, então a variância heterocedástica dada anteriormente é maior que a

homocedástica, que nesse caso subestimará a heterocedástica levando a estatísticas t e F inflacionadas. Não podemos tirar conclusões gerais porque o resultado se baseia num tipo específico de heterocedasticidade.

11.10 Conforme os Apêndices 3A.3 e 6A.1, temos que

2 2 2 2

var( )

ˆ

var(

)

(

)

i i i

X

u

X

β

=∑

∑

.

Dado que 2 2, obtemos

var( )u

_i

=σ

X

_i 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2

ˆ

var(

)

(

)

(

)

i i i i i

X

X

X

X

X

σ

σ

β

=∑

=

∑

∑

∑

. Problemas

11.11 Os resultados da regressão já foram dados em (11.5.3). Se a produtividade

média subir um dólar, a remuneração média aumenta cerca de 23 centavos.

(a) Os resíduos da regressão são: -775,6579; -205,0481; 165,8512; 183,9356; 199,3785; 54,6657; 112,8410; 150,6239; 113,4100.

(b) Essa verificação é simples e direta. (c) Os resultados das regressões são:

ˆ

_i

u

= 407,3455 – 0,0203Xi t = (0,6433) (-0,3013) r² = 0,0128

ˆ

_i

u

= 575,2976 – 3,7097

X

_i t = (0,4479) (-0,2787) r² = 0,0109

Esses resultados mostram que, com base nos testes de Glejser, os indícios de heterocedasticidade são pequenos.

(d) Se classificarmos os valores absolutos dos resíduos e os números da produtividade média em ordem ascendente e calcularmos o coeficiente de correlação por ordem de Spearman conforme (11.5.5), observaremos que vale -0,5167. Aplicando a fórmula t dada em (11.5.6), obtemos t = -0,8562, que não é estatisticamente significativo, pois seu valor crítico absoluto no nível de 5% com 7 gl é 2,447. Portanto, com base no teste de correlação por ordem, não há motivos para esperarmos heterocedasticidade. Em suma, todos os testes anteriores sugerem que não há o problema da heterocedasticidade.

11.12 (a) e (b)

VERTICAL = VMÉDIO

HORIZONTAL = DESVIO PADRÃO VMÉDIO (c) Seguem os resultados da regressão:

ˆ

i

EP

= 0,9910 – 0,0650VMÉDIOi

t = (0,3756) (-0,1795) r² = 0,0064.

Não há relação sistemática entre as duas variáveis porque o coeficiente angular não é estatisticamente diferente de zero, o que pode ser visto pelo gráfico em (a).

(d) Não há necessidade de transformação nenhuma, pois não existe relação sistemática entre a média da razão vendas/dinheiro em caixa e seu desvio-padrão nos vários níveis de ativos.

11.13 Aplicando o teste de Bartlett,

χ

2_{é 6,6473, cujo valor p é 0,5748. Não} rejeitamos, portanto, a hipótese nula de que as variâncias são iguais.

11.14 Aplicando a Fórmula (11.3.8) para mínimos quadrados ponderados, podemos

demonstrar que * 1 2

1

ˆ

₍₂

₎

3

Y

Y

β

=

−

e

_ˆ

*

2

var(

)

3

2

β

=

σ

. Se usarmos MQO, obtemos então

da Equação (6.1.6) o seguinte: 1 2 1 2 2

1

ˆ

₍

2

2

i i i

X Y

Y

Y

Y

Y

X

β

=

∑

=

−

=

− )

∑

. E aplicando (6.1.7), temos que 2 2 2

1

ˆ

var( )

2

i

X

σ

β

=

=

σ

∑

.

Comparando as duas estimativas, vemos que a de mínimos quadrados ponderados atribui peso de 2/3 a Y1 e 1/3 a Y2, ao passo que a de MQO atribui igual peso às duas

observações Y. A variância do estimador do coeficiente angular é maior em MQP do que em MQO.

11.15 (a) Os resultados da regressão são os seguintes:

ˆ

i

MPG

= 189,9597 – 1,2716VMi + 0,3904HPi – 1,9032PVi

ep = (22,5287) (0,2331) (0,0762) (0,1855)

t = (8,4318) (-5,4551) (5,1207) (-10,2593) R² = 0,8828.

Conforme as expectativas, MPG é positivamente relacionada a HP e negativamente a

VM e PV.

(b) A priori, é de se esperar heterocedasticidade porque são dados em corte transversal abrangendo veículos diversos.

(c) Regressando os quadrados dos resíduos do modelo em (a) contra os três regressores, seus quadrados e seus produtos cruzados, obtemos um R² de 0,3094, que multiplicado pelo número de observações (81), dará 25,0646, valor com distribuição qui-quadrado com 9 gl (3 regressores, 3 quadrados de regressores e 3 produtos cruzados) sob a hipótese nula de que não há heterocedasticidade. O valor p de se obter um valor qui-quadrado de 25,0646 ou maior é, sob essa hipótese, 0,0029, que é muito pequeno. Temos, portanto, de rejeitar a hipótese nula, ou seja, há heterocedasticidade.

(d) Os resultados baseados nos procedimentos de White são os seguintes:

Variável dependente: MPG Método: Mínimos quadrados Amostra: 1 81

Observações incluídas: 81

Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade

C 189,9597 33,90605 5,602531 0,0000 VM -1,271697 0,336039 -3,784375 0,0003 HP 0,390433 0,108781 3,589180 0,0006 PV -1,903273 0,285077 -6,676352 0,0000 R-quadrado 0,882864 Durbin-Watson 1,0237

Comparando esses resultados com os obtidos com MQO, descobriremos que os valores dos coeficientes estimados são iguais, mas suas variâncias e erros-padrão são diferentes. Estes, como vemos, são mais altos nos procedimentos de White porque os |t| são menores, indicando que os erros-padrão estão subestimados nos resultados obtidos com MQO. Tudo isso pode ser atribuível à heterocedasticidade.

(e) Não existe uma fórmula simples para determinar a natureza exata da heterocedasticidade neste caso. Podemos, talvez, partir de alguns pressupostos

simples e tentar diferentes transformações. Se, por exemplo, acharmos que a variável “culpada” é HP e que a variância do erro é proporcional a HP², podemos dividir a equação por HP e ver o que acontece. Naturalmente, qualquer outro regressor é um candidato tão bom quanto esse para a transformação.

11.16 Seguem os resultados da regressão:

Variável dependente: DESPALIM

Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade

C 94,20878 50,85635 1,852449 0,0695

DESPTOT 0,436809 0,078323 5,577047 0,0000

R-quadrado 0,369824 O gráfico dos resíduos dessa regressão é:

EIXO VERTICAL = R1 HORIZONTAL = DESPTOT

Ao que tudo indica, conforme crescem as despesas totais, também crescem – talvez de forma não-linear – os valores absolutos dos resíduos.

(c) Segue o teste de Park:

Variável dependente: LOG(RESQ)

Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade

C -16,86288 10,00140 -1,686053 0,0977

LOG(DESPTOT) 3,703235 1,551873 2,386300 0,0206 R-quadrado 0,097018

Esse teste confirma a heterocedasticidade, pois o coeficiente angular é significativo. Agora, o teste de Glejser:

Variável dependente:

uˆ

_i Valor absoluto dos resíduos

Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade

C -32,21965 29,48998 -1,092563 0,2795

DESPTOT 0,130709 0,045417 2,877997 0,0058

R-quadrado 0,135158

Como o coeficiente angular estimado é estatisticamente significativo, esse teste também sugere homocedasticidade.

Finalmente, o teste de White: Variável dependente: 2

ˆ

_i

u

Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade

C 13044,00 21156,58 0,616546 0,5402

DESPTOT -53,12260 71,48347 -0,743145 0,4607

DESPTOT QUADRADO 0,059795 0,058860 1,015887 0,3144 R-quadrado 0,134082

Se a hipótese nula é de que não há heterocedasticidade, e multiplicarmos o R- quadrado por 55, o produto resultante de 7,3745 segue a distribuição qui-quadrado com gl 2, e o valor p de tal distribuição é pequeno e aproximadamente igual a 0,025. Portanto, assim como os testes de Park e Glejser, o de White também indica heterocedasticidade.

(d) O resultados para heterocedasticidade corrigida de White são os seguintes:

Variável dependente: DESPALIM

Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade

C 94,20878 43,26305 2,177581 0,0339

DESPTOT 0,436809 0,074254 5,882597 0,0000

Comparados com os resultados da regressão MQO dados em (a), não há nestes muita diferença no erro-padrão do coeficiente angular, embora o do intercepto tenha diminuído. É difícil afirmar se vale ou não a pena preocuparmo-nos com essa diferença de resultados entre o método MQO os procedimentos de White, mas sua magnitude só pode ser avaliada se fizermos as regressões e as compararmos.

11.17 Seguem os resultados da regressão:

Variável dependente: LOG(DESPALIM)

Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística-t Probabilidade

C 1,154332 0,777959 1,483795 0,1438

LOG(DESPTOT) 0,736326 0,120713 6,099834 0,0000 R-quadrado 0,412469

Os testes de Park, Glejser e White aplicados aos resíduos obtidos pela regressão duplo- log não mostraram sinais de heterocedasticidade.

Este exemplo mostra que a transformação logarítmica pode amiúde reduzir a heterocedasticidade. Por isso, a forma funcional do modelo de regressão pode ser fator crítico para decidir se há ou não heterocedasticidade.

11.18 Primeiro, foram obtidos os quadrados dos resíduos da regressão de despesas

com alimentação contra despesas totais, e denominados 2

1

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