3 1.1.2 Objetivo específico . . . 3 1.2 Organização do trabalho . . . 3 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 5 2.1 Modelos para Análise de Vigas de Concreto Armado sob Cargas de Curta Duração 5 2.2 A Contribuição do Concreto Tracionado . . . 13

2.3 Cargas de Longa Duração . . . 15

3 METODOLOGIA 19 3.1 Flecha Imediata . . . 19

3.1.1 Análise da seção transversal . . . 20

3.1.2 Modelos constitutivos empregados . . . 22

3.1.3 Cálculo de deslocamento e curvatura . . . 26

3.1.4 Cálculo da posição da linha neutra . . . 28

3.1.5 O problema não-linear . . . 29

3.2 Flecha Total . . . 31

3.2.1 Curvatura devida à fluência . . . 31

3.2.2 Curvatura devida à retração . . . 32

3.2.3 Cálculo da flecha total . . . 32

3.3 Procedimentos Normativos para Cálculo de Flecha . . . 33

3.3.1 Procedimento recomendado pela ABNT NBR 6118 (2014) . . . 33

3.3.2 Procedimento recomendado pelo Eurocode 2 (2004) . . . 35

3.4 Ferramenta Computacional de Apoio . . . 37

3.5 Implementação Computacional . . . 37

3.5.1 Procedimento numérico FLECHA-0 . . . 38

3.5.2 Procedimento numérico FLECHA-T . . . 44

4 ANÁLISE PARAMÉTRICA 49 4.1 Viga sob Flexão a Quatro Pontos . . . 51

4.3 Discussão dos Resultados da Análise Paramétrica . . . 54

5 COMPARAÇÃO COM MODELOS EXPERIMENTAIS 57 5.1 Considerações Gerais . . . 57

5.2 Flecha Imediata . . . 62

5.2.1 Viga ensaiada por Araújo . . . 62

5.2.2 Viga ensaiada por Beber . . . 64

5.2.3 Viga ensaiada por Santos . . . 66

5.2.4 Viga ensaiada por Fernandes . . . 69

5.2.5 Vigas ensaiadas por Piancastelli . . . 71

5.2.6 Análise dos resultados . . . 74

5.3 Flecha Total . . . 75

5.3.1 Vigas ensaiadas por Gilbert e Nejadi . . . 76

5.3.2 Vigas ensaiadas por Washa e Fluck . . . 81

5.3.3 Análise dos resultados . . . 86

6 ESTUDO DA INFLUÊNCIA DA TAXA DE ARMADURA 91 6.1 Aspectos Gerais . . . 91 6.2 Metodologia . . . 94 6.2.1 Modelo 1 . . . 95 6.2.2 Modelo 2 . . . 96 6.2.3 Modelo 3 . . . 97 6.2.4 Modelo 4 . . . 98 6.3 Resultados . . . 99 6.3.1 Taxa de armadura 0,20% . . . 99 6.3.2 Taxa de armadura 0,30% . . . 100 6.3.3 Taxa de armadura 0,40% . . . 101 6.3.4 Taxa de armadura 0,50% . . . 102 6.3.5 Taxa de armadura 0,60% . . . 103 6.3.6 Taxa de armadura 0,70% . . . 104 6.3.7 Taxa de armadura 0,80% . . . 105 6.3.8 Taxa de armadura 0,90% . . . 106 6.3.9 Taxa de armadura 1,00% . . . 107 6.3.10 Taxa de armadura 1,20% . . . 108 6.3.11 Taxa de armadura 1,50% . . . 109

6.3.12 Taxa de armadura 2,00% . . . 110 6.4 Análise dos resultados . . . 111

7 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 115

REFERÊNCIAS 118

APÊNDICES 125

A ARQUIVOS DE ENTRADA E SAÍDA PARA FLECHA-0 E FLECHA-T 125

B RESULTADOS NUMÉRICOS OBTIDOS NAS COMPARAÇÕES COM

MODE-LOS EXPERIMENTAIS 129

B.1 Flecha Imediata . . . 129 B.2 Flecha Total . . . 132

ANEXOS 139

A FLUÊNCIA E RETRAÇÃO SEGUNDO O EUROCODE 2 (2004) 139

A.1 Coeficiente de Fluência . . . 139 A.2 Deformação de Retração . . . 141

B MOMENTO DE INÉRCIA NOS ESTÁDIOS I E II PURO 143

B.1 Estádio I . . . 143 B.2 Estádio II puro . . . 144

C MOMENTO FLETOR TEÓRICO DE RUÍNA 147

C.1 Equações de equilíbrio . . . 147 C.2 Equações de compatibilidade . . . 149 C.3 Domínios de deformações . . . 150

Aos meus pais, Silvia e Luiz, e à minha esposa Dayana, com carinho.

AGRADECIMENTOS

Primeiramente, à Profa. Dra. Maria Cecilia Amorim Teixeira da Silva pela orientação, pela confiança e pelos ensinamentos transmitidos. Uma pessoa por quem tenho grande admiração e tomo como exemplo de profissional.

Ao Prof. Dr. Mário Conrado Cavichia por ter me auxiliado durante toda minha formação como engenheiro civil e pela dedicação e acompanhamento do meu trabalho de mestrado.

À minha família, em especial, aos meus pais, Silvia e Luiz, e meu irmão Luiz Fernando, por quem tenho imenso carinho, agradeço pelo encorajamento e suporte. Sem eles, nada disso teria sido possível.

À minha esposa e melhor amiga Dayana pelo amor e incentivo.

Aos meus amigos e amigas, que sempre estiveram presentes me dando suporte.

À equipe da TQS Informática, com quem trabalhei durante meu primeiro ano de mestrado, especialmente aos engenheiros Nelson Covas, Alio Ernesto Kimura e Rodrigo Nurnberg, pela ami-zade e oportunidade.

Aos demais professores e funcionários da Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urba-nismo da Unicamp, em especial do Departamento de Estruturas, pela formação, ajuda e valiosa troca de ideias.

À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo apoio finan-ceiro para realização desse trabalho.

Ao Prof. Dr. Andriei José Beber pela colaboração ao disponibilizar seus resultados experimen-tais que foram utilizados neste trabalho.

LISTA DE FIGURAS

3.1 Seção transversal analisada em camadas de concreto e elementos de armadura. . . . 22

3.2 Relação tensão-deformação para concreto à compressão segundo Eurocode 2 (2004) 23 3.3 Relação tensão-deformação para concreto à tração: (a) pré-fissuração e (b) pós-fissuração segundo Stramandinoli e La Rovere (2008) . . . 24

3.4 Altura efetiva de concreto tracionado segundo CEB-FIP MC 90 (1993) . . . 25

3.5 Modelo constitutivo empregado para o aço. . . 26

3.6 Elemento finito de barra submetida a carregamento transversal . . . 27

3.7 Fluxograma do procedimento numérico FLECHA-0 . . . 41

3.8 Fluxograma do cálculo do vetor de carga devido aos esforços internos . . . 42

3.9 Fluxograma do cálculo da posição da linha neutra . . . 43

3.10 Fluxograma do procedimento numérico FLECHA-T . . . 47

4.1 Geometria da viga para análise paramétrica . . . 49

4.2 Modelos de divisão da seção em camadas para análise paramétrica . . . 50

4.3 Malhas para análise paramétrica da viga sob flexão a 4 pontos . . . 51

4.4 Curvas carga-flecha de viga sob flexão a 4 pontos para análise de (a) malha e (b) quantidade de camadas . . . 52

4.5 Malhas para análise paramétrica da viga sob flexão a 3 pontos . . . 53

4.6 Curvas carga-flecha de viga sob flexão a 3 pontos para análise de (a) malha e (b) quantidade de camadas . . . 54

5.1 Detalhes da viga VC-1R ensaiada por Araújo (2002) e malha adotada . . . 62

5.2 Curvas carga-flecha para viga ensaiada por Araújo (2002) . . . 64

5.3 Detalhes da vigas T1 e T2 ensaiadas por Beber (1999) e malha adotada . . . 65

5.4 Curvas carga-flecha para viga ensaiada por Beber (1999) . . . 66

5.5 Detalhes da viga REF1 ensaiada por Santos (2006) e malha adotada . . . 67

5.6 Curvas carga-flecha para viga ensaiada por Santos (2006) . . . 68

5.7 Detalhes da viga ensaiada por Fernandes (1996) e malha adotada . . . 69

5.8 Curvas carga-flecha para viga ensaiada por Fernandes (1996) . . . 70

5.9 Detalhes das vigas V3 e V7 ensaiadas por Piancastelli (1997) e malha adotada . . . 72

5.10 Curvas carga-flecha para viga ensaiada por Piancastelli (1997) . . . 73

5.11 Vigas dos grupos B1, B2 e B3 ensaiadas por Gilbert e Nejadi (2004) e malha adotada 77 5.12 Curva flecha-idade para viga B1-a ensaiada por Gilbert e Nejadi (2004) . . . 78

5.13 Curva flecha-idade para viga B1-b ensaiada por Gilbert e Nejadi (2004) . . . 78

5.14 Curvas flecha-idade para viga B2-a ensaiada por Gilbert e Nejadi (2004) . . . 79

5.15 Curvas flecha-idade para viga B2-b ensaiada por Gilbert e Nejadi (2004) . . . 80

5.16 Curvas flecha-idade para viga B3-a ensaiada por Gilbert e Nejadi (2004) . . . 80

5.17 Curvas flecha-idade para viga B3-b ensaiada por Gilbert e Nejadi (2004) . . . 81

5.18 Esquema estrutural das vigas ensaiadas por Washa e Fluck (1952) e malha adotada para análise . . . 82

5.19 Seções transversais das vigas ensaiadas por Washa e Fluck (1952) . . . 83

6.1 Seção transversal e esquema estático para as vigas analisadas . . . 95

6.2 Curva carga-flecha para taxa de 0,20%: (a) M1-a, (b) M2-a, (c) M3-a e (d) M4-a . . 100

6.3 Curva carga-flecha para taxa de 0,30%: (a) M1-b, (b) M2-b, (c) M3-b e (d) M4-b . 101 6.4 Curva carga-flecha para taxa de 0,40%: (a) M1-c, (b) M2-c, (c) M3-c e (d) M4-c . . 102

6.5 Curva carga-flecha para taxa de 0,50%: (a) M1-d (b) M2-d, (c) M3-d e (d) M4-d . . 103

6.6 Curva carga-flecha para taxa de 0,60%: (a) M1-e, (b) M2-e, (c) M3-e e (d) M4-e . . 104

6.7 Curva carga-flecha para taxa de 0,70%: (a) M1-f, (b) M2-f, (c) M3-f e (d) M4-f . . 105

6.8 Curva carga-flecha para taxa de 0,80%: (a) M1-g, (b) M2-g, (c) M3-g e (d) M4-g . 106 6.9 Curva carga-flecha para taxa de 0,90%: (a) M1-h, (b) M2-h, (c) M3-h e (d) M4-h . 107 6.10 Curva carga-flecha para taxa de 1,00%: (a) M1-i, (b) M2-i, (c) M3-i e (d) M4-i . . 108

6.11 Curva carga-flecha para taxa de 1,20%: (a) M1-j, (b) M2-j, (c) M3-j e (d) M4-j . . 109

6.12 Curva carga-flecha para taxa de 1,50%: (a) M1-k, (b) M2-k, (c) M3-k e (d) M4-k . 110 6.13 Curva carga-flecha para taxa de 2,00%: (a) M1-l, (b) M2-l, (c) M3-l e (d) M4-l . . 111

A.1 Arquivo de entrada para procedimento FLECHA-0 . . . 126

A.2 Arquivo de entrada para procedimento FLECHA-T . . . 127

A.3 Arquivo de saída para procedimento FLECHA-0 . . . 128

A.4 Arquivo de saída para procedimento FLECHA-T . . . 128

C.1 Seção transversal e forças resistentes . . . 148

C.2 Compressão no concreto por parábola-retângulo e simplificação . . . 149

LISTA DE TABELAS

3.1 Pontos e pesos para quadratura de Gauss-Legendre . . . 40 4.1 Propriedades mecânicas da viga para análise paramétrica . . . 49 5.1 Coeficiente αE conforme natureza do agregado graúdo . . . 58

5.2 Desvio-padrão de acordo com condição de preparo do concreto. Adaptada de ABNT NBR 12655 (2006) . . . 58 5.3 Propriedades mecânicas do concreto da viga VC-1R utilizadas nos procedimentos . 63 5.4 Taxas geométricas e propriedades mecânicas da armadura da viga VC-1R . . . 63 5.5 Propriedades mecânicas do concreto das vigas T1 e T2 utilizadas nos procedimentos 65 5.6 Taxas geométricas e propriedades mecânicas das armaduras das vigas T1 e T2 . . . 65 5.7 Propriedades mecânicas do concreto da viga REF1 utilizadas nos procedimentos . . 67 5.8 Taxas geométricas e propriedades mecânicas das armaduras da viga REF1 . . . 68 5.9 Propriedades mecânicas do concreto da viga 3φ 10mm . . . 70 5.10 Taxas geométricas e propriedades mecânicas das armaduras da viga 3φ 10mm . . . 70 5.11 Propriedades mecânicas do concreto das vigas V3 e V7 ensaiadas por Piancastelli

(1997) . . . 71 5.12 Taxas geométricas e propriedades mecânicas das armaduras das vigas V3 e V7

ensaiada por Piancastelli (1997) . . . 73 5.13 Erros relativos médios obtidos para flechas imediatas . . . 75 5.14 Propriedades geométricas e dados de carregamento das vigas ensaiadas por Gilbert

e Nejadi (2004) . . . 76 5.15 Propriedades mecânicas do concreto das vigas ensaiadas por Gilbert e Nejadi

(2004) à idade de 14 dias . . . 76 5.16 Propriedades mecânicas do concreto das vigas ensaiadas por Gilbert e Nejadi

(2004) utilizadas pelos procedimentos . . . 78 5.17 Vãos e cargas dos grupos de vigas ensaiadas por Washa e Fluck (1952) . . . 81 5.18 Propriedades mecânicas do concreto à idade de 14 dias utilizados em FLECHA-T . 82 5.19 Propriedades mecânicas do concreto à idade de 14 dias utilizados em NBR6118 . . 84 5.20 Propriedades mecânicas do concreto à idade de 14 dias utilizados em EC2 . . . 84 5.21 Propriedades mecânicas das barras de aço utilizadas nas armaduras . . . 84 5.22 Coeficiente de fluência e deformação de retração estimados pelo procedimento do

5.23 Flechas imediatas e totais: experimentais de Washa e Fluck (1952) e calculadas. Valores em milímetros. . . 85 5.24 Flechas iniciais e totais para as vigas ensaiadas por Gilbert e Nejadi (2004) . . . 87 5.25 Erros relativos médios para flechas totais em comparação com resultados de Gilbert

e Nejadi (2004) . . . 87 5.26 Razões entre flechas total e imediata (experimentais de Washa e Fluck (1952) e

numéricas) . . . 88 5.27 Erros relativos médios para flechas imediatas e totais em comparação com

resulta-dos de Washa e Fluck (1952) . . . 89 6.1 Propriedades mecânicas do concreto e do aço das vigas do Modelo 1 . . . 94 6.2 Propriedades geométricas das vigas do Modelo 1 . . . 95 6.3 Dados necessários aos procedimentos - Modelo 1 . . . 95 6.4 Armadura de tração e carga de ruína das vigas do Modelo 1 . . . 96 6.5 Propriedades geométricas das vigas do Modelo 2 . . . 96 6.6 Dados necessários aos procedimentos - Modelo 2 . . . 96 6.7 Armadura de tração das vigas do Modelo 2 . . . 97 6.8 Propriedades geométricas das vigas do Modelo 3 . . . 97 6.9 Dados necessários aos procedimentos - Modelo 3 . . . 97 6.10 Armadura de tração das vigas do Modelo 3 . . . 98 6.11 Propriedades geométricas das vigas do Modelo 4 . . . 98 6.12 Dados necessários aos procedimentos - Modelo 4 . . . 98 6.13 Armadura de tração das vigas do Modelo 4 . . . 99 6.14 Taxa de armadura de tração, momento de fissuração, momento solicitante para

atin-gir 96% de III e momento de inércia efetivo . . . 113

B.1 Resultados numéricos para comparação com a viga VC-1R ensaiada por Araújo (2002) . . . 129 B.2 Resultados numéricos para comparação com a vigas T1 e T2 ensaiada por Beber

(1999) . . . 130 B.3 Resultados numéricos para comparação com viga ensaiada por Fernandes (1996) . 130 B.4 Resultados numéricos para comparação com as vigas V3 e V7 ensaiada por

Pian-castelli (1997) . . . 131 B.5 Resultados numéricos para comparação com a viga REF1 ensaiada por Santos (2006)131

B.6 Resultados numéricos para comparação com a viga B1-a ensaiada por Gilbert e Nejadi (2004) . . . 133 B.7 Resultados numéricos para comparação com a viga B1-b ensaiada por Gilbert e

Nejadi (2004) . . . 134 B.8 Resultados numéricos para comparação com a viga B2-a ensaiada por Gilbert e

Nejadi (2004) . . . 135 B.9 Resultados numéricos para comparação com a viga B2-b ensaiada por Gilbert e

Nejadi (2004) . . . 136 B.10 Resultados numéricos para comparação com a viga B3-a ensaiada por Gilbert e

Nejadi (2004) . . . 137 B.11 Resultados numéricos para comparação com a viga B3-b ensaiada por Gilbert e

Nejadi (2004) . . . 138 A.1 Valores de khem função da altura teórica. Adaptado de Eurocode 2 (2004) . . . 141

LISTA DE SIGLAS ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas

ACI American Institute of Concrete

ASCE American Society of Civil Engineers CEB Comité Euro-International du Béton

CEB-FIP Comité Euro-International du Béton - Fédération Internationale de la Précontrainte CEN European Committee for Standardization

DSFM Disturbed Strees Field Model ELS Estado-Limite de Serviço ELU Estado-Limite Último

MCFT Modified Compression Field Theory MEF Método dos Elementos Finitos

MFE Micro Finite Element

LISTA DE SÍMBOLOS

∆ti Intervalo de tempo em que determinada temperatura prevalece

α Expoente que depende do tipo de cimento

αϕ Fator relativo a fissuração e a quantidade e posição da armadura na fluência segundo Gilbert

(2011)

α1,2,3 Coeficientes que consideram a influência da resistência do concreto na fluência

αE Coeficiente relativo ao tipo de rocha do agregado graúdo

αf Fator para consideração da fluência

αsd1,2 Coeficientes que dependem do tipo de cimento (retração)

αtr Coeficiente relativo ao efeito da geometria da seção transversal na resistência à tração sob

flexão

β Fator relativo à influência da duração ou repetição do carregamento βc(t,t0) Coeficiente que descreve o desenvolvimento da fluência no tempo

β ( fcm) Fator que considera o efeito da resistência do concreto na fluência

βH Coeficiente que depende da umidade relativa do ar e da altura teórica

βRH Coeficiente referente à umidade relativa do ar

βt Coeficiente relativo a efeitos da retração e do tempo

β (t0) Fator que considera a idade do início do carregamento na fluência

δt Flecha total

δt0 Flecha imediata

εF Tolerância relativa à carga

εLN Tolerância relativa à linha neutra

ε Deformação específica

εc Deformação específica do concreto

εc1 Deformação relativa ao pico de tensão de compressão no concreto

εca(t) Deformação por retração autógena

εcd(t) Deformação por retração por secagem

εcd,0 Deformação básica de retração por secagem

εcr Deformação de fissuração do concreto

εcs Deformação específica por retração

εcu Deformação de ruptura à compressão do concreto

εs Deformação específica do aço

εsu Deformação última do aço

εy Tensão de escoamento do aço

ζ Coeficiente de distribuição

η Razão entre deformação específica do concreto e deformação do concreto relativa ao pico de tensão

λ Parâmetro de decaimento exponencial da tensão de tração do concreto pós-fissuração ξ Coeficiente para consideração do tempo no cálculo de flecha total segundo a ABNT NBR

6118 (2014)

ξj Ponto de integração

ρ Taxa geométrica de armadura tracionada ρ0 Taxa geométrica da armadura de compressão σc Tensão normal no concreto

θ Rotação

φ Diâmetro da barra de aço ϕ0 Coeficiente de fluência teórico

ϕRH Fator que considera o efeito da umidade relativa do ar na fluência

ϕ (t, t0) Coeficiente de fluência

ω Parâmetro de deformação χ Curvatura

χcs Curvatura devida à retração

χϕ Curvatura devida à fluência na idade t

χt Curvatura total

ψi Função de forma

A_c Área de concreto

Ae f Área efetiva de concreto tracionado

A_s Área de aço da armadura de tração A0_s Área de aço da armadura de compressão

E_c Módulo de deformação longitudinal tangente inicial do concreto Ec,e f Módulo de deformação longitudinal efetivo do concreto

Ecm Módulo de deformação longitudinal secante do concreto

E_s Módulo de elasticidade do aço

E_s0 Módulo de elasticidade do aço da armadura de compressão (EI)_eq Rigidez à flexão equivalente

I Momento de inércia

Ie f Momento de inércia efetivo

I_I Momento de inércia no Estádio I (estado não-fissurado) III Momento de inércia no Estádio II puro (estado fissurado)

I_s Momento de inércia da armadura de tração I_s0 Momento de inércia da armadura de compressão M Momento fletor

M_cr Momento fletor de fissuração

Ma Momento fletor máximo em trecho da viga

M_u Momento fletor teórico de ruína MV Momento fletor virtual

N Esforço normal

P Carga concentrada aplicada Pu Carga teórica de ruína

R_c Esforço normal resistente do concreto

Rs Esforço normal resistente da armadura de tração

R0_s Esforço normal resistente da armadura de compressão RH Umidade relativa do ar

S Momento estático

S_d Desvio-padrão da amostra

T(∆ti) Temperatura em intervalo de tempo

W_I Módulo de resistência da fibra tracionada extrema da seção homogeneizada não-fissurada b Base da seção transversal

d0 Altura útil da armadura de compressão e Índice do elemento

e_rel Erro relativo

f_ck Resistência à compressão característica do concreto f_cm Resistência à compressão média do concreto

f_cm,sp Resistência média à tração do concreto obtida por ensaio de compressão diametral f_ctm Resistência à tração média do concreto

fctm, f l Resistência média à tração em flexão

f(x) Função (genérica)

fy Tensão de escoamento do aço

f_y0 Tensão de escoamento do aço da armadura de compressão h Altura da seção transversal

h0 Altura teórica

h_{e f} Altura efetiva segundo CEB-FIP MC 90 (1993) k_h Coeficiente que depende da altura teórica

k Coeficiente para cálculo da tensão de compressão no concreto segundo Eurocode 2 (2004) l Comprimento da viga

le Comprimento do elemento m Número de camadas de concreto

n Número de barras da armadura longitudinal n_m Razão modular entre aço e concreto

nm,e Razão modular efetiva

qe Carregamento transversal uniforme no elemento t Idade na qual se realiza a análise

t0 Idade de início do carregamento

t_0,T Idade inicial de carregamento ajustada pela temperatura t_s Idade do concreto no início da retração

t_T Idade ajustada pela temperatura u Perímetro em contato com a atmosfera

ui Deslocamento transversal nodal ou rotação nodal

v Deslocamento transversal

ve Função de aproximação do deslocamento transversal do elemento w_j Peso de integração

x Coordenada da seção transversal no eixo longitudinal da viga y Distância da fibra de concreto à linha neutra

y_I Distância da linha neutra à fibra extrema comprimida no Estádio I yII Distância da linha neutra à fibra extrema comprimida no Estádio II puro

y_s Distância da camada de armadura à linha neutra

y_tr Distância do centro de gravidade da seção à borda tracionada y0 Distância da linha neutra à fibra comprimida extrema de concreto

z_c Braço de alavanca do esforço resistente de concreto ∆F Vetor de desequilíbrio de carga

∆U Vetor de incremento de deslocamento F Vetor de carga

K0 Matriz de rigidez tangente inicial

1. INTRODUÇÃO

O concreto armado é um dos materiais de construção mais importantes do mundo, sendo no Brasil ainda um dos principais materiais empregados na construção de estruturas de edifícios resi-denciais e comerciais.

Atualmente, com o emprego de aços e concretos de maiores resistências em estruturas acom-panhado por procedimentos analíticos mais refinados e aumento da capacidade de processamento computacional, propiciou-se aos engenheiros estruturais a possibilidade de se projetar estruturas de concreto armado mais esbeltas e mais solicitadas, e que atendem aos critérios de Estados-Limite Últimos (ELU). Além da segurança garantida pelo atendimento aos ELUs, uma estrutura deve tam-bém atender aos requisitos de sua utilização em serviço, os quais são determinados pelos Estados-Limite de Serviço (ELS), de forma a garantir o uso para o qual a estrutura foi projetada durante sua vida útil.

As normas de projetos de estruturas de concreto, como a nacional da Associação Brasileira de Normas Técnicas - ABNT NBR 6118 (2014) e a europeia do European Committee for Standardiza-tion- CEN, Eurocode 2 (2004), requerem, dentre os ELS, a avaliação de deslocamentos excessivos para vigas, impondo valores limites de flecha para que os deslocamentos sejam aceitáveis. De acordo com Gilbert (2011), o deslocamento de estruturas não deve prejudicar o funcionamento da mesma nem mesmo ser esteticamente inaceitável. Segundo Leonhardt (1981), os danos mais frequentes causados por flechas excessivas são: fissuras em paredes não-estruturais, destruição ou ocasionamento de mal funcionamento de caixilhos e esquadrias, e flambagem de paredes e pilares esbeltos.

Com o intuito de atender aos requisitos de ELS, durante a etapa de projeto, devem-se utilizar procedimentos práticos para a estimativa de flecha em vigas de concreto armado que representem satisfatoriamente o comportamento real desse elemento estrutural. Tais procedimentos, entretanto, não devem ser excessivamente conservadores, a fim de se projetar de maneira eficiente.

O concreto é um material que possui comportamentos bastante distintos à compressão e à tra-ção. Quando comprimido, o concreto apresenta comportamento não-linear sob tensões elevadas. À tração, mesmo para níveis de tensão relativamente baixos, o concreto apresenta fissuração, a qual conduz a uma considerável perda de rigidez da estrutura. A desconsideração total do comporta-mento não-linear através de uma análise puramente linear de estruturas de concreto armado resulta em deslocamentos contra a segurança. Por outro lado, desprezar completamente a colaboração do concreto tracionado leva a modelos flexíveis e, consequentemente, a valores de deslocamento superiores aos observados na realidade. Dessa forma, modelos analíticos para avaliação de flecha em vigas de concreto armado devem levar em conta tanto o comportamento não-linear do material

quanto a colaboração do concreto tracionado entre fissuras. Ainda, efeitos diferidos do concreto como fluência e retração causam aumento das curvaturas em estruturas submetidas à flexão e, por consequência, amplificam os deslocamentos imediatos ao longo do tempo. Tais efeitos também devem ser considerados em modelos que visem estimar flechas em vigas de concreto armado.

Diversos modelos com diferentes graus de complexidade foram propostos para a considera-ção da não-linearidade física na análise de vigas de concreto armado. Análises excessivamente refinadas podem requerer elevado grau de complexidade e o tempo de processamento se torna im-praticável para situações de projetos correntes.

Como indicado pelo comitê da American Society of Civil Engineers - ASCE (1982) e utili-zado por Vecchio e Collins (1988), Sun, Bradford e Gilbert (1993), Matsui e Silva (2006) e Stramandinoli e La Rovere (2012), pode-se empregar a abordagem da divisão da seção transversal em camadas de concreto e de armadura para integração das tensões solicitantes a fim de se obter os esforços internos atuantes na seção. Tais esforços decorrem do emprego de modelos constituti-vos adequados para aço e concreto, os quais retratam tanto o comportamento não-linear quanto a colaboração do concreto tracionado entre fissuras, efeito conhecido como tension-stiffening. Ali-ada a essa abordagem, pode-se empregar a formulação do Método dos Elementos Finitos (MEF) para barras submetidas à flexão para cálculo de deslocamentos junto a métodos iterativos, como Newton-Raphson, para resolução do problema não-linear, a fim de se desenvolver um procedimento numérico que apresente ao mesmo tempo uma formulação simples e consistente e a possibilidade de ser empregado por engenheiros estruturais durante a etapa de projeto.

A consideração dos efeitos diferidos de fluência e de retração na avaliação de flecha total em vigas de concreto armado foi analisada em formulações refinadas por Alvis, Olorunniwo e Ang (1994) e Araújo (2005). Formulações analíticas foram propostas por Marí, Bairán e Duarte (2010) e Gilbert (2011), as quais estimavam os acréscimos de curvatura causados pela fluência e pela retração.

As normas ABNT NBR 6118 (2014) e Eurocode 2 (2004) apresentam procedimentos ana-líticos para o cálculo de flecha em vigas que introduzem de maneira simplificada os efeitos de não-linearidade física, a colaboração do concreto tracionado entre fissuras e os efeitos diferidos, os quais são amplamente empregados em projetos de estruturas de concreto armado em escritó-rios de engenharia estrutural. Contudo, tais simplificações podem gerar resultados que não sejam consistentes com a realidade.

Assim, justifica-se o estudo e a consideração da não-linearidade física e dos efeitos de fluência e de retração no desenvolvimento de um procedimento numérico para a avaliação do Estado Limite de Serviço de Deformações Excessivas em vigas de concreto armado.

1.1 Objetivos 1.1.1 Objetivo geral

O objetivo geral desse trabalho foi o estudo de modelos para representação do comportamento não-linear físico no cálculo de flecha em vigas de concreto armado, submetidas a solicitações nor-mais de curta e de longa duração.

1.1.2 Objetivo específico

Os objetivos específicos desse trabalho foram:

1. desenvolver procedimentos numéricos para o cálculo de flecha em vigas de concreto armado considerando os efeitos da não-linearidade física, da colaboração do concreto tracionado entre fissuras, da fluência e da retração;

2. avaliar os resultados resultados obtidos pelos procedimentos numéricos desenvolvidos em comparação com resultados extraídos de modelos experimentais obtidos na literatura; 3. avaliar os resultados resultados obtidos pelos procedimentos numéricos desenvolvidos em

comparação com valores calculados por meio dos procedimentos analíticos para cálculo de flechas adotados pelas normas ABNT NBR 6118 (2014) e Eurocode 2 (2004).

1.2 Organização do trabalho

O presente trabalho está organizado em sete capítulos, dois apêndices e três anexos, os quais são brevemente descritos a seguir.

No Capítulo 2 é apresentada a revisão bibliográfica, na qual foram focados os temas: modelos e métodos para análise de flecha em vigas de concreto armado; modelos constitutivos para considera-ção da colaboraconsidera-ção do concreto tracionado entre fissuras (tension-stiffening) e modelos e métodos para cálculo de flecha devida aos efeitos de fluência e retração do concreto.

No Capítulo 3 é exposta a metodologia empregada no desenvolvimento nos procedimentos nu-méricos para cálculo de flecha imediata, denominado FLECHA-0, e de flecha total, denominado FLECHA-T. São também abordados os procedimentos para cálculo de flecha imediata e total reco-mendados pelas normas ABNT NBR 6118 (2014) e Eurocode 2 (2004). E ainda é apresentada a ferramenta computacional de apoio utilizada para desenvolvimento dos procedimentos FLECHA-0 e FLECHA-T: o programa Wolfram Mathematica 8.

No Capítulo 4 é apresentada a análise paramétrica realizada para verificação da eficiência e consistência do procedimento numérico FLECHA-0 frente à influência do número de elementos da

malha e da quantidade de camadas da seção transversal nos resultados obtidos.

No Capítulo 5 são abordadas as comparações realizadas com resultados experimentais de vigas solicitadas a carregamentos de curta e de longa duração obtidos da literatura corrente. Além dos resultados obtidos pela simulação de tais modelos pelos procedimentos 0 e FLECHA-T, são também apresentados os resultados obtidos utilizando-se os procedimentos recomendados pelas normas ABNT NBR 6118 (2014) e Eurocode 2 (2004). Os resultados são exibidos em forma gráfica, sendo apresentadas curvas carga-flecha para análise de flecha imediata e curvas flecha-idade para análise de flecha total.

No Capítulo 6 é exposta a análise feita sobre a influência da taxa de armadura tracionada no cálculo de flecha imediata em vigas de concreto armado, na qual foram feitas comparações entre os resultados obtidos pelos procedimentos FLECHA-0, da norma brasileira ABNT NBR 6118 (2014) e da norma europeia Eurocode 2 (2004) para quatro modelos hipotéticos de vigas para as quais foram definidas 12 taxas de armadura tracionada, variando de 0,20% a 2,00%.

No Capítulo 7 são apresentadas as conclusões e recomendações para trabalhos futuros.

No Apêndice A são apresentados exemplos de arquivo de entrada e de saída para os procedi-mentos desenvolvidos nesse trabalho: FLECHA-0 e FLECHA-T.

No Apêndice B são expostos os resultados numéricos obtidos pelos procedimentos analisados e utilizados na análise comparativa com resultados experimentais do Capítulo 5.

No Anexo A são apresentados os procedimentos para estimativa do coeficiente de fluência e da deformação por retração recomendados pelo Eurocode 2 (2004) usados na análise de flecha total para os casos em que o modelo experimental não apresentou tais propriedades.

No Anexo B são apresentadas as formulações utilizadas para cálculo do momento de inércia nos estados não-fissurado e fissurado para seções retangulares de concreto armado, as quais foram utilizadas na aplicação dos procedimentos propostos pelas normas ABNT NBR 6118 (2014) e Eurocode 2 (2004).

No Anexo C é exposto o procedimento para cálculo do momento de ruína teórico de seção retangular de concreto armado submetida à flexão simples, utilizado nas análises realizadas.

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 Modelos para Análise de Vigas de Concreto Armado sob Cargas de Curta Duração De acordo com o comitê da ASCE (1982), a primeira aplicação do método dos elementos finitos a vigas de concreto armado foi publicada por Ngo e Scordelis (1967), os quais analisaram vigas simplesmente apoiadas através de modelo composto por elementos bidimensionais triangulares de concreto e de aço, sendo utilizados elementos especiais de aderência para conectar o aço ao concreto. Foram realizadas análises lineares elásticas com padrões de fissuração pré-definidos e como resultados foram determinadas as tensões principais no concreto, as tensões no aço e as tensões de aderência. Os autores concluíram que a flexibilidade em alterar as propriedades da estrutura pelo modelo proposto fizeram-no adequado para a investigação de elementos de concreto armado, nos quais ocorre mudança das propriedades dos materiais e fissuração sob carregamento crescente.

Nilson (1968) introduziu a não-linearidade física e a relação de aderência não-linear à análise e utilizou um procedimento de carregamento incremental para consideração de tais não-linearidades. Foram utilizados elementos finitos quadrilaterais sob estado plano de tensão e a consideração da fissuração foi feita através de sucessivos processamentos: quando um elemento indicava ruptura à tração definindo um nova estrutura fissurada, esta era utilizada para novo processamento no com-putador e incrementalmente carregada. Foram feitas simulações de elementos submetidos à tração direta com armaduras concêntricas e excêntricas e os resultados comparados a modelos experimen-tais. O autor concluiu que o modelo desenvolvido propicia uma base desenvolvida para a estimativa do comportamento de estruturas de concreto armado sob cargas de serviço e que o método dos ele-mentos finitos configura uma ferramenta de valor suplementar à análise experimental.

Segundo o comitê da ASCE (1982), as vigas podem ser classificadas simplificadamente em duas categorias: vigas (shallow beams) e vigas-parede (deep beams). Não existe um valor único de razão entre altura e vão da viga que determine a divisão entre essas duas categorias, uma vez que o comportamento depende também de outros fatores, como por exemplo: tipo de carregamento, condições de vinculação, arranjo das armaduras, dentre outros. Para vigas de concreto armado, uma subdivisão pode ser feita de acordo com o tipo de ruína que a viga sofre, seja por flexão ou por cisalhamento com tração diagonal. O comportamento de ruína à flexão pode ser bem estimado por modelos analíticos simples, porém o comportamento de ruína por cisalhamento com tração diagonal, assim como a ruína em vigas altas, requer modelos mais complexos.

Para vigas que apresentam ruína à flexão, o modelo em elementos finitos mais simples consiste em dividir a viga longitudinalmente em segmentos de elemento com a mesma altura da viga. As

seções transversais em cada elemento são divididas em camadas de concreto e de aço. Adotando-se as hipóteAdotando-ses de Adotando-seções planas permanecerem planas após a deformação e de que cada camada está submetida a estado uniaxial de tensão, a análise não-linear em elementos finitos é realizada através da atualização das propriedades dos materiais, do estado de fissuração e dos estados de tensão e deformação, em cada incremento de carga ou iteração. Nesse caso, a fissuração poderá ser representada apenas na direção vertical. Sendo esse o tipo de fissuração predominante em vigas com ruína à flexão, esse modelo pode representar de maneira precisa o comportamento da viga até sua ruína.

Vecchio e Collins (1988) incorporaram os conceitos da teoria do campo de compressão modi-ficada em um modelo analítico para análise da resposta de vigas de concreto armado ou protendido submetidas a esforços normais, de cisalhamento e de momento fletor. Tal modelo foi baseado na análise da seção transversal subdividida em camadas de concreto e em um procedimento iterativo para solução das deformações geradas por esforço normal e para a determinação da distribuição da tensão de cisalhamento, e permitiu que seções transversais não-usuais ou complexas submetidas a uma grande variação das condições de carregamento pudessem ser analisadas. Os resultados obti-dos pelo modelo analítico mostraram-se concordantes com resultaobti-dos de modelos experimentais.

Choi e Kwak (1990) desenvolveram uma abordagem para análise não-linear de estruturas de concreto armado submetidas a carregamentos crescentes, de zero à carga última. Nesse estudo, a seção transversal do elemento estrutural foi dividida em camadas de concreto armado e utilizou-se a formulação de elementos finitos para barras submetidas a carregamento transversal. A conside-ração da não-linearidade física foi feita através do emprego de relações constitutivas para aço e concreto, considerou-se a colaboração do concreto entre fissuras e admitiu-se a aderência perfeita entre concreto e aço. Os autores apresentaram um novo critério para a determinação da deformação do concreto ao fim do amolecimento sob tração baseado em energia de fratura de modo à análise independer da malha de elementos finitos utilizada. Foram feitas comparações do modelo proposto com resultados experimentais, as quais indicaram boa concordância. Os autores concluíram que a colaboração do concreto tracionado entre fissuras não deve ser desprezada na análise de estruturas de concreto, por ser de grande influência no comportamento pós-fissuração de tais estruturas; e que o critério proposto para cálculo da deformação final do amolecimento se mostrou eficaz, sendo que análises com malhas pouco refinadas resultaram em erros numéricos pequenos quando comparadas a análises que utilizaram malhas mais refinadas.

Consenza (1990) apresentou uma formulação em elementos finitos para análise de vigas de concreto armado em estado fissurado. A inclusão da não-linearidade física foi feita através de modelos para cálculo de inércia efetiva, sendo desenvolvida uma metodologia para o cálculo da matriz de rigidez e do vetor de carga para elementos de concreto armado com regiões fissuradas,

que se baseou em relações momento-curvatura. Diferentes abordagens do momento de inércia efetivo foram analisadas e unificadas por meio de uma função que leva em conta a colaboração do concreto tracionado (tension-stiffening function). A formulação proposta foi empregada em um procedimento numérico iterativo para análise de estruturas estaticamente indeterminadas. O procedimento foi validado pela comparação com resultados experimentais e teóricos (Comité Euro-International du Béton- CEB, 1988 e American Concrete Institute - ACI, 1989) de vigas contínuas com dois vãos. Uma boa concordância entre resultados numéricos, experimentais e teóricos foi verificada.

Araújo e Campos Filho (1992) desenvolveram um modelo bidimensional para análise de vigas de concreto armado baseado em um modelo constitutivo bidimensional para o concreto e empre-gando o método dos elementos finitos. O concreto foi tratado como um material ortotrópico e modelado com o emprego de elementos finitos isoparamétricos para o estado plano de tensões. A colaboração do concreto tracionado entre fissuras foi considerada através do modelo constitutivo empregado para o concreto tracionado, e as barras da armadura foram incluídas na formulação do elemento de concreto armado por meio de um algoritmo que garantiu a compatibilidade de defor-mações entre os dois materiais considerando aderência total, não havendo aumento do número de graus de liberdade do problema. Para a solução do sistema não-linear, utilizou-se um processo ite-rativo baseado no método de Newton-Raphson modificado com rigidez inicial constante que reduz o número de iterações necessárias para convergência. O modelo foi implementado computacional-mente e foram feitas comparações com resultados experimentais de vigas de concreto armado, as quais indicaram boa concordância e validaram o modelo proposto.

Sun, Bradford e Gilbert (1993) desenvolveram um modelo de elementos finitos para elemen-tos de vigas e pilares de concreto armado que incorporou as não-linearidades física e geométrica para análise de estruturas em serviço. Para o tratamento da não-linearidade física foram emprega-dos um modelo de camadas da seção transversal e a relações constitutivas para o concreto e aço. Uma estratégia incremental/iterativa foi utilizada para o tratamento das não-linearidades física e geométrica. O modelo desenvolvido foi implementado em um programa computacional e utilizado para análise numérica de dois modelos experimentais de pórticos planos de concreto armado, cujos resultados apresentaram boa concordância. Os autores concluíram que o modelo desenvolvido se mostrou uma boa ferramenta para análise de estruturas dúcteis de concreto armado.

Soriano e Assan (2000) desenvolveram um modelo em elementos finitos para a análise não-linear de vigas de concreto de alta resistência armadas com barras de aço com o objetivo de se de-terminar a carga de ruptura de vigas com ruína à flexão. As vigas foram discretizadas em elementos unidimensionais com dois nós e seis graus de liberdade. Utilizou-se uma abordagem de divisão da seção transversal em filamentos de concreto e de aço a fim de se obter os diferentes estados de

tensão e deformação ao longo da altura da seção da viga e modelos constitutivos adequados foram empregados para o concreto de alta resistência tanto à compressão quanto à tração, e para o aço. Dois modelos constitutivos diferentes para o concreto tracionado considerando tension-stiffening foram analisados. Foram realizadas comparações entre os resultados obtidos pelo modelo proposto e modelos experimentais. Dessa comparação, os autores concluíram que: o modelo desenvolvido não foi significativamente afetado pelo aumento do número de elementos da malha; os diferentes modelos constitutivos para concreto tracionado empregados geraram cargas de rupturas distintas, e a relação tensão-deformação para o concreto comprimido se mostrou adequado para análise de vigas de concreto de alta resistência.

Kwak e Kim (2002) propuseram um modelo analítico para análise não-linear física de vi-gas de concreto armado baseado em relações momento-curvatura de seções incluindo efeitos de aderência-deslizamento (bond-slip) e amolecimento do concreto tracionado (tension-softening), utilizando uma formulação de elementos finitos de barras submetidas a carregamento transver-sal. O modelo também contou com a definição de comprimento de rótula plástica para melhorar a estimativa da capacidade última da viga. Comparações com modelos experimentais foram fei-tas para validação do modelo analítico proposto. Os autores concluíram que: o comprimento de rótula plástica deve ser considerado para estimativa da capacidade última de vigas de concreto armado em que deformações plásticas se concentram em locais de curta extensão; os efeitos de aderência-deslizamento e amolecimento devem ser considerados em vigas subarmadas, podendo-se desprezar o efeito de amolecimento em vigas superarmadas; os resultados numéricos apontaram que o efeito de aderência-deslizamento também pode ser negligenciado em vigas superarmadas, no entanto, entendeu-se que isso resultou da formulação em elementos de barras, a qual apresenta res-trições; e a análise numérica simplificada através da relação momento-curvatura pode ser aplicada eficazmente no estudo de vigas de concreto armado.

Matsui e Silva (2006) apresentaram um procedimento numérico para cálculo de flechas imedi-atas em vigas de concreto armado submetidas a cargas de curta duração, levando em consideração a não-linearidade física. A relação momento-curvatura para comportamento linear foi inicialmente utilizada e a não-linearidade física foi introduzida por meio de um processo iterativo, no qual a rigidez relativa ao estádio I foi adotada e mantida constante ao longo do processo. A colaboração do concreto tracionado entre fissuras foi desprezada. Os valores de deslocamento obtidos pelo pro-cedimento proposto foram comparados a resultados experimentais extraídos da literatura, e ainda a valores obtidos segundo as especificações da norma brasileira para concreto armado. Concluiu-se que o procedimento numérico desenvolvido levou a resultados satisfatórios quando comparados aos dados experimentais disponíveis e que o método da norma brasileira apresentou desvios signi-ficativos dos resultados experimentais.

Kara e Dundar (2009) desenvolveram um programa computacional para análise de pórticos de concreto armado com elementos fissurados a fim de investigar os efeitos do tipo de carregamento e da taxa de armadura na rigidez à flexão de vigas. No programa, a variação da rigidez à flexão foi obtida pelo emprego de modelos de rigidez efetiva propostos pelo ACI e pelo CEB, e ainda um modelo baseado em probabilidade (probability-based). No modelo baseado em probabilidade, a rigidez efetiva do elemento fissurado foi calculada como uma média da rigidez de seção não fissurada e da rigidez de seção fissurada ponderada pela área sob o diagrama de momento fletor. O modelo analítico proposto foi implementado em um programa computacional e validado pela comparação de resultados com modelos experimentais, indicando boa concordância. Os resultados do modelo baseado em probabilidade apresentaram-se mais próximos dos resultados experimentais do que os modelos analíticos do ACI e do CEB.

Menin, Trautwein e Bittencourt (2009) compararam distintas abordagens de simulação com-putacional de estruturas de concreto armado utilizando modelos de fissuração distribuída. Para isso, foram analisados o modelo multidirecional de fissuração distribuída do programa DIANA empregando-se diferentes regras de amolecimento para o material fissurado, e a formulação Dis-turbed Stress Field Model- DSFM do programa VecTor2, na qual o concreto fissurado é modelado como um material ortotrópico com fissuras distribuídas do tipo rotacional. A eficácia dos diferen-tes modelos foi avaliada no estudo de vigas de concreto armado submetidas a esforços de flexão através da comparação com resultados experimentais obtidos da literatura. Os autores concluíram que os modelos de fissuração distribuída empregados pelos programa DIANA e VecTor2 se mostra-ram eficientes na análise de problemas envolvendo fissuração em vigas de concreto armado sujeitas à flexão. Observou-se que as curvas carga-deslocamento obtidas com os modelos apresentaram boa correlação com os resultados experimentais, sendo que, em geral, os modelos computacionais apresentaram rigidez um pouco superior aos modelos experimentais. Os autores justificaram a ri-gidez adicional dos modelos computacionais pela contribuição do concreto entre fissuras, a qual se mostrou mais significativa para taxas de armadura menores, e a hipótese de aderência perfeita dos modelos adotados, dado que a não consideração da perda de aderência configura maior rigidez à estrutura.

Mohr, Bairán e Marí (2010) desenvolveram um modelo de elemento de pórtico de concreto armado que combinou um modelo acoplado de estado plano de tensão com um elemento do tipo viga-pilar com seção transversal dividida em camadas, adequado para aplicações de análise estru-tural. Foi utilizada uma formulação baseada na flexibilidade (ou baseada em força) e a principal hipótese de análise da seção em camadas foi a definição do campo de deslocamentos ser aproxi-mado pela soma do deslocamento da seção plana a um novo campo de deslocamentos que permite distorção e empenamento da seção. O modelo foi validado pela comparação com resultados

ex-perimentais de vigas de concreto armado nos quais a influência do nível de tensão cisalhante na ruptura da viga foi evidenciado experimentalmente. Foi obtida boa concordância com resultados tanto experimentais quanto teóricos, comprovando a capacidade do modelo em prever desloca-mentos, tensões e deformações no concreto e na armadura, além de diferentes tipos de ruína. Em comparação com modelos baseados nas teorias clássicas de Navier-Bernoulli e de Timoshenko, o modelo proposto foi o único a reproduzir a curva carga-deslocamento para todos os níveis de car-gas em vicar-gas cuja ruína é dominada por cisalhamento. Caso a ruína ocorra preponderantemente por flexão, os autores verificaram que as diferenças obtidas pelo novo modelo são pequenas em relação a outras aproximações do comportamento da seção transversal.

Stramandinoli e La Rovere (2012) desenvolveram um modelo em elementos finitos para análise não-linear de vigas de concreto armado considerando as deformações por cisalhamento. O modelo se baseou na teoria de viga de Timoshenko e utilizou elementos de barra com 3 nós e 7 graus de liberdade, além da abordagem de análise da seção transversal dividida em camadas de concreto e de armadura longitudinal. As armaduras transversais também foram consideradas, quando presen-tes, de forma embutida nas camadas de concreto. Utilizou-se a teoria do campo de compressão modificada com algumas alterações para as relações constitutivas dos materiais, e um modelo de tension-stiffening proposto pelos autores foi empregado. O modelo foi incorporado ao programa computacional ANALEST, também desenvolvido pelos autores, o qual permite a análise não-linear tanto física como geométrica de vigas e pórticos de concreto armado. A validação do modelo foi feita através da comparação com resultados de modelos experimentais de vigas simplesmente apoi-adas e de vigas contínuas, a qual mostrou boa concordância. Também foi feita uma comparação com o modelo baseado na teoria de viga de Bernoulli. Os autores concluíram que o modelo ba-seado na viga de Timoshenko apresentou melhores resultados que o modelo da viga de Bernoulli para vigas com baixa taxa de armadura transversal, uma vez que este último não trata a perda de rigidez devida a fissuras inclinadas causadas por cisalhamento. No entanto, em vigas com com-portamento à flexão dominante, o modelo da viga de Bernoulli apresenta resultados confiáveis e menor esforço computacional. Ainda, concluiu-se que: o modelo de barras, em comparação com modelos bidimensionais para análise de estados planos, apresenta menor número de graus de li-berdade e, portanto, menor esforço computacional; a modelagem estrutural se torna mais fácil por utilizar elementos uni-dimensionais; e o modelo utilizando elementos uni-dimensionais com seção transversal dividida em camadas é numericamente estável, uma vez que a rigidez do elemento é sempre diferente de zero.

Castel, Vidal e François (2012) propuseram um modelo de elemento finito macro (Macro Finite Element- MFE) para o cálculo de flecha em vigas de concreto armado já fissuradas submetidas a carregamento de serviço em estágio de fissuração estabilizado, sendo que o modelo proposto não

captura a resposta da viga durante a formação de fissuras nem mesmo efeitos de longa duração, como fluência e retração. O modelo MFE é definido como elemento finito de viga caracterizado principalmente por sua inércia média homogeneizada, a qual se baseia na adoção de uma distri-buição não-linear de deformações do aço e do concreto e da linha neutra entre duas fissuras con-secutivas. O modelo foi verificado pela comparação com resultados experimentais de quatro vigas bi-apoiadas (com seções transversais retangulares e tipo “T”) e uma viga contínua com dois vãos, sendo que os resultados apresentaram boa concordância com os modelos experimentais. Os auto-res concluíram que o modelo MFE proposto é atrativo para o uso prático devido à sua simplicidade computacional.

Heiza (2013) desenvolveu um programa computacional baseado no método dos elementos fini-tos e um novo elemento composto foi utilizado para simular peças retangulares de concreto armado, até mesmo enrijecidas com camadas externas de reforço. Cada elemento composto é constituído por quatro sub-elementos, os quais são elementos bi-dimensionais isoparamétricos degenerados com 8 nós e 5 graus de liberdade cada, e consistem em diferentes características de concreto, aço e camada de reforço. O programa computacional foi validado através da comparação com resultados de um programa experimental que contou com sete vigas de concreto armado reforçadas externa-mente em faces diferentes. Observou-se boa correlação com os resultados experimentais. O autor concluiu que o programa pode ser utilizado para obtenção de resultados aceitáveis da resposta de peças de concreto armado reforçadas com camadas externas.

Navarro-Gregori et al. (2013) desenvolveram um modelo para análise de vigas de concreto armado solicitadas a carregamento monotônico incluindo esforços normais, cortantes e de flexão de forma a considerar o mecanismo de transferência de cortante. O modelo proposto se baseou na teoria de viga de Timoshenko e considerou um novo perfil de deformação ao cisalhamento: para-bólico na região de compressão e linear entre a linha neutra e a armadura tracionada. Esse perfil fica completamente definido por três parâmetros, os quais são estabelecidos quando o equilíbrio longitudinal entre camadas é satisfeito. Os modelos constitutivos adotados seguem as hipóteses básicas da teoria do campo de compressão modificada. O modelo foi validado pela comparação com resultados experimentais obtidos da literatura e se mostrou adequado na estimativa de deslo-camentos e de carga última de vigas de concreto armado. Os autores concluíram que o modelo proposto possui a vantagem de necessitar de menos parâmetros para definir o perfil de deformação ao cisalhamento, quando comparado a outros modelos, e que também é capaz de capturar fissura-ção diagonal. Além disso, o modelo se mostrou apto a estimar o modo de falha para estruturas com ruína ao cisalhamento, sendo que modelos baseados nas teorias clássicas de Euler-Bernoulli ou de Timoshenko são adequados para aproximar o modo de falha de estruturas com ruína predominante à flexão.

Gribniak, Cervenka e Kaklauskas (2013) investigaram, por via estatística, a precisão na esti-mativa de flechas de vigas solicitadas a cargas de curta duração. Foram avaliados os procedimentos recomendados por normas (Eurocode 2, ACI 318 e a norma russa SP 52-101), além do modelo em elementos finitos do programa computacional ATENA. Na análise, foram consideradas as in-fluências da taxa geométrica de armadura de tração, da intensidade de carga e do efeito de retração nas flechas estimadas. Foram feitas comparações com resultados de nove programas experimen-tais consultados, totalizando 80 vigas e 2233 pontos de medições. A partir dos resultados obtidos, os autores concluíram que a precisão das estimativas de flecha variam significativamente com a intensidade de carga e a quantidade de armadura. Vigas com taxa de armadura moderada (maior que 0,8%) sob carregamento de serviço tiveram respostas estimadas com precisão razoável pelos procedimentos avaliados. Os autores observaram significativa queda na precisão para vigas com baixa taxa de armadura (inferior a 0,8%) e aumento na variação para estágios iniciais de fissura-ção, concluindo que se deve ter uma margem de segurança maior para vigas sob baixo nível de carregamento e com baixa taxa de armadura. Ainda, os autores verificaram que o procedimento recomendado pelo ACI 318 subestimou as flechas para vigas com taxas de armadura entre 0,4% e 0,8%. E as comparações utilizando o programa computacional ATENA indicaram que, mesmo para cargas de serviço de curta duração, a não consideração da retração pode acarretar em erros de até 23% em relação aos modelos experimentais. Dessa forma, os autores concluíram que em estima-tivas que necessitam de maior precisão, os efeitos da retração devem ser considerados, prática que não é comum.

Bui et al. (2014) introduziram uma nova abordagem para a análise do comportamento de pór-ticos de concreto armado até a ruína. Tal abordagem utilizou um elemento de viga de Timoshenko melhorado, para o qual foi considerada a abordagem de descontinuidade de deslocamento (descon-tinuidade de rotação para flexão e descon(descon-tinuidade de deslocamento transversal para cisalhamento) embutida no elemento por meio de mecanismos de formação de rótulas plásticas que ocorrem durante a ruptura por flexão e/ou cisalhamento. O modelo foi validado pela comparação com re-sultados experimentais de pórtico de concreto armado obtidos da literatura, na qual observou-se boa correlação não apenas no comportamento global, mas também em aspectos locais (como, por exemplo, no padrão de formação de fissuras). Também foram apresentadas aplicações do modelo para a análise de vigas de concreto armado a fim de avaliar diferentes formas de ruptura (por cisa-lhamento, por flexão e pela combinação de cisalhamento e flexão), porém não houve comparação com resultados experimentais.

2.2 A Contribuição do Concreto Tracionado

A contribuição do concreto não fissurado tracionado entre fissuras no aumento da rigidez de peças de concreto armado tracionadas ou fletidas é conhecida como tension-stiffening. Segundo Hegemier, Murakami e Hageman (1985), métodos de elementos finitos são utilizados para simular o efeito de tension-stiffening de duas maneiras. Uma das maneiras é tratada como uma abordagem “microscópica”, na qual a região de interface entre concreto e aço é discretizada por uma malha de elementos finitos e elementos especiais que simulam a aderência entre os materiais são utilizados. A segunda maneira, tratada como “macroscópica”, não discretiza de maneira separada o aço do concreto, mas os efeitos da interação entre os materiais são incluídos por meio de relações consti-tutivas modificadas que simulam o efeito de tension-stiffening na resposta global do elemento.

Vecchio e Collins (1986) apresentaram aplicações da Teoria do Campo de Compressão Mo-dificada (Modified Compression Field Theory - MCFT) a painéis de concreto armado solicitados a estado plano de tensão com esforços normais e de cisalhamento. Foram formulados modelos constitutivos para o concreto fissurado para tensões principais e deformações principais, tanto em tração como em compressão, os quais foram verificados em comparação a resultados experimentais de ensaios de painéis. Para o concreto tracionado, os autores atribuíram efeitos da colaboração do concreto entre fissuras (tension-stiffening) no tramo pós-fissuração. Os autores concluíram que a MCFT é um poderosa ferramenta analítica e de fácil programação que se mostrou aplicável também na avaliação da resposta de vigas sujeitas à flexão.

Vecchio (1987) utilizou a formulação da MCFT para análise de elementos de pórtico submeti-dos a efeitos térmicos e carregamentos mecânicos. O autor definiu que o efeito de tension-stiffening deve ser empregado somente em uma delimitada região do concreto tracionado na qual a barra de aço está efetivamente embutida e transfere tensão para o concreto. Essa região foi definida como um quadrado cujos lados mediam 15 vezes o diâmetro da barra da armadura, respeitando-se a in-terseção com a região de barras adjacentes e os limites da seção transversal. A comparação de resultados obtidos por tal formulação a resultados experimentais apresentou boa concordância.

Stevens et al. (1991) propuseram alterações à MCFT de forma a torná-la mais adequada à implementação para análise de elementos finitos. Utilizando-se tensões e deformações em valores médios tanto para o concreto quanto para o aço, os autores eliminaram a necessidade de verificar se as tensões médias de tração no concreto podem ser transmitidas através de fissuras. Foi proposta uma alteração no modelo original de tension-stiffening de forma a considerar a quantidade, o diâmetro, a distribuição e a orientação das barras da armadura. Tal formulação propõe que para baixas taxas ou para a ausência de armadura de tração, a tensão média de tração no concreto caia rapidamente para zero após a fissuração. Para quantidades maiores de armadura de tração com