Reconstrução de estados de sistemas quânticos compostos e caracterização de emaranhamento por operações locais e comunicação clássica

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Instituto de F´

ısica Gleb Wataghin

Reconstru¸c˜

ao de estados de sistemas

quˆ

anticos compostos e caracteriza¸c˜

ao de

emaranhamento por opera¸c˜

oes locais e

comunica¸c˜

ao cl´

assica

Frank E. S. Steinhoff

Orientador: Marcos C´

esar de Oliveira

Disserta¸c˜ao apresentada ao Instituto de F´ısica Gleb Wataghin para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em F´ısica.

Este exemplar corresponde à reda¸cão final da Disserta¸cão de Mestrado defendida pelo aluno Frank Eduardo da Silva Steinhoff e aprovada pela Comissão Julgadora.

Campinas, 23 de mar¸co de 2009.

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iii ”Falas de civiliza¸cão, e de não dever ser, Ou de não dever ser assim. Dizes que todos sofrem, ou a maioria de todos, Com as coisas humanas postas desta maneira. Dizes que se fossem diferentes, sofreriam menos. Dizem que se fossem como tu queres, seria melhor. Escuto sem te ouvir. Para quê te quereria eu ouvir? Ouvindo-te nada ficaria sabendo. Se as coisas fossem diferentes, seriam diferentes: eis tudo. Se as coisas fossem como tu queres, seriam só como tu queres. Ai de ti e de todos os que levam a vida A querer inventar a máquina de fazer felicidade!” Alberto Caeiro - Poemas Inconjuntos

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Gostaria de agredecer minha mãe e minha avó por sempre estarem ao meu lado, pelo apoio e pelos sacrif´ıcios que fizeram para que eu chegasse onde estou. Aos meus amigos de São Bernardo do Campo e aos da f´ısica, da matemática, da moradia, da sala de estudos do DFMC e da Unicamp em geral. Em especial gostaria de agradecer à Denise, minha namorada, por ter aparecido na minha vida na hora certa. Ao meu orientador de tese, Marcos César de Oliveira, por me incentivar, mostrar o que é relevante e confiar em mim. Agrade¸co pelos dois anos de pesquisa, com os quais aprendi muito. Ao meu orientador de inicia¸cão Alberto Saa, pelos ”anticorpos”e ao professor Carlos Our´ıvio Escobar, por se mostrar um ótimo professor. Ao Grupo de Teoria, em particular Gustavo Rigolin, Márcio Cornélio, Thiago Oliveira e João Paulo por me ajudarem em muitas ocasiões. Por fim, agrade¸co à CAPES pelo incentivo financeiro.

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Resumo

Propomos um método para obten¸cão de propriedades de sistemas quânticos compostos utilizando apenas medi¸cões estritamente locais e comunica¸cão clássica. Isso difere dos esquemas usualmente utilizados em protocolos de informa¸cão quântica, que se utilizam em sua maioria de opera¸cões globais e/ou opera¸cões locais conjuntas. Nosso tratamento consiste em analisar o efeito de medi¸cões em um subsistema sobre as submatrizes da matriz densidade do sistema composto. Analisamos então como outros subsistemas po-dem ser expressos em termos dessas submatrizes, obtendo assim o efeito das medi¸cões feitas em um subsistema sobre os outros. Aplicamos esse resultado - válido para siste-mas com espa¸cos de Hilbert discretos de dimensão arbitrária - a dois problesiste-mas centrais em protocolos de informa¸cão quântica: a reconstru¸cão de estados de sistemas compos-tos e a caracteriza¸cão de emaranhamento. Para a tarefa de reconstru¸cão, mostramos como determinar um estado de um sistema composto de dimensão finita arbitrária utilizando apenas medi¸cões locais e comunica¸cão clássica de uma via. A vantagem de nossa proposta está em eliminar a necessidade de medi¸cões conjuntas, o que se traduz, no contexto de ótica linear, em eliminar medi¸cões de coincidência. Analisamos a carac-teriza¸cão de emaranhamento considerando classes especiais de estados. Para estados com alta simetria - estados isotrópicos, de Werner e de simetria rotacional constitu´ıdos por um qubit e um qudit - mostramos uma rela¸cão entre o grau de emaranhamento e a diferen¸ca de popula¸cão medida por um subsistema condicionada a medi¸cões de pari-dade do outro subsistema, rela¸cão essa já evidenciada em estados gaussianos simétricos. Além disso, propomos uma nova fam´ılia de estados cujo emaranhamento pode ser ca-racterizado com muito menos recursos do que os utilizados para a reconstru¸cão, sendo esses recursos estritamente locais.

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We propose a method to obtain properties of composite quantum systems using stric-tly local measurements and classical communication only. This differs from schemes usually employed in quantum information protocols where global and/or joint local operations are commonly used. Our treatment consists of analysing the effect of mea-surements of a system over submatrices of the density matrix of the compound system. We analyse then how copies of a subsystem can be expressed in terms of these sub-matrices, obtaining thus the effect of the measurements done in a subsystem upon the others. We apply this result - valid for discrete Hilbert spaces of arbitrary dimension - to two central problems in quantum information protocols: the state reconstruction of composite systems and entanglement characterization. For the reconstruction task, we show how to determine a state of a arbitrary finite dimension composite system using local measurements and one-way classical communnication only. The advantage of our proposal lies in elimnating the need for joint measurements, which translates as eliminating coincidence measurements in linear optics context. We analyse entanglement characterization considering special classes of states. For high symmetry states -isotropic states, Werner states and rotationally symmetric states composed of a qubit and a qudit - we show a relation between entanglement degree and population dif-ference measured by one subsystem conditioned to parity measurements of the other subsystem, this relation already present in gaussian symmetric states. Moreover, we propose a new family os states whose entanglement can be characterized with much fewer resources than that used for reconstruction, this resources being strictly local.

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Sum´

ario

Agradecimentos iv Resumo v Abstract vi Introdu¸cão 1 1 Fundamentos 4 1.1 Opera¸cões quânticas . . . 4 1.1.1 Medi¸cões . . . 7

1.1.2 Opera¸c˜oes locais, globais e o paradigma SLOCC . . . 8

1.2 Proje¸c˜oes locais e submatrizes globais . . . 10

1.2.1 Exemplo: dois qubits . . . 14

2 Determina¸c˜ao de estados quˆanticos 15 2.1 Sistemas de uma parte . . . 15

2.1.1 Um qubit . . . 15

2.1.2 Um qudit . . . 18

2.2 Sistemas compostos . . . 22

2.2.1 M´ultiplos qubits . . . 22

2.2.2 Caso geral . . . 23

2.3 Reconstru¸cão de estados via medi¸cões projetivas locais e comunica¸cão clássica de uma via . . . 24

2.3.1 Dois qubits . . . 24

2.3.2 Caso geral bipartite . . . 28

2.3.3 Generaliza¸c˜ao para sistemas multipartites . . . 32

2.4 Minimiza¸c˜ao de recursos experimentais . . . 33

3 Emaranhamento 36 3.1 Defini¸c˜ao . . . 36

3.2 Crit´erios de separabilidade . . . 38

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3.2.1 Decomposi¸c˜ao de Schmidt . . . 38

3.2.2 Crit´erio Peres-Horodecki . . . 39

3.3 Quantifica¸c˜ao de emaranhamento . . . 42

3.3.1 Axiomas . . . 42

3.3.2 Exemplos de medidas . . . 43

3.4 Caracteriza¸cão de emaranhamento por opera¸cões locais e comunica¸cão clássica . . . 45

3.4.1 Estados isotr´opicos e de Werner . . . 46

3.4.2 Estados de simetria rotacional compostos por um qubit e um qudit 51 3.4.3 Novas fam´ılias de estados emaranhados . . . 52

Conclus˜oes e perspectivas 63

(10)

Introdu¸c˜

ao

Sistemas quânticos compostos têm atra´ıdo cada vez mais a aten¸cão da comunidade cient´ıfica por seus fenômenos singulares e pela alta complexidade de seus problemas. Desde o célebre artigo de Einstein, Podolsky e Rosen [1], percebeu-se que sistemas de mais de uma parte merecem um tratamento diferenciado. Nesse sentido, obter as propriedades f´ısicas dos estados que descrevem tais sistemas é de suma importância.

A maneira mais direta de obter qualquer propriedade f´ısica de um estado é através do método chamado reconstru¸cão de estados, também conhecido como tomo-grafia quântica. Esse método consiste em obter os elementos da matriz densidade de um estado quântico através da medi¸cões de observáveis apropriados. Estamos assim reconstruindo a matriz densidade, que, como é bem sabido [2, 3], contém qualquer informa¸cão sobre o sistema. O primeiro trabalho a colocar a questão de como deter-minar um estado quântico é devido a Fano [4]. Desde então, diversos métodos foram desenvolvidos [5, 6, 7, 8, 9, 10] para sistemas de uma parte.

Para sistemas compostos, devemos medir as correla¸cões entre os subsistemas [11]. Os métodos atuais de tomografia nesse caso se baseiam em medi¸cões sobre o sistema global ou medi¸cões conjuntas nos subsistemas. As últimas apresentam uma certa vantagem sobre as primeiras se considerarmos um cenário em que os subsistemas estão separados espacialmente, o chamado paradigma dos laboratórios distantes. Nessa situa¸cão, realizar uma medi¸cão sobre o sistema global é uma tarefa praticamente im-poss´ıvel. Entretanto, medi¸cões conjuntas também apresentam uma dificuldade: elas precisam ser realizadas em coincidência. Quando o sistema é constitu´ıdo de muitas partes, essa exigência trará complica¸cões consideráveis aos protocolos de reconstru¸cão, pois todas as medi¸cões precisarão satisfazer essa restri¸cão.

Não haveria uma forma mais flex´ıvel de obter os elementos da matriz den-sidade? Propomos com a presente disserta¸cão uma maneira alternativa de extrair informa¸cão sobre um estado de um sistema composto, utilizando apenas medi¸cões pro-jetivas estritamente locais com o aux´ılio de comunica¸cão clássica entre as partes. Por medi¸cões estritamente locais entendemos medi¸cões nos subsistemas que não precisam ser feitas em coincidência. O método desenvolvido baseia-se no efeito que medi¸cões em um subsistema tem sobre submatrizes da matriz densidade do sistema global. Essas modifica¸cões valerão para todo o estado global, consequentemente modificando os

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fias locais determinar˜ao todas as submatrizes e, portanto, o estado global.

Nosso tratamento do problema de reconstru¸cão é embasado no efeito de um subsistema sobre os outros. Essa é uma caracter´ıstica tipicamente quântica: opera¸cões em um subsistema afetam outros subsistemas, caracter´ıstica essa explicitada pelo Te-orema de Bell [12] e mais recentemente pela redescoberta do fenômeno de influência (steering)[13]. Esse fenômeno é uma consequência direta do emaranhamento quântico entre estados, sendo que os dois fenômenos aparecem no artigo original de Schrödin-ger [14]. Atualmente, o emaranhamento está no centro de debates sobre a mecânica quântica de sistemas compostos, tanto por questões de fundamentos da teoria, quanto por poss´ıveis aplica¸cões tecnológicas [35]. É portanto altamente desejável um entendi-mento maior desse fenômeno.

´

E claro que a reconstru¸cão de um estado fornece todas as caracter´ısticas deste, inclusive o emaranhamento. Mas a tomografia completa contém muito mais informa¸cão do que precisamos. Além disso, determinar um estado consome um número consi-derável de recursos experimentais. Necessita-se assim de uma maneira mais direta de caracterizar o emaranhamento de um sistema. Há atualmente trabalhos nesse sentido [44, 45, 46]; porém, na maioria dos casos utilizam-se também opera¸cões globais e/ou opera¸cões conjuntas.

Nessa dire¸cão, nosso método baseado na rela¸cão entre medi¸cões locais e sub-matrizes globais mostrou-se adequado para caracterizar o emaranhamento de classes especiais de estados, sem recorrer à reconstru¸cão completa usual. A vantagem é que utilizamos apenas medi¸cões estritamente locais e comunica¸cão clássica. Assim, temos um método alternativo de caracteriza¸cão de emaranhamento para casos em que se tem algum conhecimento prévio sobre o estado.

A disserta¸cão é dividida da seguinte maneira: No Cap´ıtulo 1, damos primei-ramente uma visão geral do formalismo de opera¸cões quânticas, pois este descreve a maneira como podemos manipular nossos estados e a informa¸cão sobre o sistema. De particular interesse são as opera¸cões feitas num sistema composto. Fazemos al-gumas considera¸cões sobre as diferen¸cas entre opera¸cões locais determin´ısticas e não-determin´ısticas e entre opera¸cões conjuntas e opera¸cões estritamente locais. Apresen-tamos então nossa abordagem do efeito de medi¸cões em um subsistema sobre outros, expressando o estado de um subsistema após ocorrida uma proje¸cão em outro sub-sistema, sendo que fazemos isso em termos de submatrizes globais convenientes. No Cap´ıtulo 2, mostramos os métodos de reconstru¸cão atualmente existentes, tanto para sistemas de uma parte quanto para sistemas compostos. Apresentamos então nossa proposta alternativa, que se utiliza apenas de medi¸cões projetivas estritamente locais

(12)

e comunica¸cão clássica de uma via. Obtemos uma condi¸cão que qualquer esquema de medi¸cão projetiva deve satisfazer para realizar uma tomografia completa de um sis-tema bipartite de dimensão finita arbitrária. Nosso método é, portanto, bastante geral. Porém, em vista de implementa¸cões experimentais atuais, analisamos medi¸cões proje-tivas que já são realizadas em alguns sistemas. Obtemos uma considerável redu¸cão no número de detectores para sistemas de muitos qubits, além de uma redu¸cão signi-ficativa no número de cópias consumido no protocolo. Generalizamos nosso esquema para sistemas multipartites, de uma forma bastante simples. Também apresentamos uma proposta sobre como minimizar o número de diferentes arranjos experimentais usados na reconstru¸cão, baseados num resultado recente [28]. No cap´ıtulo 3, após uma discussão introdutória sobre emaranhamento, aplicamos nosso método à caracte-riza¸cão (deteçcão e quantifica¸cão) do emaranhamento de classes especiais de estados. Para estados com alta simetria - estados isotrópicos, de Werner e de simetria rota-cional constitu´ıdos por um qubit e um qudit - mostramos uma rela¸cão entre o grau de emaranhamento e a diferen¸ca de popula¸cão medida por um subsistema condicio-nada a medi¸cões de paridade do outro subsistema. Além disso, constru´ımos uma nova classe de estados cujo emaranhamento pode ser caracterizado apenas com medi¸cões locais e comunica¸cão clássica de uma via e com menos recursos que os utilizados para a reconstru¸cão total do estado.

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Fundamentos

1.1 Opera¸c˜

oes quˆ

anticas

A evolu¸cão temporal de um estado quântico de um sistema f´ısico pode ser, na grande maioria dos casos, descrita pelo formalismo de opera¸cões quânticas. Nesse formalismo, um estado quântico arbitrário ρ evolui para um estado

ρ′ = Λ(ρ)

trΛ(ρ) (1.1)

através do mapa Λ, que deve satisfazer algums axiomas bastante razoáveis. Antes, porém, de enunciar esses axiomas, vamos descrever brevemente a modelagem que está por trás do formalismo.

Se o sistema f´ısico que estamos tratando for isolado, a evolu¸cão temporal é bem descrita por uma opera¸cão unitária U . Entretanto, para um sistema que interage com o meio, podemos ter evolu¸cões que não seguem essa regra. Em geral, ao consi-derarmos apenas uma parte de um sistema f´ısico sujeito a uma evolu¸cão unitária, a evolu¸cão temporal dessa parte não será unitária. Suponhamos então um estado inicial ρ arbitrário atuando em um espa¸co de Hilbert H, que chamaremos de sistema princi-pal. Suponhamos também que temos um sistema auxiliar, ou ancilla, com espa¸co de Hilbert Hanc, e que o estado inicial desse sistema seja ρanc = |e0ihe0|. Não perdemos

nada em generalidade nos restringindo a um estado puro, pois um estado misto sempre pode ser visto como um estado puro se aumentarmos convenientemente o espa¸co de Hilbert1_{. Esse estado pode ser, por exemplo, o estado fundamental do sistema auxiliar.}

Consideremos que o estado do sistema composto, ρ ⊗ ρanc, sofra uma evolu¸c˜ao

unit´aria U : ρ ⊗ ρanc → U(ρ ⊗ ρanc)U†. Ao focarmos apenas a transforma¸c˜ao sofrida

por ρ, vemos que esse estado evolui para

ρ → Λ(ρ) = tranc[U (ρ ⊗ |e0ihe0|)U†]. (1.2)

1

Ver Decomposi¸c˜ao de Schmidt, adiante.

(14)

CAP´ITULO 1. FUNDAMENTOS 5

Para avaliar o tra¸co parcial, podemos completar a base do sistema auxiliar a partir de |e0i, ficando com uma base ortonormal {|eki}, onde k varia de 0 a dimHanc. Assim,

ficamos com

Λ(ρ) =X

k

hek|[U(ρ ⊗ |e0ihe0|)U†]|eki =

X

k

hek|U|e0iρhe0|U|eki. (1.3)

No sistema principal, Ek= hek|U|e0i representa um operador com elementos de matriz

(Ek)ij = hi|Ek|ji, onde {|ii} - o ´ındice i variando de 0 a dimH − 1 - ´e uma base

ortonormal de H. Assim, podemos expressar a evolu¸c˜ao sofrida por ρ da seguinte maneira:

ρ → Λ(ρ) =X

k

EkρEk†. (1.4)

Chamamos a representa¸cão da opera¸cão Λ acima de Representa¸cão de Kraus [15, 16, 17], ou de Representa¸cão em Soma de Operadores. Essa representa¸cão não é unica, já que poder´ıamos ter escolhido uma base diferente de Hanc para tomar o tra¸co parcial.

A primeira propriedade satisfeita pelos operadores Ek segue da unitariedade

de U : X k EkEk† = X k

hek|U|e0ihe0|U|eki

= he0|U( X k |ekihek|)U|e0i = he0| UU† | {z } I |e0i ⇒X k EkEk† = I (1.5)

onde I é o operador identidade atuando em H. Que a transforma¸cão Λ preserva a hermiticidade, o tra¸co e a positividade do operador ρ é facilmente verificável.

Chegamos na Representa¸cão de Kraus observando como uma transforma¸cão unitária afeta um subsistema. Mostramos agora que uma dada representa¸cão em soma de operadores sempre pode ser vista como uma opera¸cão unitária ao estendermos con-venientemente o espa¸co de Hilbert do sistema principal. Ou seja, um dado sistema sempre pode ser visto como um subsistema de um sistema maior em que a evolu¸cão f´ısica é a convencional. Para ver isso, basta tomar o sistema auxiliar com dimHanc

com valor no m´ınimo igual ao n´umero de termos presentes na soma de operadores. Tomando uma base ortonormal {|eki} do sistema auxiliar, definimos

U |ii ⊗ |e0i =

X

k

Ek|ii ⊗ |eki. (1.6)

A transforma¸c˜ao U acima preserva o produto interno: hi′| ⊗ he0|U†U |ii ⊗ |e0i = X k′ Ek′hi′| ⊗ he_k′| ! X k Ek|ii ⊗ |eki ! (1.7)

(15)

= X

k

hi′|Ek†Ek|ii (1.8)

= hi′|ii. (1.9)

Obtemos então uma opera¸cão unitária definindo apropriadamente U na base {|ii⊗|eki}.

Essa transforma¸c˜ao corresponde `a soma de operadores no sistema H, como pode ser verificado tra¸cando-se o sistema Hanc:

tranc[U (ρ ⊗ |e0ihe0|)U†] = tranc[U (

X

i,j

ρij|iihj| ⊗ |e0ihe0|)U†] (1.10)

Assim, a representa¸cão em soma de operadores é equivalente a uma opera¸cão unitária num espa¸co de Hilbert convenientemente estendido.

Podemos dar uma interpreta¸cão f´ısica à representa¸cão em soma de operadores considerando que com probabilidade pk= tr(EkρEk†), o estado é levado a

ρk =

EkρEk†

tr(EkρEk†)

.

Assim, podemos escrever Λ(ρ) = Pkpkρk: a opera¸c˜ao Λ ´e portanto composta de

sub-opera¸c˜oes que levam o estado ρ num estado ρk com probabilidade pk. Essa

in-terpreta¸cão surge naturalmente quando consideramos medi¸cões projetivas na base de H. Além disso, ela permite relaxarmos a condi¸cão (1.5) para PkEkEk† ≤ I, a fim

de considerarmos opera¸c˜oes mais gerais que ocorrem com uma certa probabilidade de sucesso. Assim, dizemos que uma opera¸c˜ao Λ(ρ) = PkEkρEk† ocorre com

probabili-dade trΛ(ρ) = tr(PkEkρEk†) = tr(

P

kEk†Ekρ). Vale ressaltar que essa probabilidade

de sucesso ´e intr´ınseca ao processo.

Num desenvolvimento mais formal, uma opera¸cão quântica Λ é um mapa que leva um operador densidade ρ atuando num espa¸co de Hilbert H em um operador den-sidade ρ′ _{= Λ(ρ)/trΛ(ρ) atuando num espa¸co de Hilbert H}′ _{e que satisfaz os seguintes}

axiomas:

1. A probabilidade do processo representado por Λ ocorrer ´e trΛ(ρ). Logo,

0 ≤ tr[Λ(ρ)] ≤ 1. (1.11)

2. O mapa Λ ´e linear-convexo no conjunto das matrizes densidade, isto ´e,

Λ(X i piρi) = X i piΛ(ρi) (1.12)

(16)

onde pi ≥ 0, Pipi = 1 e ρi s˜ao operadores densidade.

3. O mapa Λ é Completamente Positivo, isto é, além de ser positivo em H, qualquer extensão Λ ⊗ I é também um mapa positivo. Por mapa positivo entende-se um mapa que leve operadores positivos em operadores positivos. Impõe-se essa condi¸cão para que estados sejam levados em estados tanto nos subsistemas quanto no sistema composto.

´

E poss´ıvel mostrar que um mapa que satisfaz os axiomas acima possui uma repre-senta¸c˜ao em soma de operadores [18], isto ´e, pode ser expresso como Λ(ρ) =PkEkρEk†,

com PkEkEk†≤ I.

No que segue, chamaremos opera¸c˜oes que preservam o tra¸co, isto ´e, tais que

P

kEkEk†= I, de opera¸c˜oes determin´ısticas, j´a que

trΛ(ρ) = tr(X k EkρEk†) = tr( X k EkEk† | {z } =I ρ) = tr(ρ) = 1, (1.13)

ou seja, essas opera¸c˜oes acontecem com probabilidade 1. As opera¸c˜oes em queP_kEkEk† <

I serão chamadas de não-determin´ısticas ou estocásticas. Consideramos agora uma aplica¸cão do formalismo de opera¸cões quânticas que será fundamental nas discussões futuras.

1.1.1 Medi¸c˜

oes

Assim como um sistema f´ısico pode estar sujeito a uma evolu¸cão não-unitária, podemos ter esquemas de medi¸cão que vão além das usuais medi¸cões projetivas. Estas, como é bem sabido, são dadas por um conjunto de operadores {Pk} que são projetores,

PkPk† = Pk, ortogonais, PkPk′ = δ_kk′P_k e que satisfazem a rela¸c˜ao de completeza

P

kPk = I. Entretanto, na prática as medi¸cões projetivas não dão conta de descrever

todas as maneiras que podemos obter informa¸c˜ao de um sistema quˆantico.

Em geral, uma medi¸cão quântica é descrita por um conjunto {Mm} de

opera-dores de medi¸cão atuando no espa¸co de Hilbert do sistema. A única restri¸cão sobre esses operadores é a rela¸cão de completeza PmMmMm† = I. Assim, dado o estado ρ

do sistema, a probabilidade de ocorrˆencia do resultado m ´e dada por

p(m) = tr(M_m†Mmρ), (1.14)

e o estado pós-selecionado, isto é, o estado dado que o resultado m ocorreu é ρm =

MmρMm†

tr(MmMm†ρ)

. (1.15)

O que será importante em discussões futuras é o fato de que qualquer medi¸cão pode ser entendida como uma medi¸cão projetiva num sistema convenientemente modificado.

(17)

Para ver isso, adicionemos ao sistema uma ancilla com base ortonormal {|eki}.

O espa¸co de Hilbert auxiliar Hanc deve ter dimens˜ao no m´ınimo igual ao n´umero de

resultados m. Definimos então uma opera¸cão unitária atuando no espa¸co H ⊗ Hanc da

seguinte maneira:

U |ψi|e0i =

X

m

Mm|ψi|emi. (1.16)

A opera¸c˜ao U transforma um estado qualquer de H ⊗ Hanc da seguinte maneira

ρ ⊗ |e0ihe0| → U(ρ ⊗ |e0ihe0|)U† =

X i,j ρij( X m Mm|ii ⊗ |mi)( X m′ hj| ⊗ hm′|Mm†′). (1.17)

Se fizermos a proje¸c˜ao Pm = I ⊗ |mihm| e tra¸carmos o sistema auxiliar, temos que

tranc(PmU ρU†Pm) = Mm(

X

i,j

ρij|iihj|)Mm† = MmρMm†.

Assim, se realizarmos uma medi¸c˜ao projetiva na base do sistema auxiliar, ou seja, com projetores {Pk} - com k variando de 0 a dimHanc− 1 - no sistema H obtemos o

resultado m com probabilidade

p(m) = tr(MmρMm†) = tr(Mm†Mmρ),

sendo o estado p´os-selecionado dado por ρm = tranc(PmU ρU †_P m) p(m) = MmρMm† tr(Mm†Mmρ) .

Assim, introduzindo um sistema auxiliar, aplicando a transforma¸cão U que implementa a opera¸cão quântica representada pelos operadores Mm e realizando uma medi¸cão

pro-jetiva na base do sistema auxiliar, recuperamos no sistema principal o esquema de medi¸cão generalizada. Essa é também uma poss´ıvel implementa¸cão dentre várias -de uma medi¸cão generalizada. O importante aqui é que vamos po-der nos restringir a medi¸cões projetivas sem perda de generalidade. Isso trará uma boa simplifica¸cão nas discussões futuras.

1.1.2 Opera¸c˜

oes locais, globais e o paradigma SLOCC

Chegamos ao formalismo de opera¸cões quânticas considerando uma opera¸cão unitária arbitrária num sistema composto cujos estados eram descorrelacionados, isto é, estados produto ρ = ρA ⊗ ρB. Se considerássemos apenas opera¸cões unitárias do tipo U =

UA ⊗ UB, por exemplo, ver´ıamos que o sistema global evoluiria para ρ′ = U ρU† =

(UAρAUA†) ⊗ (UBρBUB†). Como cada subsistema estaria sujeito a uma transforma¸c˜ao

unitária, tanto faz nesse caso considerar a evolu¸cão global quanto a evolu¸cão individual de cada parte. Em outras palavras, nada de novo surge com opera¸cões do tipo U =

(18)

UA⊗ UB. Surge assim a necessidade de se diferenciar opera¸c˜oes que correlacionam os

subsistemas daquelas que n˜ao o fazem.

Chamamos uma opera¸cão de local se os subsistemas evoluem independente-mente. A forma mais geral de uma opera¸cão desse tipo para um sistema bipartite é dada por

Λlocal(ρ) =

X

i,j

Ai⊗ BjρA†i ⊗ Bj†, (1.18)

onde os operadores Ai e Bj obedecemPi,jAi†Ai⊗B†jBj ≤ I; a generaliza¸c˜ao para o caso

multipartite é imediata. Nenhum tipo de correla¸cão pode ser gerado com opera¸cões desse tipo.

Chamamos uma opera¸cão de global quando ela não for local, isto é, quando não puder ser decomposta como (1.18). Uma opera¸cão global pode aumentar ou diminuir correla¸cões entre os subsistemas, dado que nesse caso sempre temos algum tipo de intera¸cão entre as partes.

Por fim, temos uma classe importante de opera¸cões em que podemos utilizar comunica¸cão clássica entre as partes, juntamente com opera¸cões quânticas locais. Com esse tipo de opera¸cões pode-se aumentar as correla¸cões clássicas2 _{entre os subsistemas,}

mas não as quânticas. Podemos sempre escrevê-las na forma ΛLOCC(ρ) =

X

i

Ai⊗ BiρA†i ⊗ Bi†, (1.19)

onde PiA†iAi⊗ Bi†Bi = I e LOCC denota a sigla em inglˆes para Local Operation and

Classical Communnication. Note o ´ındice comum no somatório: isso significa que em algum momento Alice e Bob combinaram, via comunica¸cão clássica, a ordem em que iriam aplicar as opera¸cões em seus subsistemas.

Para sermos mais precisos, a forma acima define uma classe de opera¸cões co-nhecida como opera¸cões separáveis. Toda LOCC, ou seja, todo procedimento experi-mental que se utiliza de opera¸cões locais com o aux´ılio de comunica¸cão clássica pode ser expresso dessa forma. Mas o contrário, por incr´ıvel que pare¸ca, não é verdade [22]: há opera¸cões separáveis que não podem ser implementadas por opera¸cões locais e comunica¸cão clássica.

Entretanto, se relaxarmos a condi¸c˜ao de preserva¸c˜ao do tra¸co para PiA†iAi⊗

Bi†Bi ≤ I, ou seja, usarmos opera¸c˜oes locais estoc´asticas, poderemos implementar

qual-quer opera¸cão separável [23], havendo uma probabilidade intr´ınseca de falha. Definimos então a classe mais geral de opera¸cões

ΛSLOCC(ρ) =

X

i

Ai⊗ BiρA†i ⊗ B†i, (1.20)

2

Vamos diferenciar correla¸cões clássicas de quânticas, quando analisarmos o fenômeno do emara-nhamento.

(19)

onde AiA†i⊗ BiBi†≤ I, onde SLOCC vem de Stochastic Local Operations and Classical

Communnication. As SLOCC foram propostas por Bennett et al [20].

A restri¸cão a esse tipo de opera¸cões ganhou o status de paradigma na Teoria de Informa¸cão Quântica, dada sua crescente importância. Isso fica mais claro ao consi-derarmos subsistemas que estão a longas distâncias espaciais uns dos outros. Realizar opera¸cões globais torna-se uma tarefa impraticável nesse cenário, já que não há como as partes criarem uma nova intera¸cão. Assumimos então que Alice e Bob podem reali-zar opera¸cões quânticas locais em seus estados e que também podem trocar informa¸cão clássica entre si - e apenas isso.

1.2 Proje¸c˜

oes locais e submatrizes globais

Como vimos, uma evolu¸cão temporal arbitrária sempre pode ser vista como uma trans-forma¸cão unitária num sistema maior. Uma medi¸cão arbitrária, por sua vez, também sempre pode ser vista como uma medi¸cão projetiva num sistema aumentado conveni-entemente. Portanto, para todos os fins práticos, vamos nos restringir a esses dois tipos de opera¸cões. No entanto, é claro que as considera¸cões dadas valerão para qualquer tipo de opera¸cão.

A diferen¸ca entre essas duas opera¸cões que será relevante em nossa discussão é o fato de opera¸cões unitárias serem determin´ısticas, enquanto que proje¸cões são não-determin´ısticas: enquanto U U† _{= I, para qualquer operador unitário U , temos que}

PkPk† = Pk≤ I.

Se, por exemplo, para um estado arbitr´ario ρ de um sistema bipartite aplicar-mos a opera¸c˜ao U = UA⊗ UB,

ρ_{→ (U}U A⊗ UB)ρ(UA† ⊗ UB†), (1.21)

vemos que isso ´e equivalente a aplicarmos primeiramente UA⊗ IB e depois IA⊗ UB:

ρ(UA⊗IB)◦(IA⊗UB)

→ (UA⊗ IB)(IA⊗ UB)ρ(IA⊗ UB†)(UA† ⊗ IB). (1.22)

Entretanto, isso não é verdade para proje¸cões; aplicar duas proje¸cões conjuntamente, ρPi_→⊗Pj (Pi⊗ Pj)ρ(Pi⊗ Pj)

tr[(Pi⊗ Pj)ρ]

, (1.23)

não é o mesmo que aplicar cada opera¸cão separadamente: ρ(Pi⊗IB_→)◦(IA⊗Pj) (Pi⊗ Pj)ρ(Pi⊗ Pj)

tr[(Pi⊗ IB)ρ]tr[(IA⊗ Pj)ρ]

. (1.24)

Para realizar a proje¸c˜ao Pi ⊗ Pj precisamos exigir que as opera¸c˜oes Pi e Pj ocorram

simultaneamente3 _{em seus subsistemas. A fim de evitar isso - uma restri¸c˜ao que}

com-plicará protocolos de reconstru¸cão, por exemplo - vamos nos restringir a opera¸cões

3

(20)

quânticas estritamente locais do tipo Λ ⊗ IB ou IA⊗ Λ, onde Λ é uma opera¸cão

qual-quer.

Mais ainda, vemos que opera¸cões determin´ısticas locais não alteram a descri¸cão individual dos subsistemas:

trA[(UA⊗ IB)ρ(UA† ⊗ IB)] = trA[UAUA†

| {z }

IA

⊗IBρ] = ρB, (1.25)

enquanto que para opera¸c˜oes n˜ao-determin´ısticas temos trA[(Pi⊗ IB)ρ]

tr[(Pi⊗ IB)ρ]

= ρi_B_{6= ρ}B. (1.26)

onde ρi

B ´e o estado de Bob condicionado ao resultado i de Alice. Assim, num sistema

bipartite, as opera¸cões estritamente locais que devemos realizar sobre um subsistema para influenciar o outro devem ser opera¸cões não-determin´ısticas. Restringimos então nossa discussão a proje¸cões pelos seguintes motivos:

1. Pelo que acabamos de ver, proje¸cões num subsistema afetam o outro subsistema; 2. Qualquer medi¸cão pode ser vista como uma medi¸cão projetiva;

3. Proje¸cões são mais simples do ponto de vista matemático;

4. Há diversos esquemas experimentais para realiza¸cão de proje¸cões;

5. Após a proje¸cão, o subsistema que realizou a medi¸cão é deixado num estado puro e, portanto, não afetará subsequentes medi¸cões realizadas. Isso será fundamental para tarefas envolvendo sistemas multipartites.

Surge naturalmente a questão: num sistema bipartite, como as medi¸cões de um sub-sistema afetam o outro? Vamos adotar uma aproxima¸cão operacional para responder essa questão, considerando como as medi¸cões de Alice afetam submatrizes da matriz densidade global, submatrizes essas escolhidas convenientemente para que a descri¸cão do estado de Bob - após as medi¸cões - surja de maneira elegante. Essa idéia ficará mais clara ao apresentarmos os resultados. Apresentamos primeiramente o caso geral de um sistema bipartite de dimensão finita4 _{arbitrário. Depois damos um exemplo}

considerando o caso simples de dois qubits.

Na base computacional padr˜ao {|0, 0i, |0, 1i, . . . , |0, dB−1i, |1, 0i, |1, 1i, . . . , |dA−

1, dB − 1i}, a matriz densidade de um estado arbitr´ario pode ser escrita da seguinte

4

Na verdade, as demonstra¸cões valerão também para um sistema de dimensão infinita discreto. Mas para as aplica¸cões que consideraremos é conveniente considerarmos apenas sistemas de dimensão finita.

(21)

maneira: ρ =      A00 . . . A0,dA−1 ... . .. ... A†_0,d_A₋₁ . . . AdA−1,dA−1     . (1.27)

onde as Aij são submatrizes de dimensão dB× dB. Se Alice realizar uma proje¸cão P|ψi,

o que queremos descobrir é como expressar o estado pós-selecionado de Bob - e aqui adotamos a nota¸cão ρ|ψi_B - em termos das submatrizes Aij.

Antes de provar o resultado geral, precisamos mostrar o seguinte lema, que relaciona a matriz densidade (anterior a qualquer opera¸c˜ao no sistema) de Alice com as submatrizes Aij:

Lema 1 A matriz densidade de Alice ´e dada por:

ρA= trBρ =      trA00 . . . trA0,dA−1 ... . .. ... trA∗ 0,dA−1 . . . trAdA−1,dA−1     , (1.28)

isto ´e, os elementos de matriz de Alice s˜ao os tra¸cos das submatrizes globais corres-pondentes.

Prova: Na base computacional padr˜ao, temos que ρ = dA−1 X i,k=0 dB−1 X j,l=0 ρijkl|ijihkl|. (1.29)

O estado de Alice ´e obtido tomando o tra¸co parcial ρA = trBρ = Pdν=0B−1Bhν|ρ|νiB

-onde os vetores |νiB pertencem ao espa¸co HB. Um termo arbitr´ario dessa soma ´e dado

e o estado de Alice pode ser expresso como ρA= dB−1 X ν=0 Bhν|ρ|νiB = dB−1 X ν=0 dA−1 X i,k=0 ρiνkν|iihk|. (1.31)

(22)

Um elemento de matriz arbitr´ario de ρA ´e

(ρA)µη = hµ|ρA|ηi = dB−1

X

ν=0

ρµνην, (1.32)

enquanto um elemento de matriz arbitr´ario da submatriz Aµη ´e

(Aµη)αβ = ρµαηβ. (1.33)

Calculando o tra¸co dessa submatriz, temos que trAµη =Pdα=0B−1ρµαηα e essa express˜ao

´e idˆentica a (1.32) (a menos do ´ındice mudo).

Logo, os elementos de matriz do estado de Alice s˜ao simplesmente os tra¸cos das submatrizes globais correspondentes: (ρA)ij = trAij. Com esse resultado, podemos

mostrar a seguinte proposi¸cão, que dá a rela¸cão entre o estado de Bob após uma proje¸cão realizada por Alice e as submatrizes da matriz densidade global do sistema: Proposi¸c˜_{ao 1 Seja |ψi =} PdA−1

m=0 αm|mi um estado arbitr´ario de Alice e seja P|ψi =

|ψihψ| o correspondente projetor nesse estado. Então o estado de Bob após Alice realizar a proje¸cão P_|ψi é dado por

ρ|ψi_B = P m,nαmαn∗Anm P m,nαmα∗n(ρA)nm , (1.34)

onde Amn ´e uma submatriz da matriz densidade global e (ρA)mn ´e um elemento de

matriz do estado (pr´e-selecionado) de Alice.

Prova: Fazemos primeiramente o seguinte c´alculo

P_|ψi_{⊗ I}B ρ =   dA−1 X m,n=0 αmα∗n|mihn| ⊗ IB     dA−1 X i,k=0 dB−1 X j,l=0 ρijkl|ijihkl|   (1.35) = dA−1 X m,n,i,k=0 dB−1 X j,l=0 αmα∗nρijkl|mjihkl|δni = dA−1 X m,n,k=0 dB−1 X j,l=0 αmα∗nρnjkl|mjihkl|.

(23)

Comparando a última expressão entre parênteses com (1.33), vemos que trA[(P_|ψi ⊗ IB)ρ] = Pdm,n=0A−1 αmα∗nAnm. Concluindo, ρ|ψi_B = trA[(P|ψi⊗ IB)ρ] tr[(P_|ψi_{⊗ I}B)ρ] = P m,nαmα∗nAnm P m,nαmα∗ntrAnm = P m,nαmα∗nAnm P m,nαmα∗n(ρA)nm , (1.37)

onde usamos o Lema 1 na ´ultima igualdade.

Assim, expressamos de maneira elegante o estado de Bob após Alice realizar uma proje¸cão |ψi. Vale notar que se as submatrizes tiverem alguma propriedade ma-temática pertinente, isso será refletido no estado pós-selecionado de Bob. Também, se o estado ρ|ψi_B tiver alguma propriedade relevante, isso poderá causar restri¸cões às subma-trizes globais. Isso pode ser usado para analisar propriedades globais via observa¸cões locais ou ainda construir exemplos artificiais de estados para análises matemáticas.

Damos agora um exemplo da discuss˜ao acima para o caso em que o sistema bipartite ´e constitu´ıdo de dois sistemas de dois n´ıveis.

1.2.1 Exemplo: dois qubits

Na base computacional padr˜ao {|00i, |01i, |10i, |11i}, a matriz densidade de um estado arbitr´ario de dois qubits pode ser escrita da seguinte maneira

ρ =   A00 A01 A†01 A11  ,

onde A00, A11e A01s˜ao submatrizes de dimens˜ao 2×2. Em termos dessas submatrizes,

o estado de Alice ´e dado por

ρA= trBρ =   trA00 trA01 (trA01)∗ trA11  ,

de acordo com o Lema 1.

Um estado arbitrário no sistema de Alice é dado por |ψi = a|0i+b|1i. Assim, se Alice efetuar a proje¸cão P_|ψi_{= |ψihψ| nesse estado, Bob terá um estado pós-selecionado} dado pela Proposi¸cão 1:

ρ|ψiB = |a| 2_A 00+ |b|2A11+ (a∗b)A01+ (ab∗)A†01 |a|2_(ρ A)00+ |b|2(ρA)11+ (a∗b)(ρA)01+ (ab∗)(ρA)10 .

Se, por exemplo, Alice e Bob compartilharem um estado bipartite e Alice efetuar uma medi¸cão de σz em seu estado, obterá resultados ±1, realizando uma proje¸cão no estado

|0i ou |1i, respectivamente. Assim, após a medi¸cão de Alice, o estado de Bob será dado por um dos dois estados abaixo:

ρ|0i_B = A00 (ρA)00

; ρ|1i_B = A11 (ρA)11

(24)

Cap´ıtulo 2

Determina¸c˜

ao de estados quˆ

anticos

2.1 Sistemas de uma parte

Antes de atacar o problema de reconstru¸cão de um estado de um sistema quântico composto, devemos entender como é a tarefa de reconstru¸cão para um sistema de uma parte. Além disso, em nosso tratamento da reconstru¸cão bipartite e multipartite usaremos tomografias estritamente locais, que são no fundo tomografias de sistemas de uma parte. A fim de introduzir alguns conceitos, consideramos primeiramente a reconstru¸cão de um qubit. Então passamos a um sistema com número arbitrário de n´ıveis.

2.1.1 Um qubit

´

E bem sabido que um estado ρ de um qubit pode ser expandido na base {I, σx, σy, σz}

das matrizes 2 × 2 da seguinte maneira: ρ = 1

2(I + ~r · ~σ) ,

onde ~r = (hσxi, hσyi, hσzi) ´e o chamado vetor de Bloch do estado e ~σ = (σx, σy, σz) ´e

um vetor formado pelas matrizes de Pauli. Para determinar completamente o estado, basta ent˜ao determinar o vetor de Bloch ~r, ou seja, temos de obter de alguma maneira os valores esperados hσii para i = x, y, z.

O valor médio de um observável não é obtido com uma medi¸cão apenas. Para obter cada valor hσii = tr(σiρ), realizam-se medi¸cões projetivas do observável σi em

vários estados preparados identicamente ao estado ρ que se quer reconstruir. Isso é equivalente a repetir várias vezes o procedimento de prepara¸cão do estado e medi¸cão de σi. Quanto mais medi¸cões realizarem-se, melhor será a aproxima¸cão ao valor ideal.

Entretanto, quanto melhor a aproxima¸c˜ao, maior o n´umero de recursos a serem consu-midos no processo, ou ainda, maior o tempo gasto. Apesar de um qubit ser um sistema

(25)

simples demais para que essa caracter´ıstica seja relevante, em sistemas de maior di-mensionalidade veremos que isso causar´a grande parte das dificuldades com a tarefa de reconstru¸c˜ao.

´

E conveniente expressarmos a identidade e as matrizes de Pauli em termos de projetores, a fim de entendermos o processo de medi¸c˜ao. Em termos de suas decom-posi¸c˜oes espectrais, temos que

I = P_|0i+ P_|1i; σx = P_√1 2(|0i+|1i) − P 1 √ 2(|0i−|1i); σy = P_√1 2(|0i+i|1i)− P 1 √ 2(|0i−i|1i); σz = P_|0i− P_|1i.

Se obtivermos os valores médios dos projetores acima, teremos os valores médios das matrizes de Pauli. O valor médio de um projetor é igual à probabilidade de proje¸cão: hP|ψii = tr(P|ψiρ) = p|ψi, onde p|ψié a probabilidade de proje¸cão em |ψi. Aqui usamos

a interpreta¸cão usual de uma probabilidade como uma frequência média de eventos [2]. Assim, se num experimento com n repeti¸cões tivermos nψ ocorrências da proje¸cão P|ψi,

a probabilidade medida é de nψ/n, que é o mesmo que o valor médio do projetor.

Na prática, para obter o número de ocorrências nψ, vemos a contagem dada

por um detector na sa´ıda de um aparato que prepara |ψi. Vamos exemplificar esse procedimento considerando dois sistemas f´ısicos muito utilizados para codifica¸c˜ao de qubits: qubits em sistemas de spin 1/2 e qubits de polariza¸c˜ao.

A codifica¸cão de uma part´ıcula de spin 1/2 se dá atribuindo |0i e |1i aos estados respectivos de spin para cima e para baixo com rela¸cão à dire¸cão z de um aparato de Stern-Gerlach. Assim, a fim de obter os valores p_|0i e p_|1i, colocamos um detector para cada sa´ıda do aparato - se for um feixe de elétrons, por exemplo, colocamos detectores de corrente elétrica no anteparo. Passamos o feixe do estado a ser determinado pelo aparato de Stern-Gerlach; o número de part´ıculas contado em cada detector dividido pelo número total de part´ıculas dará os valores respectivos p_|0i = n_↑/n e p_|1i = n_↓/n. Para obter os outros valores, basta girar o aparato adequadamente. Por exemplo, se quisermos os valores p_√1

2(|0i±|1i), giramos o aparato de Stern-Gerlach de forma que o eixo x coincida com a dire¸c˜ao z do campo. Basta ent˜ao colocar dois detectores no anteparo e repetir o procedimento.

A codifica¸cão em sistemas de ótica linear embasada em polariza¸cão é feita atribuindo |0i e |1i aos estados de polariza¸cão horizontal e vertical de um fóton, res-pectivamente. Para medir p_|0i e p_|1i, utilizamos um divisor de feixes polarizado com um detector de fótons em cada sa´ıda. Passamos então o feixe do estado desconhecido pelo divisor, de forma que p_|0i = nH/n e p|1i= nV/n.

Nesses sistemas uma proje¸cão arbitrária pode ser implementada colocando an-tes do divisor de feixes uma composi¸cão adequada de placas de meio e/ou de quarto

(26)

CAPÍTULO 2. DETERMINAÇ ÃO DE ESTADOS QU ÂNTICOS 17

de onda. A a¸cão dessas placas corresponde a uma rota¸cão da esfera de Poincaré, de forma a alinhar um estado puro qualquer com o estado horizontal de polariza¸cão.

Figura 2.1: Arranjo experimental para gera¸cão de uma proje¸cão arbitrária num qubit de polariza¸cão |ψi, superposi¸cão dos estados |0i ≡ |Hi e |1i ≡ |V i: (a) representa¸cão do esquema com uma lâmina de quarto de onda (QWP), uma lâmina de meia-onda (HWP) e um divisor de feixes polarizado; (b) representa¸cão da rota¸cão do estado |ψi (é o estado em que estamos projetando, não o estado incidente) na esfera de Poincaré; a lâmina de quarto de onda manda |ψi no equador enquanto (c) a lâmina de meia onda gira o estado que está no equador até |Hi. Dessa maneira, a proje¸cão ocorre se detectarmos fótons em |Hi. (Figura extra´ıda de [11]).

Em geral, se fizermos uma medi¸cão projetiva num estado |ψi, teremos duas alternativas mutuamente excludentes: ou o estado é projetado realmente - dizemos que realizamos a proje¸cão P_|ψi_{; ou ele será projetado num estado ortogonal |ψ}⊥_i

-dizemos que realizamos a proje¸c˜ao P_|ψ⊥_i.

Para um qubit, temos a vantagem de n˜ao existirem muitas alternativas. Nesse caso, vale a identidade P_|ψi+ P_|ψ⊥_i = I, o que implica p_|ψi+ p_|ψ⊥_i = 1. Por exemplo, para a matriz σx, vemos que hσxi = 2p_√1

2(|0i+|1i) − 1. Não é necessário, portanto, considerar a proje¸cão P_√1

2(|0i−|1i), pois a outra já fornece informa¸cão suficiente para o cálculo do valor médio. Experimentalmente, isso significa que não serão necessários dois detectores para inferir cada valor médio e sim apenas um já que apenas um valor p_|ψi é necessário.

Vamos agora introduzir uma nota¸c˜ao que ser´a util adiante. Chamando I = σ0,

σx= σ1, σy = σ2, σz = σ3, podemos expressar a matriz densidade de dois qubits como

ρ = 1 2 3 X i=0 Siσi

Os parâmetros Si, conhecidos na literatura como parâmetros de Stokes, são dados por

Si = hσii. Em termos das probabilidades de proje¸c˜ao p|ψi, temos que

(27)

S1 = p_√1 2(|0i+|1i) − p 1 √ 2(|0i−|1i); S2 = p_√1 2(|0i+i|1i)− p 1 √ 2(|0i−i|1i); S3 = p_|0i− p_|1i.

Como vimos, os projetores considerados até agora têm implementa¸cão f´ısica para siste-mas f´ısicos como part´ıculas de spin 1/2 e polariza¸cão de fótons e há diversos esquesiste-mas de codifica¸cão de qubits em que isso também vale, como, por exemplo, átomos de dois n´ıveis (efetivos). Porém, poder´ıamos considerar outro conjunto de projetores para realizar a tarefa de reconstru¸cão.

Considerando trˆes estados diferentes |ψii (i = 1, 2, 3), introduzimos

opera-dores τi = |ψiihψi| − |ψ⊥i ihψi⊥| em analogia `a decomposi¸c˜ao das matrizes de Pauli;

definindo τ0 = σ0 = I, teremos parâmetros análogos aos parâmetros de Stokes dados

por Ti = tr(τiρ). Poderemos obter os parˆametros de Stokes expressando os valores

Ti em fun¸cão dos Si, isto é, Ti = PjaijSk. O sistema de equa¸cões assim obtido será

invers´ıvel caso os estados |ψii formem um conjunto linearmente independente. A

vanta-gem dessa alternativa está na liberdade que temos de escolher os projetores; em alguns sistemas f´ısicos poderemos ter um conjunto de projetores mais adaptado ao problema em questão, ou ainda, pode ser que esse seja o único conjunto dispon´ıvel.

2.1.2 Um qudit

Apesar de a maioria dos protocolos de informa¸cão quântica lidar com qubits, devido às analogias feitas com bits clássicos e à simplicidade no tratamento, temos situa¸cões em que devemos considerar sistemas com mais de dois n´ıveis [24, 25, 26]. Além disso, há situa¸cões em que um sistema composto de muitos qubits pode ser visto como um sistema de muitos n´ıveis - estados de soma de momento angular, por exemplo. Verificaremos isso também em nosso tratamento da reconstru¸cão de estados de muitos qubits.

Há representa¸cões em termos de um vetor de Bloch para qudits que se utilizam dos geradores do grupo SU (d). Entretanto, apresentamos primeiro uma representa¸cão mais adequada à tomografia do estado. Para um estado de um sistema de d n´ıveis, podemos expressar a matriz densidade da seguinte maneira:

ρ = d−1_X i=0 ρiiP|ii+ d−1_X 0≤j<k≤d−1 Re(ρjk)Xjk− d−1_X 0≤j<k≤d−1 Im(ρjk)Yjk, (2.1) onde P_|ii_{= |iihi|;} Xjk = 1 √ 2(|jihk| + |kihj|); Yjk = −i √ 2(|jihk| − |kihj|). (2.2) Os observ´aveis acima formam uma base ortonormal das matrizes d × d1_{. ´}_{E f´acil ver}

1

(28)

que

hP|iii = ρii; hXjki = Re(ρjk); hYjki = −Im(ρjk). (2.3)

Assim, os valores m´edios de P_|ii, Xjk e Yjk fornecem todos os elementos da matriz

densidade ρ. Se obtivermos esses valores de alguma maneira, reconstru´ıremos o estado. Os projetores P_|iisão projetores nos estados que formam a base computacional e supõe-se então que seus valores médios são facilmente obtidos. Os valores médios de Xjk e Yjk, entretanto, não são tão imediatos de obter, já que esses observáveis não

representam, em geral, variáveis dinâmicas. A idéia então é expandir esses operadores em termos de observáveis que representem quantidades f´ısicas cujos valores médios podem ser medidos2_{. Chamando esses observáveis de Q}

i, fazemos Xjk = PixiQi e

Yjk =Pi′yi′Qi′, de modo que hXjki =PixihQii e hYjki =Pi′yi′hQi′i.

Uma expansão natural desse tipo é a própria decomposi¸cão espectral dos ope-radores. Vamos aproveitar os projetores que resultam dessas decomposi¸cões, já que há propostas de implementa¸cões experimentais destes [6, 7, 8, 9].

Figura 2.2: Gera¸cão de um qudit arbitrário usando ótica linear [8]. Os n´ıveis do sistema são codificados no comprimento de caminho ótico atravessado. As reflectividades R dos divisores de feixe são dadas. Controlando as fases φi, controlamos a superposi¸cão.

Note que esse esquema assume a gera¸c˜ao de um f´oton por vez.

A decomposi¸c˜ao espectral dos operadores ´e simplesmente Xjk = √1₂(P|ji+|ki−

P_|ji−|ki) e Yjk = √1₂(P|ji+i|ki− P|ji−i|ki). Os projetores que utilizaremos ser˜ao ent˜ao P|ii,

P_|ji±|ki e P_|ji±i|ki _{com 0 ≤ i ≤ d − 1 e 0 ≤ j < k ≤ d − 1.}

2

(29)

´

E importante mostrar uma propriedade desses projetores que usaremos em v´arias ocasi˜oes.

P_|ji+|ki+ P_|ji−|ki_{= 2|jihj| + 2|kihk| = 2(P}_|ji+ P_|ki). (2.4) A mesma identidade ´e v´alida para os projetores

P_|ji+i|ki+ P_|ji−i|ki_{= 2|jihj| + 2|kihk| = 2(P}_|ji+ P_|ki). (2.5) Poderemos dessa maneira eliminar alguns projetores de forma an´aloga ao caso de dois qubits. Se medirmos primeiramente todos os valores p_|ii _{= hP}_|ii_{i, determinaremos todos} os elementos de matriz diagonais ρii = p|ii. Al´em disso, teremos que para quaisquer

valores j e k, o valor p_|ji + p_|ki, j´a determinado, ser´a igual a um valor constante. Considerando (2.4), vemos que

p_|ji+|ki+ p_|ji−|ki = 2(p_|ji+ p_|ki) = gjk. (2.6)

Logo, podemos fazer p_|ji+|ki= gjk−p|ji−|ki, de forma que hXjki = √1₂(2p|ji+|ki−gjk), ou

ainda, hXjki = √1₂(cjk−2p|ji−|ki). Por(2.5) vemos que isso tamb´em vale para Yjk. Assim

podemos desconsiderar metade dos projetores associados a Xjk e Yjk. Na pr´atica, isso

corresponde a eliminar metade dos detectores nas medi¸c˜oes.

De certa forma, o que estamos fazendo é considerar os n´ıveis dois a dois sepa-radamente, como se eles fossem um sistema de dois n´ıveis. Temos então uma ”rela¸cão de completeza”(2.4) - já que |jihj| + |kihk| é a ”identidade”do subespa¸co de |ji e |ki. Mais ainda, Xjk e Yjk são as ”matrizes de Pauli”desse subespa¸co, obedecendo rela¸cões

análogas às matrizes de Pauli de um qubit. Essas caracter´ısticas resultam da própria estrutura de SU (d); como veremos, Xjk e Yjk são geradores desse grupo.

Vetor de Bloch e parˆametros de Stokes para qudits

Aqui apresentamos a forma usual de se definir um vetor de Bloch para sistemas de d n´ıveis. Há também outras maneiras, que podem ser encontradas na referência [27].

As matrizes de Pauli são o conjunto gerador padrão do grupo SU (2) e foram utilizadas para construir a representa¸cão da matriz densidade de um qubit em termos de um vetor de Bloch. Nada mais natural do que utilizar o conjunto gerador padrão de SU (d) para obter um vetor de Bloch para a matriz densidade de um qudit.

Os geradores de SU (d) são dados por três tipos distintos de operadores: 1. d2₂−d operadores simétricos:

λjks = |jihk| + |kihj|, 0 ≤ j < k ≤ d − 1 (2.7)

2. d2₂−d operadores anti-sim´etricos:

(30)

CAPÍTULO 2. DETERMINAÇ ÃO DE ESTADOS QU ÂNTICOS 21 3. d − 1 operadores diagonais: λl = s 2 l(l + 1)   l−1 X j=0 |jihj| − l|lihl|  , 1 ≤ l ≤ d − 1 (2.9)

N´os podemos ent˜ao expandir uma matriz densidade de um qudit como ρ = 1

dI + ~r · ~λ, (2.10)

onde ~r = ({hλjk

s i}, {hλjka i}, {hλli}) é um vetor formado pelos valores médios dos vários

geradores de SU (d), com as componentes ordenadas, enquanto que ~λ = ({λjk

s }, {λjka }, {λl})

´e um vetor formado pelos geradores de SU (d).

Podemos obter também uma representa¸cão em termos de parâmetros de Sto-kes [8],[11]. Definindo λ0 = I, podemos expandir uma matriz densidade da seguinte

maneira: ρ = S0λ0+ d−1_X l=0 Slλl+ d−1_X j,k;0≤j<k≤d−1 S_sjkλjk_s + S_ajkλjk_a (2.11)

onde cada parˆametro de Stokes ´e dado por

S0 = 1 d; (2.12) Sl = s 2 l(l + 1)   l−1 X j=0 p_|ji_{− lp}_|li  ; (2.13) Ssjk = p_√1 2(|ji+|ki)− p 1 √ 2(|ji−|ki); (2.14) S_ajk = p_√1 2(|ji+i|ki)− p 1 √ 2(|ji−i|ki). (2.15) Tomando um ordenamento conveniente dos geradores de SU (d), podemos colocar essa expans˜ao na forma mais compacta

ρ =

d2₋₁

X

i=0

Siλi. (2.16)

Essa forma será útil na estimativa do número de recursos experimentais usados e na obten¸cão de expansões similares para sistemas compostos. Fica evidente então que precisamos de d2_{− 1 parâmetros reais para determinar o estado de um qudit.}

Podere-mos eliminar metade dos projetores não-diagonais, dadas as rela¸cões (2.4) e (2.5). Nos atuais esquemas de medi¸cão projetiva, cada projetor não-diagonal exige uma imple-menta¸cão experimental. Como veremos, os projetores diagonais P_|iipodem ser obtidos com uma medi¸cão apenas. Assim, com os atuais esquemas de medi¸cão, precisaremos de 2(d2 _{− d)/2 diferentes arranjos para os projetores não-diagonais mais um arranjo}

para os diagonais, ou seja, precisaremos de um total de d2_{− d + 1 diferentes arranjos}

experimentais. Apresentaremos em se¸c˜oes posteriores uma proposta para minimizar esse n´umero.

(31)

2.2 Sistemas compostos

Passamos agora ao caso de sistemas compostos. Tratamos inicialmente o caso de múltiplos qubits, tanto pela facilidade quanto pelo apelo devido às aplica¸cões em pro-tocolos de informa¸cão quântica. Depois fazemos uma breve discussão para sistemas compostos de dimensão arbitrária. Aqui revisamos os métodos de reconstru¸cão que são empregados atualmente [11], a fim de compará-los adiante com nossa abordagem.

2.2.1 M´

ultiplos qubits

Dois qubits

Vamos analisar a tarefa de reconstru¸c˜ao para um sistema composto de dois sistemas HA, HB de dois n´ıveis. Uma base para as matrizes que atuam em H = HA⊗ HB

´e formada pelos produtos tensoriais {σi ⊗ σj}3i,j=0. Podemos expandir uma matriz

densidade ρ arbitr´aria atuando em H da seguinte maneira: ρ = 1 4 3 X i,j=0 Si,jσi⊗ σj. (2.17) Os 42 _{− 1 = 15 parˆametros de Stokes S}

i,j (S0,0 = 1, obviamente) correspondem aos

valores m´edios Si,j = hσi⊗σji. Assim, se medirmos esses valores, utilizando um grande

número de estados identicamente preparados, determinaremos a matriz densidade ρ. Note que os parâmetros S0,i e Sj,0, com i, j 6= 0, são justamente os parâmetros para

que Alice e Bob determinem seus estados.

As medi¸cões de hσi ⊗ σji, para i, j 6= 0 são medi¸cões de correla¸cão. Para

part´ıculas de spin 1/2, por exemplo, temos que hσi ⊗ σji = cos(θi,j), onde θi,j ´e o

ângulo medido por Alice e Bob entre as dire¸cões i e j. Para determinar o valor, os dois devem primeiramente combinar em quais dire¸cões medir e depois passar o resultado das medi¸cões. Mais do que isso, essa medi¸cão deve ser conjunta. Para sistemas óticos, por exemplo, essas medi¸cões devem ser feitas em coincidência.

Teremos sempre 15 parâmetros de Stokes a determinar, mas conseguiremos reduzir o número de diferentes arranjos experimentais. Primeiro, considerando (2.17) e escrevendo cada matriz de Pauli em termos de sua decomposi¸cão espectral, σi =

P_|ψii− P|ψ_i⊥i, vemos que

(32)

de Stokes Si,0, S0,i e Si,i precisar˜ao dos mesmos valores m´edios para serem inferidos.

Isso causará uma significativa redu¸cão no número de arranjos experimentais: serão 9, ao invés de 15.

A medi¸cão projetiva {P|ψiψji, P|ψiψ⊥_ji, P|ψ_i⊥ψji, P|ψ⊥_i ψ⊥_ji}, se realizada com dois detectores de cada lado, terá melhores resultados que uma medi¸cão em que Alice e Bob têm apenas um detector cada. Se, por exemplo, Alice tem um detector para |ψii

e Bob tem um para |ψji apenas, ent˜ao, durante as medi¸c˜oes, os estados que

estive-rem em |ψiψj⊥i, |ψi⊥ψji, |ψ⊥i ψj⊥i nunca ser˜ao detectados e perderemos a informa¸c˜ao

sobre eles. Usando dois detectores, não precisaremos repetir medi¸cões, ou seja, usare-mos um número de cópias menor. Nesse caso, um arranjo experimental determinará completamente um parâmetro de Stokes.

n qubits

O espa¸co de estados para n qubits ser´a dado por H = H1⊗ H2⊗ . . . ⊗ Hn, onde Hi ´e

o espa¸co de Hilbert do i-ésimo qubit. Uma base das matrizes que atuam nesse sistema será formada pelos vários produtos tensoriais {σi1⊗ σi2⊗ . . . ⊗ σin}, onde os ´ındices ik variam de 0 a 3. Uma matriz densidade arbitrária poderá ser expandida como

ρ = 1 2n 3 X i1,i2,...,in=0 Si1,i2,...,inσi1 ⊗ σi2 ⊗ . . . ⊗ σin. (2.21)

Para cada σik teremos uma decomposi¸cão espectral da forma P|ψiki±P|ψ_ik⊥i, com o sinal positivo para ik = 0 e negativo caso contrário. Dessa forma, os parâmetros de Stokes

podem ser expressos como

Si1,i2,...,in = p|ψ_i1ψ_i2...ψini± p|ψ_i1ψ_i2...ψ_in⊥i. . . ± p|ψ⊥_i1ψ⊥_i2...ψ⊥_ini. (2.22) Como no caso de dois qubits, muitas medi¸cões se mostrarão redundantes; o número de diferentes arranjos experimentais necessário será dado por 3n_{, um ganho dramático}

considerando os 4n_{− 1 que seriam necess´arios sem essa observa¸c˜ao. Para um}

aprovei-tamento ´otimo, utilizam-se 2n detectores, todos em coincidˆencia.

2.2.2 Caso geral

Os procedimentos para sistemas compostos de dimensões arbitrárias são análogos aos adotados para múltiplos qubits. Deve ser claro aqui que uma matriz densidade ar-bitrária deve ser expandida como

ρ = d2 H−1 X i1,i2,...,in=0 Si1,i2,...,inλi1 ⊗ λi2 ⊗ . . . ⊗ λin, (2.23)

onde d_H = d_H1.dH2. . . . .dHn é a dimensão do espa¸co de estados do sistema, H = H1⊗ . . . ⊗ Hn (e dHi é a dimensão do i-ésimo subsistema). A decomposi¸cão espectral

(33)

de um operador λik arbitr´ario ficar´a em termos dos projetores P|ii, P|ji±|ki ou P|ji±i|ki. Teremos d2

H− 1 parˆametros de Stokes, que podem ser expressos por

Si1,i2,...,in = p|ψ_i1ψ_i2...ψ_ini± p_|ψ_i1ψ_i2...ψ⊥

ini. . . ± p|ψ⊥i1ψ⊥i2...ψ⊥ini. (2.24) Aqui as regras de cancelamento também valerão e não é dif´ıcil ver que o número de diferentes arranjos experimentais será dado por (d2

H1−1).(d

2

H2−1) . . . (d

2

Hn−1). Como o número de proje¸cões numa medida projetiva é d_Hk, teremos que usar dH1+dH2+. . .+dHn detectores no total para otimizarmos a medi¸cão.

2.3 Reconstru¸c˜

ao de estados via medi¸c˜

oes

projeti-vas locais e comunica¸c˜

ao cl´

assica de uma via

Descrevemos aqui nosso tratamento da tarefa de reconstru¸cão sob o ponto de vista da Proposi¸cão 1. Mostraremos como reconstruir um estado de um sistema quântico composto usando medi¸cões estritamente locais e comunica¸cão clássica de uma via. Não precisaremos impor que as medi¸cões sejam conjuntas em nenhum momento, o que representa uma simplifica¸cão considerável com rela¸cão aos protocolos atuais.

2.3.1 Dois qubits

Abordamos primeiramente o caso mais simples de dois qubits. Como vimos, a matriz densidade de dois qubits pode ser expressa por

ρ =   A00 A01 A†01 A11  , (2.25)

onde A00, A11 e A01 s˜ao submatrizes de dimens˜ao 2 × 2.

Se Alice realizar uma proje¸cão num estado |ψi = a|0i + b|1i, o estado pós-selecionado de Bob será dado pela Proposi¸cão 1,

ρ|ψi_B = |a| 2_A 00+ |b|2A11+ (a∗b)A01+ (ab∗)A†01 |a|2_(ρ A)00+ |b|2(ρA)11+ (a∗b)(ρA)01+ (ab∗)(ρA)10 , (2.26)

como verificamos anteriormente. É natural indagar como ficaria a expressão acima para as proje¸cões que resultam das medi¸cões das matrizes de Pauli.

Se Alice realizar uma medi¸c˜ao de σz, poder´a obter os resultados ±1. Caso

ocorra resultado +1, seu estado será projetado no estado |0i. O estado de Bob será então

ρ|0i_B = A00 (ρA)00

(34)

Caso ocorra resultado −1, o estado de Alice ser´a projetado em |1i e o estado corres-pondente de Bob ser´a

ρ|1i_B = A11 (ρA)11

. (2.28)

Da mesma maneira, se Alice medir σx obter´a resultados ±1 e o estado de Bob ser´a

ρ|0i±|1i_B = A00+ A11± (A01+ A

† 01)

(ρA)00+ (ρA)11± 2Re[(ρA)01]

, (2.29)

de acordo com os resultados ±1 de Alice. Finalmente, se Alice medir σy, os estados de

Bob após essas medi¸cões serão

ρ|0i±i|1i_B = A00+ A11± i(A01− A

† 01)

(ρA)00+ (ρA)11∓ 2Im[(ρA)01]

, (2.30)

de acordo com os resultados de Alice.

Agora, ao invés de expressar os estados pós-selecionados de Bob em termos das submatrizes globais, expressaremos estas em termos dos estados pós-selecionados e dos elementos de matriz do estado pré-selecionado de Alice:

A00= ρ|0iB (ρA)00; A11 = ρ|1iB(ρA)11; (2.31)

A00+ A11± (A01+ A†01) = ρ|0i±|1iB {(ρA)00+ (ρA)11± 2Re[(ρA)01]}; (2.32)

A00+ A11± i(A01− A†01) = ρ|0i±i|1iB {(ρA)00+ (ρA)11∓ 2Im[(ρA)01]}. (2.33)

Obtivemos assim um sistema de equa¸cões para as submatrizes globais em termos dos estados locais de Alice e Bob. Esse sistema de equa¸cões é superdeterminado, já que há 5 equa¸cões para a determina¸cão de 3 submatrizes.

Antes de prosseguir, vamos reescrever essas equa¸c˜oes numa forma mais familiar. O estado de Alice, em termos das matrizes de Pauli, ´e dado por

ρA= 1 2I + 1 2(xAσx+ yAσy+ zAσz) = 1 2   1 + zA xA− iyA xA+ iyA 1 − zA  . (2.34)

Reescrevemos ent˜ao o sistema de equa¸c˜oes para as submatrizes da seguinte maneira: A00= 1 + zA 2 ρ |0i B ; A11 = 1 − z A 2 ρ |1i B ; (2.35) A00+ A11± (A01+ A†01) = (1 ± xA)ρ|0i±|1iB ; (2.36) A00+ A11± i(A01− A†01) = (1 ± yA)ρ|0i±i|1iB . (2.37)

(35)

Veremos agora como utilizar a informa¸cão contida nas equa¸cões acima para realizar a tarefa de reconstru¸cão do estado global ρ utilizando apenas proje¸cões locais e comu-nica¸cão clássica de uma via.

Suponhamos que Alice e Bob possuam muitas cópias do estado ρ que eles de-sejam reconstruir; consideramos que a única forma de comunica¸cão entre os dois é a clássica. Suponhamos também que Bob precise de NB cópias de um estado em seu

subsistema para que ele consiga reconstru´ı-lo com uma boa estimativa. Aqui estamos considerando também as cópias adicionais para a minimiza¸cão dos erros que inevita-velmente acontecem na tomografia local de Bob. Em outras palavras, NB deve ser

o número de cópias que Bob necessita para reconstruir um estado arbitrário no pior cenário experimental poss´ıvel.

Primeiramente, determinam-se as submatrizes diagonais. Para isso, Alice mede σz em suas c´opias, obtendo resultados ±1 e comunica a Bob seus resultados. De

acordo com esses resultados, o estado de Bob será ρ|0i_B ou ρ|1i_B . Bob então vai separando seus estados em dois subconjuntos, um correspondente a resultados +1, o outro a resultados −1. Quando um dos subconjuntos possuir NB cópias - e em alguma altura

isso vai acontecer - Bob vai ter um n´umero de estados suficientes nesse subconjunto para realizar uma tomografia. Ele faz precisamente isso com esses estados, determinando o estado do subconjunto.

Por exemplo, digamos que Alice, durante suas medi¸c˜oes, obteve NB resultados

+1. Bob terá então NB estados ρ|0iB , cuja matriz densidade ele ainda não conhece;

ele poderá então utilizar esses estados para, através de um procedimento tomográfico qualquer, determinar a matriz densidade de ρ|0i_B. Além disso, Alice tem um número de medi¸cões mais que suficiente para determinar o valor zA = 2p|0i − 1, onde p|0i é

simplesmente o número NB/N e N é o número de medi¸cões tomados. Através da

primeira equa¸c˜ao de (2.35), Bob pode determinar A00.

Nesse exemplo, para determinar A11, basta continuar a medir σzat´e a ocorrˆencia

de NB resultados −1: Bob então poderá fazer a tomografia de ρ|1iB e, através da

se-gunda equa¸cão de (2.35) obter A11. Entretanto, há uma situa¸cão extrema que pode

vir a ocorrer. Se o valor p_|0i for muito próximo a 1, de forma que p_|1i é muito próximo a zero, Alice terá de efetuar muitas medi¸cões para obter NB resultados −1, talvez um

número de medi¸cões além dos seus recursos. Nesse caso, podemos fazer a aproxima¸cão A11= 1−z₂Aρ|1iB ≈ 02×2, a matriz nula de dimensão 2 × 2.

Depois de determinar as submatrizes diagonais, precisamos determinar A01 (e

consequentemente A†₀₁). Alice mede σx em seus estados, obtendo resultados ±1, que

ela comunica a Bob. De acordo com esses resultados, o estado de Bob será ρ|0i+|1i_B ou ρ|0i−|1i_B . Bob então vai separando seus estados em dois subconjuntos, um correspondente a resultados +1, o outro a resultados −1. Aqui teremos uma diferen¸ca com rela¸cão ao caso diagonal, devido à redundância das equa¸cões (2.36). Assim que Alice obtiver NB

(36)

Figura 2.3: Protocolo de reconstru¸cão para dois qubits. Bob divide seus estados em dois subconjuntos, de acordo com os resultados de medi¸cão ±1 de Alice (vermelho ou verde). Se Alice estiver medindo σz, Bob fará a reconstru¸cão dos estados nos dois

subconjuntos. Para σx e σy, ele precisa apenas determinar o estado do subconjunto

correspondente ao resultado que ocorreu NB vezes primeiro.

vezes o mesmo resultado, ela pode parar. Por exemplo, se ela obtiver NB resultados

+1, ela pára de medir. Bob terá então NB estados ρ|0i+|1iB , os quais ele usará para

tomografia. Veja que Bob pode inferir o valor de xA com os resultados de Alice:

xA = NB/N , onde N é o número total de medi¸cões. Como as submatrizes diagonais

A00e A11j´a foram determinadas, teremos que, por (2.36), A01+A†01 = [(1±xA)ρ|0i+|1iB ]−

(A00+ A11), de forma que determinamos A01+ A†01.

Se repetirmos o procedimento com σy, obteremos A01−A†01 por (2.37) e,

conse-quentemente, A01. Teremos determinado dessa forma todas as submatrizes globais, ou

seja, teremos reconstru´ıdo o estado ρ, usando apenas medi¸cões projetivas estritamente locais e comunica¸cão clássica de uma via.

Não há necessidade de utilizar 4 detectores. Bob precisa apenas saber se Alice obteve resultado +1 ou −1 ao medir seu estado; para isso, Alice necessita de apenas um detector. Da mesma maneira, ao reconstruir os estados dos subconjuntos, Bob precisa de apenas um detector também, já que ele realiza uma tomografia local. Portanto, são necessários apenas 2 detectores. O número de arranjos experimentais, entretanto, continua sendo 9, já que há 3 arranjos na tomografia de Bob para cada um dos 3 arranjos de Alice.