Nesta seção são apresentados os métodos para o cálculo de flechas em vigas propostos pelas normas ABNT NBR 6118 (2014) e Eurocode 2 (2004). O método proposto pela ABNT NBR 6118 (2014) estima uma rigidez equivalente para a seção fissurada de concreto armado, a qual deve ser utilizada no cálculo da flecha da viga. Já o método proposto pelo Eurocode 2 (2004) apresenta uma estimativa para a flecha de vigas através da interpolação entre curvaturas no Estádio I e Estádio II puro, de forma a considerar a fissuração e a colaboração da resistência à tração entre fissuras do concreto.
3.3.1 Procedimento recomendado pela ABNT NBR 6118 (2014)
O procedimento apresentado pela norma brasileira ABNT NBR 6118 (2014) em seu item 17.3.2.1 define que a flecha em viga de concreto armado pode ser aproximada utilizando-se uma rigidez à flexão equivalente (EI)eq para a viga fissurada sob flexão trabalhando no Estádio II, se- gundo a equação (EI)eq= Ecm ( Mcr Ma 3 Ic+ " 1 − Mcr Ma 3# III ) ≤ EcmIc (3.3.1)
na qual Ecm é o módulo de deformação longitudinal secante do concreto, Ma é o momento fletor
máximo em trecho da viga, e Ic e III são, respectivamente, o momento de inércia da seção bruta
calculado com a razão modular nm, a qual é expressa por
nm= Es
Ecm (3.3.2)
onde Es é o módulo de elasticidade do aço.
O momento de fissuração Mcr é calculado pela expressão, segundo item 17.3.1 da mesma
norma,
Mcr=
αtrIcfctm
ytr (3.3.3)
onde αtr é um coeficiente relacionado à geometria da seção transversal (sendo igual a 1,2 para
seções T ou duplo T, 1,3 para seções I ou T invertido e 1,5 para seções retangulares), fctm é a
resistência à tração média do concreto e ytr é a distância do centro de gravidade da seção à borda
tracionada.
A resistência à tração média do concreto para concretos até classe C50, segundo ABNT NBR 6118 (2014), pode ser calculada por
fctm= 0, 30 fck2/3 (3.3.4)
onde fcké a resistência à compressão característica do concreto, em MPa.
Para o cálculo da flecha total δt levando em consideração o efeito diferido de fluência, a ABNT
NBR 6118 (2014) sugere a seguinte simplificação
δt= δt0 1 + αf
(3.3.5) onde δt0 é a flecha imediata da viga de concreto armado.
A norma define αf como o fator que considera a fluência (item 17.3.2.1.2), calculado por
αf =
∆ξ
1 + 50ρ0 (3.3.6)
onde ρ0é a taxa geométrica de armadura de compressão. O coeficiente ξ é definido por
ξ (t) = 0, 68 (0, 996t)t0,32 ,t ≤ 70 2 ,t > 70 (3.3.7) definindo-se ∆ξ = ξ (t) − ξ (t0) (3.3.8)
onde t é a idade, em meses, no qual se deseja calcular a flecha total e t0é a idade, em meses, relativa
ao início da aplicação da carga de longa duração.
3.3.2 Procedimento recomendado pelo Eurocode 2 (2004)
A norma europeia Eurocode 2 (2004) apresenta em seu item 7.4.3 um procedimento para cálculo de flecha em elementos estruturais em que se espera que ocorra fissuração, mas que não estejam totalmente fissurados, de modo a considerar a colaboração do concreto entre fissuras.
No caso de elementos submetidos preponderantemente à flexão, a norma europeia recomenda a seguinte expressão para o cálculo de deformações:
ω = ζ ωII+ (1 − ζ ) ωI (3.3.9)
onde ω é o parâmetro de deformação que se deseja calcular (podendo ser curvatura, deformação, rotação ou, como simplificação, deslocamento) e ωI e ωII são os valores do parâmetro calculados
para o elemento não-fissurado e totalmente fissurado, respectivamente.
Em elementos estruturais fletidos, o coeficiente de distribuição ζ que considera a colaboração do concreto entre fissuras é calculado por
ζ = 1 − β Mcr M
2
(3.3.10)
sendo Mcr o momento de fissuração, M o momento fletor solicitante na seção e β o fator relativo à
influência da duração ou da repetição do carregamento, assumindo o valor de 0,5 para carregamen- tos prolongados ou grande número de ciclos de carga e 1,0 para carregamentos de curta duração.
Ainda, no cálculo de deformações deve-se levar em conta a resistência à tração do concreto e seu módulo de elasticidade efetivo. Usualmente, indica-se o uso da resistência média à tração do concreto fctm, entretanto, não havendo esforços axiais significativos (resultantes de efeitos térmicos
ou retração, por exemplo), pode-se utilizar a resistência à tração média em flexão fctm, f l, expressa
por fctm, f l = max 1, 6 − h 1000 fctm, fctm (3.3.11) na qual h é a altura da seção transversal do elemento fornecida em milímetros (mm).
Essa norma não apresenta expressão para cálculo do momento de fissuração. Ruiz, Dutari e Escribano (2009) sugerem que este seja calculado como
onde WI é o módulo de resistência da fibra tracionada extrema da seção homogeneizada não-
fissurada.
No cálculo de flecha imediata, deve-se utilizar o módulo de deformação longitudinal secante do concreto, o qual é definido por
Ecm= 22000
fcm
10 0,3
(3.3.13) onde fcmé a resistência média à compressão do concreto, em MPa.
Para carregamentos de longa duração, pode-se considerar o efeito da fluência no cálculo de deformações utilizando-se o módulo de deformação longitudinal efetivo do concreto Ec,e f segundo
a expressão
Ec,e f = Ecm 1 + ϕ (∞,t0)
(3.3.14) onde ϕ (∞,t0) é o coeficiente de fluência relativo ao intervalo de carregamento e Ecmé o módulo de
deformação longitudinal secante do concreto.
Assim, a curvatura devida ao carregamento considerando-se efeitos de fluência χ(t0+ϕ) é dada por
χ(t0+ϕ)= ζ χ(t0+ϕ),II+ (1 − ζ ) χ(t0+ϕ),I (3.3.15) onde χ(t0+ϕ),I e χ(t0+ϕ),II são as curvaturas devidas ao carregamento considerando-se efeitos de
fluência para os estados não-fissurado e fissurado, respectivamente.
A curvatura induzida por retração χcspode ser avaliada pela seguinte expressão
χcs= ζ χcs,II+ (1 − ζ ) χcs,I (3.3.16)
onde ζ é o coeficiente de distribuição (Equação 3.3.10) e χcs,I e χcs,II são as curvaturas devidas à
retração nos estados não-fissurado e fissurado, respectivamente, as quais são calculadas por
χcs,I = εcsnm,e SI II (3.3.17) e χcs,II = εcsnm,e SII III (3.3.18)
onde εcs é a deformação de retração livre, S é o momento estático da armadura em relação ao
centroide da seção transversal, I é o momento de inércia à flexão da seção homogeneizada e nm,eé
a razão modular efetiva.
Segundo o Eurocode 2 (2004), a maneira rigorosa de se avaliar a flecha é através do cálculo da curvatura final em diversos pontos do elemento estrutural analisado e, em seguida, integrando-
se numericamente ao longo da viga. Pode-se, então, utilizar o mesmo procedimento indicado na Subseção 3.2.3, sendo a curvatura na idade t (χt) obtida pela soma das curvaturas devidas ao
carregamento, à fluência e à retração
χt= χ(t0+ϕ)+ χcs (3.3.19)