Al´em de dizermos se um estado est´a ou n˜ao-emaranhado, ´e importante saber o qu˜ao emaranhado esse estado est´a. Particularmente em sistemas bipartites ´e assegurada a existˆencia de um estado maximamente emaranhado, no sentido de que qualquer estado do sistema pode ser obtido a partir desse estado via SLOCC. Assim, podemos tomar o emaranhamento contido nesse estado como padr˜ao de medida, quando quisermos quan- tificar o emaranhamento de nosso sistema. Damos o nome de ebit ao emaranhamento contido num estado maximamente emaranhado de nosso sistema. Para definir uma medida de emaranhamento3, a id´eia ´e considerar um funcional que n˜ao aumente sob
SLOCC, j´a que emaranhamento n˜ao pode ser criado por esse tipo de opera¸c˜oes.
3.3.1
Axiomas
Uma medida de emaranhamento ´e um funcional E do conjunto das matrizes densidade nos n´umeros reais positivos,
ρ → E(ρ) ∈ R+ (3.20)
que satisfaz os seguintes axiomas:
• O emaranhamento n˜ao pode aumentar sob opera¸c˜oes locais e comunica¸c˜ao cl´assica: E[ΛSLOCC(ρ)] ≤ E(ρ) (3.21)
• O emaranhamento ´e nulo em estados separ´aveis:
E(ρs) = 0 (3.22)
Esses s˜ao os dois axiomas obrigat´orios para que uma fun¸c˜ao represente uma medida de emaranhamento e a raz˜ao para tal escolha deve ser clara. No entanto, podemos exigir outros axiomas, dependendo do problema que estivermos tratando.
3
CAP´ITULO 3. EMARANHAMENTO 43
Outros poss´ıveis axiomas
Alguns outros candidatos a axiomas para medidas de emaranhamento s˜ao listados a seguir:
1. Normaliza¸c˜ao: E(|φ+di) = log2d, onde |φ+di = |0,0i+|1,1i+...+|d−1,d−1i√
d ´e o estado
maximamente emaranhado do sistema bipartite4.
2. Convexidade: E(Pipiρi) ≤ PipiE(ρi). Essa propriedade traz uma grande
facilidade matem´atica a uma medida de emaranhamento. ´E comum dizer que ela captura a no¸c˜ao de perda de informa¸c˜ao, isto ´e, ir de um ensemble de estados identific´aveis ρi que ocorrem com taxas pi para uma mistura ρ = Pipiρi. Mas
essa interpreta¸c˜ao pode ser confusa5.
3. Aditividade: E(ρ⊗n) = nE(ρ). Assim, o emaranhamento contido em n estados
´e igual a n vezes o emaranhamento do estado.
4. Continuidade assint´otica: ||ρn− σn|| → 0 ⇒ |E(ρnlog d)−E(σn n)| → 0, onde ρn e σn
s˜ao estados atuando num espa¸co de Hilbert de dimens˜ao dn. Medidas que n˜ao
satisfazem essa propriedade sofrem uma redu¸c˜ao dr´astica em seu valor pela perda de um qubit, da´ı vindo a importˆancia da propriedade. Al´em disso, impondo essa propriedade, a aditividade e a normaliza¸c˜ao como axiomas ´e poss´ıvel obter uma medida ´unica para estados puros.
5. Emaranhamento n˜ao aumenta na m´edia por SLOCC:
X i piE AiρA†i tr(AiρA†i) ! ≤ E(ρ) (3.23)
onde os Ai s˜ao operadores de Kraus descrevendo algum protocolo SLOCC e pi =
tr(AiρA†i). Essa propriedade era tida como obrigat´oria, mas ´e ´obvio que ela ´e um
caso especial do primeiro axioma para medidas de emaranhamento.
3.3.2
Exemplos de medidas
Mostramos agora algumas medidas que ser˜ao usadas na quantifica¸c˜ao de emaranha- mento de certos estados:
4
Note que esse estado j´a est´a escrito na base de Schmidt.
5
De fato, o ensemble de estados no primeiro caso pode ´e descrito comoPipi|iihi| ⊗ ρi. Mas n˜ao ´e
imediato que E(Pipi|iihi| ⊗ ρi) =
P
Entropia de Emaranhamento
Considere um estado emaranhado puro |ψi de um sistema bipartite na base de Schmidt, |ψi = Pi
√
λi|ii′i. Como vimos, os estados reduzidos de Alice e Bob s˜ao estados
mistos, sendo que as matrizes densidade tˆem autovalores λi. Agora, como trρ2 =Piλ2i
representa a pureza de um operador densidade, vemos uma rela¸c˜ao entre o grau de mistura dos estados reduzidos e o grau de emaranhamento do estado global. Se os estados reduzidos forem puros, teremos um autovalor 1 e os outros 0, de forma que o n´umero de Schmidt ser´a 1 e o estado global ser´a um estado produto. Se os estados reduzidos forem maximamente mistos, teremos que todos os autovalores ser˜ao 1/d, de forma que os coeficientes de Schmidt ser˜ao q1/d e o estado global ser´a um estado maximamente emaranhado. Portanto, podemos medir o grau de emaranhamento de um estado puro bipartite pelo grau de mistura dos estados reduzidos.
Para medir o grau de mistura de um estado ρ, ´e comum utilizar a Entropia de von Neumann, dada por S(ρ) = −tr(ρ log ρ). Se os autovalores de ρ s˜ao λi, a express˜ao
fica S(ρ) = −Piλilog(λi). Damos o nome de Entropia de Emaranhamento `a Entropia
de von Neumann calculada num estado reduzido de um estado puro bipartite. Bennett et al mostraram em [21] as motiva¸c˜oes f´ısicas para adotar essa medida como a medida padr˜ao de emaranhamento para estados puros.
Emaranhamento de Forma¸c˜ao
O Emaranhamento de Forma¸c˜ao de um estado ρ define-se da seguinte maneira: EF(ρ) = inf{pi,|ψii}
X
i
piE(ψi) (3.24)
onde E(ψ) ´e a Entropia de Emaranhamento de um estado |ψi e o ´ınfimo ´e tomado em todas as decomposi¸c˜oes do estado como ρ = Pipi|ψiihψi|. O Emaranhamento
de Forma¸c˜ao representa fisicamente o n´umero m´ınimo de ebits necess´ario para formar o estado ρ, utilizando apenas SLOCC - da´ı o nome. Essa medida possui f´ormulas anal´ıticas para dois qubits [38] e estados com alta simetria [39]; no contexto de vari´aveis cont´ınuas, existem f´ormulas anal´ıticas para estados gaussianos sim´etricos [40]6.
Concorrˆencia
A f´ormula anal´ıtica para o Emaranhamento de Forma¸c˜ao de dois qubits ´e dada abaixo: EF(ρ) = H 1 +q1 − C2(ρ) 2 (3.25) 6
CAP´ITULO 3. EMARANHAMENTO 45
onde H(x) = −x log2x − (1 − x) log2(1 − x) ´e a fun¸c˜ao entropia bin´aria e C(ρ) ´e a
chamada Concorrˆencia do estado, sendo dada por
C(ρ) = max{0, λ1 − λ2− λ3− λ4} (3.26)
sendo λi as ra´ızes dos autovalores da seguinte matriz,
R = ρ(σy ⊗ σyρ∗σy ⊗ σy) (3.27)
Pode-se adotar a pr´opria concorrˆencia como uma medida de emaranhamento para esta- dos de dois qubits. Para sistemas de maior dimensionalidade, h´a algumas generaliza¸c˜oes inequivalentes dessa medida [35].
Negatividade
A Negatividade [42] ´e definida como
N (ρ) = max{0, −X
k
λk} (3.28)
onde λk s˜ao os autovalores negativos da matriz transposta parcial de ρ. A vantagem
dessa medida ´e que ela ´e facilmente comput´avel na grande maioria dos casos. A des- vantagem principal ´e que ela tem valor zero para estados emaranhados que s˜ao PPT7,
por sua pr´opria defini¸c˜ao.