d dt
~
M (~r, t) = −∇ · [~vi(~r, t) ~M (~r, t)] + ~ω(~r, t) × ~M (~r, t), (3.3)
onde ~v ~M é uma matriz, ou tensor, com elementos (~v ~M )ij = viMj. Introduzindo js =
~v(~r, t) ~M (~r, t) e ~jω = ~ω(~r, t) × ~M (~r, t), que representam o movimento translacional e ro-
tacional do vetor clássico ~m, a equação 3.3 se transforma em:
d dt
~
M (~r, t) = −∇ · js(~r, t) + ~jω(~r, t) (3.4)
Esta é uma equação de continuidade, similar ao caso onde se considera um fluxo de carga ∂t∂ρe = −∇~je. Nesse caso, no lugar da densidade de carga ρe, há um vetor densidade de
momento magnético ~M ; em vez da densidade de corrente elétrica ~je, os vetores js e ~jω. Para
descrever um fluxo escalar, como um fluxo de carga elétrica, um vetor ~je(~r, t) é suficiente. No
entanto, para descrever um fluxo de uma quantidade vetorial, é necessário introduzir duas quantidades, pois o vetor pode executar movimento translacional e rotacional. Dessa forma, dois vetores velocidades, são usados, de maneira que a consequência é a necessidade das duas quantidades (js(~r, t) e ~jω(~r, t)) para descrever o fluxo vetorial.
No caso estacionário, para o caso do fluxo de carga, temos ∇~je = 0, ou seja, a
densidade de corrente é conservada. Por outro lado, para o fluxo de momento angular ∇js= ~jω, indicando que a densidade linear ~js não é conservada.
3.3
Efeito seebeck de spin
Neste trabalho, a geração de corrente de spin foi a partir da aplicação de um gradiente térmico na amostra magnética. Isso é conhecido como efeito Seebeck de spin (SSE: Spin Seebeck Effect ) [53]. Esse nome se deve ao fato do fenômeno em questão ser análogo, para o transporte de spin, ao efeito Seebeck tradicional que consiste na geração de voltagem elétrica entre dois contatos através de um metal submetida a um gradiente de temperatura. A descoberta desse efeito termoelétrico foi reportada à comunidade científica em 1821 por Thomas Johann Seebeck [54]. O coeficiente Seebeck, S = ∆V∆T, quantifica a eficiência na geração de voltagem causada pelo gradiente térmico.
3.3. EFEITO SEEBECK DE SPIN 27
No caso do SSE, o gradiente térmico gera uma “voltagem” de spin, que está associada a µ↑− µ↓, onde µ↑ e µ↓ são os potenciais eletroquímicos das populações de elétrons com spin-
up e spin-down, respectivamente. O efeito pode ser entendido considerando a existência de duas populações de elétrons (spin-up e spin-down) na presença de campo magnético. Quando a amostra é submetida ao gradiente térmico, ocorre um fluxo de spin diferente de zero.
Figura 3.5: Representação esquemática do experimento realizado por K. Uchida e colaboradores com a finalidade de verificar o SEE. Em (a), o desequilíbrio do potencial eletroquímico dependente de spim ao longo da amostra submetida ao gradiente ∇T . (b) e (c) mostram dois tipos de estruturas medidas realizadas. (d) indica os sentidos do campo magnético e do gradiente térmico, bem como da corrente de spin que surge nessa configuração [53].
A observação do SSE foi reportada à comunidade científica em outubro de 2008 por K. Uchida e colaboradores no artigo intitulado “Observation of the spin Seebeck effect” [53]. Na ocasião foi aplicado um gradiente térmico uniforme ∇T no plano de uma amostra de N i81F e19− P t sob ação de um campo magnético externo (ver figura 3.5). Em 3.5(a), a repre-
sentação da amostra onde é estabelecido o gradiente ∇T na direção x e o desbalanceamento na distribuição dos potenciais eletroquímicos µ↑ e µ↓ ao longo de x. A figura3.5(b)(c), ilustra
a medida da voltagem na borda fria e na borda quente, respectivamente. A voltagem é medida sobre uma camada de Pt em contato com o material ferromagnético, através de um meca- nismo que discutiremos posteriormente, que é o efeito Hall de spin inverso. Na figura3.5(d), a configuração de campo magnético externo, gradiente de temperatura e corrente de spin induzida.
3.3. EFEITO SEEBECK DE SPIN 28
Em 2009, K. Uchida e colaboradores propuseram um modelo fenomenológico para o SSE [55]. Dado um condutor, a corrente elétrica é conduzida pelo campo elétrico ~E = −∇φ, em que φ é o potencial elétrico, e pelo gradiente da densidade volumétrica de carga. Assim, a densidade de corrente é denotada por:
~jσ = σσE − eD~ σ∇nσ, (3.5)
onde σσ é a condutividade elétrica e σσE representa a contribuição fenomenológica do modelo~
de Drude; e é a carga do elétron e Dσ é o coeficiente de difusão. O subíndice σ pode ser ↑
para spin-up ou ↓ para spin-down, uma vez que são considerados os dois canais de condução. Usando ∇nσ = Nσ∇εσF (Nσ é a densidade de estados e εσF = µσ− eφ é a energia de Fermi) e
a relação de Einstein que é σσ = e2NσDσ, é possível reescrever a equação 3.5 como:
~jσ = −
σσ e
∇µσ, (3.6)
de onde ainda é possível obter uma relação em função do potencial eletroquímico:
∇µσ =
1 Nσ
∇nσ − e∇φ. (3.7)
Tomando esse resultado, realiza-se o tratamento algébrico adequado após a aplicação da equação da continuidade para correntes de carga e spin no regime estacionário, dadas por:
∇ · (j↑+ j↓) = 0 e ∇ · (j↑− j↓) = −e δn↑ τ↑↓ + eδn↓ τ↓↑ , (3.8)
onde τσσ8 é o tempo de espalhamento de um spin-σ em um spin-σ8. Dessa maneira, é possível
obter as equações: ∇2(σ ↑µ↑+ σ↓µ↓) = 0 (3.9) ∇2(µ ↑− µ↓) = 1 λ2(µ↑− µ↓). (3.10)
3.3. EFEITO SEEBECK DE SPIN 29
Esta última equação foi proposta por T. Valet e A. Fert [56]. λ é o comprimento de difusão de spin no material. É necessário que essa equação seja complementada de forma a descrever SSE, uma vez que o gradiente ∇T gera estados não estacionários que precisam ser levados em conta. Isto posto, é necessário expandir a equação 3.7 de tal modo que se expresse a dependência de µσ em relação à entropia do sistema. Detalhes podem vistos na
referência [55]. A equação obtida após a expansão é:
∇µσ = ∂µc σ ∂T nσ ∇T + ∂µ c σ ∂nσ T ∇nσ − e∇φ. (3.11) ∇µσ = ∂µc σ ∂T nσ ∇T + ∇¯µσ, (3.12)
onde ¯µσ é o potencial eletroquímico primeiramente obtido da equação de Valet-Fert. Neste
novo contexto, µσ = µcσ − eφ, onde µcσ é dependente da temperatura T e da densidade nσ.
Realizando uma integração, obtém-se:
µσ = ∂µc σ ∂T nσ (∇T )x + ¯µσ + C, (3.13)
onde C é uma constante de integração. Com alguns passos algébricos que serão omitidos, chega-se à equação de Valet-Fert [56] considerando os efeitos da entropia:
∇2(µ ↑− µ↓) = 1 λ2(µ↑− µ↓) − e λ2Ss(∇T )x. (3.14)
Ss é o coeficiente Seebeck de spin, que mede a eficiência na geração de corrente de spin
devido ao gradiente térmico, analogamente ao coeficiente Seebeck no efeito termoelétrico. Ss
é definido como: Ss ≡ 1 e "∂µc ↑ ∂T n↑ − ∂µc ↓ ∂T n↓ # . (3.15) A solução da equação 3.14 é: µ↑− µ↓ = eSs(∇T )x + Asinh x λ . (3.16)
3.3. EFEITO SEEBECK DE SPIN 30
Considere, por exemplo, um metal ferromagnético submetido a um gradiente de temperatura uniforme ao longo da direção x (-L/2<x<L/2), onde L é o comprimento do material (ver Figura 3.6). A = −eλ[Ss− (S↑− S↓)]∇T /cosh(L/2λ), a constante no segundo termo à direita
da igualdade, é encontrada mediante a aplicação das condições de contorno apropriadas, ou seja, fazendo a corrente de spin nula nas bordas da amostra. Esse material experimentará então uma voltagem de spin, µ↑− µ↓, e uma corrente de spin dadas por:
Figura 3.6: Representação da amostra de comprimento L submetida a um gradiente térmico uniforme.
µ↑− µ↓ = eSs(∇T )x − eλ[Ss− (S↑− S↓)] sinh(x/λ) cosh(L/2λ) ∇T (3.17) e ~js = σF 2 (1 − p 2 c)[Ss− (S↑− S↓)] 1 − sinh(x/λ) cosh(L/2λ) ∇T, (3.18)
onde σF ≡ σ↑ + σ↓. σσ denota a condutividade elétrica dependente do spin σ (o subíndice
σ =↑ ou ↓), pc≡ (σ↑− σ↓)/(σ↑+ σ↓). Quando se considera o comprimento do material muito
maior que o comprimento de difusão de spin, ou seja, L λ, o que é uma condição razoável experimentalmente, então as equações 3.17 e 3.18 se reduzem respectivamente a:
µ↑− µ↓ = eSs(∇T )x (3.19) e ~js= σF 2 (1 − p 2 c)[Ss− (S↑− S↓)]∇T. (3.20)
3.3. EFEITO SEEBECK DE SPIN 31
Ambas as equações incluem agora os efeitos da entropia no sistema devido ao gradiente térmico e constituem um modelo fenomenológico que consegue explicar os resultados expe- rimentais do SSE. A voltagem de spin (µ↑ − µ↓) (equação 3.19) para L λ, possui um
comportamento linear com relação a x. Outro ponto a ser observado é a possibilidade de transmissão de corrente de spin por distâncias muito superiores a λ.
Em 2010, K. Uchida e seus colaboradores reportaram a descoberta do SSE em um material ferrimagnético isolante [57]. O material isolante usado foi um filme monocristalino de LaY2F e5O12, um ferrimagneto que foi depositado sobre o substrato de Gd3Ga5O12 (111).
Depositou-se ainda uma camada de Pt, responsável pela conversão de corrente de spin em voltagem elétrica.
Quando submetido ao gradiente ∇T , o isolante ferrimagnético mostrou-se capaz de gerar voltagem de spin. Esse é um fato relevante, uma vez que amplia o alcance da caloritrônica de spin ao transporte de informação sem a necessidade de elétrons de condução. Um dos principais motivos de se ter interesse no uso de isolantes é que alguns efeitos geradores de voltagem inerentes aos condutores são suprimidos, o que permite isolar o SSE.
A Figura 3.7 detalha os resultados obtidos por K. Uchida na amostra descrita acima [57]. Em 3.7(a), na parte superior, a representação da amostra submetida simultaneamente a um campo magnético e à diferença de temperatura ∆T entre as bordas. Na parte inferior, medidas de voltagem elétrica em função de ∆T . Em 3.7(b), a voltagem vs campo magnético para diferentes gradientes de temperatura.
Ainda em 2010, K. Uchida et al. comunicaram a observação do SSE no sistema GGG/YIG/Pt (YIG: Yttrium iron garnet - Y3F e5O12) [58]. Dois meses depois observaram o
SSE nos materiais policristalinos (M n, Zn)F e2O4 [59]. A inovação ocorrida nesses trabalhos
é a configuração da medida. O gradiente ∇T foi aplicado na direção perpendicular ao plano da amostra, e portanto, paralela à direção da injeção de corrente de spin no material NM, justificando a identificação do fenômeno como efeito Seebeck de spin longitudinal (LSSE: Longitudinal spin Seebeck effect ). Essa geometria permite a aplicação de gradientes térmicos maiores e também amplia a possibilidade de diferentes designs de dispositivos baseados na caloritrônica de spin.
3.3. EFEITO SEEBECK DE SPIN 32
(a) (b)
Figura 3.7: Em (a), na parte superior, a configuração do sistema com as disposições do campo magnético e o gradiente ∇T estabelecidos no plano da amostra, e as posições das camadas de Pt, onde são medidas as voltagens. Na parte inferior, o comportamento da voltagem com relação ao gradiente térmico para uma dada magnitude do campo magnético. Em azul a voltagem medida na borda mais fria da amostra, em vermelho os resultados para a borda mais quente. (b) mostra o comportamento da voltagem com relação ao campo magnético, para vários gradientes térmicos. Novamente, em azul (vermelho) as medidas feitas na borda mais fria (quente) da amostra [57].
magnons, existindo modelos distintos para diferentes configurações geométricas. Parte dessa diferença reside no fato de na configuração transversal (TSSE), a camada NM não estar em contato direto com o banho térmico, enquanto na configuração longitudinal (LSSE) o filme NM é atravessado pelo fluxo de calor. Na Figura 3.8, estão as duas configurações usuais para medidas de SSE.
(a) (b)
Figura 3.8: Em (a), configuração longitudinal, onde a direção da injeção de ~Js é paralela ao gradiente ∇T . Em (b), a configuração transversal em que ~Jsé perpendicular a ∇T .
A injeção de spin pelo gradiente de temperatura pode ser explicada através do de- sequilíbrio térmico entre os magnons no ferromagneto isolante (FMI) e a densidade de spin dos elétrons de condução no metal não magnético. A excitação dos magnons no FMI injeta
3.3. EFEITO SEEBECK DE SPIN 33
corrente de spin na camada NM, enquanto a excitação térmica na densidade de spin dos elétrons de condução no metal NM injeta corrente de spin no FMI. A diferença entre as duas caracteriza o SSE. Esse mecanismo foi usado para explicar tanto o TSSE, apresentando relevante concordância com os resultados experimentais, quanto o LSSE. No entanto, sem uma clara correspondência entre o modelo e os experimentos [60, 61].
Mais recentemente, S. Rezende et al. [62], propuseram um modelo teórico que ex- plica o LSSE em uma bicamada FMI/NM, apresentando boa concordância com resultados experimentais. Esse modelo supõe a existência de um fluxo de magnons através da espessura da camada FMI com a necessidade da camada NM para dar continuidade ao fluxo. Nesse caso, a corrente de spin não fica restrita à interface FMI/NM, como no modelo anteriormente citado.
A corrente de spin é carregada por ondas de spins, ou magnons, com vetor de onda ~k e energia ~ωk bem definidos. Esse modelo faz uso do conceito de acumulação de magnon
(densidade de magnons fora do equilíbrio), que é definida como:
δnm = 1 (2π)3 Z d3k(nk− n0k), (3.21) onde n0
k é o número de magnons em equilíbrio térmico antes da excitação e nk é o número
de magnons com vetor de onda ~k no volume do material FMI. δnk = nk− n0k é o número de
magnons em excesso do equilíbrio.
A corrente de spin transportada por magnons em uma específica direção (direção z), Jsz pode ser escrita como [63, 64]:
~
Jsz = ~ (2π)3
Z
d3k~vk(nk− n0k), (3.22)
onde ~vké a velocidade do magnon. A partir da equação de transporte de Boltzman [63, 64, 56]
é possível calcular a distribuição de magnons sob a influência do gradiente ∇T .
nk− n0k= −τk~vk· ∇nk(~r), (3.23)
3.3. EFEITO SEEBECK DE SPIN 34 é possível chegar a ~Jz s = ~Js∇Tz + ~Jsδnz , onde ~ Js∇Tz = − ~ (2π)3 Z d3kτk ∂n0 k ∂T~vk(~vk· ∇T ) (3.24) é a componente originada pelo gradiente térmico e
~
Jsδnz = − ~ (2π)3
Z
d3kτk~vk(~vk· ∇δnk(~r)) (3.25)
é consequência da distribuição espacial da acumulação de magnons. A equação 3.24 pode ser reescrita como: ~ Jsz = −Ssz∇T, (3.26) onde Ssz = ~ T (2π)3 Z d3kτkv2k xex (ex− 1)2. (3.27)
Encontrando então o termo de acumulação de magnon δnm(~r), é possível obter uma
expressão para a corrente de spin no volume da camada FMI. A partir desse ponto, segue-se a aplicação das condições de contorno do sistema em questão e o cálculo da corrente de spin na interface FMI/NM, culminando no cálculo da voltagem elétrica gerada na camada NM.
Através desse tratamento, S. Rezende et al [62] obtiveram uma boa concordância entre os resultados numéricos do modelo com resultados experimentais. A Figura 3.9 mostra um gráfico da voltagem medida em uma bicamada YIG/Pt em função da temperatura T = Tb+ ∆T , onde Tb é a temperatura na base da amostra e ∆T é a diferença de temperatura
entre a base e a superfície da amostra. Os pontos são os resultado experimentais, enquanto a linha sólida é o resultado numérico referente ao modelo apresentado pelos autores [62].