2.3 Reconstru¸c˜ao de estados via medi¸c˜oes projetivas locais e comunica¸c˜ao
2.3.1 Dois qubits
Abordamos primeiramente o caso mais simples de dois qubits. Como vimos, a matriz densidade de dois qubits pode ser expressa por
ρ = A00 A01 A†01 A11 , (2.25)
onde A00, A11 e A01 s˜ao submatrizes de dimens˜ao 2 × 2.
Se Alice realizar uma proje¸c˜ao num estado |ψi = a|0i + b|1i, o estado p´os- selecionado de Bob ser´a dado pela Proposi¸c˜ao 1,
ρ|ψiB = |a| 2A 00+ |b|2A11+ (a∗b)A01+ (ab∗)A†01 |a|2(ρ A)00+ |b|2(ρA)11+ (a∗b)(ρA)01+ (ab∗)(ρA)10 , (2.26)
como verificamos anteriormente. ´E natural indagar como ficaria a express˜ao acima para as proje¸c˜oes que resultam das medi¸c˜oes das matrizes de Pauli.
Se Alice realizar uma medi¸c˜ao de σz, poder´a obter os resultados ±1. Caso
ocorra resultado +1, seu estado ser´a projetado no estado |0i. O estado de Bob ser´a ent˜ao
ρ|0iB = A00 (ρA)00
CAP´ITULO 2. DETERMINAC¸ ˜AO DE ESTADOS QU ˆANTICOS 25
Caso ocorra resultado −1, o estado de Alice ser´a projetado em |1i e o estado corres- pondente de Bob ser´a
ρ|1iB = A11 (ρA)11
. (2.28)
Da mesma maneira, se Alice medir σx obter´a resultados ±1 e o estado de Bob ser´a
ρ|0i±|1iB = A00+ A11± (A01+ A
† 01)
(ρA)00+ (ρA)11± 2Re[(ρA)01]
, (2.29)
de acordo com os resultados ±1 de Alice. Finalmente, se Alice medir σy, os estados de
Bob ap´os essas medi¸c˜oes ser˜ao
ρ|0i±i|1iB = A00+ A11± i(A01− A
† 01)
(ρA)00+ (ρA)11∓ 2Im[(ρA)01]
, (2.30)
de acordo com os resultados de Alice.
Agora, ao inv´es de expressar os estados p´os-selecionados de Bob em termos das submatrizes globais, expressaremos estas em termos dos estados p´os-selecionados e dos elementos de matriz do estado pr´e-selecionado de Alice:
A00= ρ|0iB (ρA)00; A11 = ρ|1iB(ρA)11; (2.31)
A00+ A11± (A01+ A†01) = ρ|0i±|1iB {(ρA)00+ (ρA)11± 2Re[(ρA)01]}; (2.32)
A00+ A11± i(A01− A†01) = ρ|0i±i|1iB {(ρA)00+ (ρA)11∓ 2Im[(ρA)01]}. (2.33)
Obtivemos assim um sistema de equa¸c˜oes para as submatrizes globais em termos dos estados locais de Alice e Bob. Esse sistema de equa¸c˜oes ´e superdeterminado, j´a que h´a 5 equa¸c˜oes para a determina¸c˜ao de 3 submatrizes.
Antes de prosseguir, vamos reescrever essas equa¸c˜oes numa forma mais familiar. O estado de Alice, em termos das matrizes de Pauli, ´e dado por
ρA= 1 2I + 1 2(xAσx+ yAσy+ zAσz) = 1 2 1 + zA xA− iyA xA+ iyA 1 − zA . (2.34)
Reescrevemos ent˜ao o sistema de equa¸c˜oes para as submatrizes da seguinte maneira: A00= 1 + zA 2 ρ |0i B ; A11 = 1 − z A 2 ρ |1i B ; (2.35) A00+ A11± (A01+ A†01) = (1 ± xA)ρ|0i±|1iB ; (2.36) A00+ A11± i(A01− A†01) = (1 ± yA)ρ|0i±i|1iB . (2.37)
Veremos agora como utilizar a informa¸c˜ao contida nas equa¸c˜oes acima para realizar a tarefa de reconstru¸c˜ao do estado global ρ utilizando apenas proje¸c˜oes locais e comu- nica¸c˜ao cl´assica de uma via.
Suponhamos que Alice e Bob possuam muitas c´opias do estado ρ que eles de- sejam reconstruir; consideramos que a ´unica forma de comunica¸c˜ao entre os dois ´e a cl´assica. Suponhamos tamb´em que Bob precise de NB c´opias de um estado em seu
subsistema para que ele consiga reconstru´ı-lo com uma boa estimativa. Aqui estamos considerando tamb´em as c´opias adicionais para a minimiza¸c˜ao dos erros que inevita- velmente acontecem na tomografia local de Bob. Em outras palavras, NB deve ser
o n´umero de c´opias que Bob necessita para reconstruir um estado arbitr´ario no pior cen´ario experimental poss´ıvel.
Primeiramente, determinam-se as submatrizes diagonais. Para isso, Alice mede σz em suas c´opias, obtendo resultados ±1 e comunica a Bob seus resultados. De
acordo com esses resultados, o estado de Bob ser´a ρ|0iB ou ρ|1iB . Bob ent˜ao vai separando seus estados em dois subconjuntos, um correspondente a resultados +1, o outro a resultados −1. Quando um dos subconjuntos possuir NB c´opias - e em alguma altura
isso vai acontecer - Bob vai ter um n´umero de estados suficientes nesse subconjunto para realizar uma tomografia. Ele faz precisamente isso com esses estados, determinando o estado do subconjunto.
Por exemplo, digamos que Alice, durante suas medi¸c˜oes, obteve NB resultados
+1. Bob ter´a ent˜ao NB estados ρ|0iB , cuja matriz densidade ele ainda n˜ao conhece;
ele poder´a ent˜ao utilizar esses estados para, atrav´es de um procedimento tomogr´afico qualquer, determinar a matriz densidade de ρ|0iB. Al´em disso, Alice tem um n´umero de medi¸c˜oes mais que suficiente para determinar o valor zA = 2p|0i − 1, onde p|0i ´e
simplesmente o n´umero NB/N e N ´e o n´umero de medi¸c˜oes tomados. Atrav´es da
primeira equa¸c˜ao de (2.35), Bob pode determinar A00.
Nesse exemplo, para determinar A11, basta continuar a medir σzat´e a ocorrˆencia
de NB resultados −1: Bob ent˜ao poder´a fazer a tomografia de ρ|1iB e, atrav´es da se-
gunda equa¸c˜ao de (2.35) obter A11. Entretanto, h´a uma situa¸c˜ao extrema que pode
vir a ocorrer. Se o valor p|0i for muito pr´oximo a 1, de forma que p|1i ´e muito pr´oximo a zero, Alice ter´a de efetuar muitas medi¸c˜oes para obter NB resultados −1, talvez um
n´umero de medi¸c˜oes al´em dos seus recursos. Nesse caso, podemos fazer a aproxima¸c˜ao A11= 1−z2Aρ|1iB ≈ 02×2, a matriz nula de dimens˜ao 2 × 2.
Depois de determinar as submatrizes diagonais, precisamos determinar A01 (e
consequentemente A†01). Alice mede σx em seus estados, obtendo resultados ±1, que
ela comunica a Bob. De acordo com esses resultados, o estado de Bob ser´a ρ|0i+|1iB ou ρ|0i−|1iB . Bob ent˜ao vai separando seus estados em dois subconjuntos, um correspondente a resultados +1, o outro a resultados −1. Aqui teremos uma diferen¸ca com rela¸c˜ao ao caso diagonal, devido `a redundˆancia das equa¸c˜oes (2.36). Assim que Alice obtiver NB
CAP´ITULO 2. DETERMINAC¸ ˜AO DE ESTADOS QU ˆANTICOS 27
Figura 2.3: Protocolo de reconstru¸c˜ao para dois qubits. Bob divide seus estados em dois subconjuntos, de acordo com os resultados de medi¸c˜ao ±1 de Alice (vermelho ou verde). Se Alice estiver medindo σz, Bob far´a a reconstru¸c˜ao dos estados nos dois
subconjuntos. Para σx e σy, ele precisa apenas determinar o estado do subconjunto
correspondente ao resultado que ocorreu NB vezes primeiro.
vezes o mesmo resultado, ela pode parar. Por exemplo, se ela obtiver NB resultados
+1, ela p´ara de medir. Bob ter´a ent˜ao NB estados ρ|0i+|1iB , os quais ele usar´a para
tomografia. Veja que Bob pode inferir o valor de xA com os resultados de Alice:
xA = NB/N , onde N ´e o n´umero total de medi¸c˜oes. Como as submatrizes diagonais
A00e A11j´a foram determinadas, teremos que, por (2.36), A01+A†01 = [(1±xA)ρ|0i+|1iB ]−
(A00+ A11), de forma que determinamos A01+ A†01.
Se repetirmos o procedimento com σy, obteremos A01−A†01 por (2.37) e, conse-
quentemente, A01. Teremos determinado dessa forma todas as submatrizes globais, ou
seja, teremos reconstru´ıdo o estado ρ, usando apenas medi¸c˜oes projetivas estritamente locais e comunica¸c˜ao cl´assica de uma via.
N˜ao h´a necessidade de utilizar 4 detectores. Bob precisa apenas saber se Alice obteve resultado +1 ou −1 ao medir seu estado; para isso, Alice necessita de apenas um detector. Da mesma maneira, ao reconstruir os estados dos subconjuntos, Bob precisa de apenas um detector tamb´em, j´a que ele realiza uma tomografia local. Portanto, s˜ao necess´arios apenas 2 detectores. O n´umero de arranjos experimentais, entretanto, continua sendo 9, j´a que h´a 3 arranjos na tomografia de Bob para cada um dos 3 arranjos de Alice.
N´umero de c´opias
Vamos agora comparar o n´umero de c´opias consumido por nosso protocolo de recons- tru¸c˜ao com o n´umero que ´e consumido em protocolos usuais. Seja NP o n´umero de
c´opias necess´ario para avaliar o valor m´edio de um projetor arbitr´ario atuando num sistema bidimensional. Para esses sistemas, o n´umero de c´opias consumido na tarefa de reconstru¸c˜ao ser´a 3NP, j´a que devemos medir os valores m´edios de trˆes projetores
para determinar completamente o estado.
Para um sistema bipartite de dois qubits, precisamos reconstruir quatro estados condicionados: dois associados `a medi¸c˜ao de σz por Alice - ρ|0iB e ρ|1iB - um associado
`a medi¸c˜ao de σx - um dos dois estados ρ|0i±|1iB - e um associado `a medi¸c˜ao de σy - um
dos dois estados ρ|0i±i|1iB . Lembrando que NB = 3NP ´e o n´umero de c´opias que Bob
necessita para reconstruir um estado arbitr´ario em seu sistema bidimensional, o n´umero total de c´opias consumido ser´a ent˜ao 4NB = 12NP + ǫ. O valor ǫ representa as c´opias
que n˜ao foram utilizadas no protocolo. Por exemplo, quando Alice mede σx e obt´em
NBvalores +1, os estados associados aos resultados −1 n˜ao s˜ao usados no protocolo3.´E
importante notar aqui que os parˆametros xA, yAe zAser˜ao superestimados: para obter
xA precisamos de NP c´opias, mas no decorrer do protocolo usamos 3NP c´opias.
Comparando com o protocolo usual de reconstru¸c˜ao, precisamos medir 36 va- lores m´edios hPA⊗ PBi, onde PA e PB s˜ao projetores nos subsistemas de Alice e Bob,
respectivamente. Sendo NP′ o n´umero de c´opias necess´ario para avaliar o valor m´edio de um projetor arbitr´ario no sistema conjunto de Alice e Bob, precisaremos ent˜ao de um total de 36NP′ c´opias para reconstruir completamente o estado. ´E bastante razo´avel supor que NP′ ≥ NP, de forma que temos uma significativa redu¸c˜ao no n´umero total de c´opias consumido atrav´es de nosso m´etodo.