Dispers˜ ao Crom´ atica CD

pelos sistemas de comunica¸c˜ao ´optica, o espalhamento Rayleigh, causada pela estrutura molecular desordenada do vidro e as flutua¸c˜oes aleat´orias resultantes do ´ındice de refra¸c˜ao constitui o fator de perda dominante na faixa de baixo comprimento de onda. Por outro lado, a absor¸c˜ao molecular do infravermelho limita a janela de comprimento de onda utiliz´avel a comprimentos de onda menores que 1600nm, conforme ilustrado na Figura 3. Al´em da perda insignificante de guias de onda de s´ılica pura, outros fatores de perda s˜ao a absor¸c˜ao ultravioleta (causada por eleva¸c˜ao de el´etrons a n´ıveis de energia mais elevados) e a absor¸c˜ao devido a impurezas materiais.

Apesar de todos estes efeitos, pode-se obter uma atenua¸c˜ao m´ınima de 𝛼𝑑𝐵 ≈ 0, 2𝑑𝐵/𝑘𝑚

para fibras de s´ılica para 𝜆 = 1550 𝑛𝑚 quando se empregam processos de fabrica¸c˜ao apro- priados. Apesar da atenua¸c˜ao ser dependente do comprimento de onda, pode-se assumir que 𝛼𝑑𝐵 ´e constante dentro da largura de banda de modula¸c˜ao de um canal ´unico para

taxas de dados atuais tais como 40 𝐺𝑏𝑖𝑡/𝑠. A dependˆencia exata do comprimento de onda de 𝛼𝑑𝐵 pode ser encontrada, por exemplo em (Seimetz 2009),

A atenua¸c˜ao em redes fibra ´optica pode ser compensada utilizando amplificadores ´

opticos, como por exemplo, EDFAs. Sendo os EDFAs dispositivos de banda larga, em sistemas WDM por exemplo, muitos canais podem ser amplificados simultaneamente por um ´unico EDFA. Para que se possa alcan¸car maiores distˆancias de transmiss˜ao, v´arias se¸c˜oes (trechos) podem ser conectadas em cascata, cada uma consistindo de um enlace de fibra e um amplificador ´optico (transmiss˜ao multi-span). Infelizmente, cada amplificador ´

optico adiciona ru´ıdo, o que leva `a degrada¸c˜ao da rela¸c˜ao sinal-ru´ıdo ´optico (OSNR). Esta acumula¸c˜ao de ru´ıdo ´e uma das principais raz˜oes para a limita¸c˜ao da distˆancia de transmiss˜ao em redes ´opticas.

2.2

Dispers˜ao Crom´atica - CD

Dispers˜ao crom´atica ´e a designa¸c˜ao dada ao fenˆomeno pelo qual diferentes compo- nentes espectrais de um pulso se propagam com velocidades diferentes, e ela surge por duas raz˜oes. O primeiro ´e que o ´ındice de refra¸c˜ao da s´ılica, material usado para produzir fibra ´

optica, ´e dependente da frequˆencia. Deste modo, diferentes componentes de frequˆencia se propagam com velocidades diferentes em s´ılica. Este componente de dispers˜ao crom´atica ´e denominado dispers˜ao material. Embora este seja o componente principal da dispers˜ao crom´atica para a maioria das fibras, h´a um segundo componente, chamado dispers˜ao de guia de onda. Para entender a origem f´ısica da dispers˜ao de guia de onda, ´e preciso recordar que a energia luminosa de um modo se propaga parcialmente no n´ucleo e em parte na casca (revestimento) e que tamb´em, o ´ındice efetivo de um modo est´a situado entre os ´ındices de refrac¸c˜ao da casca e do n´ucleo. O valor real do ´ındice efetivo entre estes dois limites depende da propor¸c˜ao de potˆencia que est´a contida na casca e no n´ucleo. Se a

18 Cap´ıtulo 2. Efeitos de Propaga¸c˜ao na Fibra

maior parte da potˆencia estiver contido no n´ucleo, o ´ındice efetivo est´a mais pr´oximo do ´ındice de refra¸c˜ao do n´ucleo. Se a maior parte se propagar no revestimento, o ´ındice efetivo est´a mais pr´oximo do ´ındice de refrac¸c˜ao do revestimento. A distribui¸c˜ao de energia de um modo entre o n´ucleo e o revestimento da fibra ´e tamb´em fun¸c˜ao do comprimento de onda. Mais precisamente, quanto maior o comprimento de onda, maior ser´a a potˆencia no casca. Assim, mesmo na ausˆencia de dispers˜ao material, de modo a que os ´ındices de refra¸c˜ao do n´ucleo e do revestimento se tornem independentes do comprimento de onda, se o comprimento de onda mudar, a distribui¸c˜ao de potˆencia muda, fazendo com que o ´ındice efetivo ou a constante de propaga¸c˜ao do modo se altere.

Matematicamente, o efeito da dispers˜ao crom´atica pode ser descrita expandindo a constante de propaga¸c˜ao dependente da frequˆencia 𝛽(𝜔) em s´erie de Taylor no ponto

𝜔𝑠= 2𝜋𝑐/𝜆𝑠, onde 𝑐 representa a velocidade da luz no vazio.

𝛽(𝜔) = 𝜔 𝑐 · 𝑛(𝜔) = 𝛽0+ 𝛽1(𝜔 − 𝜔𝑠) + 𝛽2 2(𝜔 − 𝜔𝑠) 2₊ 𝛽3 6(𝜔 − 𝜔𝑠) 3_{+ . . . (6)}

NaEqua¸c˜ao 6, 𝛽0 representa a constante de propaga¸c˜ao no ponto 𝜔 = 𝜔𝑠 e 𝛽1 = d 𝛽(𝜔)_{d 𝜔} |𝜔=𝜔𝑠

e ´e o atraso de grupo por unidade de comprimento, 𝜏𝑔𝑟(𝜔) no ponto 𝜔 = 𝜔𝑠. os parˆame-

tros 𝛽2 e 𝛽3 representam a dispers˜ao crom´atica e a inclina¸c˜ao da dispers˜ao crom´atica,

respectivamente em 𝜔 = 𝜔𝑠, e s˜ao dados por: 𝛽2 = d2 _𝛽(𝜔) d 𝜔2 |𝜔=𝜔𝑠= d 𝜏𝑔𝑟(𝜔) d 𝜔 |𝜔=𝜔𝑠 (7) 𝛽3 = d3 _𝛽(𝜔) d 𝜔3 |𝜔=𝜔𝑠= d2 _𝜏 𝑔𝑟(𝜔) d 𝜔2 |𝜔=𝜔𝑠 (8)

A transmiss˜ao livre de distor¸c˜ao s´o pode ser obtida se 𝜏𝑔𝑟(𝜔) for constante dentro

da banda de modula¸c˜ao, o que acontece se 𝛽𝑖 = 0 para 𝑖 ≥ 2. A dispers˜ao e a inclina¸c˜ao

da dispers˜ao s˜ao especificadas como primeira e segunda derivada do atraso de grupo no comprimento de onda, denotados aqui como 𝐷𝜆 e 𝑆𝜆, respectivamente. Usando a rela¸c˜ao

d𝜆 = −d𝜔 · 𝜆2/(2𝜋𝑐), 𝐷𝜆 e 𝑆𝜆 podem ser calculados a partir de 𝛽2 e 𝛽3 em 𝜆 = 𝜆 como:

𝐷𝜆 = d 𝜏𝑔𝑟(𝜆) d 𝜆 |𝜆=𝜆𝑠= 2𝜋 · 𝑐 𝜆2 𝑠 · 𝛽2 (9) 𝑆𝜆 = d2 _𝜏 𝑔𝑟(𝜆) d 𝜆2 |𝜆=𝜆𝑠= (︃ 2𝜋 · 𝑐 𝜆2 𝑠 )︃2 · 𝛽3+ 4𝜋 · 𝑐 𝜆3 𝑠 · 𝛽2 (10)

2.2. Dispers˜ao Crom´atica - CD 19

Para examinar o impacto da dispers˜ao crom´atica na propaga¸c˜ao do sinal ao longo da fibra, o campo el´ectrico de entrada de fibra 𝐸𝑠(𝑧 = 0, 𝑡) pode ser convertido para o

dom´ınio da frequˆencia , utilizando a transformada r´apida de Fourier, e multiplicado pela fun¸c˜ao de transferˆencia da fibra no dom´ınio da frequˆencia para obter a transformada de Fourier do sinal na posi¸c˜ao 𝑧.

𝐸𝑠(𝑧, 𝑗𝜔) = 𝐸𝑠(𝑧 = 0, 𝑗𝜔)𝑒−𝑗𝛽(𝜔)𝑧 (11)

onde 𝛽(𝜔) ´e dado pela Equa¸c˜ao 6. Expressando Equa¸c˜ao 11 em termos da envolt´oria complexa 𝑎𝑥(𝑧, 𝑡′) e recorrendo `a propriedade do deslocamento temporal(Shift teorem), a

sua transformada de Fourier pode ser calculada da seguinte forma:

𝐴𝑋(𝑧, 𝑗Ω) = 𝑒𝑗Ω𝜏𝑔𝑟𝑧

∫︁ +∞

−∞ 𝑎𝑥(𝑧, 𝑡)𝑒 −𝑗Ω𝑡

𝑑𝑡 (12)

onde Ω = 𝜔 − 𝜔𝑠. Resolvendo Equa¸c˜ao 1 em fun¸c˜ao de 𝑎𝑥(𝑧, 𝑡) e substituindo o resultado

na Equa¸c˜ao 12

𝐴𝑋(𝑧, 𝑗Ω) = 𝑒𝑗Ω𝜏𝑔𝑟𝑧· 𝑒𝑗𝛽0𝑧· 𝐸𝑠(𝑧, 𝑗𝜔) (13)

onde 𝐸𝑠(𝑧, 𝑗𝜔) ´e dado pela Equa¸c˜ao 11 e 𝐸𝑠(𝑧 = 0, 𝑗𝜔) = 𝑋(𝑧 = 0, 𝑗Ω), finalmente,

obt´em-se: 𝐴𝑋(𝑧, 𝑗Ω) = 𝐴𝑋(𝑧 = 0, 𝑗Ω) · 𝑒−𝑗 𝛽2Ω2 2 𝑧· 𝑒−𝑗 −𝛽3Ω3 6 𝑧 (14)

ou reescrevendo Equa¸c˜ao 14na forma de equa¸c˜ao diferencial

𝜕𝐴𝑋(𝑧, 𝑗Ω) 𝜕𝑧 = 𝐴𝑋(𝑧, 𝑗Ω) · (︃ −𝑗𝛽2Ω 2 2 − 𝑗 −𝛽3Ω3 6 )︃ (15) Convertendo a Equa¸c˜ao 15 para o dom´ınio do tempo e fazendo _𝜕𝑡𝜕′ = 𝑗Ω, obt´em-se a

seguinte equa¸c˜ao diferencial:

𝜕𝑎𝑥(𝑧, 𝑡′) 𝜕𝑧 = 𝑗 𝛽2 2 𝜕2_𝑎 𝑥(𝑧, 𝑡′) 𝜕𝑡′2 + 𝑗 −𝛽3 6 𝜕3_𝑎 𝑥(𝑧, 𝑡′) 𝜕𝑡′3 (16)

Os termos do lado direito da Equa¸c˜ao 16 s˜ao idˆenticos aos termos da dispers˜ao na equa¸c˜ao generalizada de Schr¨oedinger dado pelaEqua¸c˜ao 2.

Para fibras monomodo padr˜ao (SSMF), o coeficiente de dispers˜ao 𝐷𝜆 ´e tipicamente

zero para 𝜆 = 1310 𝑛𝑚 e aumenta at´e cerca de 16 𝑝𝑠/(𝑛𝑚 · 𝑘𝑚) em 𝜆 = 1550 𝑛𝑚. Isto significa que na faixa dos 1550 𝑛𝑚, duas componentes espectrais separadas por 1 𝑛𝑚 experimentam uma diferen¸ca de atraso de 16 𝑝𝑠 por quilˆometro. Isso provoca um alargamento dos pulsos transmitidos e leva `a interferˆencia entre s´ımbolos. A poss´ıvel influˆencia da dispers˜ao da guia de onda pode ser utilizada para criar fibras especiais, por exemplo, fibras com dispers˜ao deslocada (DSF) com 𝐷𝜆 = 0 em 𝜆 = 1550 𝑛𝑚 ou

20 Cap´ıtulo 2. Efeitos de Propaga¸c˜ao na Fibra

a fibra compensadora de dispers˜ao (DCF). Este ´ultimo pode ser usado para compensar totalmente a dispers˜ao crom´atica em transmiss˜oes feitas num ´unico canal, ou mesmo para compensa¸c˜ao de dispers˜ao de banda larga em toda a banda WDM. Neste ´ultimo caso, uma compensa¸c˜ao apropriada da inclina¸c˜ao de dispers˜ao torna-se adicionalmente importante. Considerando que a dispers˜ao crom´atica, em princ´ıpio, pode ser compensada para liga¸c˜oes ponto-a-ponto, torna-se necess´aria uma compensa¸c˜ao adaptativa em redes ´opticas flex´ıveis. Para altas taxas de s´ımbolo, acima de 40 Gbaud, as flutua¸c˜oes de comprimento cau- sadas pela temperatura podem fazer com que seja necess´ario um compensador de dispers˜ao adaptativo para compensar a quantidade de dispers˜ao acumulada (Kato et al. 2000). Para essas taxas, os receptores digitais coerentes proporcionam uma forma eficiente compensa¸c˜ao adaptativa da dispers˜ao, no dom´ınio el´etrico.