Procedimento numérico FLECHA-T

No procedimento numérico FLECHA-T, utiliza-se o procedimento FLECHA-0 para determina- ção da configuração deformada imediata da viga e, em seguida, aplica-se o procedimento apresen- tado por Gilbert (2011) para consideração dos efeitos devidos à fluência e à retração. Portanto, além dos dados de entrada necessários ao procedimento FLECHA-0, o procedimento FLECHA-T necessita dos seguintes dados de entrada:

• idade do primeiro carregamento t0em dias;

• coeficiente de fluência ϕ (t,t0) na idade de análise t;

• deformação de retração εcs(t) na idade de análise t;

• índice do nó em que se deseja calcular o deslocamento total.

De acordo com a formulação adotada para o cálculo da flecha total, é necessário conhecer o momento fletor virtual MV ao longo da viga causado por uma carga virtual unitária aplicada no

ponto onde se deseja calcular o deslocamento total, o qual também é um dado de entrada. Portanto, é necessário resolver o sistema

K0UV = FV (3.5.11)

sendo K0 a matriz de rigidez tangente inicial da viga indeformada, UV o vetor de deslocamento

virtual e FV o vetor de carga virtual.

Dessa forma, o momento fletor MV pode ser aproximado pela relação clássica

MV = −EI

d2vV

dx2 (3.5.12)

onde vV é o deslocamento virtual, aproximado a partir do vetor de deslocamento virtual UV, con-

forme v_V(x) = 4

∑

i=1 ue_i,Vψi(x) (3.5.13)

O cálculo do deslocamento total δtpela Equação 3.2.7, repetida a seguir, requer a integração ao

longo da viga de comprimento l:

δt=

Z l

0

χ MVdx (3.5.14)

Para isso, adotou-se novamente a quadratura de Gauss-Legendre com três pontos de integra- ção em cada elemento. Dessa forma, a contribuição do elemento para o cálculo da flecha total é

aproximada por δ_te= Z l_e 0 χ MVdx≈ 3

∑

j=1 le 2χt ξj
MV ξj
wj (3.5.15) onde δ_te é a parcela de deslocamento relativa ao elemento e, le é o comprimento do elemento, M_V ξj
e χt ξj
são, respectivamente, o momento fletor virtual e a curvatura total avaliados no

ponto de integração ξje wjé o peso da quadratura de Gauss-Legendre, conforme Tabela 3.1.

Assim, a flecha total é calculada somando-se as contribuições δ_tede todos os elementos

δt = ne

∑

e=1

δ_te (3.5.16)

onde e é o índice do elemento e neé o número total de elementos da malha.

A seguir são descritos os passos empregados no procedimento FLECHA-T:

1. leitura e impressão dos dados de entrada;

2. aplicação do procedimento FLECHA-0 para obtenção da configuração deformada imediata da viga representada pelo vetor de deslocamentos Ut0;

3. resolução do problema virtual

K0UV = FV (3.5.17)

para determinação do momento fletor virtual MV ao longo da viga devido à carga vertical

virtual unitária aplicada no nó onde se deseja calcular o deslocamento total δt;

4. cálculo da parcela de deslocamento total δ_te relativa ao elemento e, para cada elemento da malha. São calculadas

(a) curvatura total na idade t em cada ponto de integração ξj

i. curvatura imediata χt0 pela equação

χt0= − d2v_t0 dx2 = − 4

∑

i=1 ue_i,t 0 d2ψi(x) dx2 (3.5.18)

com base no vetor de deslocamentos Ut0 da configuração deformada imediata da

ii. curvatura devida à fluência χϕ pela equação

χϕ = χt0

ϕ (t, t0)

α (3.5.19)

conforme Subseção 3.2.1;

iii. curvatura devida à retração pela equação

χcs=      100ρ − 2500ρ2
 d 0,5h− 1   1 −Asc Ast 1,3 εcs h
, M < M_cr 1, 2  III Ie f 0,67 1 − 0, 5Asc Ast  εcs d
, M ≥ Mcr (3.5.20) conforme Subseção 3.2.2; iv. curvatura total χt na idade t

χt = χt0+ χϕ+ χcs (3.5.21)

(b) momento fletor virtual MV em cada ponto de integração;

(c) parcela da flecha total relativa ao elemento

δ_te= 3

∑

j=1 le 2χt ξj
MV ξj
wj (3.5.22)

5. cálculo da flecha total δt pela equação

δt= ne

∑

e=1

δ_te (3.5.23)

6. impressão do resultado de flecha total δt e fim do processamento.

O fluxograma do procedimento numérico FLECHA-T é apresentado na Figura 3.10.

Com a implementação computacional dos procedimentos FLECHA-0 e FLECHA-T, foi pos- sível fazer simulações de modelos experimentais e comparar os resultados, a fim de validar os procedimentos desenvolvidos. Essa discussão é apresentada no Capítulo 5

Figura 3.10: Fluxograma do procedimento numérico FLECHA-T

4. ANÁLISE PARAMÉTRICA

A fim de analisar a consistência e otimizar o tempo de processamento do procedimento nu- mérico FLECHA-0, realizou-se uma análise paramétrica. Dentre os parâmetros de análise, foram avaliadas as influências do número de elementos na malha e da quantidade de camadas de concreto na seção transversal. Para isso, foram idealizados dois exemplos de vigas de concreto armado bi- apoiadas: no primeiro é analisada uma viga sob flexão a 4 pontos e no segundo a mesma viga é analisada sob flexão a 3 pontos.

A viga analisada possui vão de 3,90 m, seção transversal retangular com 20 cm de base e 40 cm de altura, armadura de tração constituída por 3 barras de 16 mm e armadura de compressão por 2 barras de 8 mm, apresentando momento teórico de ruína de 100 kNm, calculado conforme procedimento apresentado no Anexo C. Na Figura 4.1 são apresentados mais detalhes da viga analisada. Mantiveram-se a mesma seção tranversal e a mesma armadura ao longo de toda viga.

Figura 4.1: Geometria da viga para análise paramétrica

Fonte: do próprio autor

As propriedades mecânicas do concreto e do aço empregados são apresentadas na Tabela 4.1. As propriedades fye Essão relativas à armadura de tração, enquanto fy0e Es0são relativas à armadura

de compressão.

Tabela 4.1: Propriedades mecânicas da viga para análise paramétrica f_cm(MPa) f_ctm(MPa) E_cm(GPa) εc1 fy= fy0(MPa) Es= Es0(GPa)

30 2,4 32,1 0,00201 500 200

Foram analisadas desde seções com a menor divisão possível (3 camadas) até seções altamente discretizadas em 90 camadas, passando por valores intermediários de 6, 9, 15 e 60 camadas, con- forme representado na Figura 4.2.

Figura 4.2: Modelos de divisão da seção em camadas para análise paramétrica

Fonte: do próprio autor

Explicam-se os números de camadas analisados devido à distribuição de camadas de concreto adotada, sendo um terço das camadas na região de compressão, um terço na região tracionada sem efeito de tension-stiffening e o terço restante na região tracionada interior à área efetiva (com tension-stiffening). Logo, para a análise da quantidade de camadas de concreto na seção transversal, foram estudadas seções divididas em números de camadas múltiplos de 3.

Com relação as malhas adotadas, uma vez que a posição das cargas concentradas possui grande influência na escolha da malha, foram analisadas diferentes malhas de elementos finitos para a viga sob flexão a 4 pontos e para a viga sob flexão a 3 pontos. No caso da viga sob flexão a 4 pontos, as malhas analisadas foram compostas por 4, 6, 12, 24 e 48 elementos. Para a viga sob flexão a 3 pontos, as malhas analisadas foram compostas por 2, 4, 8, 16 e 32 elementos. Mais detalhes sobre a escolha do número de elementos são apresentados nas Seções 4.1 e 4.2.

número de elementos para os dois tipos de carregamento. Verificaram-se as mesmas tendências nos resultados quanto à consistência e, por isso, são apresentados nas seções seguintes apenas alguns dos resultados obtidos.

4.1 Viga sob Flexão a Quatro Pontos

Neste caso de carregamento, a viga foi submetida à flexão a 4 pontos, sendo as cargas concen- tradas aplicadas nos terços do vão, a 1,30 m dos apoios. Dessa forma, sendo o momento teórico de ruína de 100 kNm, a carga teórica de ruína Pué de, aproximadamente, 76,9 kN.

Para análise da influência da malha de elementos finitos adotou-se a divisão da seção transversal em 9 camadas de concreto (3 camadas comprimidas, 3 camadas tracionadas sem tension-stiffening e 3 camadas tracionadas com tension-stiffening).

Foram analisadas malhas com 4, 6, 12, 24 e 48 elementos, conforme indicado na Figura 4.3, onde P indica a posição das cargas concentradas aplicadas. Tais malhas foram adotadas de forma a sempre existir um nó localizado no meio no vão, onde ocorrerá o deslocamento vertical máximo, e dois nós distantes de 1,30 m de cada apoio para aplicação das cargas concentradas. Dessa forma, para a viga sob flexão a 4 pontos, o número mínimo de elementos foi 4.

Figura 4.3: Malhas para análise paramétrica da viga sob flexão a 4 pontos

Fonte: do próprio autor

foram normalizadas pela carga de ruína Pu. Nota-se que as curvas carga-flecha para as diferentes

malhas se sobrepõem, indicando mesmo comportamento para as diferentes opções de malha. Analisando-se a passagem do estádio I para estádio II, todas as malhas apresentaram o mesmo ponto de transição, em torno de 20% da carga de ruína (15,4 kN). Sendo assim, o momento fletor de fissuração foi de, aproximadamente, 20 kNm. Deste modo, verifica-se que malhas pouco refinadas já apresentam bons resultados para viga sob flexão a 4 pontos.

Figura 4.4: Curvas carga-flecha de viga sob flexão a 4 pontos para análise de (a) malha e (b) quantidade de camadas

(a) (b)

Fonte: do próprio autor

Estudando a influência do número de camadas de concreto armado, utilizou-se uma malha com 4 elementos finitos. A Figura 4.4b apresenta as curvas carga-flecha para os casos estudados. Observa-se que ocorre sobreposição das curvas carga-flecha a partir de seções com 9 camadas, indicando variação pouco significativa dos resultados.

No documento A consideração da não-linearidade física no cálculo de flecha em vigas de concreto armado (páginas 78-86)