Sistemas de uma parte com dimens˜ao d maior que 2 apresentam grande n´umero de arranjos experimentais, em geral. Isso porque para obter os valores m´edios de cada projetor ´e necess´ario um arranjo experimental que gere esse projetor. Assim, como teremos que medir d2− 1 projetores, teremos d2− 1 diferentes arranjos experimentais.
Na pr´atica, entretanto, vemos que um n´umero menor ´e necess´ario, devido ao esquema associado aos projetores P|ii que d˜ao os elementos diagonais da matriz densi- dade. Esses projetores s˜ao os projetores na pr´opria base computacional do sistema, de forma que podemos afirmar que eles s˜ao gerados pelo pr´oprio processo f´ısico respons´avel pela codifica¸c˜ao.
Por exemplo, num sistema em que utilizamos estados de n´umero na codifica¸c˜ao, identificamos o n´umero do estado l´ogico com o estado de n´umero f´ısico. Os projetores P|iis˜ao ent˜ao obtidos simplesmente como resultado da medi¸c˜ao de um ´unico observ´avel, que ´e o operador de n´umero N . Um racioc´ınio an´alogo se aplica `as codifica¸c˜oes utili- zando estados de momento angular: o operador que gera a base computacional ´e Jz,
´
unico arranjo experimental geramos todos os d projetores diagonais P|ii. Considerando isso, podemos afirmar que precisamos de d2− d arranjos experimentais no total.
Vamos ent˜ao admitir que os projetores diagonais P|ii s˜ao sempre gerados a partir de um observ´avel n˜ao-degenerado e diagonal na base computacional
Z = diag{z0, z1, . . . , zd−1}, (2.54)
onde os zi s˜ao, ´e claro, seus autovalores. Assim, se numa medi¸c˜ao de Z obtivermos o
resultado zi, saberemos que o estado do sistema est´a no estado |ii, ou seja, teremos
realizado a proje¸c˜ao P|ii.
Agora, considere os observ´aveis relacionados aos elementos n˜ao-diagonais da matriz densidade, Xjk = 1 √ 2(|jihk| + |kihj|); Yjk = − i √ 2(|jihk| − |kihj|). (2.55)
Se fosse poss´ıvel medir Xjk diretamente, por exemplo, ter´ıamos um ´unico esquema
experimental para a gera¸c˜ao dos projetores P|ji±|ki. O mesmo valeria para Yjk. Redu-
zir´ıamos pela metade o n´umero de diferentes arranjos, um ganho consider´avel.
Entretanto, um resultado recente [28] mostra que ´e poss´ıvel implementar a medi¸c˜ao dada por esses observ´aveis e n˜ao s´o isso, mas qualquer medi¸c˜ao ou qualquer evolu¸c˜ao temporal unit´aria, utilizando apenas Hamiltonianos com simetria rotacional e sistemas auxiliares - um resultado, no m´ınimo, espetacular. Por´em, ao inv´es de considerar os v´arios Xjk e Yjk, vamos construir um conjunto de observ´aveis mais geral,
no sentido que ´e um conjunto que minimiza o n´umero de arranjos experimentais. De fato, a medi¸c˜ao de Xjk tem como resultados ±1 e 0; sempre que se obt´em
0, n˜ao se sabe em que estado o sistema foi projetado, apenas que ele est´a num estado ortogonal aos estados |ji ± |ki, a mesma considera¸c˜ao valendo para Yjk. Gostar´ıamos
ent˜ao de ter um conjunto de observ´aveis com d autovalores distintos, fornecendo d proje¸c˜oes distintas. A id´eia aqui ´e bastante simples. O operador Z pode ser visto como Z = PkzkP|ki, ou seja, um operador cuja decomposi¸c˜ao espectral corresponde
justamente `a medi¸c˜ao projetiva dada pelos operadores P|ki. Nada mais natural do que definir os outros observ´aveis da mesma maneira.
Vamos considerar o caso ilustrativo de d = 4. Uma das medi¸c˜oes que podemos realizar ´e dada pelos projetores {P|0i±|1i, P|2i±|3i}; definimos ent˜ao
X1 = λ0P|0i+|1i+ λ1P|0i−|1i+ λ2P|2i+|3i+ λ3P|2i−|3i.
Mas precisamos considerar as outras medi¸c˜oes {P|0i±|2i, P|1i±|3i}, {P|0i±|3i, P|1i±|2i};
basta ent˜ao definir
X2 = λ0P|0i+|2i+ λ1P|0i−|2i+ λ2P|2i+|3i+ λ3P|2i−|3i
CAP´ITULO 2. DETERMINAC¸ ˜AO DE ESTADOS QU ˆANTICOS 35
Repetindo a id´eia para os v´arios projetores P|ji±i|ki, teremos mais trˆes operadores Y1,
Y2, Y3. Teremos no total 3 operadores Xi, 3 operadores Yi e 1 operador Z, ou seja,
7 = 2.4 − 1 arranjos experimentais diferentes, o que ´e um ganho significativo em compara¸c˜ao com os 42 − 4 = 12 vistos.
Definimos os observ´aveis para d arbitr´ario de forma an´aloga. Mas n˜ao ´e preciso se restringir aos projetores considerados. Para qualquer conjunto de projetores de uma tomografia podemos definir observ´aveis an´alogos que os implementam de maneira ´otima. Vamos agora considerar o ganho experimental que obtemos com essa constru¸c˜ao. Em geral, temos d2− 1 elementos de matriz para determinar. Com a medi¸c˜ao
de Z, determinamos d − 1 desses elementos, que s˜ao os elementos diagonais; ficamos ent˜ao com d2− 1 − (d − 1) = d2− d elementos a determinar. Como temos 2 projetores
para cada parˆametro de Stokes, temos 2(d2 − d) projetores para considerar. Assim,
cada observ´avel gera d proje¸c˜oes distintas e precisaremos de 2(d2− d)/d = 2(d − 1)
observ´aveis. O n´umero m´ınimo de observ´aveis ser´a dado por 2(d−1)+1, onde estamos considerando o operador Z; assim precisaremos de 2d − 1 observ´aveis, ou seja, esse ´e o n´umero de diferentes arranjos experimentais necess´ario.
Para um sistema de uma parte, como precisamos apenas do valor m´edio dos projetores, podemos usar as rela¸c˜oes (2.4), (2.5) para eliminar metade dos detectores. Para sistemas de mais de uma parte, precisaremos em nosso protocolo garantir que a proje¸c˜ao ocorre; poderemos no m´aximo eliminar um detector.
Emaranhamento
3.1
Defini¸c˜ao
A defini¸c˜ao original de emaranhamento ´e devida a Schr¨odinger [14]. Dizemos que um estado puro |ψi de um sistema bipartite H = HA⊗ HB´e separ´avel se puder ser escrito
como um estado produto |ψi = |ψAi ⊗ |ψBi, onde |ψAi ´e um estado puro de HAe |ψBi
´e um estado puro de HB. Se um estado n˜ao puder ser fatorado nessa forma, dizemos
que ele ´e um estado emaranhado.
Para compreender essa defini¸c˜ao, considere uma medi¸c˜ao de um observ´avel M = MA ⊗ MB no sistema bipartite H, isto ´e, Alice e Bob fazem medi¸c˜oes de ob-
serv´aveis MAe MB em seus respectivos subsistemas. Quando analisamos o formalismo
de opera¸c˜oes quˆanticas, vimos que, em geral, medi¸c˜oes locais em um subsistema influ- enciam o outro subsistema. Entretanto, se o estado do sistema for um estado produto |ψi = |ψAi ⊗ |ψBi, vemos que o valor m´edio de M ser´a
hMiψ = hψA| ⊗ hψB|(MA⊗ MB)|ψAi ⊗ |ψBi = hMAiψAhMBiψB, (3.1) ou seja, n˜ao h´a qualquer correla¸c˜ao entre os resultados de medi¸c˜oes de Alice e Bob, j´a que a mesma fatora¸c˜ao ocorreria num experimento feito separadamente por ambos. Assim, num sistema composto, al´em das considera¸c˜oes sobre as opera¸c˜oes que deve- mos realizar, precisamos tamb´em fazer considera¸c˜oes sobre a natureza do estado que estamos tratando.
S˜ao exemplos de estados emaranhados os famosos estados de Bell, |φ±i = √1
2(|00i ± |11i); |ψ
±i = √1
2(|01i ± |10i). (3.2)
´
E f´acil ver que n˜ao podemos decompor esses estados como um estado produto. Para qualquer um desses estados, as medidas de Alice e Bob est˜ao totalmente correlaciona- das. Por exemplo, para os estados |φ±i, se Alice medir σ
z e obtiver resultado +1, ela
CAP´ITULO 3. EMARANHAMENTO 37
saber´a que o estado de Bob ´e |0i; caso ela obtenha −1, saber´a que o estado de Bob ´e |1i.
A defini¸c˜ao de separabilidade para sistemas multipartites ´e imediata: um es- tado |ψi de um sistema multipartite H = H1 ⊗ . . . ⊗ HN ´e separ´avel se puder ser
decomposto como |ψi = |ψ1i ⊗ . . . ⊗ |ψNi, onde cada |ψii ´e um estado do subsistema
Hi.
Para estados mistos, a defini¸c˜ao ´e um pouco mais complexa e ´e devida a Werner [29]. Note que h´a tamb´em estados produto da forma ρ = ρA⊗ ρB, isto ´e, estados
n˜ao correlacionados, no sentido de que teremos uma fatora¸c˜ao do tipo (3.1). Por´em, existem estados mistos que apresentam correla¸c˜oes entre si que s˜ao originadas de uma comunica¸c˜ao cl´assica entre as partes, n˜ao de uma intera¸c˜ao f´ısica. Precisamos aqui diferenciar correla¸c˜oes que s˜ao cl´assicas de correla¸c˜oes que s˜ao quˆanticas.
Vamos dar um exemplo de estados em que a fatora¸c˜ao (3.1) n˜ao acontece, mas utilizamos apenas opera¸c˜oes locais quˆanticas e comunica¸c˜ao cl´assica entre as partes para preparar o estado. Imaginemos ent˜ao uma fonte de n´umeros aleat´orios que fornece um n´umero i com probabilidade pi. Alice e Bob, separados um do outro, agem de
acordo com essa fonte, que se comunica atrav´es de um canal cl´assico com os dois. Assim, se eles forem informados que a fonte forneceu o n´umero i, os dois preparam em seus subsistemas os estados ρi
A e ρiB. Logo, o estado do sistema H = HA⊗ HB ser´a
ρ =PipiρiA⊗ ρiB. Se fizermos a medi¸c˜ao de um observ´avel M = MA⊗ MB, teremos
hMi = tr(MA⊗ MB X i piρiA⊗ ρiB) = X i pitr(MAρiA)tr(MBρiB) (3.3)
Dizemos nessa situa¸c˜ao que o estado ´e classicamente correlacionado: a fatora¸c˜ao con- vexa acima ´e a mesma dada por uma distribui¸c˜ao de probabilidades cl´assica para um sistema composto. Vemos tamb´em que as correla¸c˜oes entre os resultados de Alice e Bob s˜ao devidas apenas `a fonte de n´umeros aleat´orios.
Queremos ent˜ao definir um estado como emaranhado se ele apresentar cor- rela¸c˜oes al´em das cl´assicas, isto ´e, correla¸c˜oes quˆanticas. Dizemos dessa forma que um estado misto ρ atuando em H = HA⊗ HB ´e separ´avel se puder ser escrito na
forma ρ =PipiρiA⊗ ρiB. Os estados que n˜ao podem ser decompostos nessa forma s˜ao
chamados de estados emaranhados.
Para refor¸car essa defini¸c˜ao, consideremos a atua¸c˜ao de uma opera¸c˜ao SLOCC num estado descorrelacionado ρ = ρA⊗ ρB:
ΛSLOCC(ρ) = X i (AiρAA†i) ⊗ (BiρBBi†) (3.4) = X i tr(AiρAA†i)tr(BiρBBi†) | {z } pi AiρAA†i tr(AiρAA†i) | {z } ρi A ⊗ BiρBB † i tr(BiρBBi†) | {z } ρi B (3.5) = X i piρiA⊗ ρiB (3.6)
Vemos ent˜ao que criamos correla¸c˜oes cl´assicas com opera¸c˜oes locais e comunica¸c˜ao cl´assica. ´E f´acil ver que um estado separ´avel coninuar´a separ´avel sob uma opera¸c˜ao SLOCC. Portanto, s´o ´e poss´ıvel criar correla¸c˜oes cl´assicas com esse tipo de opera¸c˜ao, mas n˜ao correla¸c˜oes quˆanticas. Dito de outra maneira, n˜ao ´e poss´ıvel gerar emaranha- mento via SLOCC.