Parametrizadas,
Curvas Cicloida
Espirógrafo
Espirógrafo
Juscelino Wanderson de Oliveira
Mestrado em Matemática para Professores Departamento de Matemática2018
Orientador
Zélia da Rocha, Professor Auxiliar,
Faculdade de Ciências da Universidade do Porto
zadas,
loidais e
O Presidente do Júri,
Curvas Planas Parametrizadas, Curvas
Cicloidais e Espirógrafo
Portugal
2018, Setembro
Curvas Planas Parametrizadas, Curvas Cicloidais e
Espirógrafo
Faculdade de Ciências da Universidade do Porto Departamento de Matemática
Mestrado em Matemática para Professores
Orientador: Zélia da Rocha
Portugal
2018, Setembro
Em todas as figuras apresentadas os eixos coordenados aparecem erradamente com dupla orientação.
mesmo sem entender minha ausência foi um dos meus incentivos para eu continuar neste processo; à minha avó Pacífica e à minha tia Lindalva, “In Memorian”, que do céu
Agradeço imensamente a Deus, que em sua infinita bondade concedeu-me sabedoria para vencer esta etapa de minha vida e especialmente tranquilizou o meu espírito nos momentos mais difíceis. Obrigado por me transmitir força, foco e fé que me acompanharam ao longo desses anos e que não me permitiram desistir. Sem Deus, nada disso seria possível. Sou grato ao meu pai e à minha mãe que me apoiaram incondicionalmente; aos amigos brasileiros e portugueses que sempre torceram por mim; à minha tia Cristina que me acolheu com todo amor e carinho; ao Coordenador do Curso de Mestrado, Professor Dr. Jorge Paulo Maurício de Carvalho que sempre esteve disponível para me atender e esclarecer minhas dúvidas e à minha orientadora, Professora Dra. Maria Zélia Ramos Alves da Rocha que contribuiu com a minha trajetória, compartilhando a sua sabedoria, o seu tempo e sua experiência.
Esta dissertação é constituída por três capítulos. O primeiro reúne os resultados gerais fundamentais sobre as curvas planas parametrizadas; apresentamos ainda o cálculo do centro de massa da vareta, e os respectivos centroides de uma região plana e de uma curva, áreas e volumes de sólidos de revolução e aplicação do teorema de Pappus. Concluímos o primeiro capítulo com o estudo referente às fórmulas de Frenet e curvatura e, o teorema fundamental das curvas planas. Seguidamente dedicamos um capítulo à curva cicloide e suas propriedades. O terceiro capítulo é consagrado às curvas cicloidais e suas generalizações. Nesta dissertação constam dois anexos: o primeiro contém fórmulas trigonométricas necessárias no desenvolvimento de todo o trabalho, o segundo é consagrado ao aparelho espirógrafo, que permite o traçado de algumas curvas cicloidais e constitui um objeto motivador do ensino da Matemática relacionada a este assunto. A quase totalidade das figuras representadas, foram reproduzidas pelo autor com o auxílio do software GeoGebra.
Palavras-chave: Curvas planas parametrizadas, Curvas cicloidais, Espirógrafo, Áreas e
This dissertation consists of three chapters. The first one brings together the fundamental general results on the parameterized plane curves; we also present the calculation of the center of mass of the rod, and the respective centroids of a plane region and a curve, areas and volumes of solids of revolution and application of Pappus’s theorem. We conclude the first chapter with the study of the formulas of Frenet and curvature and the fundamental theorem of plane curves. We then dedicate a chapter to the cycloid curve and its properties. The third chapter is devoted to the cycloidal curves and their generalizations. In this dissertation there are two annexes: the first contains trigonometric formulas necessary in the development of all the work, the second is devoted to the spirograph apparatus, which allows the tracing of some cycloidal curves and constitutes a motivating object of Mathematics teaching related to this subject. Almost all of the figures represented were reproduced by the author with the help of GeoGebra software.
Keywords: Parameterized plane curves, Cycloidal curves, Spirograph, Areas and volumes of solids of revolution, GeoGebra.
Figura 1 – A partícula move-se por toda extensão da curva λ. . . . 27
Figura 2 – Curva paramétrica λ. . . . 28
Figura 3 – Esboço de uma curva paramétrica . . . 28
Figura 5 – Exemplo de uma curva regular. . . 31
Figura 6 – A curva λ não é regular na origem, tendo a origem como cúspide. . . . 32
Figura 7 – Cicloide - Cúspides em pontos onde as velocidades são nulas. . . 32
Figura 8 – A curva β é regular em t = 0. . . . 34
Figura 9 – Reta tangente à cicloide em t0 = π 3. . . 36
Figura 10 – Retas tangentes à cicloide. . . 36
Figura 11 – Retas tangentes à curva γ. . . . 38
Figura 12 – Reta tangente e reta normal sobre à curva deltoide. . . 39
Figura 13 – Vetor velocidade e a reta tangente. . . 40
Figura 14 – Triângulo retângulo. . . 41
Figura 15 – Reta tangente à curva no ponto P0 e seu vetor velocidade. . . 42
Figura 16 – Esboço da curva λ. . . . 43
Figura 17 – Vareta fina estendida sobre o eixo -x. . . 46
Figura 18 – Posicionamento do suporte no ponto de equilíbrio xM. . . 46
Figura 19 – Região Ψ assente sobre o plano xOy. . . . 47
Figura 20 – Região Ψ sob o gráfico de f. . . . 48
Figura 21 – Fragmentação de [a, b] em n subintervalos. . . . 48
Figura 22 – Quarta parte do disco e a localização do centroide. . . 49
Figura 23 – Região Ψ compreendida entre f(x) e g(x). . . . 51
Figura 24 – Centroide da região Ψ delimitada por f(x) e g(x). . . . 51
Figura 25 – Representação da curva λ de extremos A e B. . . . 53
Figura 26 – Quarta parte do círculo. . . 55
Figura 27 – Diferencial do arco. . . 56
Figura 28 – Comprimento de arco. . . 58
Figura 29 – Triângulo retângulo. . . 58
Figura 30 – Arco de f(x) = √x3. . . . 60
Figura 31 – Comprimento da circunferência de raio r. . . . 62
Figura 32 – Comprimento de arco da curva astróide. . . 63
Figura 33 – Elemento de área sob a curva α. . . . 64
Figura 34 – Áreas definidas por curvas paramétricas. . . 65
Figura 35 – Áreas delimitadas por curvas paramétricas fechadas. . . 65
Figura 36 – A área sombreada. . . 66
Figura 41 – Traçado da curva cardióide e sua respectiva área. . . 70
Figura 42 – Área total e área parcial do laço interno da curva limaçon. . . 71
Figura 43 – Superfície de revolução. . . 73
Figura 44 – Primeiro tronco. . . 73
Figura 45 – Arco λ compreendido entre [0, 4]. . . . 76
Figura 46 – Área da superfície gerada por λ.. . . 76
Figura 47 – Segmento da reta Ψ compreendido entre [0, 2]. . . . 77
Figura 48 – Área da superfície gerada pelo segmento de reta Ψ em torno de OX. . 78
Figura 49 – Área da superfície gerada pelo segmento de reta Ψ em torno de OY . . 79
Figura 50 – Área da superfície de revolução da curva astroide em torno de OX. . . 81
Figura 51 – Rotação de λ em torno do eixo -x no intervalo [0, π].. . . 82
Figura 52 – Arco Ψ entre [0, π]da curva nefroide. . . . 83
Figura 53 – Superfície gerada por Ψ em torno do eixo -x no intervalo [0, π]. . . . 84
Figura 54 – Teorema de Pappus aplicado a áreas de superfície.. . . 85
Figura 55 – Rotação da circunferência do disco λ sobre os eixos. . . . 86
Figura 56 – ASGx em relação ao eixo-x. . . 86
Figura 57 – ASGy em relação ao eixo -y. . . 87
Figura 58 – Rotação de uma curva y = f(x) em torno do eixo -x. . . . 87
Figura 59 – Sólido gerado pela rotação da curva elipse em torno do eixo -x. . . 89
Figura 60 – Sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo -x. . . . 90
Figura 61 – Teorema de Pappus aplicado a volumes. . . 92
Figura 62 – Rotação da região Ψ em torno do eixo -y. . . 93
Figura 63 – Rotação do disco λ em torno dos eixos coordenados. . . . 95
Figura 64 – Volume do sólido Toro através do Teorema de Pappus. . . . 95
Figura 65 – Centroide da meia esfera através do Teorema de Pappus. . . . 96
Figura 66 – Referencial de Frenet. . . 97
Figura 67 – Curvatura da lemniscate de Gerono. . . 101
Figura 68 – Movimento de uma cicloide. . . 104
Figura 69 – Reprodução geométrica da cicloide. . . 105
Figura 72 – Caso em que R > r. . . . 107
Figura 73 – Caso em que R = r. . . . 107
Figura 74 – Caso em que R < r. . . . 107
Figura 75 – Movimentação da circunferência λ. . . . 108
Figura 76 – .Cicloides encurtada e alongada.. . . 109
Figura 77 – Esboço da família de curvas trocoides. . . . 109
Figura 78 – Roda sobre o trilho de uma linha férrea. . . 110
Figura 82 – Área delimitada por um arco de cicloide. . . 114
Figura 83 – Área da cicloide curta. . . 114
Figura 84 – Movimentação da partícula sobre a cicloide invertida. . . 115
Figura 85 – Movimentação da partícula sob a ação da gravidade. . . 119
Figura 86 – Sólido gerado pela rotação da área delimitada pelo arco em torno do eixo-x. . . 122
Figura 87 – Sólido gerado pela rotação da área delimitada pelo arco em torno do eixo-y. . . 123
Figura 88 – Curvatura da cicloide ordinária . . . 124
Figura 89 – Os arcos BA¯ eAP¯ têm a mesma extensão longitudinal. . . 128
Figura 90 – Cúspides. . . 129
Figura 91 – O traçado das curvas define-se após uma rotação de Φ em λ. . . . 130
Figura 92 – O traçado das curvas define-se após três rotações de Φ em λ. . . . 131
Figura 93 – O ponto B nunca é cúspide, mesmo após 46 rotações de Φ em λ. . . . . 131
Figura 94 – Os extremos de ϕ são cúspides contidas no mesmo arco. . . . 132
Figura 95 – Trajetória do ponto P no traçado da epicicloide. . . 133
Figura 96 – Traçado de uma epicicloide de acordo com a definição. . . 135
Figura 97 – Traçado de epicicloides com valores distintos dos raios r e R. . . . 136
Figura 98 – Número de rotações para esboçar o traçado da Figura97e. . . 137
Figura 99 – Epicicloides densas para R = 2 e r =√2.. . . 138
Figura 100 – Cardioide. . . 139
Figura 101 – Nefroide.. . . 140
Figura 103 – Traçado de uma epicicloide alongada de acordo com a definição. . . 142
Figura 104 – Traçado de uma epicicloide encurtada de acordo com a definição. . . . 143
Figura 105 – Trajetória do ponto P no traçado da hipocicloide. . . 144
Figura 106 – Traçado de uma hipocicloide de acordo com a definição. . . 146
Figura 107 – Traçado de hipocicloides com valores distintos dos raios r e R. . . . 147
Figura 108 – λ rola no interior da circunferência fixa Φ. . . . 148
Figura 109 – Segmento de linha reta. . . 149
Figura 110 – Curva astroide. . . 150
Figura 111 – Hipocicloide degenerada. . . 150
Figura 112 – Modelos de astroide ou tetracúspide. . . 151
Figura 113 – Astroide. . . 152
Figura 114 – Modelos de deltoide ou tricúspide. . . 153
Figura 115 – Deltoide.. . . 154
Figura 117 – Traçado de uma hipocicloide alongada de acordo com a definição. . . . 156
Figura 121 – Hipocicloides onde n assume valores inteiros 4 e 5. . . . 162
Figura 122 – Hipocicloides onde n assume valores fracionários 15
2 e
9
2. . . 163
Figura 123 – Epicicloides onde n assume valores inteiros 3 e 4. . . . 164
Figura 124 – Epicicloides onde n assume valores fracionários 9
2 e
15
2 .. . . 164
Figura 125 – Cycloid Drawing Machine . . . 176
Figura 126 – The Original Spirograph Design Set Tin . . . 177
Figura 127 – Significado das marcações da RODA . . . 177
Figura 128 – Significado das marcações do ANEL . . . 178
Figura 129 – Passos 1 e 2 . . . 179
Figura 130 – Passos 3, 4 e 5 . . . 179
Figura 131 – Curvas traçadas com o orifício nº 1 da roda nº 45 . . . 180
Figura 133 – Curva traçada pelo autor com o Spirograph . . . 182
Figura 134 – Curva traçada pelo autor com o Spirograph . . . 183
Figura 135 – Traçado efetuado pela caneta para descrever a curva. . . 183
Figura 136 – Curva com 24 laços e traçada com 13 revoluções. . . 186
Figura 137 – Curva com 3 laços. . . 188
Figura 138 – Curva com 8 laços. . . 188
Figura 139 – Curva com 8 laços. . . 189
Figura 140 – Curva com 7 laços. . . 189
Figura 141 – Curva com 30 laços. . . 190
Figura 142 – Curva com 43 laços. . . 190
Figura 143 – Especificação do dente e da lacuna . . . 192
Figura 144 – Padrão completo após uma única rotação. . . 192
Figura 145 – Padrão completo após 15 rotações. . . 193
Figura 146 – Numeração dos dentes da roda e das lacunas do anel. . . 193
Figura 147 – Posicionamento da caneta em relação as lacunas do anel. . . 194
Figura 148 – Posicionamento da caneta em relação as lacunas do anel. . . 195
Figura 149 – Posicionamento da caneta em relação as lacunas do anel. . . 196
Tabela 1 – Informações direcionais da curva λ(t) = (f(t), g(t)). . . . 43
Tabela 2 – Curvas traçadas com a roda 60 no interior do anel 144/96 . . . 181
Tabela 3 – Tabela de engrenagens utilizando o anel 144/96 . . . 200
Introdução . . . 25
1 CURVAS PLANAS PARAMETRIZADAS . . . 27
1.1 Definição . . . 27
1.2 Parametrizações . . . 30
1.3 Cúspides . . . 31
1.4 Inclinação . . . 33
1.5 Reta tangente . . . 34
1.6 Reta tangente e reta normal . . . 38
1.7 Vetor velocidade e reta tangente. . . 39
1.8 Concavidade . . . 42
1.9 Esboço através das derivadas . . . 42
1.10 Cálculo do centro de massa ou centroide . . . 44
1.10.1 Massa de uma vareta . . . 44
1.10.2 Centro de massa de uma vareta . . . 45
1.10.3 Centroide de uma região plana . . . 47
1.10.4 Centroide de uma curva . . . 53
1.11 Diferencial do arco em coordenadas retangulares . . . 56
1.12 Arco . . . 57
1.12.1 Comprimento em coordenadas cartesianas . . . 57
1.12.2 Comprimento de um arco para curvas parametrizadas . . . 61
1.13 Áreas delimitadas por curvas escritas em equações paramétricas . . 64
1.14 Áreas de superfícies de revolução . . . 72
1.14.1 Áreas de superfícies de revolução e curvas parametrizadas. . . 79
1.14.2 Teorema de Pappus aplicado a áreas de superfícies de revolução . . . 84
1.15 Volume de um sólido de revolução . . . 87
1.15.1 Volume de um sólido de revolução gerado por uma curva em equações
paramétricas . . . 89
1.15.2 Teorema de Pappus aplicado a volumes de sólidos de revolução . . . 91
1.16 Aplicando o teorema de Pappus . . . 93
1.17 Fórmulas de Frenet e curvatura . . . 96
1.18 Teorema fundamental das curvas planas . . . 100
2 CICLOIDE . . . 103 2.1 Introdução . . . 103
2.4.1 Comprimento de um arco de cicloide . . . 112
2.4.2 Área delimitada por um arco de cicloide . . . 113
2.4.3 Tautócrona . . . 115
2.4.4 O problema da Braquistócrona . . . 118
2.5 Volume gerado por um arco de cicloide . . . 121
2.6 Cálculo da curvatura . . . 124 3 CURVAS CICLOIDAIS . . . 127 3.1 Introdução . . . 127 3.2 Definição e terminologia . . . 127 3.3 Pericicloides . . . 128 3.4 Epicicloides . . . 132
3.4.1 Cardioide ou epicicloide de uma cúspide . . . 138
3.4.2 Nefroide ou epicicloide de Huygens . . . 139
3.4.3 Epicicloides: forma alongada e encurtada . . . 141
3.4.4 Epicicloide alongada . . . 141
3.4.5 Epicicloide encurtada . . . 142
3.5 Hipocicloides . . . 144
3.5.1 Hipocicloide degenerada . . . 150
3.5.2 Astroide ou tetracúspide . . . 151
3.5.3 Deltoide, tricúspide ou hipocicloide de Steiner . . . 153
3.5.4 Hipocicloides: forma alongada e encurtada . . . 154
3.5.5 Hipocicloide alongada. . . 155
3.5.6 Hipocicloide encurtada . . . 156
3.5.6.1 Dupla geração de hipocicloides . . . 157
3.6 O software GeoGebra no estudo de comportamento das curvas . . . 160
REFERÊNCIAS . . . 165
ANEXOS
169
ANEXO A – IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS . . . 171 ANEXO B – ESPIRÓGRAFO . . . 175 B.1 Introdução . . . 175
B.2 Descrição . . . 176
B.6 Traçado de curvas com o espirógrafo . . . 180
B.7 Orifícios da roda . . . 180
B.8 Linhas de posicionamento . . . 180
B.9 Curvas traçadas com rodas no interior dos anéis. . . 181
B.10 A matemática do espirógrafo . . . 183
B.11 Período das curvas traçadas pelo espirógrafo. . . 186
B.12 O espirógrafo como ferramenta de ensino da matemática . . . 191
B.12.1 A matemática intrínseca nos padrões geométricos criados com o espirógrafo 191
Introdução
Esta dissertação é constituída por três capítulos. O primeiro capítulo é dedicado às propriedades gerais das curvas planas. Em todas as secções, com exceção das duas últimas, utilizamos como referência principal o livro de (ADAMS; ESSEX,2009), embora também nos tenhamos inspirado no livro (SALAS; HILLE; ETGEN, 2006). Iniciamos o estudo pelos conceitos de curvas paramétricas regulares e suas cúspides. Apresentamos as definições de inclinação, reta tangente, reta normal e concavidade. Mostramos a relação entre o vetor velocidade e a reta tangente e como esboçar o traço de uma curva através das suas derivadas. Tratamos do cálculo do centro de massa de uma vareta, e o centroide de uma região plana e de uma curva. Na sequência, introduzimos o diferencial do arco, o comprimento de arcos em coordenadas cartesianas e paramétricas. A finalização do primeiro capítulo é consagrada às áreas e volumes, iniciada pelo estudo das áreas delimitadas por curvas em equações paramétricas, e prosseguimos com áreas de superfícies de revolução. Após, introduzimos os volumes de sólidos de revolução. Mencionamos e aplicamos o famoso teorema de Pappus para áreas e volumes. Por fim, concluímos este capítulo com o estudo referente às fórmulas de Frenet e curvatura e o teorema fundamental das curvas planas.
O segundo capítulo é dedicado à curva cicloide. Após um enquadramento his-tórico realizado na introdução deste capítulo utilizando-se como fontes bibliográficas
(O’CONNOR; ROBERTSON, 1988), (SALES; BANYULS, 2011) e (LEE, 1995),
apresen-tamos a sua definição e equações paramétricas (ADAMS; ESSEX, 2009), (LAWRENCE,
1972), seguidas do estudo das suas generalizações (DELGADO; FRENSEL, 2008). Após, apresentamos as suas principais propriedades, o comprimento e a área de um arco de cicloide, as propriedades da tautócrona (SANTOS, 2012) e braquistócrona (MATOS;
CARRAPA, 2014), (VENCESLAU, 2015) e (CASTRO, 2014). Este capítulo se encerra
com o cálculo da áreas e volume de revolução (GRANVILLE; SMITH; LONGLEY, 1961)
e (ADAMS; ESSEX, 2009) nomeadamente gerados por um arco de cicloide. Por último,
efetuamos o cálculo da curvatura da cicloide (GIBSON, 2001).
No terceiro e último capítulo, estreamos por apresentar as definições e terminologias das curvas cicloidais. Seguidamente, dedicamos uma secção às pericicloides (BÉRTI,2015) e outra, mais longa, às epicicloides, onde figuram algumas curvas famosas como é o caso da cardioide e da nefroide. Prosseguimos efetuando, de forma análoga, o estudo para as hipocicloides. Findamos o capítulo com uma utilização do software GeoGebra no estudo do comportamento das curvas pericicloides.
Nesta dissertação constam dois anexos: o primeiro contém fórmulas trigonométricas necessárias no desenvolvimento de todo o trabalho e, o segundo anexo é consagrado
ao aparelho espirógrafo, que permite o traçado de algumas curvas cicloidais e constitui um objeto motivador do ensino da Matemática relacionada à este assunto. A quase totalidade das figuras representadas, foram reproduzidas pelo autor com o auxílio do
1 Curvas Planas Parametrizadas
Este primeiro capítulo é dedicado às propriedades gerais das curvas planas. Em todas as secções, com exceção das duas últimas, utilizamos como referência principal o livro de (ADAMS; ESSEX, 2009), embora também nos tenhamos inspirado no livro
(SALAS; HILLE; ETGEN,2006). Iniciamos o estudo pelos conceitos de curvas paramétricas
regulares e suas cúspides. Apresentamos as definições de inclinação, reta tangente, reta normal e concavidade. Mostramos a relação entre o vetor velocidade e a reta tangente e como esboçar o traço de uma curva através das suas derivadas. Tratamos do cálculo do centro de massa de uma vareta, e o centroide de uma região plana e de uma curva. Na sequência, introduzimos o diferencial do arco o comprimento de arcos em coordenadas cartesianas e paramétricas. A finalização do primeiro capítulo é consagrada às áreas e volumes, iniciada pelo estudo das áreas delimitadas por curvas em equações paramétricas, e prosseguimos com áreas de superfícies de revolução. Após, introduzimos os volumes de sólidos de revolução. Mencionamos e aplicamos o famoso teorema de Pappus para áreas e volumes. Por fim, concluímos este capítulo com o estudo referente às fórmulas de Frenet e curvatura e, o teorema fundamental das curvas planas.
1.1 Definição
Imagine que uma partícula esteja em movimento por toda a extensão de uma curva λ, como ilustrado na Figura 1. Isto posto, torna-se impossível descrever λ através de uma equação do tipo f(x), isso porque λ reprova-se no teste da reta vertical. No entanto, as coordenadas x e y da partícula são funções representativas do tempo e, desta forma, conseguimos escrevê-las como x = f(t) e y = g(t). Observe que este par de equações é, por várias vezes, uma forma adequada de expressar uma curva que nos conduz a definição seguinte.
Figura 1 – A partícula move-se por toda extensão da curva λ.
Definição 1 Uma curva paramétrica λ contida no plano compõe-se por um par ordenado
(f, g) de funções, cada uma estabelecida no mesmo intervalo I. As equações x = f(t),
y= g(t), com t ∈ I, são denominadas equações paramétricas da curva λ, onde a variável independente t é denotada parâmetro.
Figura 2 – Curva paramétrica λ.
Fonte: O original desta figura pertence a (ADAMS; ESSEX,2009, p.468)
A curva paramétrica λ mostrada na Figura2não foi determinada como um conjunto de pontos no plano, e sim como um par ordenado de funções do qual a abrangência é aquele conjunto de pontos. Distintos pares de funções podem originar o mesmo conjunto de pontos no plano, contudo pode-se querer considerá-los como curvas paramétricas diferentes. Entretanto, é comum tratarmos o conjunto de pontos (o trajeto traçado por (x, y) quando t percorre I) como a curva λ. Veja pela Figura2 que o eixo (linha real) do parâmetro t e os eixos de coordenadas do plano da curva são distintos. Em geral, denota-se o parâmetro pela variável t, sendo que em diversas aplicações t é utilizado para simbolizar o tempo. Uma vez que f e g sejam contínuas, a curva x = f(t) e y = g(t) não apresenta rupturas ou saltos. A direção de uma curva paramétrica diz respeito aos valores crescentes assumidos pelo parâmetro t, como mostra a Figura 2.
Exemplo 1 Esboce e identifique a curva paramétrica dada pelas equações x = t2 − 2,
y= t + 2 com t ∈ ] − ∞, +∞[.
Figura 3 – Esboço de uma curva paramétrica
Resolução: Um modo para esboçar a curva é construir uma tabela com valores para x
e y atribuindo diversos valores ao parâmetro t, a fim de obter-se as coordenadas de um conjunto de pontos da curva em questão. Entretanto, pode não ser possível a resolução do Exemplo 1com um número finito de valores, e então, elimina-se o parâmetro t em ambas as equações paramétricas, gerando desta forma uma única equação de variáveis x e y cujo gráfico é a curva mostrada pela Figura 3.
t= y − 2, x = (y − 2)2− 2 ⇒ x = y2 − 4y + 2. (1.1)
Veja que todos os pontos da curva estão contidos na parábola. Como y → ±∞ quando t → ±∞, a curva paramétrica é toda a parábola.
Ainda que a curva estudada no Exemplo 1 seja reconhecida de maneira fácil ao eliminar-se o parâmetro t, há uma perda de informação ao transformar suas equações paramétricas para a forma não-paramétrica (1.1). De modo específico, perde-se o sentido da curva como o trajeto de uma partícula em movimento e, consequentemente, também a direção da curva. Uma vez que a forma paramétrica oferece informações importantes como por exemplo a indicação da hora exata em que a partícula está no ponto (x, y), por outro lado a equação não-paramétrica x = y2
− 4y + 2 é ineficaz neste sentido por não mostrar a localização da partícula em um momento t qualquer do trajeto.
Exemplo 2 Considere a função y = x2 com x∈ [−3, 3]. O gráfico de f como uma curva parametrizada é expresso por
x(t) = t
y(t) = t2 com t∈ [−3, 3]
Resolução: Seja P (t) =t, t2, então temos P (−3) = (−3, 9), P (3) = (3, 9), P (1) = (1, 1),
assim por diante.
1.2 Curva plana geral e parametrizações
Em conformidade com a Definição 1, uma curva paramétrica implica um conjunto peculiar de equações paramétricas; não é somente um agrupamento de pontos no plano. Sempre que há interesse em considerar uma curva pela ótica de um mero conjunto de pontos (um objeto geométrico), não é necessário preocupação com nenhum par peculiar de equações paramétricas representando tal curva. Neste contexto, denotamos a curva unicamente por curva plana.
Definição 2 Uma curva plana λ é um conjunto de pontos (x, y) no plano tal que x =
f(t), y = g(t) com t ∈ I, onde f e g são funções contínuas definidas em I. Algum intervalo I e par de funções (f, g) que constituam os pontos de λ é denotado como parametrização de λ.
Visto que uma curva plana não compreende nenhuma parametrização peculiar, analogamente pode-se afirmar o mesmo em relação a sua direção.
Exemplo 3 A circunferência φ : x2+ y2 = 1 é uma curva plana. No entanto, os itens
abaixo representam diversas possíveis parametrizações para φ:
a) x = cos(t), y = sen(t), com t ∈ [0, 2π];
b) x = senz2, y = cosz2, com z ∈h0,√2πi;
c) x = cos (πv + 1) , y = sen (πv + 1), com v ∈ [−1, 1]; d) x = 1 − u2, y = u√2 − u2, com u ∈h−√2,√2i.
Uma forma de verificar a veracidade de cada um dos itensa),b),c),d), ou seja, se algum deles representa a circunferência, é substituir as funções adequadas de x e y na expressão x2+ y2 = 1 de maneira a obter um reduzido para o valor 1. Isso comprova que a
curva paramétrica está contida na circunferência. A seguir, teste os intervalos de x e y consoante a variação do parâmetro t em relação ao seu domínio. Por exemplo, testando o item d)temos
x2+ y2 = 1 ⇒ 1 − u22+u√2 − u22 = 1 ⇒ 1 − 2u2+ u4+ 2u2
− u4 = 1, (1.2) e o ponto (x, y) movimenta-se de (−1, 0) através de (0, −1) para (1, 0) à medida que t aumenta de −√2 a −1 até 0 e, em seguida, continua para (0, 1) regressando a (−1, 0) à medida que t continua a crescer de 0 a 1 até√2.
1.3 Curvas paramétricas regulares e suas cúspides
Definição 3 Uma curva do plano é denominada regular quando for detentora de uma
reta tangente em cada ponto P e essa tangente girar de forma contínua à medida que P se desloca ao longo da curva. (Ou seja, o ângulo entre a reta tangente em P e alguma reta fixa, por exemplo o eixo -x for uma função contínua da posição de P ).
Se a curva λ representar o gráfico de uma função f, λ é certamente regular em qualquer intervalo onde a derivada f′(x) exista, e for contínua; podendo também ser
regular em intervalos que contenham pontos singulares isolados.
Um exemplo, pode ser visualizado na Figura5, caso em que a curva com coordenadas cartesianas y = x1
3 é regular em toda a extensão do seu traçado, embora dy
dx não exista
em x = 0.
Figura 5 – Exemplo de uma curva regular.
Fonte: Autor
Para curvas paramétricas com equações x = f(t) e y = g(t) a situação é mais complexa. Mesmo que f e g tenham derivadas contínuas em toda a sua extensão, tais curvas podem não ser regulares em certos pontos, especificamente nos pontos onde ambas as derivadas sejam nulas, isto é, f′(t) = g′(t) = 0.
Considere a curva λ de equações paramétricas x = f(t) = 2t2, y = g(t) = t3.
Eliminando o parâmetro t, temos a equação cartesiana y2 = 1
8x
3 ou x = 2y23, que não é
regular na origem, embora f′(t) = 4t e g′(t) = 3t2 sejam contínuas para todos os valores
do parâmetro t.
A visualização da Figura 6 mostra que ambas as derivadas f′ e g′ são nulas em
Figura 6 – A curva λ não é regular na origem, tendo a origem como cúspide.
Fonte: Autor
Se considerarmos as equações paramétricas como sendo a representação da posição no instante de tempo t de um ponto P em movimento, então a velocidade horizontal é
f′(t) e a velocidade vertical é g′(t).
Ao observar a Figura 6constata-se também que ambas as velocidades são nulas em
t= 0, então P encontra-se em estado de inércia nesse instante. Daí, quando P recomeça a movimentar-se novamente, não é necessário que o faça na direção que estava a mover-se antes da inércia.
A cicloide ordinária da Figura 7 é outro exemplo em que uma curva paramétrica não é regular em pontos onde dx
dt e dy
dt sejam nulas.
Figura 7 – Cicloide - Cúspides em pontos onde as velocidades são nulas.
1.4 Inclinação de uma curva paramétrica
O teorema que iremos apresentar em seguida comprova a veracidade da afirmação de que uma curva paramétrica é regular nos pontos em que as derivadas de suas funções coordenadas são contínuas e não ambas nulas.
Teorema 1 Seja λ uma curva com equações paramétricas x = f (t), y = g(t), onde suas
respectivas derivadas f′(t) e g′(t) são contínuas em um intervalo I.
Se f′(t) 6= 0 em I, então λ é regular e possui em cada ponto (f(t), g(t)) uma reta tangente com inclinação dy
dx = g′(t)
f′(t).
Se g′(t) 6= 0 em I, então λ é regular e possui em cada ponto (f(t), g(t)) uma reta normal com inclinação dy
dx = − f′(t)
g′(t).
Portanto, λ é regular, exceto possivelmente em pontos onde suas respectivas deriva-das f′(t) e g′(t) sejam ambas nulas.
Prova: Como f′(t) 6= 0 é contínua em I, mantém sinal constante em I, então f é
estritamente crescente ou decrescente no intervalo I e, portanto, é injetiva e inversível . A parte de λ correspondente aos valores de t = f−1(x) possui equação cartesiana dada por
y = g(f−1(x)) e, portanto, a reta tangente a λ em (f(t), g(t)) possui declive
dy dx = g ′(f−1(x)) d dxf −1(x) = g′(f−1(x)) f′(f−1(x)) = g′(t) f′(t).
Utilizamos aqui a relação
d dxf
−1(x) = 1
f′(f−1(x)),
para a derivada de uma função inversa. Este declive ou inclinação é uma função contínua de t, então a tangente a λ gira continuamente para t ∈ I. A prova quando g′(t) 6= 0 é dada
de forma semelhante. Neste caso, a inclinação da reta normal é uma função contínua de t, então a reta normal gira continuamente para t ∈ I, portanto, a tangente também.
Se as derivadas f′ e g′ são contínuas, e ambas se anulam em algum ponto t
0, então
a curva x = f(t), y = g(t) pode ser ou não regular na vizinhança de t. Um exemplo é ilustrado na Figura 6, onde uma curva não é regular em um determinado ponto. Outro exemplo é o mostrado na Figura 8.
Exemplo 4 A curva β dada pelas equações paramétricas x(t) = t3, y(t) = 2t6 é a parábola y = 2x2, portanto, é regular em toda sua extensão, embora dx
dt = 3t
2 e dy
dt = 12t
5 sejam
Figura 8 – A curva β é regular em t = 0.
Fonte: Autor
1.5 Reta tangente
Tendo visto como representar as curvas por meio de equações paramétricas, va-mos, a partir de agora, aplicar os métodos de cálculo a essas curvas parametrizadas. Particularmente, resolveremos problemas envolvendo tangentes.
Admita que as funções f e g sejam diferenciáveis e o objetivo seja encontrar a reta tangente num ponto à curva descrita pelas equações paramétricas x = f(t), y = g(t), onde
y também é uma função diferenciável em x. Relembrando o que diz a regra da cadeia dy dt = dy dx · dx dt Na condição de dx dt 6= 0 e aplicando o isolamento a dy dx, temos dy dx = dy dt dx dt . (1.3)
Convenientemente, por permitir encontrar a inclinação dy
dx da tangente a uma curva
paramétrica, sem a necessidade de eliminar o parâmetro t, adotaremos a equação (1.3) quando a intenção aponte para obtenção da inclinação de tal curva.
A curva tem uma tangente horizontal quando dy
dt = 0, contanto que dx
dt 6= 0, ao
passo que, terá uma tangente vertical, caso dx
dt = 0 contanto que dy
dt 6= 0. Essas informações
Ao admitir-se que uma curva parametrizada representa o traçado do movimento de uma partícula, então, dy
dt e dx
dt caracterizam as velocidades vertical e horizontal da
partícula, e a equação (1.3) responsável por informar que a inclinação da tangente é a razão dessas velocidades.
Abaixo, seguem alguns exemplos com a intenção de mostrar algebricamente o que foi explicitado anteriormente.
Exemplo 5 Encontre a tangente à cicloide x(t) = r (t − sen(t)), y(t) = r (1 − cos(t))
no ponto onde t0 =
π
3. Em seguida, determine em que pontos a curva admite tangentes
horizontais e verticais.
Resolução:Calculando as derivadas dy
dt = r sen(t) e dx
dt = r (1 − cos(t)), a
incli-nação da reta tangente é dada por
dy dx = dy/dt dx/dt = sen(t) 1 − cos(t) ⇒ dy dx t0=π3 = sen(π/3) 1 − cos(π/3) ⇒ dy dx = √ 3/2 1 − (1/2) = √ 3
A equação geral da reta tangente é expressa por
X(t) = x(t0) + x′(t0)(t − t0), Y (t) = y(t0) + y′(t0)(t − t0),
passando pelo ponto (f(t0), g(t0)) na curva. Então, ao substituirmos t0 =
π
3 nas equações paramétricas da cicloide, obtemos
x(t) = r (t − sen(t)) ⇒ x π 3 = r π 3 −sen π 3 ⇒ x π 3 = r π 3 − √ 3 2 ! y(t) = r (1 − cos(t)) ⇒ y π 3 = r 1 − cosπ3⇒ y π 3 = r 1 − 12= r 2, um ponto pertencente à curva, mas ao mesmo tempo, que representa o local por onde a reta tangente irá passar, ou seja, é denominado como sendo ponto de tangência. Portanto, como já é conhecido o valor da inclinação da reta tangente, ou seja, dy
dx = √ 3, sua equação é expressa por Y− r 2 = √ 3 X− rπ 3 + r√3 2 ! ou √ 3X − Y = r √π 3− 2 ! .
A Figura9ilustra a reta tangente à cicloide no exato momento em que o parâmetro
t assume o valor t0 =
π
3. Com ajuda do software Geogebra é possível mostrar outros pontos de tangência da curva, (Figura 10).
Figura 9 – Reta tangente à cicloide em t0 =
π
3.
Fonte: Autor
Para além destes cálculos efetuados anteriormente, o propósito neste momento é a determinação dos pontos onde a cicloide admite retas tangentes horizontais ou retas tangentes verticais.
A curva admite reta tangente horizontal desde que
dy dx P 0 = sen(t0) 1 − cos(t0) = 0 sse dy dt P 0 = sen(t0) = 0 e dx dt P 0 = 1 − cos(t0) 6= 0,
isto é, t0 = (2n − 1)π, onde n ∈ Z. O ponto correspondente na cicloide por onde passa a
reta tangente é ((2n − 1)πr, 2r).
Em contrapartida, quando o parâmetro t assume valor t = 2n π, ambas as derivadas são nulas, isto é, dx
dt P 0 = 0 e dy dt P 0 = 0.
Feita uma analise ao gráfico ilustrado na Figura10, nota-se que podem existir retas tangentes verticais nestes pontos, onde as derivadas assumem valor nulo.
Figura 10 – Retas tangentes à cicloide.
Fonte: Autor
Pela regra de L’Hôspital verifica-se isso:
dy dx (2nπ+,0) = sen(t0) 1 − cos(t0) = 0 0 ⇒ t7→2nπlim+ cos(t0) sen(t0) ! = 1 0+ = +∞
De modo similar, é possível obter dy
dx 7→ −∞ quando t 7→ 2n π
−; Concluindo que
existem realmente tangentes verticais quando t = 2n π, ou seja, para x = 2n πr.
Exemplo 6 Uma curva γ é definida pelas equações x(t) = t2 e y(t) = t3− 3t. Mostre que γ tem duas tangentes no ponto (3 , 0) e encontre suas equações. Em quais pontos de γ teremos tangentes horizontais ou verticais?
Resolução: Comecemos por notar que y(t) se anula quando t = 0 ou t =±√3.
Desta forma, o ponto (3 , 0) ∈ γ é formado quando assumimos estes dois valores do parâmetro, ou seja, t = √3 e t = −√3. Conclusão, a curva γ se intercepta a si própria no ponto (3 , 0). Dado que dx
dt = 2t e dy dt = 3t 2 − 3, logo dy dx = dy dt dx dt = 3t2− 3 2t = 3 2 · t−1 t
a inclinação da tangente para os dois valores do parâmetro, t = ±√3 é dy
dx = ±
√ 3. A equação geral da reta tangente é expressa por
X(t) = f(t0) + f′(t0)(t − t0), Y (t) = g(t0) + g′(t0)(t − t0),
passando pelo ponto (f(t0), g(t0)) na curva. Assim, as equações das retas tangentes no
ponto (3 , 0) são dadas por
Y =√3(X − 3) e Y = −√3(X − 3).
A curva γ tem uma reta tangente horizontal quando dy
dt = 0 se dx
dt 6= 0. Dado que dy
dt = 3t
2− 3, decorrente dos dois valores assumidos pelo parâmetro, t = ±1 e que produz
em γ os pontos correspondentes (1 , −2) e (1 , 2).
De outra forma, γ tem uma reta tangente vertical quando dx
dt = 2t = 0, ou seja, t = 0 e ao mesmo tempo que dy
Figura 11 – Retas tangentes à curva γ.
Fonte: Autor
1.6 Reta tangente e reta normal para curvas paramétricas
Seja λ (t) = (f (t) , g (t)) uma curva parametrizada. Se as derivadas f′ e g′ são
contínuas e não ambas nulas em t0, então as equações paramétricas
X(t) = f(t0) + f′(t0)(t − t0), Y (t) = g(t0) + g′(t0)(t − t0)
para t ∈ [−∞, +∞] representam a reta tangente à curva λ (t) no ponto (f(t0), g(t0)).
Sendo a reta normal representada pelas equações paramétricas
X(t) = f(t0) + g′(t0)(t − t0), Y (t) = g(t0) − f′(t0)(t − t0)
para t ∈ [−∞, +∞]. As duas retas em questão, a tangente e a normal se cruzam no ponto (f(t0), g(t0)).
Exemplo 7 Encontre a reta tangente e a reta normal à curva deltoide de equações
paramétricas x(t) = 2 cos(t) + cos(2t), y(t) = 2 sen(t)− sen(2t) no ponto onde t = π
3.
Resolução:Primeiro, façamos a substituição do parâmetro t = π
3 nas equações paramétricas da curva e assim, obtemos
x π 3 = 2 cosπ 3 + cos2π 3 = 1 2 y π 3 = 2 senπ 3 − sen 2π 3 = √ 3 2 ,
Diferenciando as equações paramétricas x(t) e y(t), temos
dx
dt = −2 sen(t) − 2 sen(2t) e dy
dt = 2 cos(t) − 2 cos(2t).
Substituindo o valor do parâmetro t = π
3 em ambas as derivadas, encontramos
dx dt t=π 3 = −2√3 e dy dt t=π 3 = 2.
Portanto, as equações paramétricas da reta tangente e da reta normal à curva deltoide no ponto onde o parâmetro t = π
3, são Tangente: X(t) = 1 2 −2 √ 3t− π3 e Y(t) = √ 3 2 + 2 t− π 3 Normal: X(t) = 1 2 + 2 t−π3 e Y(t) = √ 3 2 + 2 √ 3t− π 3
A Figura12ilustra ambas as retas que se cruzam no ponto 1 2, √ 3 2 ! .
Figura 12 – Reta tangente e reta normal sobre à curva deltoide.
Fonte: Autor
1.7 Vetor velocidade e a reta tangente
Se as funções f(t) e g(t) são diferenciáveis em t0 ∈ I, então o vetor velocidade ~v
da curva parametrizada λ
λ: I → R
em t = t0 é definido por v(t0) = (f′(t0), g′(t0)).
O vetor ~v mostrado na Figura13, tem direção tangente à curva em t0 e indica o
sentido do movimento.
Figura 13 – Vetor velocidade e a reta tangente.
Fonte: Autor
A reta tangente à curva parametrizada λ em X0 é a reta que passa em P0 =
(f(t0), g(t0)) e é paralela ao vetor velocidade. Sua equação vetorial é representada por
(X, Y ) = (f(t0), g(t0)) + t (f′(t0), g′(t0)) , com t ∈ R,
e portanto, suas equações paramétricas são
X(t) = f(t0) + t (f′(t0)) Y(t) = g(t0) + t (g′(t0)) ,com t ∈ R.
Exemplo 8 Seja λ uma circunferência de raio 2 e centro (2, 0). Comece por determinar
equações paramétricas para λ, em seguida, encontre o vetor velocidade e a equação vetorial da reta tangente à curva no ponto P0 =
3,√3.
Resolução: Temos que um ponto genérico P = (x, y)∈ λ ⇔ (x − a)2+ (y − b)2 = r2. E
daí, x− a r 2 + y− b r !2 = 1 ⇔ G = x− a r , y− b r !
pertence a uma circunferência de raio 1, centrada na origem.
Figura 14 – Triângulo retângulo
Fonte: Autor
Fazendo uso da trigonometria no triângulo retângulo da Figura 14, obtemos as relações x− a r = cos(t) y− b r = sen(t) ,para t ∈ [0, 2π] .
Portanto, para cada ponto P = (x, y) ∈ λ, temos
λ(t) = f(t) = 2 cos(t) + 2 g(t) = 2 sen(t) ,com t ∈ [0, 2π],
que são equações paramétricas de λ. Agora, é necessário o cálculo do parâmetro t = t0
para o ponto P0 =
3,√3, dado no enunciado. Para isso, basta-nos substituir o ponto P0
nas equações paramétricas de λ, ou seja,
3 = 2 cos(t0) + 2 ⇒ cos(t0) = 1 2 √ 3 = 2 sen(t0) ⇒ sen(t0) = √ 3 2 ⇒ t0 = π 3
O vetor velocidade é dado por v(t0) = (f′(t0), g′(t0)). Diferenciando f(t) e g(t),
obtemos f′(t) = −2 sen(t), g′(t) = 2 cos(t). Daí, substituindo o parâmetro t = π
3 em cada uma das derivadas, obtemos
v π 3 =f′ π 3 , g′ π 3 ⇒ v π 3 =−2 senπ 3 , 2 cos π 3 =−√3, 1.
E por fim, a reta tangente à curva λ no ponto P0, possui equação vetorial dada por
(X, Y ) =3,√3+ t−√3, 1com t ∈ [0, 2π]. A Figura 15, mostra o traçado da curva λ, a reta tangente à curva no ponto P0 e o seu respectivo vetor velocidade.
Figura 15 – Reta tangente à curva no ponto P0 e seu vetor velocidade.
Fonte: Autor
1.8 Estudo da concavidade de uma curva paramétrica
Através do estudo de sinal das derivadas de segunda ordem de uma curva paramé-trica qualquer λ(t) = (f(t), g(t)), é possível determinar a sua concavidade. O procedimento algébrico aplicado é apenas para calcular d2y
dx2 utilizando a regra da cadeia:
d2y dx2 = d dx· dy dx = d dx · g′(t) f′(t) = d dt " g′(t) f′(t) # · dxdt = f′(t) · g′′(t) − g′(t) · f′′(t) [f′(t)]2 · 1 f′(t) = f′(t) · g′′(t) − g′(t) · f′′(t) [f′(t)]3 . (1.4)
Então, em um intervalo onde f′(t) 6= 0, a curva paramétrica x = f(t), y = g(t) tem
concavidade determinada pela relação (1.4).
1.9 Esboço de curvas paramétricas através das derivadas
Assim como é feito no caso de gráficos de funções, através das derivadas obtemos informações úteis sobre a forma de uma curva paramétrica. Basta-nos relembrar que naqueles pontos onde dy
dt = 0, com dx
dt 6= 0, a tangente é horizontal; em pontos onde dx
dt = 0 com dy
dt 6= 0, a tangente é vertical. Para pontos onde dx
dt = dy
dt = 0, qualquer coisa
pode acontecer.
É relevante o cálculo dos limites laterais da inclinação dy
dx à medida que o parâmetro t se aproxima de um desses pontos. A concavidade pode ser determinada usando a relação
(1.4) obtida na Secção1.8. Para explicitar as informações obtidas até agora, considere o exemplo a seguir.
Exemplo 9 Através das informações sobre inclinação e concavidade, faça o esboço do
gráfico da curva λ de equações paramétricas f (t) =−t3+ 3t, g(t) = t2 para t∈ [−2, 2].
Figura 16 – Esboço da curva λ.
(a) Tangentes verticais e horizontais (b) Valores do parâmetro t
Fonte: Autor
Resolução: Ao diferenciarmos f(t) e g(t), obtemos suas derivadas dadas por
f′(t) = −3t2+ 3 = 3(−t2+ 1), g′(t) = 2t.
A curva λ ilustrada na Figura16, possui uma tangente horizontal em t = 0, isto é, em (0, 0) e tangentes verticais em t = ±1, isto é, em (2, 1) e (−2, 1). As informações direcionais para a curva entre esses pontos estão todas resumidas na Tabela 1 a seguir.
Tabela 1 – Informações direcionais da curva λ(t) = (f(t), g(t)).
t −2 −1 0 1 2 f′(t) − 0 + + + 0 − g′(t) − − − 0 + + + x ← · → → → · ← y ↓ ↓ ↓ · ↑ ↑ ↑ Curva ւ ↓ ց → ր ↑ տ
Fonte – Produzido pelo autor
A respeito do estudo da concavidade de λ, faz-se necessário o cálculo da segunda derivada d2y
dx2 para que se possa utilizar a relação (1.4) estudada na Secção1.8. Em vista
(1.4), obtemos d2y dx2 = f′(t) · g′′(t) − g′(t) · f′′(t) [f′(t)]3 = −3 · (t2− 1) · (2) − 2t · (−6t) [−3(t2− 1)]3 = −29(t(t22+ 1) − 1)3,
que nunca é nula, porém não é definida para valores do parâmetro t = ±1. O sinal de
d2y
dx2 é contrário ao sinal de y 2
− 1. Com efeito, ao observar-se a Figura16, nota-se que λ é côncava para cima quando os valores do parâmetro t estão entre o intervalo ] − 1, 1[ e côncava para baixo fora desse intervalo.
1.10 Cálculo do centro de massa ou centroide
Cotidianamente, somos surpreendidos com inúmeras situações em que necessitamos manter um sistema de corpos em equilíbrio. Com a intenção de apoiar uma placa plana em uma haste fina, de maneira que a mesma fique em equilíbrio, o ponto de apoio da haste obrigatoriamente tem de estar posicionado no centro de massa ou centroide da placa, tendo em conta o campo gravitacional uniforme. De outro modo, para acondicionar a carga de um caminhão é preciso que a mesma esteja em equilíbrio, para evitar acidentes por descaimento da carga, ou esfacelamentos dos pneumáticos e da suspensão. Por esse motivo, surge a necessidade de definir o centro de massa ou centroide, não somente de placas planas de formas variados, como também arames, fios, e sólidos tri-dimensionais.
No decorrer dessa secção, o autor pretende demonstrar como obter centro de massa ou centroides como aplicação do cálculo integral em algumas circunstâncias. Cabe salientar nesse instante a diferença entre centro de massa e centro de gravidade. O centro de massa independe de fatores externo, como por exemplo da aceleração da gravidade local. Já o centro de gravidade depende do campo gravitacional. Deste modo, o centro de massa e o centro de gravidade só coincidem quando o campo gravitacional for uniforme.
1.10.1 A massa de uma vareta
Imagine por um instante que uma vareta (um fio reto de espessura desprezível) esteja completamente apoiada sobre o eixo -x de x = a a x = b.
Se a densidade de massa da vareta (a massa por unidade de comprimento) é constante, então entenda-se como massa total M da vareta o produto entre sua densidade
σ e seu comprimento: M = σ (b − a). Assim, se a densidade σ variar de forma contínua de
um ponto para outro, digamos σ = σ(x), então a massa da vareta é o produto entre sua densidade média e o seu comprimento: M = (densidade média) · (comprimento).
Portanto, uma forma sucinta de expressar a massa M da vareta em termos de um integral é:
M =
Z b
a σ(x) dx. (1.5)
1.10.2 O centro de massa de uma vareta
O objeto de estudo ainda continua sendo a vareta. Entretanto, o interesse agora é a obtenção do seu centro de massa que denotaremos por xM. O estudo divide-se em
dois casos distintos, que se diferem apenas pela homogeneidade da vareta. Se a vareta é homogênea, isto é, possui massa constante, logo, fica evidente que o centro de massa do objeto em estudo é equivalente ao seu ponto médio:
xM =
a+ b
2 .
Agora, para o caso em que a vareta não seja homogênea, o centro de massa ainda assim continuará sendo uma média, mas porém, uma média ponderada, a média ponderada de
densidade x de a para b; nomeadamente, xM é o ponto para o qual
xM ·
Z b
a σ(x) dx =
Z b
a x· σ (x) dx.
Como o integral situado à esquerda é M, temos
xM · M =
Z b
a x· σ (x) dx. (1.6)
Exemplo 10 Uma vareta de comprimento δ é estendida sobre o eixo -x no intervalo
0 < x < δ. Encontre a massa da vareta e o seu centro de massa, sabendo que sua densidade
varia diretamente com a distância ao ponto x = 0.
Resolução: Sabe-se que σ(x) = θx é a função densidade, onde a constante θ é positiva.
Daí, utilizando a relação (1.5) temos que
M = Z δ 0 σ(x) dx = Z δ 0 θx dx= 1 2θx 2δ 0 M = 1 2θδ2. (1.7)
Sabendo que a função densidade é σ(x) = θx, é necessário o desenvolvimento do segundo membro da relação (1.6) para o cálculo do centro de massa (xM), e assim temos:
xM · M = Z δ 0 x· σ (x) dx = Z δ 0 x· (θx) dx = 1 3θx 3δ 0 xM · M = 1 3θδ3. (1.8)
Portanto, o centro de massa da vareta é obtido substituindo o valor de M encontrado em (1.7) na relação (1.8): xM · M = 1 3θδ3 ⇒ xM = 1 3θδ3 1 2θδ2 ⇒ xM = 2 3δ (1.9)
Figura 17 – Vareta fina estendida sobre o eixo -x.
Fonte: Autor
É importante ressaltar em análise à Figura17, que o centro de massa da vareta está situado à direita do ponto médio. A razão disso é simples de se explicar. Há um aumento da densidade no sentido da esquerda para a direita da vareta. Assim, há um acúmulo de massa próximo da extremidade direita da vareta.
Fazendo alusão à Física e algumas de suas teorias, é conhecido que próximo da superfície terrestre, onde prevalece a força da gravidade expressa pela conhecida relação
W = m · g, o centro de massa é também o centro de gravidade. Sendo este então, o ponto
de equilíbrio.
Comparando o que foi dito no parágrafo anterior com o visto no Exemplo 10, a vareta tem ponto de equilíbrio em xM =
2
3δ. Então, com o posicionamento de um suporte neste ponto xM, ilustrado pela Figura18, a vareta permanecerá em equilíbrio.
Figura 18 – Posicionamento do suporte no ponto de equilíbrio xM.
1.10.3 Centroide de uma região plana
Foi motivo de estudo na Subsecção 1.10.2a localização do centro de massa de uma vareta. Agora, admita que exista uma fina distribuição de matéria, uma placa, assente sobre o plano xOy formando uma região Ψ, ilustrada pela Figura 19.
Figura 19 – Região Ψ assente sobre o plano xOy.
Fonte: Autor
Havendo uma variação ponto a ponto da densidade de massa da placa, então é necessário a aplicação de um integral duplo para a determinação do seu centro de massa. Pensando de forma contrária, caso a densidade de massa da placa seja constante ao longo de Ψ, então o centro de massa é dependente unicamente da sua forma e torna-se um ponto (¯x, ¯y) chamado centroide. Desde que Ψ não tenha um formato complexo, é possível localizar o centroide utilizando a integração simples de uma variável.
O estudo da localização do centroide de uma região plana é embasado em dois princípios. O primeiro é notório. Já o segundo vindo da Física, estando o seu resultado em conformidade com a percepção física e sendo prontamente justificado pela integração dupla.
Princípio 1: Simetria Se a região tem um eixo de simetria, então o centroide (¯x, ¯y) está situado em alguma posição ao longo deste eixo. Particularmente, caso a região
tenha um centro, então o centro é dito o centroide.
Princípio 2: Aditividade Se a região, com a área A, compõe-se por um número
finito de retângulos com áreas A1, . . . , An e centroides (¯x1,¯y1) , . . . , (¯xn,¯yn), então
¯xA = ¯x1A1+ . . . + ¯xnAn e ¯yA = ¯y1A1+ . . . + ¯ynAn. (1.10)
Agora, estamos preparados para aplicar as técnicas do cálculo. A Figura20 ilustra a região Ψ sob o gráfico de uma função contínua f. A área de Ψ é denotada por A.
O centroide (¯x, ¯y) de Ψ é encontrado mediante a utilização das seguintes relações: ¯xA =Z b a xf(x) dx, ¯yA = Z b a 1 2[f(x)] 2 dx. (1.11)
Figura 20 – Região Ψ sob o gráfico de f.
Fonte: O original desta figura pertence a (SALAS; HILLE; ETGEN, 2006, p.313)
Com o intuito de deduzirmos as relações (1.11), adotamos uma partição P = {x0, x1, . . . , xn} aplicada ao intervalo [a, b]. Como consequência, há uma fragmentação de
[a, b] em n subintervalos [xi−1, xi] de amplitude ∆xi = xi− xi−1. Dada a escolha de x∗i
como ponto médio de [xi−1, xi], construímos os retângulos Ri ilustrados pela Figura 21.
Figura 21 – Fragmentação de [a, b] em n subintervalos.
Fonte: O original desta figura pertence a (SALAS; HILLE; ETGEN, 2006, p.313)
A área de Ri é f(x∗i)∆xi, e o centroide de Ri é o centro
x∗i, 1 2f(x∗i) . Por (1.10), o centroide (¯xp,¯yp) originado da unificação de todos estes retângulos satisfaz as seguintes
equações: ¯xpAp = x∗1f(x∗1)∆x1+ · · · + x∗nf(x∗n)∆xn, ¯ypAp = 1 2[f(x∗1)] 2∆x 1+ · · · + 1 2[f(x∗n)] 2∆x n.
Observe que Ap é a denominação da unificação dos n retângulos. Fazendo kP k → 0,
Porém, é necessário esclarecer o que estamos procurando antes de dar início à busca por centroides.
Através do estudo da Física, sabe-se que o peso de um objeto é definido como a força da gravidade no objeto e pode ser calculado como a massa vezes a aceleração da gravidade, W = m · g. E daí, o centroide de uma região plana Ψ é o ponto de equilíbrio da placa Ψ, mediante o seguinte raciocínio: Se Ψ possuir centroide (¯x, ¯y), então é possível equilibrar a placa Ψ na linha x = ¯x e também na linha y = ¯y. Se realmente (¯x, ¯y) estiver em Ψ, o que não é necessariamente o caso, então a placa tem a possibilidade de ser equilibrada neste ponto.
Exemplo 11 Encontre a localização do centroide da quarta parte do disco, situado no
primeiro quadrante do plano cartesiano e ilustrado pela Figura 22.
Figura 22 – Quarta parte do disco e a localização do centroide.
Fonte: Autor
Resolução: O disco é simétrico em relação à reta y = x. Assim sendo, sabemos
que ¯x = ¯y. Então, obtemos ¯yA =Z r 0 1 2[f(x)] 2 dx = Z r 0 1 2 r2− x2 dx = 1 2 r2x− 1 3x 3r 0 = 1 3r 3. (1.12)
Uma vez que a área A da Figura22 é dada por
A= Z r 0 √ r2− x2dx= r2arcsenx |r| 2 + x√r2− x2 2 r 0 = 1 4πr2. (1.13)
O cálculo de ¯y é simplesmente o quociente entre (1.12) e (1.13): ¯y = 1 3r 3 1 4πr2 = 4r 3π.
Portanto, como ¯x = ¯y, o centroide da quarta parte do disco está localizado no ponto de coordenadas4r 3π, 4r 3π .
Observação: No Exemplo 11 ao contrário da escolha feita para calcular ¯yA, é possível optar por ¯xA. E assim, temos
¯xA =Z r 0 x· f(x) dx = Z r 0 √ r2− x2· x dx. (1.14)
É necessário manipular o radical existente no integrando igualando a expressão contida em seu interior à variável u. Daí, utilizar a derivação de u em função de dx obtendo assim
u= r2− x2 ⇒ du
dx = −2x ⇒ du = −2x dx ⇒ −
1
2du= x dx. (1.15)
Aplicando o processo de integração em (1.14) e utilizando o valor de x dx obtido em (1.15) a fim de encontrar o valor de ¯xA, temos que
¯xA =Z r 0 √ r2− x2· x dx = Z 0 r2 √ u· −12 du = −12Z 0 r2 √ u du = −1223u32 0 r2 = 1 3r3. (1.16)
Os próximos passos para o cálculo da área A e por último a localização do centroide são executados de maneira análoga aos anteriores.
Uma outra situação para análise é quando se faz necessário a localização do centroide da área de uma região Ψ compreendida entre os gráficos de duas funções contínuas f e g. Essa situação é ilustrada através da Figura23, onde Ψ tem área A e centroide (¯x, ¯y), então
¯xA =Z b a x[f(x) − g(x)] dx, e ¯yA = Z b a 1 2 [f(x)]2 − [g(x)]2dx. (1.17)
Figura 23 – Região Ψ compreendida entre f(x) e g(x).
Fonte: O original desta figura pertence a (SALAS; HILLE; ETGEN, 2006, p.314)
Demonstração: Seja Af a área abaixo do gráfico de f e Ag representando a área
abaixo do gráfico de g. Então, em uma notação compreensível, ¯xA + ¯xgAg = ¯xfAf e ¯yA + ¯ygAg = ¯yfAf
Assim sendo, ¯xA = ¯xfAf − ¯xgAg = Z b a xf(x) dx − Z b a xg(x) dx = Z b a x[f(x) − g(x)] dx e
¯yA = ¯yfAf − ¯ygAg =
Z b a 1 2[f(x)] 2 dx− Z b a 1 2[g(x)] 2 dx= Z b a 1 2 [f(x)]2 − [g(x)]2dx.
Exemplo 12 Localize o centroide da região Ψ delimitada pelos gráficos das duas funções
f(x) = −x2+ 6x e g(x) = x e ilustrada através da Figura 24.
Figura 24 – Centroide da região Ψ delimitada por f(x) e g(x).
Resolução: Nesta situação não há simetria para a qual apelar. A ideia é realizar
os cálculos necessários estudados anteriormente.
A princípio efetuar o cálculo da área A da região Ψ compreendida entre os gráficos de f e g para o intervalo de x ∈ [0, 5]. Os limites inferior e superior são os pontos de intersecção dos gráficos de f e g obtidos pela igualdade de suas expressões, isto é,
−x2+ 6x = x ⇔ −x2+ 5x = 0 ⇒ x (−x + 5) = 0 ⇒ x= 0 (limite inferior) x= 5 (limite superior) .
Como já se sabe os valores dos limites do integral utilizado para o cálculo da área
A, basta aplicar a relação: A= Z b a [f(x) − g(x)] dx = Z 5 0 h −x2+ 6x − xidx = Z 5 0 h −x2+ 5xidx = −13x3 +5 2x 25 0 = 125 6 . (1.18) O próximo passo é calcular os valores de ¯xA e ¯yA através da utilização das relações (1.17). Começando pelo cálculo de ¯xA, temos
¯xA =Z b a x[f(x) − g(x)] dx = Z 5 0 x h −x2+ 6x − xidx = Z 5 0 h −x3+ 5x2idx = −1 4x 4+ 5 3x 35 0 = 625 12 (1.19) e ¯yA =Z b a 1 2 [f(x)]2 − [g(x)]2dx = Z 5 0 1 2 h −x2+ 6xi2− [x]2 dx = 1 2 Z 5 0 h x4− 12x3+ 36x2i −hx2idx = 1 2 1 5x5− 3x4+ 35 3 x3 5 0 = 625 6 . (1.20) Isto posto, o último passo é calcular os valores das coordenadas ¯x e ¯y, que agora são simples de executar, pois se tem todas as informações necessárias. Então, as coordenadas do ponto (¯x, ¯y) são dadas por
¯x = 625 12 125 6 = 5 2 e ¯y = 625 6 125 6 = 5. (1.21)
Portanto, o centroide (¯x, ¯y) da região Ψ delimitada por f e g está localizado no ponto de coordenadas5
2,5
![Figura 53 – Superfície gerada por Ψ em torno do eixo -x no intervalo [0, π].](https://thumb-eu.123doks.com/thumbv2/123dok_br/15499668.1044766/88.892.110.733.158.454/figura-superfície-gerada-por-ψ-torno-eixo-intervalo.webp)
