Elementos lineares de concreto armado carregados transversal e

Na dedução da Equação Diferencial da Linha Elástica (Equação 2.37) estão embutidas uma série de hipóteses. As que entram em confronto com o comportamento de elementos de concreto armado carregados transversal e axialmente são as seguintes:

- o comportamento “tensão x deformação” do material é linear-elástico,

- a geometria da seção transversal do elemento é constante, não se alterando com o nível de esforços (o material não rompe),

- o esforço axial no elemento é nulo.

O concreto armado é um material de construção composto por concreto e aço.

RÜSCH (1981) destaca, entre outros, os seguintes motivos para o sucesso da utilização destes dois materiais em conjunto:

“1. A elevada resistência à compressão do concreto, unida à elevada resistência à tração do aço.

2. A ação conjunta do concreto e do aço, assegurada pelas propriedades de aderência destes materiais.”

Apesar desse bom trabalho em conjunto, o comportamento e as propriedades de rigidez e de resistência destes materiais são bastante distintas entre si. Além disso, o comportamento não linear do concreto, bem como sua resistência à tração muito inferior à resistência à compressão, tornam necessárias simplificações caso se deseje modelar o concreto armado como um material linear elástico único.

A seguir, nos subitens (a) e (b), analisam-se o comportamento e as propriedades do aço e do concreto em separado. No Item (c) descreve-se como são obtidas as relações entre os momentos fletores M e as curvaturas  em elementos lineares de concreto armado sob carregamento transversal e axial.

a) Comportamento e propriedades do aço para armaduras

As armaduras longitudinais das estacas do presente estudo são em aço CA-50. Na Figura 2.42 está apresentado o “diagrama tensão-deformação para aços de

armaduras passivas” indicado na norma brasileira ABNT NBR 6118:2003 para cálculo nos estados limites de serviço e último.

Figura 2.42 Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas (ABNT NBR 6118:2003)

Conforme se observa na figura, o comportamento tensão-deformação do aço pode ser aproximado como linear elástico perfeitamente plástico.

A norma indica, na ausência de ensaios ou de informações do fabricante, a utilização do módulo de elasticidade igual a 210GPa, tanto em tração quanto em compressão.

A tensão de escoamento característica fy,k do aço CA-50 é de 500MPa.

A variabilidade destas características de resistência e deformabilidade é muito pequena quando comparada à do concreto.

b) Comportamento do concreto simples sob compressão e sob tração

Dado um concreto com determinada composição, suas características de resistência e deformabilidade dependem de uma série de fatores, entre eles:

- a sua idade,

- o tipo de solicitação (compressão, tração, corte, e suas combinações), - o formato do elemento estrutural ou corpo de prova (efeito de forma), - a duração da solicitação (efeito de fluência),

- a variabilidade da solicitação, se estática ou alternada (efeito de fadiga).

Em geral, a única informação que se tem sobre o concreto de elementos estruturais é seu f_ck, sendo os parâmetros de deformabilidade estimados a partir dele.

O f_ck é definido como a resistência à compressão simples f_c abaixo da qual se situam apenas 5% dos corpos de prova ensaiados de um determinado concreto. Em termos probabilísticos, assume-se que a distribuição das resistências de um conjunto de corpos de prova de um concreto seja normal, podendo ser aproximada por uma curva de Gauss. Na Figura 2.43 estão apresentadas, de forma esquemática, duas distribuições normais diferentes com o mesmo valor de fck (quantil de 5% = fc,5%).

Figura 2.43 Duas distribuições normais de resistência à compressão do concreto com mesmo f_ck (resistência característica) e desvios padrão diferentes (RÜSCH, 1981)

Assumindo a distribuição normal dos valores de f_c, existe a seguinte relação:

s f

f

f_c,5%  _ck  _cm 1,64 (2.38)

onde:

f_cm é o valor médio dos valores de f_c, e s é o desvio padrão dos valores de fc.

RÜSCH (1981) apresenta valores típicos de desvio padrão s variando de 30 a 90kg/cm², com um valor de 70kg/cm² para concretos executados “com um controle normal e em condições normais”. Desta forma, dispondo-se do valor de f_ck, é possível estimar o fcm a partir da Equação 2.38 e da estimativa do desvio padrão s.

Quanto à resistência à tração, a NBR 6118:2003 indica que o seu valor médio fct,m

pode ser avaliado pela equação

3 / 2 ,_m 0,3 _ck

ct f

f   (2.39)

com as variáveis expressas em MPa.

Quanto ao comportamento tensão-deformação, RÜSCH (1981) destaca:

“A Teoria da Elasticidade, com as simplificações usuais na sua utilização, serve geralmente de base para o cálculo das tensões. Contudo, o concreto só se comporta elasticamente dentro de certos limites, e sofre deformações plásticas consideráveis, principalmente quando próximo à ruptura, que alteram a distribuição de tensões. Por este motivo, quando se tenta, por meio da teoria da elasticidade, deduzir as tensões de ruptura a partir da carga de ruptura determinada em ensaios, nem sempre se obtêm valores próximos da realidade”.

Para ilustrar o comentário acima, na Figura 2.44a está reproduzido o “diagrama tensão-deformação idealizado” do concreto sob compressão indicado na norma brasileira ABNT NBR 6118:2003 como uma das alternativas para análise no estado limite último.

(a) (b)

Figura 2.44 Diagramas tensão-deformação do concreto: (a) na compressão; (b) na tração (ABNT NBR 6118:2003)

Na Figura 2.44b está reproduzido da mesma norma o “diagrama tensão-deformação bilinear na tração” indicado para o concreto não fissurado.

Com base no exposto acima, conclui-se que ao se tentar modelar o concreto como linear elástico ou linear elástico perfeitamente plástico, é de se esperar uma variabilidade considerável dos parâmetros de deformabilidade e/ou resistência, devido tanto a questões de composição, idade etc., quanto ao próprio comportamento não linear do mesmo e variável conforme o tipo de solicitação.

A norma ABNT NBR 6118:2003 faz as seguintes considerações a respeito do módulo de elasticidade do concreto a ser utilizado em análises estruturais:

“Quando não forem feitos ensaios e não existirem dados mais precisos sobre o concreto usado na idade de 28d, pode-se estimar o valor do módulo de elasticidade usando a expressão:

2 /

5600_ck1

ci f

E 

onde Eci e fck são dados em megapascal.

...

O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto, especialmente para determinação de esforços solicitantes e verificação de estados limites de serviço, deve ser calculado pela expressão:

E_cs = 0,85 E_ci

Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal pode ser adotado um módulo de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao módulo de elasticidade secante (Ecs)”.

Segundo a mesma norma “para tensões de compressão menores que 0,5fc e tensões de tração menores que f_ct, o coeficiente de Poisson  pode ser tomado como igual a 0,2”.

c) Elementos lineares em concreto armado sob carregamento transversal e axial

Do que foi exposto acima, a aplicação da Equação Diferencial da Linha Elástica (Equação 2.37) a elementos lineares de concreto armado carregados transversal e axialmente esbarra fundamentalmente nas seguintes questões:

- Por o comportamento “tensão x deformação” do concreto não ser linear, a Lei de Hooke não se aplica (Equação 2.32) e, consequentemente, a distribuição de tensões normais x na seção não é linear com a profundidade da fibra como apresentado na Figura 2.40, o que invalida as deduções baseadas nesta hipótese.

- Devido à resistência à tração do concreto ser baixa em relação a sua resistência à compressão (cerca de 1/10), dependendo do esforço axial atuante na seção, facilmente a capacidade à tração é superada, o concreto passa a fissurar e a geometria da seção varia. Desta forma, ainda que o material fosse linear elástico, a Equação 2.37 não seria aplicável porque o momento de inércia Iz da seção variaria com o nível de esforço.

- A aplicação de esforço axial N no elemento faz com que a posição da LN varie com o valor de N, e também, consequentemente, o momento de inércia I_z, que é relativo à LN e não ao CG.

Desta forma, a Equação 2.37 só é válida para o concreto armado quando se tem níveis de solicitação suficientemente baixos para que o comportamento “tensão x deformação” do concreto possa ser considerado linear-elástico e a seção não apresente fissuração. Deve-se lembrar que o momento de inércia I_z é relativo à LN, e não ao CG.

Para solicitações maiores, é mais adequado fazer uso de relações “momento x curvatura” não lineares e dependentes do nível de esforço axial no concreto.

Utiliza-se no presente trabalho o tipo de relação “momento x curvatura” baseado nas recomendações da norma brasileira ABNT NBR 6118:2003, comumente utilizado para a análise estrutural de pilares em concreto armado. Utilizou-se o programa PCalc 1.4, desenvolvido por CARDOSO JÚNIOR (2014), para estimativa das relações “momento x curvatura” das estacas pré-moldadas estudadas.

Segundo CARDOSO JÚNIOR (2014), as hipóteses básicas no desenvolvimento destas relações são:

“- A seção permanece plana após a deformação, resultando em uma distribuição linear das deformações;

- Admite-se a aderência perfeita entre o concreto e o aço, com isso, as armaduras vão estar sujeitas a mesma deformação do concreto que as envolve;

- As tensões de tração no concreto são desprezadas.”

Com base nas hipóteses acima, e ao se admitir o “diagrama tensão-deformação idealizado” do concreto sob compressão indicado na NBR 6118 (Figura 2.44), a distribuição de tensões numa seção de concreto armado submetida à flexão composta oblíqua seria semelhante ao apresentado na Figura 2.45.

Figura 2.45 Seção de concreto armado submetida à flexão composta oblíqua (CARDOSO JÚNIOR, 2014)

Ao invés do diagrama da Figura 2.44a, o programa faz uso do diagrama retangular simplificado da Figura 2.46, que, de acordo com a NBR 6118, conduz a resultados próximos e aceitáveis.

Figura 2.46 Diagrama simplificado para concreto à compressão (CARDOSO JÚNIOR, 2014)

Para o aço utiliza-se o diagrama simplificado apresentado na Figura 2.42.

Quanto ao esgotamento da capacidade resistente da seção de concreto armado, de acordo com a NBR 6118 a condição de estado limite último é caracterizada quando a distribuição das deformações é dada por uma reta que passa por um dos pontos A, B ou C da Figura 2.47, podendo a ruptura ocorrer tanto pelo esmagamento plástico do concreto quanto pela deformação plástica excessiva da armadura.

Figura 2.47 Domínios de estado limite último de uma seção transversal (ABNT NBR 6118:2003)

O momento fletor correspondente ao esgotamento da capacidade da seção (momento de plastificação) em função do esforço axial nela aplicado costuma ser representado através das chamadas “Curvas de Iteração”. Na Figura 5.1 estão apresentadas as curvas de iteração correspondentes às estacas pré-moldadas ø50 e ø60cm estudadas no presente trabalho.

As curvas de iteração referem-se à ruptura. Já a relação entre momento e curvatura antes do esgotamento da capacidade da seção, para um dado esforço axial N, é obtida fazendo variar a curvatura  da seção, e calculando o momento M correspondente através de equações de equilíbrio de momentos e esforços axiais semelhantes às Equações 2.33 e 2.34, levando em consideração as hipóteses apresentadas até aqui. Nas Figuras 5.2 e 5.3 estão apresentadas estas relações para as estacas pré-moldadas ø50 e ø60cm estudadas no presente trabalho.