Entenda-se por hipocicloide encurtada a curva gerada pela trajetória de

um ponto gerador P que é interno à circunferência geratriz, localizado a uma distância (d < r) do centro de Φ de raio r que rola, sem deslizar, sobre o interior de uma outra circunferência fixa λ de raio R, à qual é tangente.

Equações paramétricas da curva

Valendo-se das equações paramétricas de uma hipocicloide qualquer dadas em (3.9) e o fato de que d < r, obtém-se as equações paramétricas de uma hipocicloide encurtada

       x= (R − r) cos (ϕ) + d · cos _{R− r} r  ϕ  y= (R − r) sen (ϕ) − d · sen _{R− r} r  ϕ  ,com ϕ ∈ R.

Quando d = r, a hipocicloide encurtada é chamada de hipocicloide.

A Figura 118 ilustra o posicionamento do ponto P no decorrer do traçado da hipocicloide encurtada.

Figura 118 – Traçado de uma hipocicloide encurtada de acordo com a definição.

Fonte: Autor

Ainda fazendo referência à Figura 118, observe que R = 4r, r = 3

2 e d = 1, isto é, o raio da circunferência diretriz é quatro vezes maior que o raio da geratriz que tem comprimento superior a d (distância do ponto gerador P ao centro da geratriz).

As equações paramétricas referentes a hipocicloide encurtada ilustrada pela Figura

118 são dadas por

         x(ϕ) = 9 2cos (ϕ) + cos (3ϕ) y(ϕ) = 9 2sen (ϕ) − sen (3ϕ) ,com ϕ ∈ R.

3.5.6.1 Dupla geração de hipocicloides

No estudo sobre o Teorema da dupla geração, o autor utilizou como referência bibliográfica a dissertação de mestrado (RAPOSO, 2013) e o artigo (ARAÚJO, 2004).

Teorema 5 (Teorema da dupla geração) Sejam λ e Φ, nesta ordem, as circunferên-

cias diretriz e geratriz de uma hipocicloide. Toda vez que uma circunferência geratriz de raio r rola, sem deslizar, sob uma circunferência diretriz, de raio R, resulta em uma hipocicloide de forma idêntica à obtida pelo rolamento de uma circunferência geratriz de raio R− r, sem deslizar, sob a mesma circunferência diretriz.

Demonstração: Admita-se duas circunferências λ e Φ de modo que o centro de λ é o

ponto C de coordenadas (0, 0) e raio R, ao mesmo tempo em que Φ tem centro no ponto

C2 e raio r com r < R. A circunferência Φ rola, sem deslizar, sob a circunferência λ. Dito

anteriormente que, sendo P um ponto arbitrário pertencente a Φ, quando Φ rola um ângulo de amplitude t, no sentido anti-horário, é descrito um arco com centro em C2 de

um de comprimento igual ao arco com centro em C que descreveu um ângulo de amplitude

ϕ. Relembrando que as coordenadas do ponto genérico P = (x, y) em relação a origem

dos eixos são representadas por

        

x(ϕ, t) = (R − r) cos (ϕ) + r cos (t) = (R − r) cos(ϕ) + r cos

_{R− r} r  ϕ  , y(ϕ, t) = (R − r) sen (ϕ) − r sen (t) = (R − r) sen(ϕ) − r sen

_{R− r} r  ϕ  . (3.11)

Admita agora uma outra circunferência geratriz Φ′

com centro em C′

2 de raio

r′ = R − r. Seja um ponto genérico G′ = x′₂, y′₂ conectado a circunferência Φ′ que

rola sob o interior de λ. O centro C′

2 tem coordenadas em relação à origem dos eixos

representadas por    x_{(ϕ) = [R − (R − r)] cos (ϕ) = r cos (ϕ) ,} y_{(ϕ) = [R − (R − r)] sen (ϕ) = r sen (ϕ) .} (3.12) Já as coordenadas do ponto G′ em relação ao centro C′

2 são representadas por 

 

x(t) = (R − r) cos (t) ,

y(t) = − (R − r) sen (t) . (3.13)

O rolamento da circunferência geratriz Φ′

produz arcos de comprimentos iguais aos arcos com as quais entram em contato, da circunferência diretriz λ. Por isso, tem-se:

Rϕ= (R − r) (ϕ + t) ⇔ (R − r) t = rϕ ⇔ t = r

R_{− r}ϕ. (3.14)

Isto posto e levando em conta (3.12) e (3.13) de moda a considerar a igualdade concebida em (3.14), chega-se às coordenadas do ponto G′

= x′₂, y₂′ em relação à origem

dos eixos representada por

       x(ϕ) = r cos (ϕ) + (R − r) cos  _r R_{− r}  ϕ  , y_{(ϕ) = r sen (ϕ) − (R − r) sen}  _r R− r  ϕ  . (3.15)

Ao acatar que ϕ′ = r R_{− r}ϕ, obtém-se          xϕ′= r cos _{R− r} r ϕ ′ + (R − r) cosϕ′, yϕ′= r sen _{R− r} r ϕ ′ − (R − r) senϕ′. (3.16)

No que concerne à segunda equação obtida em (3.16), a mesma apresenta simetria diante do resultado pretendido. Contudo, levando em conta a característica de paridade inerente às funções trigonométricas, tem-se

         x_−ϕ′= r cos  −R− r_r ϕ′  + (R − r) cos−ϕ′, y_−ϕ′= r sen  −R− r_r ϕ′  − (R − r) sen−ϕ′. (3.17) Então, igualando ψ = −ϕ′

e alterando a ordem dos termos em (3.11) nas duas equações, obtém-se          x(ψ) = (R − r) cos (ψ) + r cos _{R− r} r ψ  , y_{(ψ) = (R − r) sen (ψ) − r sen} _{R− r} r ψ  . (3.18)

Portanto, confrontando os resultados alcançados em (3.18) e (3.11) nota-se equi- valência entre estas equações, consequência da igualdades das duas hipocicloides. Em vista disso, todas as vezes que uma circunferência de raio r rola, sem deslizar, sobre uma circunferência diretriz, de raio R, resulta em uma hipocicloide de forma idêntica à obtida pelo rolamento de uma circunferência geratriz de raio R − r, sem deslizar, sobre a mesma circunferência diretriz.

Com o intuito de exemplificar este teorema tem-se a hipocicloide gerada por uma circunferência de raio r, que rola sobre uma circunferência diretriz de raio 6r, resultando em uma hipocicloide de forma idêntica à obtida pelo rolamento de uma circunferência de raio 5r, sobre a mesma circunferência diretriz.

Figura 119 – Teorema da dupla geração.

(a) R = 6 e r = 1 (b) R = 6 e r = 5

Fonte: Autor

O matemático francês Phillippe de La Hire foi pioneiro no estudo da propriedade da dupla geração, aguçando posteriormente a curiosidade dos matemáticos suíços Daniel

Bernoulli no ano de 1725, e Leonhard Euler em 1781.

3.6 O software GeoGebra no estudo de comportamento das curvas

Nesta secção o autor pretende utilizar o software GeoGebra2 _{como ferramenta}

didática na investigação do comportamento das curvas epicicloides e hipocicloides estudadas nas secções 3.4e 3.5. O estudo comportamental destas curvas é estruturado tendo como base suas equações paramétricas e manipulação através do GeoGebra. Para este estudo utilizou-se os exercícios 27 e 28 referentes ao capítulo 8 do livro (ADAMS; ESSEX, 2009, p.474). As figuras mostradas nesta secção foram construídas com o auxílio do GeoGebra. Entretanto, sabe-se que é de extrema relevância a utilização dos softwares de

geometria dinâmica no ensino e na aprendizagem de matemática, motivo este que influenciou

o autor na escolha do software GeoGebra como ferramenta didática nesta investigação. A utilização deste software de geometria dinâmica propicia a compreensão intelec- tual do conteúdo matemático, um bom exemplo são as figuras, possibilitando dinamizá-las. O autor salienta ainda a relevância no método de visualização das alterações posicionais nas figuras desenhadas. Ainda assim, favorece a interatividade, além de admitir a construção e manipulação de figuras geométricas baseando-se em suas propriedades.

Para a construção de uma animação gráfica com o intuito de estudar o comporta- mento das curvas, fez-se necessário a utilização de alguns comandos básicos no GeoGebra.

2

Figura 120 – Interface gráfica do software GeoGebra

Fonte: GeoGebra

O software executa o traçado das curvas a medida que são atribuídos valores inteiros e fracionários para o parâmetro n contido nas equações paramétricas de cada curva. Dentre eles, está o comando denominado seletor responsável por representar o parâmetro n, sendo encontrado na barra de ferramentas. O outro comando é o responsável pelo traçado da curva, que deve ser introduzido na entrada da seguinte forma:

Curva(< Expressão >, < Expressão >, < V ariável1 >, < V alor Inicial >, < V alor F inal >).

Observe que na parte inferior da Figura120é mostrado o comando Curva, digitado na entrada. A barra de ferramentas e o comando seletor são vistos na parte superior da Figura120. Antes de mais nada, é relevante entender o comando Curva, isto é, o significado de cada um dos itens que o compõe. Os dois itens < Expressão >, < Expressão > representam as equações paramétricas x(t), y(t) da curva. O item < V ariável1 > é o parâmetro das equações desta curva. E por último, os itens < V alorInicial >, <

V alorF inal > que são justamente os limites inferior e superior dos valores que este

parâmetro assumirá. E portanto, Curva(x(t), y(t), t, 3, 7) é o comando após ser devidamente preenchido. O comando seletor neste caso é representado pela variável n, assumindo todos os valores inteiros e fracionários em um intervalo que é devidamente estipulado.

Exemplo 37 Utilize o software GeoGebra para investigar o comportamento de curvas

com equações da forma

         x(t) =  1 + 1 n  cos(t) + 1 n cos [(n − 1) · t] y(t) =  1 + 1 n  sen(t) − 1 nsen [(n − 1) · t]

para vários valores inteiros e fracionários de n_{≥ 3. Quais os princípios que podem ser} formulados a respeito do comportamento dessas curvas?

Resolução: As equações paramétricas x(t) e y(t) citadas acima representam a curva

denominada por hipocicloide.

Observe que seu traçado está situado no interior da circunferência

Ω : x2_{+ y}2 ₌_{1 +}2

n

2

,

que de outro modo, é tangente externamente à circunferência interna λ : x2_{+ y}2 _{= 1.}

Se n ≥ 3 é um número inteiro, a curva fecha-se após uma única rotação ao redor de λ concebendo em seu traçado n cúspides. A Figura121 ilustra as curvas para valores de n = 4 e n = 5.

Figura 121 – Hipocicloides onde n assume valores inteiros 4 e 5.

Fonte: Autor

Se n é um número racional na sua forma irredutível, mas não um inteiro, do tipo

p/q _{com m.d.c.(p, q) = 1 e q 6= 1, então tal curva percorrerá a circunferência λ mais de}

uma vez antes de fechar-se. A Figura122ilustra as curvas para valores de n = 15 2 e n =

9 2.

Figura 122 – Hipocicloides onde n assume valores fracionários 15 2 e

9 2.

Fonte: Autor

E caso, n seja irracional, a curva não se fecha. Note também que podemos interpretar por cúspides, os pontos de contato da curva com a circunferência Ω.

Exemplo 38 Utilize o software GeoGebra para investigar o comportamento de curvas

com equações da forma

         x(t) =1 + 1 n  cos(t) − 1 ncos (n · t) y(t) =  1 + 1 n  sen(t) − 1 n sen (n · t)

para vários valores inteiros e fracionários de n_{≥ 3. Quais os princípios que podem ser} formulados a respeito do comportamento dessas curvas?

Resolução: As equações paramétricas x(t) e y(t) citadas acima representam a curva

denominada por epicicloide.

Observe que seu traçado está contido em torno da circunferência λ : x2_{+ y}2 _{= 1.}

Se n ≥ 3 é um número inteiro, a curva fecha-se após uma única rotação ao redor de λ concebendo em seu traçado n -1 cúspides. A Figura 123ilustra as curvas para valores de n = 3 e n = 4.

Figura 123 – Epicicloides onde n assume valores inteiros 3 e 4.

Fonte: Autor

Se n é um número racional na sua forma irredutível, mas não um inteiro, do tipo

p/q _{com m.d.c.(p, q) = 1 e q 6= 1, então tal curva percorrerá a circunferência λ mais de}

uma vez antes de fecha-se. A Figura124 ilustra as curvas para n = 9 2 e n =

15 2 . Figura 124 – Epicicloides onde n assume valores fracionários 9

2 e 15

2 .

Fonte: Autor

E caso, n seja irracional, a curva não se fecha. Neste caso também pode-se interpretar por cúspides, os pontos de contato da curva com a circunferência λ.

Referências

ADAMS, R.; ESSEX, C. Calculus: A Complete Course. 7th. ed. [S.l.]: Pearson Education Canada, Toronto, 2009. ISBN 978-0-321-54928-0. Citado 7 vezes nas páginas 25, 27, 28,

65, 66, 103 e 160.

ARAÚJO, P. V. À volta da roda. Gazeta de Matemática, Porto, n. 147, p. 24–31, jul. 2004. Citado 4 vezes nas páginas 129, 151, 153 e 157.

ARAUJO, R. A. A matemática do espirógrafo. In: CEPE. Congresso de Ensino, Pesquisa

e Extensão da UEG. Câmpos Henrique Santillo, 2017. Citado na página 176.

BÉRTI, G. C. Curvas descritas mecanicamente e geogebra: uma proposta destinada ao

ensino médio. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) — Universidade

Federal de Santa Maria, Rio Grande do Sul, 2015. Citado 2 vezes nas páginas 25e 127. BUMGARDNER, J. Cycloid drawing machine simulation. 2015. Disponível em:

<http://wheelof.com/sketch/>. Citado na página 175.

BUMGARDNER, J. Krazydad. 2015. Disponível em: <https://krazydad.com/blog/2015/

07/12/cycloid-drawing-machine-simulation/>. Citado na página 175.

CARVALHO, M. T. C. R. de. Evolutas, Involutas e Roulettes. Dissertação (Mestrado em Matemática para Professores) — Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, 2013. Citado 2 vezes nas páginas 175 e186.

CASTRO, L. M. d. O cálculo variacional e as curvas cicloidais. Dissertação (Mestrado em Matemática) — Departamento de Matemática, Universidade de Brasília, jun. 2014. Citado 2 vezes nas páginas 25 e103.

CHOLET, T. S. l. L. Copia de espirografo. 2016. Disponível em: <https:

//www.geogebra.org/m/CtpqvMp4>. Acesso em: 2017-09-23. Citado 3 vezes nas páginas

175, 191 e197.

CHRISTERSSON, M. Make a spirograph. 2015. Disponível em: <http://www.malinc.se/

math/trigonometry/spirographen.php>. Citado na página 175.

D‘AMBROSIA, B. K. Virtual spirograph: A liberal arts math project. In: JOHN CARROLL UNIVERSITY. 27th International Conference on Technology in Collegiate Mathematics. Las Vegas, Nevada: Department of Mathematics and Computer Science, 2015. (ICTCM-27, 27th). Disponível em:<http://archives.math.utk.edu/ICTCM/i/27/A012.html>. Acesso em: 2017-07-03. Citado 3 vezes nas páginas 175, 191 e 199.

DELGADO, J.; FRENSEL, K. Geometria analítica II - aula 3: Parametrização de algumas curvas planas. Departamento de Geometria, Instituto de Matemática,

UFF, 2008. Disponível em: <http://www.professores.uff.br/katiafrensel/2017/08/30/

disciplina-geometria-analitica/>. Acesso em: 2017-09-06. Citado 14 vezes nas páginas 25,

DOHERTY, P. Spirograph Math. 2000. Disponível em:<http://www.exo.net/~pauld/

activities/spirograph/Spirograph.html>. Acesso em: 2017-09-12. Citado 2 vezes nas

páginas175 e 191.

FERRÉOL, R. Encyclopédie des formes remarquables courbes, surfaces, fractals, polyèdres. 2016. Disponível em: <http://www.mathcurve.com/>. Acesso em: 2018-07-09. Citado na página175.

FREEDMAN, J. Cycloid drawing machine. 2015. Disponível em: <https://www.

kickstarter.com/projects/1765367532/cycloid-drawing-machine/posts/1292449>. Acesso

em: 2017-07-10. Citado na página175.

FRIEND, N. A digital spirograph, written in typescript. 2014. Disponível em:

<https://nathanfriend.io/inspirograph/>. Acesso em: 2017-06-22. Citado na página 175.

GIBSON, C. G. Elementary geometry of differentiable curves: an Undergraduate

Introduction. [S.l.]: Cambridge University Press, 2001. ISBN 0-521-80453-1. Citado 2

vezes nas páginas 25e 103.

GRANVILLE, W. A.; SMITH, P. F.; LONGLEY, W. R. Elementos de cálculo diferencial

e integral. [S.l.]: Editora Científica, Rio de Janeiro, 1961. Citado 3 vezes nas páginas25,

73 e103.

JÄKEL, V. Zielgerichtete Variation von Trochoiden und Koppelkurven. 2015. Disponível

em: <http://v-jaekel.de/home.html?*session*id*key*=*session*id*val*>. Acesso em:

2017-09-04. Citado na página 175.

LAWRENCE, J. D. A catalog of special plane curves. [S.l.]: Dover Publications, Inc. New York, 1972. ISBN 0-486-60288-5. Citado 2 vezes nas páginas25 e 103.

LEE, X. Visual Dictionary of Special Plane Curves. 1995. Disponível em:

<http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Epitrochoid_dir/epitrochoid.html>. Acesso

em: 2017-09-03. Citado 3 vezes nas páginas25,103 e127.

LUAÑA, V. Plotting the spirograph equations with gnuplot. Linux Gazeta, n. 133, dez. 2006. Disponível em: <https://linuxgazette.net/133/luana.html>. Citado 2 vezes nas páginas175 e 183.

MARTINS, R. R. G. Curvas Planas: Construções e Animações com recursos do

MAPLE. Monografia (Especialização) — Instituto de Ciências Exatas, Departamento de

Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2005. Citado na página137.

MATOS, H. M.; CARRAPA, M. T. A tautócrona, a evoluta e o relógio de pêndulo de huygens. Gazeta da Matemática, n. 173, p. 42–48, jul. 2014. Citado 3 vezes nas páginas

25,103 e186.

O’CONNOR, J. J.; ROBERTSON, E. F. Famous curves index. 1988. Disponível em:

<http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/index.html>. Acesso em: 2017-07-19. Citado 5

vezes nas páginas 25, 97,103, 127 e139.

ORTIZ, M. Spirograph simulator. 2015. Disponível em:<https://www.geogebra.org/m/

RAPOSO, C. S. C. M. Curvas famosas e não só: teoria, histórias e atividades. Dissertação (Mestrado em Matemática para Professores) — Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, Departamento de Matemática, Lisboa, 2013. Citado 3 vezes nas páginas 131,151

e 157.

SALAS, S. L.; HILLE, C. E.; ETGEN, G. J. Calculus: one and several variables. 10th. ed. [S.l.]: John Wiley & Sons, Inc.,Danvers,MA, 2006. ISBN 978-0471-69804-3. Citado 7 vezes nas páginas 25, 27,48, 51, 53, 84 e92.

SALES, J.; BANYULS, F. Curvas Perigosas: Elipses, hipérboles e outras maravilhas

geométricas. [S.l.]: RBA Coleccionables, S.A.,Portugal, 2011. ISBN 978-84-473-7351-2.

Citado 4 vezes nas páginas 25, 103, 111 e 112.

SANTOS, J. C. A ciclóide é uma curva tautócrona. 2012. Disponível em:

<http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/Tautocrona/>. Acesso em: 2017-07-03. Citado 2

vezes nas páginas 25e 103.

STEWART, J. Cálculo. Tradução da 7ª edição norte-americana. [S.l.]: CENGAGE learning, São Paulo, 2013. v. 2. ISBN 978-85-221-1463-4. Citado 3 vezes nas páginas 27,

103 e171.

VENCESLAU, A. W. d. N. Curvas parametrizadas, ciclóides, experimentos e aplicações. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) — Departamento de Matemática, Universidade Federal de Sergipe, São Cristovão, SE, 2015. Citado 2 vezes nas páginas 25

No documento Curvas Planas Parametrizadas, Curvas Cicloidais e Espirógrafo (páginas 160-175)