A partir da Equação (.5), sabemos que:

2 2 2 12 13 12 13 3 2 23

2

1

r

r

r r r

R

r

+

−

=

−

. Portanto, quando r23 = 0, isto é, não há correlação entre X2 e X3, 2 122 13

2

R

=r

+r

, ou seja, o

coeficiente de determinação múltiplo é a soma dos coeficientes de determinação na regressão de Y contra X2 e na de Y contra X3.

7.12 (a) Reescreva o modelo B como: * 1

(1

2

)

2 3 3 1 2 2 3 3 i t t t t

Y

=β

+ +β

X

+β

X

+ =u

β β+

X

+β

X

t

+u

t, em que 2 * 2

(1

)

β

= +β

. Os dois modelos são, portanto, similares. Sim, os interceptos nos modelos são iguais.

(b) As estimativas de MQO do coeficiente angular de X3 serão iguais nos dois modelos. (c) *

2

(1

2

)

2

β

= +β

=α

.

(d) Não, porque os regressandos são diferentes nos dois modelos.

7.13 (a) Aplicando MQO, obtemos: 2 2 2 2 2 2 2

(

)( )

(

)

ˆ

ˆ

i i i i i i i i

1

i i i i

y x

x

z

x

x

z x

x

x

x

x

α

=∑

=

∑

−

=∑

−∑

= −β

∑

∑

∑

∑

.

Ou seja, o coeficiente angular da regressão de poupança contra renda (quer dizer, a propensão marginal a poupar) é igual a um menos o coeficiente angular da regressão de consumo contra renda (quer dizer, a propensão marginal a consumir). Dito de outra forma, a soma das duas propensões marginais é igual a 1, como, aliás, não poderia deixar de ser, pois a receita total é igual ao total das despesas de consumo mais o total das poupanças. A propósito, repare que

_αˆ

₁

_{= −β}ˆ

_1.

(b) Sim. A SQR para a função consumo é: 2 1 2

ˆ

ˆ

(Y

_i

− −α α

X

_i

)

∑

. Agora, substitua

(X

_i

−Y

_i

)

por

Z

_i,

αˆ

₁

= −βˆ

₁, e

_ˆ

₂

₍₁

ˆ

₎

2

α

= −β

e verifique que as duas SQR são iguais. (c) Não, porque os dois regressandos não são iguais.

7.14 (a) Conforme visto na Seção 6.9, para aplicar o modelo normal de regressão

linear clássico (MNRLC), é necessário presumir que ln ui

N(0,σ2). Depois de estimar o

modelo Cobb-Douglas, obtenha os resíduos e submeta-os ao um teste de normalidade, tal como o Jarque-Bera.

(b) Não. Como vimos na Seção 6.9,

u

_i

log – normal

[e

σ2/ 2

,e

σ2

(e

σ2

−1)]

.

7.15 (a) As equações normais seriam:

2 2 2 2 3 2 i i i i i

Y X

=β

X

+β

X X

∑

∑

∑

3 3 2 3 2 2 3 3 i i i i i

Y X

=β

X X

+β

X

∑

∑

∑

.

(b) Não, pela mesma razão do caso de duas variáveis. (c) Sim, essas condições são válidas.

(d) Dependerá da teoria subjacente.

(e) Isso é uma generalização simples das equações normais dadas anteriormente.

Problemas

7.16 (a) Modelo linear:

ˆ

t

Y

= 10816,04 – 2227,704X2i + 1251,141X3i + 6,283X4i – 197,399X5i

ep = (5988,348) (920,538) (1157021) (29,919) (101,156) R2

= 0,835

Neste modelo, os coeficientes angulares medem a taxa de variação de Y em relação à variável pertinente.

(b) Modelo log–linear:

ln = 0,627 – 1,274 lnX

Yˆ

t 2i + 0,937 lnX3i + 1,713 lnX4i – 0,182 lnX5i

ep = (6,148) (0,527) (0,659) (1,201) (0,128) R2 ₌

0,778

Neste modelo, todos os coeficientes angulares parciais são elasticidades parciais de Y em relação à variável pertinente.

(c) Espera-se que a elasticidade preço própria seja negativa, a preço cruzada seja positiva para bens substitutos e negativa para bens complementares, e a elasticidade

(d) A fórmula geral para a elasticidade das equações lineares é: Elasticidade = i i

X

Y

X Y

∂

∂

, em que

X

i é o regressor pertinente.

(e) Os dois modelos apresentam resultados semelhantes. Uma vantagem do modelo log-linear é que os coeficientes angulares fornecem estimativas diretas da elasticidade (constante) da variável pertinente em relação ao regressor sob avaliação. Mas tenha em mente que os R2 _{não são comparáveis diretamente.}

7.17 (a) A priori, todas as variáveis parecem relevantes para explicar a atividade de

prospecção de petróleo. Espera-se que todos os coeficientes angulares sejam positivos, exceto o da variável de tendência, que pode ser positivo ou negativo.

(b) O modelo estimado é:

ˆ

i

Y

= -37,186 + 2,775X2i + 24,152X3i - 0,011X4i - 0,213X5i ep = (12,877) (0,57) (5,587) (0,008) (0,259) 2

R

= 0,656 2

R

= 0,603.

(c) As variáveis preço por barril e produção interna são estatisticamente significativas no nível de 5%, e seus sinais estão de acordo com as expectativas. As outras variáveis não são estatisticamente diferentes de zero.

(d) Outra especificação pode ser o modelo log-linear que, além de fornecer estimativas diretas das elasticidades, pode amarrar características não-lineares (nas variáveis), se houver.

7.18 (a) Os resultados da regressão são:

ˆ

i

Y

= 19,443 + 0,018X2i - 0,284X3i + 1,343X4i + 6,332X5i ep = (3,406) (0,006) (0,457) (0,259) (3,024) 2

R

= 0,978

R

2= 0,972 2

R

modificado = 0,734.

(b) A priori, esperava-se que todos os coeficientes angulares fossem positivos. À exceção do coeficiente para as vendas militares dos Estados Unidos, todas as outras variáveis são estatisticamente significativas no nível de 5%, e seus sinais estão de acordo com as expectativas.

(c) Despesas federais globais e algum tipo de variável de tendência podem ser muito importantes.

7.19 (a) O modelo (5) parece ser o melhor porque abrange todas as variáveis

economicamente relevantes, inclusive o preço real dos substitutos da carne de frango, o que deve ajudar a minorar o possível problema de multicolinearidade entre o preço

da carne bovina e o da carne suína existente no modelo (4). O modelo (1) não tem informações sobre os substitutos, e elas são limitadas nos modelos (2) e (3).

(b) O coeficiente de lnX2 representa a elasticidade de renda, e o de lnX3 representa a

de preço próprio.

(c) O modelo (4) considera as carnes suína e bovina como bens substitutos, ao passo que o (2) considera apenas a suína.

(d) Pode haver um problema de multicolinearidade entre o preço da carne bovina e o da suína.

(e) Sim. Isso deve amenizar o problema da multicolinearidade.

(f) Devem ser bens substitutos porque competem com a carne de frango como produto de consumo.

(g) Os resultados da regressão do modelo (5) são os seguintes: ln = 2,030 + 0,481 lnX

Yˆ

_t 2t - 0,351 lnX3t - 0,061 lnX6t

ep = (0,119) (0,068) (0,079) (0,130) 2

R

= 0,980

R

2= 0,977

2

R

modificado = 0,810.

As elasticidades renda e preço próprio têm os sinais corretos.

(h) A conseqüência de estimar o modelo (2) seria a possibilidade de tendenciosidade dos estimadores devido a erro de especificação do modelo. Esse assunto é detalhado no Capítulo 13.

7.20 (a) Ceteris paribus1_{, as interpretações são as seguintes, em média:}

• um aumento de 1% na taxa de desemprego leva a um aumento de 0,34% na taxa de desistência do emprego;

• um aumento de 1% no percentual de empregados com menos de 25 anos leva a um aumento de 1,22% na taxa de desistência do emprego;

• um aumento de 1% na razão de empregados na indústria no trimestre leva a um aumento de 1,22% na taxa de desistência do emprego;

• um aumento de 1% no percentual de mulheres empregadas leva a um aumento de 0,80% na taxa de desistência do emprego;

• ao longo do período estudado, a taxa de desistência do emprego baixou à razão de 0,54% ao ano.

(b) Sim, espera–se que a taxa de desistência e a de desemprego estejam negativamente relacionadas.

1

Ceteris paribus – Expressão latina muito usada em Economia e que significa “Todos os outros fatores se mantendo

(c) À medida que aumenta a contratação de pessoas com menos de 25 anos, a expectativa é que a taxa de desistência aumente por causa da rotatividade entre os trabalhadores mais jovens.

(d) A taxa de queda é 0,54%. Motivos prováveis para essa queda seriam as melhorias nas condições de trabalho e nos benefícios de pensões ao longo do tempo.

(e) Não. O significado de “baixo” é relativo.

(f) Como os valores t são dados, podemos facilmente calcular os erros-padrão. Sob a hipótese nula de que β1 verdadeiro é zero, temos a relação:

ˆ

ˆ

ˆ

(

)

ˆ

(

)

i i i i

t

ep

t

ep

β

_β

β

β

=

⇒

=

.

7.21 (a) Os resultados da regressão são os seguintes:

₂

No documento respostas gujarati.pdf (páginas 46-50)