Teorema de Pappus aplicado a volumes de sólidos de revolução

É de suma relevância o entendimento de que todas as relações derivadas para volumes de sólidos de revolução são apenas corolários entendíveis a uma investigação realizada por um egípcio helenizado, nascido em Alexandria, Egito, e um dos mais notáveis matemáticos helenísticos da antiguidade, chamado Pappus de Alexandria (290 d.C. e 350 d.C.). Conhecido como um valoroso geômetra grego, pesquisador e autor de uma grande quantidade de textos relacionados a célebres intelectuais da antiga civilização grega. Entre eles, houve uma obra de grande relevância intitulada por The Collection, um estudo escrito em grego, constituído por oito livros dos quais, lamentavelmente, o primeiro volume e parte do segundo foram extraviados, onde existem relatos e novas provas para inúmeras proposições de Euclides, Apolônio e Arquimedes. Entre vários outros, há uma abordagem sobre cônicas, geometria plana, mecânica, superfície de revolução, sólidos e certas curvas entre outros.

Dentre suas descobertas, existem vários teoremas que revolucionaram o estudo da Geometria Projetiva moderna. Executou uma importante pesquisa sobre um problema com denominação de Dido ou Isoperimétrico e, surpreendentemente, apresentou uma demonstração plausível que, dentre as muitas formas, as abelhas poderiam ter adotado para construírem seus favos, o escolhido é justamente o que mais poupa cera.

Pappus de Alexandria juntamente com Diofanto, tornaram-se os mais célebres

matemáticos da denominada Idade de Prata da Universidade de Alexandria.

Teorema 3 (Teorema de Pappus aplicado a volumes de sólidos de revolução)

Admita que uma região plana gire em torno de um eixo que está em seu plano. Se a região não transpuser o eixo, então o volume do sólido resultante da revolução é a área da região multiplicada pelo perímetro do círculo descrito pelo centroide da região:

onde A representa a área da região e ¯Rdenota a distância do eixo de revolução ao centroide da região. (Veja a Figura 61)

Figura 61 – Teorema de Pappus aplicado a volumes.

Fonte: O original desta figura pertence a (SALAS; HILLE; ETGEN, 2006, p.315)

Essencialmente, derivou-se apenas duas relações para os volumes de sólidos de revolução, uma denominada como “método da anilha ” e a outra “método da concha”.

Método da anilha Admita que a região Ψ ilustrada pela Figura 23 seja girada sobre o eixo -x, então o sólido resultante tem volume

Vx = Z b a π  [f(x)]2 − [g(x)]2dx. (1.75)

Método da concha Admita que a região Ψ ilustrada pela Figura 23 seja girada sobre o eixo -y, então o sólido resultante tem volume

Vy = Z b a 2πx [f(x) − g(x)] dx. (1.76) Note que Vx = Z b a π  [f(x)]2 − [g(x)]2dx = 2πZ b a 1 2  [f(x)]2 − [g(x)]2dx = 2π¯yA = 2π ¯RA (1.77) e Vy = Z b a 2πx [f(x) − g(x)] dx = 2π¯xA = 2π ¯RA, (1.78)

em conformidade com o afirmado pelo célebre matemático.

Observação: É necessário deixar explícito que ao invocar o Teorema de Pappus,

seja girada apenas parcialmente sobre um determinado eixo, então o volume do sólido resultante é a área de Ψ multiplicada pelo comprimento do arco circular descrito pelo centroide. O conceito de centroide, foi estudado na secção 1.10 do capítulo 1.

1.16 Aplicando o teorema de Pappus

Dado ao fato de que já foi anteriormente introduzido o conceito de centroide, e apresentada uma explanação teórica a respeito deste interessante Teorema de Pappus, o que proporcionou condições plausíveis para ampliar um pouco mais o estudo sobre este tema. Para além, o que se propõe é utilizar os conhecimentos teóricos adquiridos de maneira a aplicá-los em problemas voltados para o cálculo de volume de sólidos de revolução.

Exemplo 30 Anteriormente, foi mostrado que a região Ψ da Figura24tem área A = 125

6

e centroide

₅

2,5



. Determine o volume do sólido gerado ao girar a região Ψ em torno do eixo-y. Calcule o volume para a situação em a região Ψ seja girada em torno da reta y = 10, ilustrado pela Figura 62.

Figura 62 – Rotação da região Ψ em torno do eixo -y.

Fonte: Autor

da área Ψ em torno do eixo -y será feito com embasamento no Método da concha. Vy = Z b a 2πx [f(x) − g(x)] dx = Z 5 0 2πx h −x2_{+ 6x}_{− (x)}i_dx = 2πZ 5 0 h −x3_{+ 5x}2i_dx = 2π−1₄x4+5 3x3 5 0 = 625 6 π. (1.79) E possível obter o mesmo resultado alcançado em (1.79), porém buscando embasa- mento teórico ao Teorema de Pappus 3, onde ¯R= ¯x = 5

2 e A = 125 6 . VSGy = 2π ¯RA = 2π5 2 ₁₂₅ 6 = 625 6 π. (1.80)

Observe que utilizando métodos diferentes de resolução do problema proposto, o resultado obtido é o mesmo, V = 625

6 π.

Agora, mediante a outra situação em que Ψ é girada em torno da reta y = 10, a distância do centroide até o eixo de rotação ( ¯R) não é a mesma, sendo necessário recalcular o seu valor dado por ¯R= y − ¯y e assim, temos ¯R = 5 e A = 125

6 . VSGy = 2π ¯RA = 2π (5)125 6 = 625 3 π. (1.81)

Exemplo 31 Utilize o Teorema de Pappus para determinar o volume do sólido denomi-

nado por Toro e gerado pela rotação de um disco circular λ : (x_{− h)}2_{+ (y − k)}2 _{≤ r}2_{, com}

h, k_{≥ r, em torno do eixo-x e do eixo-y.}

Resolução: O sólido Toro é gerado quando o disco circular λ situado no plano xOy é

girado em torno de um de seus eixos. O centroide do disco e o seu centro coincidem (¯x, ¯y) = (h, k). A área de λ é dada pela expressão A = πr2_.

Assim sendo, o volume do sólido gerado pela rotação de λ em torno do eixo- x e ilustrado através da Figura 64a é

VSGx = 2π ¯RA para ¯R= k

VSGx = 2π(k)(πr

2₎

VSGx = 2π

Figura 63 – Rotação do disco λ em torno dos eixos coordenados.

Fonte: Autor

E por último, o volume do sólido gerado pela rotação de λ em torno do eixo- y e ilustrado através da Figura 64b é

VSGy = 2π ¯RA para ¯R = h

VSGy = 2π(h)(πr

2₎

VSGy = 2π

2_hr2_.

Figura 64 – Volume do sólido Toro através do Teorema de Pappus.

(a) Rotação de λ em torno do eixo -x _{(b) Rotação de λ em torno do eixo -y}

Fonte: Autor

Portanto, os sólidos ilustrados pelas Figuras64a e 64bpossuem respectivamente volumes iguais a VSGx = 2π

2_kr2 _{e V}

SGy = 2π

2_hr2_.

Exemplo 32 Determine a localização do centroide do meio disco β : x2+ y2 _{≤ r}2 com y _{≥ 0, por intermédio do Teorema de Pappus.}

Figura 65 – Centroide da meia esfera através do Teorema de Pappus.

(a) Simetria de β em relação ao eixo -y _{(b) Rotação de β em torno do eixo -y}

Fonte: Autor

Resolução: Note-se que β é simétrico em relação ao eixo -y, tornando nulo o valor da

abscissa do seu centroide, ou seja, ¯x = 0. Daí, neste momento o interesse é encontrar o valor de ¯y.

Rotacionando β em torno do eixo -x, resulta numa esfera com volume igual a 4 3πr3. Tendo β área A = 1

2πr

2 _{e aplicando a relação (1.74) dada pelo Teorema de Pappus, temos}

V = 2π ¯R _⇒ 4

3πr

3 _{= 2π¯y}1

2πr

2_{. (1.82)}

Em seguida, isolando ¯y no primeiro membro de (1.82), o resultado obtido é ¯y = 4r 3π. Portanto, a localização do centroide de β é dada pelas coordenadas do ponto



0,4r 3π



.

1.17 Fórmulas de Frenet e curvatura

Nesta secção iremos nos restringir ao tratamento de curvas λ : I → R2 _parametri-

zadas pelo comprimento de arco.

Suponha hipoteticamente que λ′_{(s) 6= 0. Dessa maneira, temos de modo bem}

definido um campo T de vetores tangentes e unitários por toda a extensão da curva λ e representado por T (s) = λ′_{(s). Designaremos T (s) por vetor tangente à curva λ em λ(s).}

Se a curva λ(s) = (x(s), y(s)), temos então, o vetor tangente dado por T (s) = (x′_{(s), y}′_(s)).

Podemos definir o campo normal N por toda a extensão de λ, tal que, ∀ s ∈ I, a base ortogonal de R2 _{formada por {T, N} tem a mesma orientação que a base canônica positiva}

e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) de R2, ou seja, N(s) = (−y′(s), x′(s)).

Observe que N é um campo normal e unitário por toda a extensão da curva λ. A relação que associa a cada s ∈ I com N(s) é denominada por vetor normal à curva λ. Daí, temos que ∀ s ∈ I, N(s) é denominado vetor normal à curva λ em λ(s).

Figura 66 – Referencial de Frenet.

Fonte: Autor

Definição 4 Seja λ : I _{→ R}2 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco. Então, o referencial _{{T (s), N(s)} é denominado referencial de Frenet}2 de λ.

Dado que kT k = 1, temos que T′_{(s) é perpendicular a T (s). E como, o espaço}

R2 é concebido por T e N, consequentemente, para cada s ∈ I, T′(s) é paralelo a N(s). Portanto, isso evidencia a existência de uma função escalar k, tal que

T′(s) = k(s) · N(s), com s ∈ I. (1.83)

Definição 5 A função k, determinada acima pela equação (1.83), é denominada como