O espirógrafo como ferramenta de ensino da matemática O aparelho espirógrafo pode ser utilizado para a criação de padrões 3 geométricos

artisticamente interessantes, de outra forma, como ferramenta exploratória de conteúdos didáticos referentes a temas matemáticos abordados em sala de aula. Estes padrões geométricos podem ser usados para mostrar:

a) Simetrias no plano: rotação, translação, reflexão e reflexão com deslizamento; b) Decomposição em fatores primos;

c) Mínimo múltiplo comum (m.m.c.) e máximo divisor comum (m.d.c.); d) Aritmética modular;

e) Tópicos de trigonometria;

f) Estudo das curvas: hipocicloide e epicicloide.

Na subsecção B.12.1o autor procura mostrar de uma forma simples, o paralelo entre alguns dos temas matemáticos citados nesta secção com os padrões geométricos criados com o aparelho espirógrafo.

B.12.1 A matemática intrínseca nos padrões geométricos criados com o

espirógrafo

Nesta subsecção o autor pretende explorar os temas matemáticos citados na secção B.12 que são intrínsecos aos vários padrões geométricos gerados pelo aparelho espirógrafo com base nas bibliografias de (DOHERTY, 2000) e (D‘AMBROSIA, 2015). Cabe destacar que, para um melhor entendimento do processo de construções dos padrões geométricos criados pelo espirógrafo, optou-se por um arquivo construído no GeoGebra, e que representasse exatamente o elaborado com caneta e papel. Veja que esta construção, no GeoGebra, por si próprio, caracteriza um modelo matemático da investigação em causa, além do que pode ser aproveitado como material didático para o trabalho deste tema ou qualquer outro tema que circunda este assunto. A versão escolhida pelo autor, pertence a

(CHOLET, 2016).

Nesta versão do espirógrafo, a caneta é fielmente representada pelo ponto gerador

M na cor verde. Denominaremos como lacuna a região de encaixe entre o dente da roda e o interior do anel, como ilustrado na Figura 143. Vale ressaltar que o número de dentes e lacunas existentes em qualquer roda ou anel são exatamente iguais. Uma roda com 45 dentes também tem 45 lacunas, e de maneira análoga acontece com o anel.

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Padrão geométrico significa toda e qualquer curva traçada com o auxílio do aparelho espirógrafo aqui investi- gada pelo autor.

Figura 143 – Especificação do dente e da lacuna

Fonte: Autor

Procuremos uma roda que contenha um número de dentes que possa dividir uniformemente o número de dentes da parte interna do anel, isto é, o menor número se divide em maior sem resto. Nesta perspectiva, iremos nos guiar pela Tabela3para escolha dos valores de n e m, ou seja, rodas e anéis.

Por exemplo, a roda dentada número 48 dividi-se no anel 144/96 precisamente duas vezes. Utilizando uma caneta, tracemos um padrão criado rolando a roda n no interior do anel m. Veja que com duas rotação executada pela roda por toda a extensão do anel, a caneta retorna ao ponto de partida. A figura144 representa uma hipocicloide degenerada que é estudada na Secção3.5.1 do Capítulo 3, onde o raio da roda é a metade do raio do anel, ou seja, r = R

2.

Figura 144 – Padrão completo após uma única rotação.

Fonte: Autor

Agora de maneira diferente, encontremos uma roda que tenha um número de dentes que não divida de modo igual o número de dentes do anel. Analogamente, utilizando uma

caneta, tracemos um padrão ao rolar a roda no interior do anel. Por exemplo, com a roda dentada 45 no interior do anel 144/96 é traçado um padrão ilustrado pela Figura 145, que se fecha após exatas 15 rotações executadas pela roda no interior do anel, e a caneta retorna ao ponto de partida.

Figura 145 – Padrão completo após 15 rotações.

Fonte: Autor

Considere uma pequena roda com 10 dentes, dentro de um anel circular maior com 40 dentes e 40 lacunas. Enumere os dentes da roda com uma sequência de números que tenha início em 0 e final 9, como mostra a Figura 146a. A iniciar pelo número 0 facilitará nossa matemática mais adiante. Enumere as quarenta lacunas do anel de forma que a sequência tenha inicie com o número 0 e termine em 39, como mostra a Figura 146b.

Figura 146 – Numeração dos dentes da roda e das lacunas do anel.

(a) Sequência dos dentes de 0 até

9. (b) Sequência das lacunas de 0 até39.

Fonte: Autor

dente da roda enumerado como o número zero, encaixa-se em uma lacuna no anel, veja Figura147a. O dente encaixa-se ao anel na lacuna número 10, e novamente na lacuna 20, 30, como mostra a figura 147b, e depois da lacuna 39 ele retorna a encaixar-se na lacuna número 0, como mostra a Figura147c, que representa o ponto de onde partiu a caneta. Então, depois de uma única rotações da roda sobre toda a extensão do anel, o dente numero 0 está novamente no ponto de partida e a caneta completa o padrão, ilustrado pela Figura147d. Daí, o padrão geométrico é novamente refeito pela caneta de maneira idêntica.

Figura 147 – Posicionamento da caneta em relação as lacunas do anel.

(a) Caneta na lacuna 0. (b) Caneta na lacuna 30.

(c) Caneta retorna a lacuna 0. (d) Padrão completo.

Fonte: Autor

Imagine que se ao invés de conter 40 lacunas, o anel contenha 45 lacunas. A metodologia de resolução nesta situação torna-se um pouco mais complexa. Veja que a lacuna enumerada 0 está na mesma posição que a lacuna 45, ponto inicial de partida da caneta como mostra a Figura 148a. A caneta toca as lacunas 10, 20, 30 e 40 uma única vez com o dente 0, mostrado pelas Figuras 148b,148c, 148de 148e. Depois disso, como mostrado na Figura148f, a caneta toca na lacuna 50 = 45 + 5, e então, na próxima vez

em que a caneta tocar no anel, um padrão diferente é criado com o dente 0. E portanto, a caneta tocará nas lacunas 15, 25, 35, como mostra as Figuras 149a, 149b, 149c e logo depois, toca por último na lacuna 45, retornando ao seu ponto inicial e o padrão está completo após a roda 45 medir a extensão do anel por duas vezes, isto é, após duas rotações da roda.

Figura 148 – Posicionamento da caneta em relação as lacunas do anel.

(a) Caneta na lacuna 0. (b) Caneta na lacuna 10.

(c) Caneta na lacuna 20. (d) Caneta na lacuna 30.

(e) Caneta na lacuna 40. (f) Caneta na lacuna 50 = 45 + 5.

Figura 149 – Posicionamento da caneta em relação as lacunas do anel.

(a) Caneta na lacuna 15. (b) Caneta na lacuna 25.

(c) Caneta na lacuna 35. (d) Caneta na lacuna 45.

Fonte: Autor

No exato instante que a caneta volta a tocar novamente o ponto inicial do padrão, ou seja, quando o dente zero da roda encaixa-se outra vez a lacuna 0 = 45, o padrão é concluído, como mostra a Figura149d. Daí em diante, o caminho que a caneta irá perfazer é a repetição do mesmo trajeto e o padrão é refeito.

Em uma outra situação mostrada na Figura150, onde o anel contém 42 lacunas e o número de dentes da roda é 10, o procedimento faz-se idêntico ao anterior. A primeira rotação da roda, ou seja, quando a roda mede toda a extensão do anel pela primeira vez, o dente 0 toca as lacunas 10, 20, 30, 40, 50 = 42 + 8. Já na segunda rotação, o dente 0 da roda toca as lacunas 18, 28, 38, 48 = 42 + 6. Na terceira rotação o dente 0 da roda toca as lacunas 16, 26, 36, 46 = 42 + 4. E na penúltima ou quarta rotação, o dente 0 da roda toca as lacunas do anel 14, 24, 34, 44 = 42 + 2. A quinta e última rotação, o dente da roda toca as lacunas do anel 12, 22, 32, 42 = 42 + 0. Portanto, após a roda medir por cinco vezes a extensão do anel 42, isto é, cinco rotações completas, o padrão está completo. E daí, a caneta recomeça outra vez o percurso tocando nas lacuna 10, 20, 30, perfazendo identicamente o mesmo trajeto, e como consequência criará novamente o mesmo padrão.