Neste capítulo, na Seção 5.1 buscamos evidenciar o lugar ocupado pela geometria no currículo escolar tendo como referência pesquisadores na área de Educação Matemática. Ainda, evidenci- aremos as possibilidades do ensino de geometria a partir da exploração-investigação matemática. Posteriormente, na Seção 5.2, discutimos as possibilidades de trabalho e entendimento do campo da geometria voltado para a Educação Infantil, especificamente à faixa etária de seis anos.
5.1
O lugar no currículo
O ensino de geometria tradicionalmente não tem a mesma ênfase no campo da matemática como a aritmética, por exemplo. Muitos autores (PAVANELLO, 1993; LORENZATO, 1995; NA- CARATO, 2000; PASSOS, 2005) têm alertado para o seu esquecimento, o que parece não ser exclu- sividade da realidade brasileira.
Os pesquisadores portugueses Veloso e Ponte (1999, p. 1–2) afirmam que a geometria ocupa espaço central nas preocupações educativas e que mesmo depois da última reforma curricular, o espaço da geometria “consistiu numa justaposição de tópicos tradicionais com muito pouco de ino- vador”, havendo inclusive divergências em relação aos tópicos que devem ser incluídos, apesar da valorização quanto ao aspecto metodológico, em relação à experimentação e dedução. Estes pesqui- sadores atribuem este fato principalmente devido à maioria dos professores de Matemática daquele país pertencerem à uma geração que, enquanto alunos, “tiveram a vida escolar caracterizada por grande recessão no ensino da geometria” (VELOSO; PONTE, 1999, p. 2).
A pesquisadora Gálvez (1996, p. 249-250), ao investigar quais temas de geometria estavam incluídos nos programas oficiais para a escola primária mexicana a partir de textos e programas, avaliou que “não se ensinava Geometria” de forma a contribuir para o desenvolvimento dos alunos no que diz respeito ao domínio de suas relações com o espaço, mas que o ensino da Geometria se reduzia ao conhecimento de uma “coleção de objetos” definidos como se fossem parte de “um saber cultural” dos alunos em oposição ao saber funcional. Esta autora esclarece que o saber cultural é
entendido como a possibilidade de se expôr o que se sabe, porém este saber não pode ser recorrido com a finalidade de se resolver um problema, o que é próprio do saber funcional.
Educadores matemáticos brasileiros também creditam o abandono do ensino da geometria no currículo escolar ao Movimento da Matemática Moderna e acrescentam ainda o despreparo do professor com relação aos conteúdos geométricos e seu desenvolvimento (NACARATO; PASSOS, 2003).
No Brasil, enfaticamente na década de 90, temos pesquisas que demonstram e discutem a posi- ção e o abandono da geometria na Educação Básica. Destas pesquisas, destacamos Pavanello (1993) que afirma o abandono principalmente depois da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional de 1972 (Lei no 5692/71). De acordo com a autora, essa lei permitia ao professor liberdade sobre
os programas das disciplinas. A autora analisa o desenvolvimento do ensino e da geometria no sé- culo XX à luz das mudanças sociais, políticas e econômicas da sociedade brasileira que ecoaram na educação brasileira daquele período bem como a influência de idéias pedagógicas francesas e americanas.
Pavanello (1993) faz um retrospecto do ensino da Matemática desde o início do século XX, onde ele tinha um caráter utilitarista em uma sociedade com o predomínio de analfabetos, com o ensino secundário, elitista, geralmente privado, cuja finalidade era para o acesso ao ensino superior. Os professores neste período eram profissionais liberais ou tinham uma formação autodidata. De acordo com esta pesquisadora, o aumento do interesse pela difusão da escola primária deu-se com o objetivo de atender aos interesses eleitoreiros, uma vez que aos analfabetos não era permitido o voto. Isto acarretou a divulgação de obras com caráter metodológico e psicológico na década de 20. Posteriormente, na década de 30, com a reestruturação do ensino superior, a criação do Minis- tério da Educação e Saúde, o Manifesto dos Pioneiros da Escola Nova, a criação das Universidades de São Paulo e do Rio de Janeiro e a Reforma Francisco Campos, a matemática que era dividida em suas áreas (álgebra, aritmética, geometria e trigonometria), sem integração nem vínculos, passa a ser Matemática, ministrada por apenas um professor. Procurava-se no campo da geometria iniciar pelas explorações intuitivas (PAVANELLO, 1993).
Na década de 40, com a necessidade de qualificação do trabalhador urbano, o ensino secundário passou a ser visto com um modo de ascensão social por algumas camadas sociais. Nesta década, o curso ginasial foi reduzido em um ano, passando para 4 e o secundário, de 2 para de 3 anos e é dividido em clássico e científico. A geometria é tratada de forma intuitiva nas duas primeiras séries do ginasial e nas duas últimas, de maneira dedutiva. Ela consta de todas as séries do secundário. O programa de matemática foi considerado muito longo em virtude do tempo para sua execução e meramente formal (PAVANELLO, 1993). Miguel, Fiorentini e Miorim (1992) complementam que a
geometria presente neste período anterior ao Movimento da Matemática Moderna (que ocorreria na década de 60), tinha seu ensino marcado pela forma rigorosa e quase sempre axiomático-dedutiva e inspirava-se nos Elementos de Euclides, apesar de já se denotar preocupação de alguns autores de livros didáticos em torna-lá com estilo mais ameno.
Segundo Pavanello (1993), os anos que se seguem trazem modificações não destacáveis. Em 1951, ocorre a elaboração de novos programas, adequando-os ao tempo disponível para sua execu- ção, o que foi feito pelo Colégio Pedro II, no Rio de Janeiro. A geometria, neste caso, não consta na segunda série do ginásio e concentra-se no primeiro ano do secundário, reservada à etapa final. Nas séries do ginasial, mantém-se o ensino quase que exclusivamente prático e indutivo, mesmo com a introdução da dedução, das justificações, provas e demonstrações ainda neste nível. De acordo com a autora, o término da década de 50 é marcado pela falta de professores devido à expansão da escola. O Movimento da Matemática Moderna, na década de 60, tem influência significativa no ensino da geometria que passa a utilizar a linguagem da teoria dos conjuntos e desta maneira passa a figurar nos livros didáticos (PAVANELLO, 1993) . Esta pesquisadora afirma que “não existe qualquer preocupação com a construção de uma sistematização a partir das noções primitivas e empiricamente elaboradas” (p. 13).
Em síntese, Miguel, Fiorentini e Miorim (1992, p. 48) reafirmam que
com o movimento modernista, os conteúdos geométricos deixam de ser vistos como potencialmente ricos quer pelo seu valor cultural quer pela sua capacidade instrín- seca de possibilitar a percepção, organização e sistematização da experiência espa- cial dos estudantes (. . . ) mas passam a desempenhar papel de meios, úteis mas não indispensáveis para a construção e desenvolvimento das estruturas mentais básicas da inteligência.
Miorim (1998, p. 114), em relação à organização da Matemática moderna, afirma que esta
baseava-se na teoria dos conjuntos, nas estruturas matemáticas e na lógica matemá- tica. Esses três elementos foram responsáveis pela “unificação” dos campos ma- temáticos, um dos maiores objetivos do movimento. Para isso enfatizou-se o uso de uma linguagem matemática precisa e de justificações matemáticas rigorosas. Os alunos não precisariam “saber fazer”, mas, sim, “saber justificar” por que faziam. A teoria dos conjuntos, as propriedades estruturais dos conjuntos, as relações e fun- ções, tornaram-se temas básicos para o desenvolvimento dessa proposta.
Em acréscimo, na década de 60, o caráter utilitário e instrumental da matemática e da geometria são preconizados pelas Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (Lei no 4024/61). Ocorre
também a exigência da abordagem das transformações no ensino da geometria, assunto esse que muitos professores não dominavam e passaram a não ensinar a geometria nem de uma forma nem de outra (PAVANELLO, 1993).
O movimento modernista teve forte penetração na prática pedagógica (MIORIM, 1998) porém Miguel, Fiorentini e Miorim (1992) salientam o caráter difuso e diversificado desse movimento que pelas influências americana, que enfatizava aplicações e abordagem mais intuitiva, e francesa, com ênfase no rigor e na dedução, adquiriu um caráter eclético, além de influência de forças internas como o tecnicismo, conforme referencia estes pesquisadores a Beatriz D’Ambrósio (1988). Este caráter não unificado também prevaleceu nos livros didáticos, onde cada autor(es) apresentava sua leitura dos aspectos teóricos da Matemática Moderna considerando ainda, suas experiências pedagógicas (MIORIM, 2005).
Em 1971, a nova Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (Lei no5692/71) concede au-
tonomia aos professores para elaborarem os programas de acordo com os seus alunos. Desta forma, muitos professores das quatro primeiras séries do primeiro grau (atual séries iniciais do Ensino Fun- damental) passam a excluir a geometria, focando apenas na aritmética e noções de conjuntos. O ensino de geometria acaba ficando para o segundo grau, mas nem sempre acontecia (PAVANELLO, 1993). No ensino superior, a autora afirma que a introdução das Licenciaturas Curtas que também não davam condições referentes aos conteúdos para os futuros professores, mesmo para aqueles que complementavam seus estudos nas habilitações posteriores. Além disso, houve um aumento do número de alunos em sala de aula com o rebaixamento salarial dos professores e a conseqüente procura pelo aumento da carga horária de trabalho. Essa pesquisadora afirma que a dualidade passa a ser “ ‘escola onde se ensina a geometria’ (escola da elite) x ‘escola onde não se ensina a geometria’ (escola do povo)” (p. 15); sendo as primeiras as privadas e as segundas, as públicas.
Ao analisarem a tendência atual do ensino da álgebra e da geometria no Brasil, Miguel, Fioren- tini e Miorim (1992, p. 50) à epoca de seu artigo, afirmam que o
“retorno” à Geometria não consiste nem na retomada pura e simples da Geometria euclidiana, na sua abordagem clássica, nem na reafirmação do papel que ela desem- penha no currículo escolar dos períodos anteriores; mantém-se sobretudo, conceitos e propriedades fundamentais próprios da Geometria euclidiana numa abordagem inicial que privilegia os aspectos intuitivos e experimentais, aproximando-se, gra- dativamente, para deduções locais daquelas proposições mais fundamentais. Além, disso, a Geometria tende a desempenhar, cada vez com mais freqüência, um papel subsidiário na construção de conceitos e na visualização de propriedades aritméticas e algébricas.
O ensino de geometria que privilegia aspectos intuitivos num primeiro momento é evidente na Proposta Curricular para o Ensino de Matemática (SãO PAULO (ESTADO), 1988) destinada ao 1o grau (atual Ensino Fundamental) do Estado de São Paulo. Este documento, ao referir-se aos
conteúdos e sua abordagem, declara que:
Pode-se estudar geometria tendo como meta primordialmente a aprendizagem da lógica, da organização do conhecimento, partindo-se de pontos, retas e planos para
somente ao final do percurso tratar de objetos tridimensionais. Pode-se ainda consi- derar o eixo para o ensino da geometria o estudo de certas classes de transformações e das propriedades que elas preservam, desde as mais gerais que são as topológicas até as mais específicas que são as métricas, passando pelas propriedades projeti- vas. Ou pode-se partir da manipulação dos objetos, do reconhecimento das formas mais freqüentes, de sua caracterização através das propriedades, da passagem dos relacionamentos entre objetos para o encadeamento de propriedades, para somente ao final do percurso aproximar-se a uma sistematização. Aqui a opção pelo último percurso citado se evidencia desde os primeiros contatos. (p. 11)
Deste modo entendemos que este documento do final da década de 80, indica que abordagem da geometria no ensino não seja a euclidiana, tampouco uma abordagem que tenha ênfase nas trans- formações, mas que valoriza o caráter intuitivo, como premissa para se chegar à caracterização dos objetos e às suas propriedades, para finalmente, em última etapa, buscar-se uma sistematização.
E, este caráter intuitivo permanece nas orientações atuais (BRASIL, 1997), cujo enfoque é vol- tado para a exploração de objetos do mundo físico, de obras de arte, que permitam a conexão da matemática com as outras áreas do conhecimento. Nesta obra, a geometria é entendida como um meio pelo qual o indivíduo desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite descrever, compreender e representar, organizadamente o mundo em que vive. Salienta-se ainda que as noções geométricas contribuem para a aprendizagem de números e medidas pelo estímulo a observação, à percepção de semelhanças e diferenças e à identificação de regularidades.
Outras pesquisas também alertam para o descuido e a ausência do ensino da geometria no cur- rículo da educação básica. Destacamos Lorenzato (1995) que relaciona a ausência do ensino da geometria a duas principais causas: a primeira é a falta de conhecimentos geométricos do professor necessários à prática pedagógica e, a segunda, refere-se à forte influência do livro didático, que à época de seu artigo não apresentavam a geometria ligada à realidade nem com conexões na própria matemática, mas restrita a fórmulas, definições e propriedades.
Não apenas na década de 90, mas na década subseqüente, os autores convergem na afirmação do descuido quanto ao ensino de geometria na Educação Básica e ao desconhecimento do professor quanto aos conteúdos geométricos. Isto vai ao encontro de nossas preocupações e os testemunhos de nossa experiência docente.
Nacarato (2000), em sua tese de doutorado, cuja opção metodológica foi a pesquisa-ação, ques- tionou quais saberes curriculares, reflexões e conflitos são produzidos por um grupo de cinco pro- fessoras de primeira e segunda séries do Ensino Fundamental envolvidas num processo simultâneo de aprender Geometria e de tentar ensiná-la. Em tal trabalho a autora afirma a não-valorização do ensino da Geometria em duas professoras participantes e a insegurança revelada pelas demais. Considerou a prática pedagógica das professoras como o ponto de partida e o ponto de chegada do
processo reflexivo ao qual a formação continuada foi concebida, possibilitando uma ressignificação da educação continuada pela pesquisadora e uma ressignificação dos conceitos geométricos pelas professoras.
Curi (2004, p. 52), ao analisar os cursos de formação de professores polivalentes no Brasil, referindo-se a Tanuri (2000), afirma que, desde a criação do Curso Normal até a sua extinção por força da LDBEN 5692/71, os conteúdos matemáticos que deveriam ser ensinados aos estudantes no curso de formação para professores eram: “as quatro operações fundamentais com números natu- rais e racionais na forma fracionária, algumas noções de medidas, de proporcionalidade, incluindo porcentagem, regra de três e juros”, sendo muito próximos do que era ensinado no curso primário, atual primeiras séries do Ensino Fundamental, campo de trabalho do professor polivalente. Desta forma, percebe-se que a formação tinha em seu currículo os conteúdos matemáticos semelhantes àqueles que o professor utilizaria em suas aulas. Percebemos também que a geometria não é citada nos referidos conteúdo citados, o que indica que tanto a formação quanto o ensino não teriam pre- ocupações com esta área da matemática. A geometria aparece na formação profissional juntamente com a trigonometria, no segundo ano do Curso Normal (CURI, 2004, p. 53).
Veloso (1999, p. 18) considera que os principais traços negativos do ensino tradicional ainda são dominantes. Para o autor “a situação atual é desastrosa”. A geometria quando presente muitas vezes fica em uma “posição isolada, de verdadeiro gueto [. . . ] onde existe a matemática e. . . a geometria! [. . . ] a geometria como ‘ilustração’ ou a geometria como ‘pretexto” ’(p. 20). Um outro aspecto indicado pelo autor como ‘mau-hábito’ é considerar uma ordem supostamente lógica para apresentar os objetos geométricos, passando do simples para o complexo; partindo-se do ponto para a reta, depois passando pelas figuras planas e por fim, do plano para o espaço. Desta forma, a geometria, quando presente no ensino parece ser exclusivamente euclidiana, com caráter axiomático, onde os conhecimentos são vistos de forma hieráquica.
Para muitos alunos, a geometria não passa disso: pontos, retas, posições relativas das retas, ângulos, tipos de ângulos, triângulos, quadriláteros, tipos de quadriláteros, planos, posições relativas de planos, e assim por diante. . . [. . . ] a experiência mostra que quando os programas têm por base e estrutura essa “pequena geometria” aca- bam por tomar como objetivo a aprendizagem desses nomes, desses fatos e dessas técnicas instrumentais (coordenadas e vetores), quedando-se por aí. E como esses nomes, fatos e técnicas não têm significados em si mesmos, nenhuma geometria é realmente aprendida (VELOSO, 1999, p. 31).
Segundo Passos (2005), para muitos professores que ensinam matemática nos primeiros ciclos do Ensino Fundamental (professor polivalente) “ainda não está claro qual a importância do ensino da geometria ou mesmo quais conteúdos devem ser selecionados. As dúvidas também são apontadas quanto à metodologia que deve ser utilizada e à avaliação dos alunos.” (p. 30).
Em contrapartida à posição dada à geometria nos currículos, Abrantes (1999, p. 53), referindo-se a Freudenthal (1973), afirma que a geometria deve estar essencialmente relacionada à compreensão do espaço pela criança, para aí viver, relacionar-se, conquistar, explorar. Enfatiza, então, a ligação da geometria com as tarefas exploratório-investigativas:
Fazendo apelo à intuição e à visualização e recorrendo, com naturalidade, à manipu- lação de materiais, a geometria torna-se, talvez mais do que qualquer outro domínio da Matemática, especialmente propícia a um ensino fortemente baseado na reali- zação de descobertas e na resolução de problemas, desde os níveis escolares mais elementares. Na geometria, há um imenso campo para a escolha de tarefas de natu- reza exploratória e investigativa, que podem ser desenvolvidas na sala de aula, sem necessidade de um grande número de pré-requisitos e evitando, sem grande dificul- dade, uma visão da matemática centrada na execução de algoritmos e em “receitas” para resolver exercícios-tipo.
A valorização da geometria no currículo é indicada por muitos argumentos: a grande variedade de objetos e situações e sua ligação com situações da realidade; o envolvimento com problemas de diversos tipos, quer com a própria geometria ou com outros domínio da matemática; é possível através de atividades investigativas usar aspectos essenciais da natureza da matemática bem como de aspectos da história da matemática e sua evolução, em qualquer nível de escolaridade ou desen- volvimento (ABRANTES, 1999).
Neste sentido, a geometria é entendida como um campo que privilegia a valorização de desco- bertas. De acordo com Veloso (1999, p. 31)
Há, portanto que inventar uma nova abordagem do ensino da geometria. Tomando como premissa que os dois pilares em que assenta a aprendizagem da matemática são a experiência matemática e a reflexão sobre essa experiência, e aceitando, de acordo com essa premissa, que devem ser valorizadas as atividades de exploração e de investigação na sala de aula.
Nesta linha de pensamento, o autor afirma que a dedução não deve estar presente apenas nos últimos anos da escolaridade e nem a intuição ser reservada para apenas os primeiros, ambas devem estar presente ao longo de toda a escolaridade, considerando a maturidade matemática do aluno.
Abrantes (1999, p. 53) também indica os aspectos da investigação matemática pertinentes à na- tureza da própria matemática: “formular e resolver problemas, fazer conjecturas, testá-las, validá-las ou refutá-las, procurar generalizações, comunicar descobertas e justificações, tornam-se processos naturais”. Estes processos têm incidido em um envolvimento significativo, autônomo e ativo dos alunos.
Acreditamos nessa perspectiva de ensino da geometria a partir da exploração-investigação mate- mática, onde a exploração, a descoberta, a sistematização e a socialização dos resultados são proces- sos que podem estar em qualquer nível de escolaridade. Sendo possível desta forma a aproximação
entre a geometria, do espaço que o indivíduo percebe e manipula ao espaço que é representado na mente das pessoas.
A perspectiva do ensino da geometria com caráter exploratório-investigativo é coerente com a necessidade da formação matemática para todos os alunos. De acordo com Veloso (1999, p. 18):
a formação matemática — para todos os alunos — terá como finalidade a com- preensão da natureza da Matemática. Essa compreensão atinge-se através de uma experiência matemática intensa e variada, e da reflexão sobre essa experiência. Essa experiência e reflexão devem incidir nomeadamente sobre (a) a história da matemá- tica; (b) os seus processos próprios de desenvolvimento — modelação matemática, procura de invariantes, descoberta de conexões dentro da matemática e utilização da analogia, generalização e abstração; (c) as suas caraterísticas como ciência — o pa- pel da intuição e da dedução em matemática, a importância e caráter das definições e da demonstração, e a estrutura axiomática.
Tendo como referência os autores estudados, acreditamos que há um longo percurso, porém urgente e necessário, no sentido de se garantir ações que possam proporcionar momentos de aprender e ensinar geometria tanto para os alunos da educação básica quanto para os professores.
Até o presente momento, esta seção esteve voltada aos movimentos históricos no ensino de ma- temática que de certa maneira deram lugar ou facilitaram o abandono do ensino da geometria. Tam-