Edifícios de base fixa (E) sob excitação sísmica

Considere-se o edifício de comportamento linear elástico de n graus de liberdade (GL) sob a ação de uma excitação sísmica de aceleração . O edifício é modelado como sendo um pórtico plano como se ilustra Figura 3.5. Neste modelo é adotada a hipótese de que todos os GL são deslocamentos na mesma direção do movimento do solo . A cinemática completa é apresentada nessa figura, onde , , representam os deslocamentos e a massa do n- ésimo andar do pórtico, respectivamente.

Figura 3.5 – Cinemática do edifício sob excitação sísmica

Considerando o equilíbrio dinâmico de cada um dos andares do pórtico obtêm-se a equação de movimento do edifício de n-GL sujeito a uma excitação sísmica . A equação escrita na forma matricial:

(3.2)

onde,

: matriz de massa do edifício.

: matriz de amortecimento do edifício.

: matriz de rigidez do edifício.

: operador de influência.

: aceleração sísmica.

, , _,……., : vetor de deslocamentos do edifício.

, , _,……., : vetor de velocidades do edifício.

, , _,……., : vetor de acelerações do edifício.

O operador de influência I é uma matriz que conecta a direção dos graus de liberdade da Equação (3.2) segundo a direção da componente de excitação sísmica. A dimensão do coeficiente I depende do número de excitações de aceleração utilizadas (um, dois ou três). Desta forma, o coeficiente tem tantas colunas quanto componentes de aceleração são aplicados e seus elementos tomam valores iguais a um nos GL correspondentes à direção da excitação sísmica e zero para os outros graus de liberdade.

Para ilustrar a forma de definir o coeficiente de influencia, a Figura 3.6 apresenta quatros modelos de estruturas de vários graus de liberdade sob excitação sísmica. Note-se que o as componentes nulas do coeficiente I correspondem aos GL não excitados da estrutura de acordo ao sentido da aceleração sísmica, destaca-se também que o coeficiente I é o vetor unitário em pórticos do tipo shear building sob excitação sísmica unidirecional, Figura 3.6.(b).

Por último, observa-se que em condições de excitação sísmica bidirecional, Figura 3.6(d), o coeficiente I é representado por uma matriz cuja dimensão se define, segundo os GL do sistema e número de componentes de aceleração sísmica. Em todos os casos de excitação unidirecional o coeficiente I é um vetor coluna, Figura 3.6(a)-(c).

(a) (b)

Figura 3.6 – Coeficiente de influência I

A fim de correlacionar os resultados numéricos e experimentais de edifícios sob excitação sísmica, devem ser obtidos as estimativas numéricas dos parâmetros modais e das funções de resposta em frequência (FRF). Portanto, utilizando o método de superposição, foram derivadas as equações de movimento em coordenadas modais.

Supondo que o vetor de deslocamentos da Equação (3.2) podem ser expressos como uma combinação linear da forma:

Φq 1, … , (3.3)

onde,

: i-ésimo autovetor que representa as formas modais.

: i-ésimo descolamento modal.

Φ , , _,……., : matriz de autovetores.

, , _,……., : vetor de deslocamento modal.

Levando em consideração as condições de ortogonalidade dos autovetores, portanto:

, , 1, … , (3.4)

onde,

: Delta de Kronecker.

: Frequência natural.

Com a transformação de coordenadas é possível tornar as matrizes de massa M e de rigidez K em matrizes diagonais, no entanto o sistema de equações representado pela Equação (3.2) continua sendo acoplado devido à propriedade de matriz positiva definida do amortecimento C. Uma forma de tornar diagonal a matriz C, tal como as matrizes K e M, é assumindo a hipótese de amortecimento proporcional.

Um caso particular deste tipo amortecimento é o amortecimento de Rayleigh, neste modelo admite-se que o amortecimento nas estruturas é proporcional à massa e à rigidez, i.e, , onde a e b são constantes reais e positivas.

Ressalta-se o fato do que os autovalores e autovetores podem ser estimados utilizando apenas as matrizes de massa e rigidez, uma vez que estes são, em termos práticos, semelhantes aos do sistema não amortecido. Nestas circunstâncias, admitindo esta hipótese é possível desacoplar o sistema de equações num conjunto de equações independentes. Introduzindo a Equação (3.3) na Equação (3.2) e multiplicando pelo termo , e também estabelecendo a condição de ortogonalidade entre os autovetores, se tem:

2 , 1, … , (3.5)

A Equação (3.5) é um sistema de n equações desacopladas onde o termo representa a taxa de amortecimento da estrutura. Uma estimação de é possível através da expressão,

2 2 (3.6)

Os coeficientes a e b obtêm-se da solução do sistema linear de Equações (3.7). A partir de dois pares de valores experimentais da taxa de amortecimento e da frequência natural da estrutura, tem-se:

2 1⁄

1⁄ (3.7)

Por outro lado, reescrevendo a Equação (3.5) na forma matricial tem-se,

(3.8) onde,

: matriz diagonal de elementos 2 . : matriz diagonal de elementos .

: coeficiente de participação modal.

O sistema de equações desacoplado representado pela Equação (3.8) pode ser resolvido através de integração numérica. Uma estimativa acurada da resposta do sistema é possível selecionando apenas os primeiros m modos de vibração ( ). O número de modos requeridos é selecionado segundo o acumulado da massa modal efetiva. Um critério de truncamento de modos bastante utilizado é considerar um percentual de massa acumulada de 90% na participação de massa modal.

A principal vantagem da análise modal está relacionada à redução do custo computacional frente a metodologias de integração direta as quais utilizam as matrizes globais do sistema descritas na Equação 3.2.

Para integrar o sistema de equações utilizando-se o método de Runge-Kutta, sendo necessário reescrever a Equação (3.8) em variáveis espaço-estado, portanto:

(3.9) Onde : Vetor de estado modal e:

0 0

(3.10) Estabelecendo condições iniciais (C.I), , o método de Runge-Kutta estima a variável de estado para a próxima iteração com um tamanho de passo no tempo

. Para definir as C.I em coordenadas modais utiliza-se a expressão:

(3.11)

onde e são o deslocamento e a velocidade inicial da estrutura em coordenadas físicas.

Um dos objetivos deste trabalho é validar a análise numérica através de testes experimentais, portanto uma análise no domínio da frequência (utilizando a transformada Fourier (FFT)) se torna relevante. Aplicando a FFT a todos os termos da Equação (3.8), obtém-se:

(3.12) Levando em consideração as propriedades da FFT, obtém-se uma nova equação matricial, que relaciona no domínio da frequência, a resposta com a excitação sísmica,

(3.13) onde,

: amplitude da resposta.

: amplitude da excitação.

: frequência da excitação.

√ 1: número complexo.

A solução da Equação (3.13) é uma função complexa no domínio da frequência. De forma simplificada esta expressão define-se como , onde a função de resposta em frequência determina-se:

(3.14) A expressão anterior é uma equação matricial onde representa a matriz identidade, o vetor de participação modal e finalmente o vetor cujas componentes denotam a função de resposta modal devido a uma excitação sísmica. Em condições de excitação n-dimensional, o fator de participação modal define-se na forma matricial e em conseqüência a função torna-se uma matriz.

…

…

…

(3.15)

Na Equação (3.15) cada componente define a amplitude modal i devido à excitação sísmica j. A resposta em coordenadas físicas obtém-se substituindo o valor do deslocamento modal q na Equação (3.3), sabendo que o deslocamento no domínio da frequência define-se , portanto a resposta dos deslocamentos expressa-se:

Φ (3.16)

O estabelecimento das relações anteriores entre a FRF e os parâmetros modais tem evidente importância na correlação de resultados obtidos nos testes de experimentação modal.